1、专题七专题七 几何综合应用几何综合应用 类型 1 以三角形为背景的计算和证明问题 1如图，一条 4 m 宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道 路的占地面积为_ m2. 2在 RtABC 中，A90 ，ACAB4，D，E 分别是边 AB，AC 的中点若等腰 RtADE 绕点 A 逆 时针旋转，得到等腰 RtAD1E1，设旋转角为 (0180 )，记直线 BD1与 CE1的交点为 P. (1)如图1，当 90 时，线段 BD1的长等于_2 5_；(直接填写结果) (2)如图 2，当 135 时，求证：BD1CE1，且 BD1CE1； (3)求点 P 到 AB
2、 所在直线的距离的最大值(直接写出结果) 3如图，已知ABC 中 ABAC12 厘米，BC9 厘米，点 D 为 AB 的中点 (1)如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C点向 A 点运动 若点 P 点 Q 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由； 若点 P 点 Q 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？ (2)若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发， 点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC 三边运动，求经过多长时间，点 P 与点
3、 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？ 类型 2 以四边形为背景的计算和证明问题 4已知正方形 ABCD 的边长为 4，一个以点 A 为顶点的 45 角绕点 A 旋转，角的两边分别与边 BC、DC 的 延长线交于点 E、F，连接 EF.设 CEa，CFb. (1)如图 1，当EAF 被对角线 AC 平分时，求 a，b 的值； (2)当AEF 是直角三角形时，求a，b 的值； (3)如图 3，探索EAF 绕点 A 旋转的过程中 a，b 满足的关系式，并说明理由 5已知：如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是矩形，OA4，OC3，动点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 方向以
4、每秒 2 个单位长度的速度运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，沿 x 轴正半轴方向以 每秒 1 个单位长度的速度运动设点 P、点 Q 的运动时间为 t(s) (1)当 t1 s 时，求经过点 O，P，A 三点的抛物线的解析式； (2)当 t2s 时，求 tanQPA 的值； (3)当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 M，且BM2AM 时，求 t(s)的值； (4)连接 CQ，当点P，Q 在运动过程中，记CQP 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数 关系式 专题七专题七 几何综合应用几何综合应用 类型 1 以三角形为背景的计算和证明问题 1如图，一条 4 m 宽的道
5、路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道 路的占地面积为_ m2. 【解析】如图，作 DEAC 于点 E， 可证DAEACBDE AB AE BC.即： 4 AB 3 12解得：AB16(m)，道路的面积为 ADAB516 80(m2) 2在 RtABC 中，A90 ，ACAB4，D，E 分别是边 AB，AC 的中点若等腰 RtADE 绕点 A 逆 时针旋转，得到等腰 RtAD1E1，设旋转角为 (0180 )，记直线 BD1与 CE1的交点为 P. (1)如图 1，当 90 时，线段 BD1的长等于_2 5_；(直接填写结果) (2)如图 2，当 135 时，求
6、证：BD1CE1，且 BD1CE1； (3)求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值(直接写出结果) 解：(2)证明：当 135 时，由旋转可知D1ABE1AC135 .又ABAC，AD1AE1，D1A BE1AC.BD1CE1且D1BAE1CA.设直线 BD1与 AC 交于点 F，有BFACFP，CPF FAB90 .BD1CE1. (3)1 3(四边形 AD1PE1为正方形时，距离最大，此时 PD12，PB22 3) 3如图，已知ABC 中 ABAC12 厘米，BC9 厘米，点 D 为 AB 的中点 (1)如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动， 同时
7、， 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点 P 点 Q 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由； 若点 P 点 Q 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？ (2)若点 Q 以中的运动速度从点C 出发， 点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发， 都逆时针沿ABC 三边运动，求经过多长时间，点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？ 解：(1)t1(秒)，BPCQ3(厘米) AB12，D 为 AB 中点，BD6(厘米) 又PCBCBP936(厘米) PCBDABAC，BC，在BPD 与CQP 中，
8、BPCQ BC BDPC ，BPDCQP(SAS)， VPVQ，BPCQ，又BC，要使BPDCPQ，只能 BPCP4.5，BPDCPQ， CQBD6.点 P 的运动时间 tBP 3 4.5 3 1.5(秒)，此时 VQCQ t 6 1.54(厘米/秒)；(2)因为 VQVP， 只能是点 Q 追上点 P，即点 Q 比点 P 多走 ABAC 的路程，设经过 x 秒后 P 与 Q 第一次相遇，依题意得 4x3x212，解得 x24(秒)，此时 P 运动了 24372(厘米) 又ABC 的周长为 33 厘米，723326，点 P、Q 在 BC 边上相遇，即经过 24 秒，点 P 与点 Q 第一次在 B
9、C 边上相遇 类型 2 以四边形为背景的计算和证明问题 4已知正方形 ABCD 的边长为 4，一个以点 A 为顶点的 45 角绕点 A 旋转，角的两边分别与边 BC、DC 的 延长线交于点 E、F，连接 EF.设 CEa，CFb. (1)如图 1，当EAF 被对角线 AC 平分时，求 a，b 的值； (2)当AEF 是直角三角形时，求 a，b 的值； (3)如图 3，探索EAF 绕点 A 旋转的过程中 a，b 满足的关系式，并说明理由 解：(1)可证ACFACE，CECF，CEa，CFb，ab，ACFACE，AEF AFE，EAF45 ，AEFAFE67.5 ，CECF，ECF90 ，AECA
10、FC22.5 ， CAFCAE22.5 ，CAECEA，CEAC4 2，即：ab4 2； (2)当AEF 是直角三角形时，当AEF90 时，EAF45 ，AFE45 ，AEF 是等腰 直角三角形， AF22FE22(CE2CF2)， AF22(AD2BE2)， 2(CE2CF2)2(AD2BE2)， CE2CF2 AD2BE2，CE2CF216(4CE)2，CF28(CE4)AEBBEF90 ，AEBBAE 90 ，BEFBAE，ABEECF， 4 CE CE4 CF ，4CFCE(CE4)，联立得，CE 4，CF8a4，b8， 当AFE90 时，同的方法得，CF4，CE8，a8，b4.(3)
11、ab32，理由：如图，可证 ACFECA，ECCFAC22AB232ab32. 5已知：如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是矩形，OA4，OC3，动点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 方向以每秒 2 个单位长度的速度运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，沿 x 轴正半轴方向以 每秒 1 个单位长度的速度运动设点 P、点 Q 的运动时间为 t(s) (1)当 t1 s 时，求经过点 O，P，A 三点的抛物线的解析式； (2)当 t2s 时，求 tanQPA 的值； (3)当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 M，且 BM2AM 时，求 t(s)的值； (4)连接 CQ，
12、当点 P，Q 在运动过程中，记CQP 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数 关系式 解：(1)当 t1 s 时，则 CP2，P(2，3)，且 A(4，0)，y3 4x 23x；(2)当 t2 s 时，则 CP2 24BC，即点 P 与点 B 重合，OQ2，如图 1，AQOAOQ422，且 APOC3，tan QPAAQ AP 2 3； (3)当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 M， 则可知点 Q 在线段 OA 上， 点 P 在线段 CB 的延长线上， 如图 2， 则 CP2t， OQt， BPPCCB2t4， AQOAOQ4t， PCOA， PBMQAM， BP A
13、Q BM AM， 2t4 4t 2，解得 t3； (4)当 0t2 时，如图 3， 由题意可知 CP2t，SSPCQ1 22t33t；当 2t4 时，设 PQ 交 AB 于点 M，如图 4，由题 意可知 PC2t，OQt，则 BP2t4，AQ4t，同(3)可得BP AQ BM AM 2t4 4t ，解得 AM123t t ，S S四边形BCQMS矩形OA BCSCOQSAMQ2424 t 3t；当 t4 时，设 CQ 与 AB 交于点 M，如图 5， 由题意可知 OQt，AQt4，ABOC，AM OC AQ OQ，即 AM 3 t4 t ，解得 AM3t12 t ，BM 12 t ，SSBCM1 24 12 t 24 t ；综上可知： S 3t（0t2） 2424 t 3t（2t4） 24 t （t4） .