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专题11 解直角三角形问题也要练(解析版)-备战2021年中考数学查缺补漏再训练26个微专题

1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题 11 解直角三角形问题也要练(共 16 道小题道小题) ) 1 ( (2021 福建模拟)福建模拟) 如图, 在 RtABC 中, C90, sinA, AB8cm, 则ABC 的面积是 ( ) A6cm2 B24cm2 C2cm2 D6cm2 【答案】D 【解析】在 RtABC 中,求出 BC,AC 即可解决问题 在 RtACB 中,C90,AB8cm, sinA, BC6(cm) , AC2(cm) , SABCBCAC626(cm2) 2 (2021 北京

2、北京模拟)模拟)如图,在ABC 中,C90,AC8,DCAD,BD 平分ABC,则点 D 到 AB 的距离等于( ) A4 B3 C2 D1 【答案】C 【解析】如图,过点 D 作 DEAB 于 E, AC8,DCAD, CD82, C90,BD 平分ABC, DECD2, 即点 D 到 AB 的距离为 2 3 (2021 天津天津模拟)模拟)在 RtABC 中,C90,如果 BC2,tanB2,那么 AC( ) A1 B4 C5 D25 【答案】B 【解析】根据正切函数的定义求解即可如图, 在 RtACB 中,C90, tanB= =2, 2 =2, AC4 4 (2021 哈尔滨哈尔滨模拟

3、)模拟)在 RtABC 中,C90,A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,如果 a3b, 那么A 的余切值为( ) A1 3 B3 C 2 4 D 10 10 【答案】A 【解析】根据余切函数的定义即可求解 在 RtABC 中,C90,A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,a3b, cotA= = 1 3 5 (2020凉山州)凉山州)如图所示,ABC 的顶点在正方形网格的格点上,则 tanA 的值为( ) A1 2 B 2 2 C2 D22 【答案】A 【解析】根据网格构造直角三角形,由勾股定理可求 AD、BD,再根据三角函数的意义可求出 tanA 的值 如图,连接 BD,由网格的特点可

4、得,BDAC, AD= 22+ 22=22,BD= 12+ 12= 2, tanA= = 2 22 = 1 2 6 (2020杭州)杭州)如图,在ABC 中,C90,设A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则( ) AcbsinB BbcsinB CabtanB DbctanB 【答案】B 【解析】根据三角函数的定义进行判断,就可以解决问题 RtABC 中,C90,A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, sinB= ,即 bcsinB,故 A 选项不成立,B 选项成立; tanB= ,即 batanB,故 C 选项不成立,D 选项不成立 7 (2021 上海上海模拟)模拟)已知 RtABC

5、 中,若C90,AC3,BC2,则A 的余切值为 【答案】3 2 【解析】根据余切函数的定义求解即可 在 RtABC 中,C90,AC3,BC2, cotA= = 3 2 8.(2021 郑州郑州模拟)模拟)如图,点 A(2,m)在第一象限,OA 与 x 轴所夹的锐角为 ,如果 tan= 3 2那么 m 【答案】3 【解析】如图,作 AEx 轴于 E根据正切函数的定义构建关系式即可解决问题 如图,作 AEx 轴于 E A(2,m) , OE2,AEm, tan= = 3 2, 2 = 3 2, m3 9 (2021 大庆大庆模拟)模拟)已知ABC 中,C90,cosA= 3 4,AC6,那么

6、AB 的长是 【答案】8 【解析】根据题目中的条件和锐角三角函数可以得到 AC 和 AB 的关系,从而可以求得 AB 的长,本题得以 解决 在ABC 中,C90,cosA= 3 4,AC6, cosA= = 6 , 即3 4 = 6 , 解得,AB8 10 (2021 湖南娄底湖南娄底模拟)模拟)如图,在离水面高度为 8 米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子 BC 的长 为 17 米,此人以 1 米每秒的速度收绳,7 秒后船移动到点 D 的位置,问船向岸边移动了 米 (假设 绳 子是直的) 【答案】9 【解析】在 RtABC 中,利用勾股定理计算出 AB 长,再根据题意可得 CD 长,然后

7、再次利用勾股定理计 算出 AD 长,再利用 BDABAD 可得 BD 长 在 RtABC 中: CAB90,BC17 米,AC8 米, AB15(米) , 此人以 1 米每秒的速度收绳,7 秒后船移动到点 D 的位置, CD171710(米) , AD6(米) , BDABAD1569(米) , 答:船向岸边移动了 9 米 11. (2020 湖北孝感)湖北孝感)某型号飞机的机翼形状如图所示,根据图中数据计算AB 的长为_m (结果保 留根号) 【答案】 5 3 (1.6) 3 【解析】如图(见解析) ,先在Rt BCF中,解直角三角形可求出 CF的长,再根据等腰直角三角形的判定 与性质可得

8、DE的长,从而可得 CE的长,然后根据线段的和差即可得 【详解】如图,过 A作/AE BF,交 DF于点 E,则四边形 ABFE 是矩形 ,5 ,ABEF AEBFm AEEF 由图中数据可知,3.4CDm,30CBF,45DAE,90F 在Rt BCF中,tan CF CBF BF ,即 3 tan30 53 CF 解得 5 3 ( ) 3 CFm ,45AEEFDAE Rt ADE是等腰三角形 5DEAEm 53.41.6( )CEDECDm 5 3 1.6( ) 3 EFCFCEm 则AB的长为 5 3 (1.6) 3 m 故答案为: 5 3 (1.6) 3 【点睛】本题考查了解直角三角

9、形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点,掌握解直角三角形的方法 是解题关键 12 (2021 江苏镇江江苏镇江模拟)模拟)如图,在由 10 个完全相同的正三角形构成的网格图中,、 如图所示, 则 cos(+) 【答案】 【解析】给图中各点标上字母,连接DE,利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出30, 同理,可得出:CDECED30,由AEC60结合AEDAEC+CED可得出 AED90,设等边三角形的边长为a,则AE2a,DEa,利用勾股定理可得出AD的长,再结合 余弦的定义即可求出 cos(+)的值 解:给图中各点标上字母,连接DE,如图所示 在ABC中,ABC120,BABC,

10、30 同理,可得出:CDECED30 又AEC60, AEDAEC+CED90 设等边三角形的边长为a,则AE2a,DE2sin60aa, ADa, cos(+) 故答案为: 【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型:图形的变化类,构造出含一个锐角等 于+ 的直角三角形是解题的关键 13(2020盐城)盐城) 如图, 在ABC 中, C90, tanA= 3 3 , ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D, CD= 3, 求 AB 的长? 【答案】见解析。 【分析】根据C90,tanA= 3 3 ,可求出A30,ABC60,再根据 BD 是ABC 的平分线, 求出CBDA

11、BD30,在不同的直角三角形中,根据边角关系求解即可 【解析】在 RtABC 中,C90,tanA= 3 3 , A30,ABC60, BD 是ABC 的平分线, CBDABD30, 又CD= 3, BC= 30 =3, 在 RtABC 中,C90,A30, AB= 30 =6 答:AB 的长为 6 14 (2019 广西梧州)广西梧州)如图,在 RtABC 中,C90,D 为 BC 上一点,AB5,BD1,tanB (1)求 AD 的长; (2)求 sin 的值 【答案】 【解析】 (1)tanB,可设 AC3x,得 BC4x, AC2+BC2AB2, (3x)2+(4x)252, 解得,x

12、1(舍去) ,或 x1, AC3,BC4, BD1, CD3, AD; (2)过点作 DEAB 于点 E, tanB,可设 DE3y,则 BE4y, AE2+DE2BD2, (3y)2+(4y)212, 解得,y(舍) ,或 y, , sin 15. (2021 云南云南模拟)模拟)如图,在ABC中,AD是BC上的高,tancosBDAC, (1) 求证:AC=BD; (2)若 12 sin 13 C ,BC=12,求AD的长 【答案】见解析。 【解析】(1)AD是BC上的高,ADBC ADB=90,ADC=90 在 RtABD和 RtADC中, tanB= AD BD ,cosDAC= AD

13、 AC 又已知tancosBDAC AD BD = AD AC AC=BD (2)在 RtADC中, 12 sin 13 C ,故可设AD=12k,AC=13k 22 DCACAD5k ADAD BD13k tanBcosDAC BC13k5k12 2 k,AD8. 3 16 (2021 西安西安模拟)模拟)如图,在ABC 中,C90,A30,BC1,点 D 在边 AC 上,且DBC 45,求 sinABD 的值 【分析】如图,作 DMAB 于 M,在 BA 上取一点 H,使得 BHDH,连接 DH设 DMa解直角三角 形求出 BD 即可解决问题 【解答】解:如图,过点 D 作 DMAB 于 M,在 BA 上取一点 H,使得 BHDH,连接 DH设 DMa C90,A30, ABC903060, DBC45, ABD604515, HBHD, HBDHDB15, DHMHBD+HDB30, DHBH2a,MH= 3a,BM2a+3a, BD= 2+ 2=2+ (2 + 3)2=(2 + 6)a, sinABD= = (2+6) = 62 4