1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题 11 解直角三角形问题也要练(共 16 道小题道小题) ) 1 （ （2021 福建模拟）福建模拟） 如图， 在 RtABC 中， C90， sinA， AB8cm， 则ABC 的面积是 （ ） A6cm2 B24cm2 C2cm2 D6cm2 【答案】D 【解析】在 RtABC 中，求出 BC，AC 即可解决问题 在 RtACB 中，C90，AB8cm， sinA， BC6（cm） ， AC2（cm） ， SABCBCAC626（cm2） 2 （2021 北京
2、北京模拟）模拟）如图，在ABC 中，C90，AC8，DCAD，BD 平分ABC，则点 D 到 AB 的距离等于（ ） A4 B3 C2 D1 【答案】C 【解析】如图，过点 D 作 DEAB 于 E， AC8，DCAD， CD82， C90，BD 平分ABC， DECD2， 即点 D 到 AB 的距离为 2 3 （2021 天津天津模拟）模拟）在 RtABC 中，C90，如果 BC2，tanB2，那么 AC（ ） A1 B4 C5 D25 【答案】B 【解析】根据正切函数的定义求解即可如图， 在 RtACB 中，C90， tanB= =2， 2 =2， AC4 4 （2021 哈尔滨哈尔滨模拟
3、）模拟）在 RtABC 中，C90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，如果 a3b， 那么A 的余切值为（ ） A1 3 B3 C 2 4 D 10 10 【答案】A 【解析】根据余切函数的定义即可求解 在 RtABC 中，C90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，a3b， cotA= = 1 3 5 （2020凉山州）凉山州）如图所示，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tanA 的值为（ ） A1 2 B 2 2 C2 D22 【答案】A 【解析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求 AD、BD，再根据三角函数的意义可求出 tanA 的值 如图，连接 BD，由网格的特点可
4、得，BDAC， AD= 22+ 22=22，BD= 12+ 12= 2， tanA= = 2 22 = 1 2 6 （2020杭州）杭州）如图，在ABC 中，C90，设A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则（ ） AcbsinB BbcsinB CabtanB DbctanB 【答案】B 【解析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题 RtABC 中，C90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， sinB= ，即 bcsinB，故 A 选项不成立，B 选项成立； tanB= ，即 batanB，故 C 选项不成立，D 选项不成立 7 （2021 上海上海模拟）模拟）已知 RtABC
5、 中，若C90，AC3，BC2，则A 的余切值为 【答案】3 2 【解析】根据余切函数的定义求解即可 在 RtABC 中，C90，AC3，BC2， cotA= = 3 2 8.（2021 郑州郑州模拟）模拟）如图，点 A（2，m）在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 ，如果 tan= 3 2那么 m 【答案】3 【解析】如图，作 AEx 轴于 E根据正切函数的定义构建关系式即可解决问题 如图，作 AEx 轴于 E A（2，m） ， OE2，AEm， tan= = 3 2， 2 = 3 2， m3 9 （2021 大庆大庆模拟）模拟）已知ABC 中，C90，cosA= 3 4，AC6，那么
6、AB 的长是 【答案】8 【解析】根据题目中的条件和锐角三角函数可以得到 AC 和 AB 的关系，从而可以求得 AB 的长，本题得以 解决 在ABC 中，C90，cosA= 3 4，AC6， cosA= = 6 ， 即3 4 = 6 ， 解得，AB8 10 （2021 湖南娄底湖南娄底模拟）模拟）如图，在离水面高度为 8 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长 为 17 米，此人以 1 米每秒的速度收绳，7 秒后船移动到点 D 的位置，问船向岸边移动了 米 （假设 绳 子是直的） 【答案】9 【解析】在 RtABC 中，利用勾股定理计算出 AB 长，再根据题意可得 CD 长，然后
7、再次利用勾股定理计 算出 AD 长，再利用 BDABAD 可得 BD 长 在 RtABC 中： CAB90，BC17 米，AC8 米， AB15（米） ， 此人以 1 米每秒的速度收绳，7 秒后船移动到点 D 的位置， CD171710（米） ， AD6（米） ， BDABAD1569（米） ， 答：船向岸边移动了 9 米 11. （2020 湖北孝感）湖北孝感）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB 的长为_m （结果保 留根号） 【答案】 5 3 (1.6) 3 【解析】如图（见解析） ，先在Rt BCF中，解直角三角形可求出 CF的长，再根据等腰直角三角形的判定 与性质可得
8、DE的长，从而可得 CE的长，然后根据线段的和差即可得 【详解】如图，过 A作/AE BF，交 DF于点 E，则四边形 ABFE 是矩形 ,5 ,ABEF AEBFm AEEF 由图中数据可知，3.4CDm，30CBF，45DAE，90F 在Rt BCF中，tan CF CBF BF ，即 3 tan30 53 CF 解得 5 3 ( ) 3 CFm ,45AEEFDAE Rt ADE是等腰三角形 5DEAEm 53.41.6( )CEDECDm 5 3 1.6( ) 3 EFCFCEm 则AB的长为 5 3 (1.6) 3 m 故答案为： 5 3 (1.6) 3 【点睛】本题考查了解直角三角
9、形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法 是解题关键 12 （2021 江苏镇江江苏镇江模拟）模拟）如图，在由 10 个完全相同的正三角形构成的网格图中，、 如图所示， 则 cos（+） 【答案】 【解析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出30， 同理，可得出：CDECED30，由AEC60结合AEDAEC+CED可得出 AED90，设等边三角形的边长为a，则AE2a，DEa，利用勾股定理可得出AD的长，再结合 余弦的定义即可求出 cos（+）的值 解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示 在ABC中，ABC120，BABC，
10、30 同理，可得出：CDECED30 又AEC60， AEDAEC+CED90 设等边三角形的边长为a，则AE2a，DE2sin60aa， ADa， cos（+） 故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等 于+ 的直角三角形是解题的关键 13（2020盐城）盐城） 如图， 在ABC 中， C90， tanA= 3 3 ， ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D， CD= 3， 求 AB 的长？ 【答案】见解析。 【分析】根据C90，tanA= 3 3 ，可求出A30，ABC60，再根据 BD 是ABC 的平分线， 求出CBDA
11、BD30，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可 【解析】在 RtABC 中，C90，tanA= 3 3 ， A30，ABC60， BD 是ABC 的平分线， CBDABD30， 又CD= 3， BC= 30 =3， 在 RtABC 中，C90，A30， AB= 30 =6 答：AB 的长为 6 14 （2019 广西梧州）广西梧州）如图，在 RtABC 中，C90，D 为 BC 上一点，AB5，BD1，tanB （1）求 AD 的长； （2）求 sin 的值 【答案】 【解析】 （1）tanB，可设 AC3x，得 BC4x， AC2+BC2AB2， （3x）2+（4x）252， 解得，x
12、1（舍去） ，或 x1， AC3，BC4， BD1， CD3， AD； （2）过点作 DEAB 于点 E， tanB，可设 DE3y，则 BE4y， AE2+DE2BD2， （3y）2+（4y）212， 解得，y（舍） ，或 y， ， sin 15. （2021 云南云南模拟）模拟）如图，在ABC中，AD是BC上的高，tancosBDAC， (1) 求证：AC=BD； (2)若 12 sin 13 C ，BC=12，求AD的长 【答案】见解析。 【解析】(1)AD是BC上的高，ADBC ADB=90，ADC=90 在 RtABD和 RtADC中， tanB= AD BD ，cosDAC= AD
13、 AC 又已知tancosBDAC AD BD = AD AC AC=BD (2)在 RtADC中， 12 sin 13 C ，故可设AD=12k，AC=13k 22 DCACAD5k ADAD BD13k tanBcosDAC BC13k5k12 2 k,AD8. 3 16 （2021 西安西安模拟）模拟）如图，在ABC 中，C90，A30，BC1，点 D 在边 AC 上，且DBC 45，求 sinABD 的值 【分析】如图，作 DMAB 于 M，在 BA 上取一点 H，使得 BHDH，连接 DH设 DMa解直角三角 形求出 BD 即可解决问题 【解答】解：如图，过点 D 作 DMAB 于 M，在 BA 上取一点 H，使得 BHDH，连接 DH设 DMa C90，A30， ABC903060， DBC45， ABD604515， HBHD， HBDHDB15， DHMHBD+HDB30， DHBH2a，MH= 3a，BM2a+3a， BD= 2+ 2=2+ (2 + 3)2=（2 + 6）a， sinABD= = (2+6) = 62 4