1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 14 14 函数解析式问题加强练函数解析式问题加强练 ( (共共 1212 道小题道小题) ) 1 （2021 广西梧州模拟）广西梧州模拟）直线 y3x+1 向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是（ ） Ay3x+3 By3x2 Cy3x+2 Dy3x1 【答案】D 【解析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案 直线 y3x+1 向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是：y3x+123x1 2 （2021 黑龙江大庆模拟）黑龙江大庆模拟）如图，直线3yx
2、与 y 轴交于点 A，与 反比例函数 k y x （0k ）的图象 交于点 C，过点 C 作 CBx 轴于点 B，AO=3BO，则反比例函数的解析式为（ ） A 4 y x B 4 y x C 2 y x D 2 y x 【答案】B 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 3.（20202020 贵州黔西南）贵州黔西南）如图，在菱形 ABOC 中，AB2，A60，菱形的一个顶点 C 在反比例函数 y k x （k0）的图象上，则反比例函数的解析式为（ ） A. y 3 3 x B. y 3 x C. y 3 x D. y 3 x 【答案】B 【解析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点
3、 C 的坐标，从而可以求得 k 的值，进而求得 反比例函数的解析式 解：因为在菱形 ABOC 中，A60，菱形边长为 2，所以 OC2，COB60 如答图，过点 C 作 CDOB 于点 D， 则 ODOCcosCOB2cos602 1 2 1，CDOCsinCOB2sin602 3 2 3 因为点 C 在第二象限，所以点 C 的坐标为（1，3） 因为顶点 C 在反比例函数 y k x 的图象上，所以3 1 k ，得 k3， 所以反比例函数的解析式为 y 3 x ， 因此本题选 B 【点拨】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点 C 的坐标 4 4 （
4、 （20192019 江苏徐州）江苏徐州）已知二次函数的图象经过点P（2，2） ，顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再 次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 【答案】y（x4） 2 【解析】设原来的抛物线解析式为：yax 2利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移 后的解析式，将点P的坐标代入即可 设原来的抛物线解析式为：yax 2（a0） 把P（2，2）代入，得 24a， 解得a 故原来的抛物线解析式是：yx 2 设平移后的抛物线解析式为：y（xb） 2 把P（2，2）代入，得 2（2b） 2 解得b0（舍去）或b4 所以平移后抛物线的解析式是：y（x4） 2 5.（2
5、0202020 贵州黔西南）贵州黔西南）如图，正比例函数的图象与一次函数 yx1 的图象相交于点 P，点 P 到 x 轴的 距离是 2，则这个正比例函数的解析式是_ 【答案】y2x 【解析】首先将点 P 的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求 解 点 P 到 x 轴的距离为 2， 点 P 的纵坐标为 2， 点 P 在一次函数 yx1 上， 2x1，解得 x1， 点 P 的坐标为（1，2） 设正比例函数解析式为 ykx， 把 P（1，2）代入得 2k，解得 k2， 正比例函数解析式为 y2x 【点拨】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的
6、处理能力，熟练的进行点与 线之间的转化计算是解题的关键 6. （20202020 哈尔滨）哈尔滨）已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 AB与x轴的正半轴交于点 A，与 y轴的负半轴交于点 B， OA OB，过点 A作x轴的垂线与过点 O的直线相交于点 C，直线 OC的解析式 为 3 4 yx，过点 C作CMy轴，垂足为,9M OM （1）如图 1，求直线AB的解析式； （2）如图 2，点 N 在线段MC上，连接 ON，点 P 在线段 ON上，过 P 点作PDx轴，垂足为 D，交 OC 于点 E，若NCOM，求 PE OD 的值； （3）如图 3，在（2）的条件下，点 F为线段 AB
7、 上一点，连接 OF，过点 F作 OF的垂线交线段 AC 于点 Q， 连接 BQ，过点 F作x轴的平行线交 BQ于点 G，连接 PF交x轴于点 H，连接 EH，若 ,2DHEDPH GQFGAF ，求点 P 的坐标 【答案】 （1）12yx； （2） 9 4 ； （3） 12 36 (,) 55 P 【解析】 （1）根据题意求出 A，B的坐标即可求出直线 AB的解析式； （2）求出 N（3,9） ，以及 ON 的解析式为 y=3x，设 P（a，3a） ，表达出 PE及 OD即可解答； （3） 如图， 设直线 GF交 CA延长线于点 R， 交 y轴于点 S， 过点 F作 FTx轴于点 T， 先证
8、明四边形 OSRA 为矩形，再通过边角关系证明OFSFQR，得到 SF=QR，进而证明BSGQRG，得到 SG=RG=6， 设 FR=m，根据2GQFGAF，以及在 RtGQR中利用勾股定理求出 m的值，得到 FS=8，AR=4， 证明四边形 OSFT 为矩形，得到 OT=FS=8，根据DHE=DPH，利用正切函数的定义得到 DEDH DHPD ， 从而得到 DH= 3 2 a，根据PHD=FHT，得到 HT=2，再根据 OT=OD+DH+HT，列出关于 a 的方程即可求 出 a的值，从而得到点 P的坐标 解： （1）CMy轴，OM=9， 当 y=9 时， 3 9 4 x，解得：x=12， C
9、（12,9） ， CAx轴，则 A（12,0） ， OB=OA=12，则 B（0，-12） ， 设直线 AB的解析式为 y=kx+b， 120 12 kb b ，解得： 1 12 k b ， 12yx； （2）由题意可得，CMO=OAC=MOA=90 ， 四边形 MOAC 为矩形， MC=OA=12， NC=OM， NC=9，则 MN=MC-NC=3， N（3,9） 设直线 ON的解析式为 1 yk x， 将 N（3，9）代入得： 1 93k，解得： 1 3k ， y=3x， 设 P（a，3a） PDx 轴交 OC 于点 E，交 x轴于点 D， 3 ( ,) 4 E aa，(a,0)D， PE
10、= 39 3 44 aaa，OD=a， 9 9 4 4 a PE ODa ； （3）如图，设直线 GF交 CA 延长线于点 R，交 y轴于点 S，过点 F作 FTx轴于点 T， GFx 轴， OSR=MOA=90 ，CAO=R=90 ，BOA=BSG=90 ，OAB=AFR， OSR=R=AOS=BSG=90 ， 则四边形 OSRA为矩形， OS=AR，SR=OA=12， OA=OB， OBA=OAB=45 ， FAR=90 -AFR=45 ， FAR=AFR， FR=AR=OS， QFOF， OFQ=90 ， OFS+QFR=90 ， SOF+OFS=90 ， SOF=QFR， OFSFQR
11、， SF=QR， SFB=AFR=45 ， SBF=SFB，BS=SF=QR， SGB=RGQ， BSGQRG，SG=RG=6， 设 FR=m，则 AR=m， QR=SF=12-m， AF= 22 2FRARm ， 2GQFGAF， GQ= 2266mmm ， QG2=GR2+QR2，即 222 (6)6(12)mm，解得：m=4， FS=8，AR=4， OAB=FAR，FTOA，FRAR， FT=FR=AR=4，OTF=90 ， 四边形 OSFT 为矩形，OT=FS=8， DHE=DPH，tanDHE=tanDPH， DEDH DHPD ， 由（2）可知，DE= 3 4 a，PD=3a， 3
12、 4 3 a DH DHa ，解得：DH= 3 2 a， tanPHD= 3 2 3 2 PDa DH a ， PHD=FHT，tanFHT=2 TF HT ，HT=2， OT=OD+DH+HT， 3 28 2 aa，a=12 5 ， 12 36 (,) 55 P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等 三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助 线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答 7 （ （2021 河南模拟）河南模拟）如图，一次函数 ykx+b（k
13、，b 为常数，k0）的图象与反比例函数 y的图象 交于 A、B 两点，且与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，A 点的横坐标与 B 点的纵坐标都是 3 （1）求一次函数的表达式； （2）求AOB 的面积； （3）写出不等式 kx+b的解集 【答案】见解析。 【解析】 （1）一次函数 ykx+b（k，b 为常数，k0）的图象与反比例函数 y的图象交于 A、B 两点， 且与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，A 点的横坐标与 B 点的纵坐标都是 3， 3， 解得：x4， y4， 故 B（4，3） ，A（3，4） ， 把 A，B 点代入 ykx+b 得： ， 解得：， 故直线解析式为：y
14、x1； （2）yx1，当 y0 时，x1， 故 C 点坐标为： （1，0） ， 则AOB 的面积为：13+14； （3）不等式 kx+b的解集为：x4 或 0 x3 8.（2020 湖北咸宁）湖北咸宁）如图，已知一次函数 1 ykxb与反比例函数 2 m y x 的图象在第一、三象限分别交于 (6,1)A ，( , 3)B a 两点，连接OA，OB （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）AOB的面积为_； （3）直接写出 12 yy时 x的取值范围 【答案】 （1） 1 1 2 2 yx， 2 6 y x ； （2）8； （3）-2x0或 x6. 【解析】此题是考查一次函数与反比例函数
15、的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反 比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活 运用 （1） 把 A代入反比例函数， 根据待定系数法即可求得 m， 得到反比例函数的解析式， 然后将( , 3)B a 代入， 求得 a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图像与 x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的 x 取值范围 解： （1）把(6,1)A代入反比例函数 2 m y x 得：m=6， 反比例函数的解析式为 2 6 y x ， ( , 3)B a
16、 点在反比例函数 2 m y x 图像上， -3a=6，解得 a=-2， B（-2，-3） ， 一次函数 y1=kx+b的图象经过 A 和 B， 16 32 kb kb ，解得： 1 2 2 k b ， 一次函数的解析式为 1 1 2 2 yx； （2）(6,1)A，( 2, 3)B ，一次函数的解析式为 1 1 2 2 yx， 令 y=0，解得：x=4，即一次函数图像与 x 轴交点为（4，0） ， SAOB= 1 41 38 2 ， 故答案为：8； （3）由图象可知： 12 yy时，即一次函数图像在反比例函数图像上方， x 的取值范围是：-2x0 或 x6. 9 （2019 广西百色）广西百
17、色）已知抛物线 ymx 2 和直线 yx+b 都经过点 M（2，4） ，点 O 为坐标原点，点 P 为抛物线上的动点，直线 yx+b 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点 （1）求 m、b 的值； （2）当PAM 是以 AM 为底边的等腰三角形时，求点 P 的坐标； （3）满足（2）的条件时，求 sinBOP 的值 【答案】见解析。 【解析】 （1）根据点 M 的坐标，利用待定系数法可求出 m，b 的值； （2）由（1）可得出抛物线及直线 AB 的解析式，利用一次函数图 象上点的坐标特征可求出点 A 的坐标， 设点 P 的坐标为（x，x2） ，结合点 A，M 的坐标可得出 PA2，PM2的
18、值，再利用等腰三角形的性质可得出关 于 x 的方程，解之即可得出结论； （3）过点 P 作 PNy 轴，垂足为点 N，由点 P 的坐标可得出 PN，PO 的长，再利用正弦的定义即可求出 sinBOP 的值 解： （1）将 M（2，4）代入 ymx2，得：44m， m1； 将 M（2，4）代入 yx+b，得：42+b， b2 （2）由（1）得：抛物线的解析式为 yx2，直线 AB 的解析式为 yx+2 当 y0 时，x+20， 解得：x2， 点 A 的坐标为（2，0） ，OA2 设点 P 的坐标为（x，x2） ，则 PA2（2x）2+（0 x2）2x4+x24x+4，PM2（2x）2+（4x2）
19、2 x47x2+4x+20 PAM 是以 AM 为底边的等腰三角形， PA2PM2，即 x4+x24x+4x47x2+4x+20， 整理，得：x2x20， 解得：x11，x22， 点 P 的坐标为（1，1）或（2，4） （3）过点 P 作 PNy 轴，垂足为点 N，如图所示 当点 P 的坐标为（1，1）时，PN1，PO， sinBOP； 当点 P 的坐标为（2，4）时，PN2，PO2， sinBOP 满足（2）的条件时，sinBOP 的值的值为或 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的 坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，
20、解题的关键是： （1）根据点的坐标，利用待 定系数法求出 m，b 的值； （2）利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于 x 的方程； （3）通过解直角三 角形，求出 sinBOP 的值 10. （2020 湖北襄阳）湖北襄阳）如图，反比例函数1 (0) m x yx和一次函数 2 ykxb的图象都经过点(1,4)A和 点( ,2)B n （1）m_，n_； （2）求一次函数的解析式，并直接写出 12 yy时 x的取值范围； （3）若点 P 是反比例函数 1 (0) m x yx的图象上一点，过点 P 作PMx轴，垂足为 M，则POM的 面积为_ 【答案】 （1）4，2； （2）y=-2x+6
21、，1x2； （3）2 【解析】 （1）把 A(1,4)代入 1 (0) m x yx求出 m的值；再将 y=2 代入反比例函数式，即可求出 n 的值； （2）由（1）可知 A、B 两点的坐标，将这两点的坐标代入求出 k、b 的值即可，再根据 t图象判定出 12 yy 时 x的取值范围； （3）设 P 点横坐标为 a,则纵坐标为 4 a ，即可知道 OM、PM，进而求出面积即可 详解】解： （1）把 x=1,y=4 代入 1 (0) m x yx得， 4= 1 m ， 解得 m=4 1 4 (0)yx x 当 y=2 时，2= 4 n 解得，n=2 （2）把 A(1,4)，B(2,2)分别代入
22、2 ykxb得 4 22 kb kb 解得 2 6 k b y2=-2x+6 当 y1y2时，从图象看得出：1x2 （3）设 P 点横坐标为 a,则纵坐标为 4 a ， OM=a，PM= 4 a , SPOM= 1141 k2 222 OM PMa a 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能 根据图形求不等式的解集以及如何求三角形的面积 11 （ （2021 广东模拟）广东模拟）如图，已知抛物线 yax2+bx1 与 x 轴的交点为 A（1，0） ，B（2，0） ，且与 y 轴 交于 C 点 （1）求该抛物线的表达式； （2）点 C 关于
23、x 轴的对称点为 C1，M 是线段 BC1上的一个动点（不与 B、C1重合） ，MEx 轴，MFy 轴，垂足分别为 E、F，当点 M 在什么位置时，矩形 MFOE 的面积最大？说明理由 （3）已知点 P 是直线 yx+1 上的动点，点 Q 为抛物线上的动点，当以 C、C1、P、Q 为顶点的四边形 为平行四边形时，求出相应的点 P 和点 Q 的坐标 【答案】见解析。 【解析】 （1）将 A（1，0） ，B（2，0）分别代入抛物线 yax2+bx1 中，得，解得： 该抛物线的表达式为：yx2x1 （2）在 yx2x1 中，令 x0，y1，C（0，1） 点 C 关于 x 轴的对称点为 C1， C1（
24、0， 1） ， 设直线 C1B 解析式为 ykx+b， 将 B （2， 0） ， C1（0， 1） 分别代入得， 解得， 直线 C1B 解析式为 yx+1，设 M（t，+1） ，则 E（t，0） ，F（0，+1） S矩形MFOEOEOFt（t+1）（t1）2+， 0， 当 t1 时，S矩形MFOE最大值，此时，M（1，） ；即点 M 为线段 C1B 中点时，S矩形MFOE最大 （3）由题意，C（0，1） ，C1（0，1） ，以 C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况： C1C 为边，则 C1CPQ，C1CPQ，设 P（m，m+1） ，Q（m，m1） ， |（m1）（m+1
25、）|2，解得：m14，m22，m32，m40（舍） ， P1（4，3） ，Q1（4，5） ；P2（2，0） ，Q2（2，2） ；P3（2，2） ，Q3（2，0） C1C 为对角线，C1C 与 PQ 互相平分，C1C 的中点为（0，0） ， PQ 的中点为（0，0） ，设 P（m，m+1） ，则 Q（m，+m1） （m+1）+（+m1）0，解得：m10（舍去） ，m22， P4（2，0） ，Q4（2，0） ； 综上所述，点 P 和点 Q 的坐标为：P1（4，3） ，Q1（4，5）或 P2（2，0） ，Q2（2，2）或 P3（2，2） ， Q3（2，0）或 P4（2，0） ，Q4（2，0） 12.
26、 （20202020 湖北荆门）湖北荆门）如图，抛物线 2 15 :3 24 L yxx与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B （1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标； （2） 如图 1， 点 P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点， 过点 P作PCx轴， 垂足为 C，PC交AB 于点 D，求PDBD的最大值，并求出此时点 P 的坐标； （3）如图 2，将抛物线 2 15 :3 24 L yxx向右平移得到抛物线 L ，直线AB与抛物线 L 交于 M，N两 点，若点 A是线段MN的中点，求抛物线 L 的解析式 【答案】 （1） 直线AB的解析式为 3 3 4 yx， 抛物线顶点
27、坐标为 5121 , 432 ； （2） 当 1 3 4 x 时，PDBD 的最大值为 169 32 ； 1357 , 432 P ； （3） 2 1133 242 yxx 【答案】见解析。 【解析】 （1）先根据函数关系式求出 A、B 两点的坐标，设直线AB的解析式为y kxb ，利用待定系数 法求出 AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标； （2） 过点 D 作DEy轴于 E， 则/DE OA 求得 AB=5， 设点 P的坐标为 2 155 ,34 244 xxxx ， 则点 D的坐标为 3 ,3 4 xx ，ED=x，证明BDEBAO，由相似三角形的性质求出 5 4
28、BDx，用含 x 的式子表示 PD，配方求得最大值，即可求得点 P 的坐标； （3）设平移后抛物线 L 的解析式 2 1121 () 232 yxm，将 L的解析式和直线 AB联立，得到关于 x的方 程，设 1122 ,M x yN x y，则 12 ,x x是方程 22 325 20 416 xmxm 的两根，得到 12 3 2 4 xxm ，点 A为MN的中点， 12 8xx，可求得 m的值，即可求得 L的函数解析式 【详解】 （1）在 2 15 3 24 yxx中， 令0y ，则 2 15 30 24 xx，解得 12 3 ,4 2 xx ， (4,0)A 令0 x，则3y ，0, 3B
29、 设直线AB的解析式为y kxb ，则 40 3 kb b ，解得： 3 4 3 k b ， 直线AB的解析式为 3 3 4 yx 2 2 1515121 3 242432 yxxx ， 抛物线顶点坐标为 5121 , 432 （2）如图，过点 D作DEy轴于 E，则/DE OA 4,3OAOB， 2222 435ABOAOB ， 设点 P的坐标为 2 155 ,34 244 xxxx ， 则点 D坐标为 3 ,3 4 xx ， EDx /DE OA， BDEBAO， BDED BAOA ， 54 BDx ， 5 4 BDx 而 22 3151 332 4242 PDxxxxx ， 2 22
30、15113113169 2 24242432 PDBDxxxxxx ， 1 0 2 ， 5 4 4 x，由二次函数的性质可知： 当 13 4 x 时，PDBD的最大值为 169 32 2 2 3531351357 33 44444432 xx ， 1357 , 432 P （3）设平移后抛物线 L 的解析式 2 1121 () 232 yxm， 联立 2 3 3 4 1121 () 232 yx yxm ， 2 31121 3() 4232 xxm， 整理，得： 22 325 20 416 xmxm ， 设 1122 ,M x yN x y，则 12 ,x x是方程 22 325 20 416 xmxm 的两根， 12 3 2 4 xxm 而 A 为MN的中点， 12 8xx， 3 28 4 m ，解得： 13 4 m 抛物线 L 的解析式 2 2 1131211133 2432242 yxxx 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解 题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质