1、2021 年河南省驻马店市、天宏大联考中考数学一模试卷年河南省驻马店市、天宏大联考中考数学一模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B1 C0 D2 2如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ） A该圆锥的主视图是轴对称图形 B该圆锥的主视图是中心对称图形 C该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 D该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 3一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条
2、路径，则它获得食物的 概率是（ ） A B C D 42020 年 6 月 23 日，中国第 55 颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网其中支持北斗三号新信号 的 22 纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用22 纳米0.000000022 米，将 0.000000022 用科学记数法表示为（ ） A2.2108 B2.210 8 C0.2210 7 D2210 9 5如图，从笔直的公路 l 旁一点 P 出发，向西走 6km 到达 l；从 P 出发向北走 6km 也到达 l下列说法错误 的是（ ） A从点 P 向北偏西 45走 3km 到达 l B公路 l 的走向是南偏西 4
3、5 C公路 l 的走向是北偏东 45 D从点 P 向北走 3km 后，再向西走 3km 到达 l 6如图，函数 y1x+1 与函数 y2的图象相交于点 M（1，m） ，N（2，n） 若 y1y2，则 x 的取值范 围是（ ） Ax2 或 0 x1 Bx2 或 x1 C2x0 或 0 x1 D2x0 或 x1 7如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（ ） A（）2x（）2（x5） B（）2x（）2（x+5） C82x62（x+5） D82x625 8如图，RtABC 中，C90，利用尺规在 BC，BA 上分别截取 BE，BD，使 BEBD；分别以 D，E 为圆心、 以大于DE 的长为半径作弧，
4、 两弧在CBA 内交于点 F； 作射线 BF 交 AC 于点 G 若 CG1， P 为 AB 上一动点，则 GP 的最小值为（ ） A无法确定 B C1 D2 9已知二次函数 y（a2）x2（a+2）x+1，当 x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 y 总相等，则关于 x 的一元二次方程（a2）x2（a+2）x+10 的两根之积为（ ） A0 B1 C D 10在平面直角坐标系 xOy 中，RtAOB 的直角顶点 B 在 y 轴上，点 A 的坐标为（1，） ，将 RtAOB 沿直线 yx 翻折，得到 RtAOB，过 A作 AC 垂直于 OA交 y 轴于点 C，则点 C 的坐标为（
5、） A （0，2） B （0，3） C （0，4） D （0，4） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11已知：ab，则 ab 12对某条线段的长度进行了 3 次测量，得到 3 个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用 a 作为这条线 段长度的近似值，当 10.0mm 时，最小对另一条线段的长度进行了 n 次测量，得到 n 个结果（单位： mm）x1，x2，xn，若用 x 作为这条线段长度的近似值，当 x mm 时， （xx1）2+（xx2）2+ +（xxn）2最小 13在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx 与双曲线 y交于 A，B 两点若
6、点 A，B 的纵坐标分别为 y1， y2，则 y1+y2的值为 14如图，已知ABCDCEGEF，三条对应边 BC、CE、EF 在同一条直线上，连接 BG，分别交 AC、DC、DE 于点 P、Q、K，其中 SPQC3，则图中三个阴影部分的面积和为 15如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A，B 重合） ，DAM45，点 F 在 射线 AM 上， 且 AFBE， CF 与 AD 相交于点 G， 连接 EC、 EF、 EG 则下列结论： ECF45； AEG 的周长为（1+）a；BE2+DG2EG2；EAF 的面积的最大值是a2；当时 BE a，G 是线段 A
7、D 的中点其中正确的结论是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分分) 16先化简，再求代数式（1）的值，其中 x4cos301 17境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈如图是某国截止 5 月 31 日新冠病毒感染人数 的扇形统计图和折线统计图 根据上面图表信息，回答下列问题： （1）截止 5 月 31 日该国新冠肺炎感染总人数累计为 万人，扇形统计图中 4059 岁感染人数对 应圆心角的度数为 ； （2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图； （3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取 1 人，求该患者年龄为 60 岁或
8、 60 岁以上的概率； （4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为 1%，2.75%，3.5%，10%，20%，求该国新冠 肺炎感染病例的平均死亡率 18如图，一艘船由 A 港沿北偏东 65方向航行 34km 到 B 港，然后再沿北偏西 42方向航行至 C 港，已 知 C 港在 A 港北偏东 20方向 （1）直接写出C 的度数； （2）求 A、C 两港之间的距离 （结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可） 19某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为 10 万元/件 （1）如图，设第 x（0 x20）个生产周期设备售价 z 万元/件，z 与 x 之间的关系用
9、图中的函数图象表 示求 z 关于 x 的函数解析式（写出 x 的范围） （2）设第 x 个生产周期生产并销售的设备为 y 件，y 与 x 满足关系式 y5x+40（0 x20） 在（1）的 条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润收入成本） 20小云在学习过程中遇到一个函数 y|x|（x2x+1） （x2） 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当2x0 时，对于函数 y1|x|，即 y1x，当2x0 时，y1随 x 的增大而 ，且 y1 0；对于函数 y2x2x+1，当2x0 时，y2随 x 的增大而 ，且 y20；结合上述分析，进 一步探究发现，对于函数 y
10、，当2x0 时，y 随 x 的增大而 （2）当 x0 时，对于函数 y，当 x0 时，y 与 x 的几组对应值如下表： x 0 1 2 3 y 0 1 结合上表，进一步探究发现，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大在平面直角坐标系 xOy 中，画出当 x0 时的函数 y 的图象 （3）过点（0，m） （m0）作平行于 x 轴的直线 l，结合（1） （2）的分析，解决问题：若直线 l 与函数 y|x|（x2x+1） （x2）的图象有两个交点，则 m 的最大值是 21古希腊数学家毕达哥拉斯认为： “一切平面图形中最美的是圆” 请研究如下美丽的圆如图，线段 AB 是O 的直径，延长 AB 至点 C
11、，使 BCOB，点 E 是线段 OB 的中点，DEAB 交O 于点 D，点 P 是 O 上一动点（不与点 A，B 重合） ，连接 CD，PE，PC （1）求证：CD 是O 的切线； （2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加 以证明 22希腊数学家帕普斯给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下： 建立平面直角坐标系，将已知锐角AOB 的顶点与原点 O 重合，角的一边 OB 与 x 轴正方向重合； 在平面直角坐标系中，绘制函数 y的图象，图象与已知角的另一边 OA 交于点 P； 以 P 为圆心，2OP 为半径作弧，交函数 y的图象于 R 点； 分别过点
12、 P 和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线，两线相交于点 M、Q； 连接 OM，得到MOB，这时MOBAOB 根据以上材料解答下列问题： （1）设点 P 的坐标为（a，） ，点 R 的坐标为（b，） ，则点 M 的坐标为 ； （2）求证：点 Q 在直线 OM 上； （3）求证：MOBAOB 23请完成下面的几何探究过程： （1）观察填空 如图 1，在 RtABC 中，C90，ACBC4，点 D 为斜边 AB 上一动点（不与点 A，B 重合） ，把 线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到线段 CE，连 DE，BE，则 CBE 的度数为 ； 当 BE 时，四边形 CDBE 为正方形 （2）探究
13、证明 如图 2，在 RtABC 中，C90，BC2AC4，点 D 为斜边 AB 上一动点（不与点 A，B 重合） ，把 线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90后并延长为原来的两倍到线段 CE，连 DE，BE，则： 在点 D 的运动过程中，请判断CBE 与A 的大小关系，并证明； 当 CDAB 时，求证：四边形 CDBE 为矩形 （3）拓展延伸 如图 2，在点 D 的运动过程中，若BCD 恰好为等腰三角形，请直接写出此时 AD 的长 2021 年河南省驻马店市、天宏大联考中考数学一模试卷年河南省驻马店市、天宏大联考中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共
14、10 小题）小题） 1下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B1 C0 D2 【分析】先根据正数都大于 0，负数都小于 0，可排除 C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可 得比2 小的数是3 【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知32 故选：A 2如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ） A该圆锥的主视图是轴对称图形 B该圆锥的主视图是中心对称图形 C该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 D该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，从而得出答案 【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图
15、形，但不是中心对称图形， 故选：A 3一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的 概率是（ ） A B C D 【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径， 观察图可得：它有 6 种路径，且获得食物的有 2 种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路 径， 观察图可得：第一次选择，它有 3 种路径；第二次选择，每次又都有 2 种路径； 两次共 6 种等可能结果，其中获得食物的有 2 种结果， 获得食物的概率是，
16、故选：C 42020 年 6 月 23 日，中国第 55 颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网其中支持北斗三号新信号 的 22 纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用22 纳米0.000000022 米，将 0.000000022 用科学记数法表示为（ ） A2.2108 B2.210 8 C0.2210 7 D2210 9 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负整数指数幂， 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：将 0.000000022 用科学记数法表示
17、为 2.210 8 故选：B 5如图，从笔直的公路 l 旁一点 P 出发，向西走 6km 到达 l；从 P 出发向北走 6km 也到达 l下列说法错误 的是（ ） A从点 P 向北偏西 45走 3km 到达 l B公路 l 的走向是南偏西 45 C公路 l 的走向是北偏东 45 D从点 P 向北走 3km 后，再向西走 3km 到达 l 【分析】先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解 【解答】解：如图， 由题意可得PAB 是腰长 6km 的等腰直角三角形， 则 AB6km， 如图所示，过 P 点作 AB 的垂线 PC， 则 PC3km， 则从点 P 向北偏西 45走 3km 到
18、达 l，选项 A 错误； 则公路 l 的走向是南偏西 45或北偏东 45，选项 B，C 正确； 则从点 P 向北走 3km 后到达 BP 中点 D， 此时 CD 为PAB 的中位线， 故 CDAP3， 故再向西走 3km 到达 l，选项 D 正确 故选：A 6如图，函数 y1x+1 与函数 y2的图象相交于点 M（1，m） ，N（2，n） 若 y1y2，则 x 的取值范 围是（ ） Ax2 或 0 x1 Bx2 或 x1 C2x0 或 0 x1 D2x0 或 x1 【分析】观察函数 y1x+1 与函数的图象，即可得出当 y1y2时，相应的自变量 x 的取值范围 【解答】解：由一次函数和反比例函
19、数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应 的 x 的取值范围为2x0 或 x1， 故选：D 7如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（ ） A（）2x（）2（x5） B（）2x（）2（x+5） C82x62（x+5） D82x625 【分析】根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解 【解答】解：依题意，得：（）2x（）2（x+5） 故选：B 8如图，RtABC 中，C90，利用尺规在 BC，BA 上分别截取 BE，BD，使 BEBD；分别以 D，E 为圆心、 以大于DE 的长为半径作弧， 两弧在CBA 内交于点 F； 作射线 BF
20、交 AC 于点 G 若 CG1， P 为 AB 上一动点，则 GP 的最小值为（ ） A无法确定 B C1 D2 【分析】如图，过点 G 作 GHAB 于 H根据角平分线的性质定理证明 GHGC1，利用垂线段最短 即可解决问题 【解答】解：如图，过点 G 作 GHAB 于 H 由作图可知，GB 平分ABC， GHBA，GCBC， GHGC1， 根据垂线段最短可知，GP 的最小值为 1， 故选：C 9已知二次函数 y（a2）x2（a+2）x+1，当 x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 y 总相等，则关于 x 的一元二次方程（a2）x2（a+2）x+10 的两根之积为（ ） A0 B
21、1 C D 【分析】 根据题意可得二次函数图象的对称轴为 y 轴， 从而求出 a 值， 再利用根与系数的关系得出结果 【解答】解：二次函数 y（a2）x2（a+2）x+1， 当 x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 y 总相等， 可知二次函数图象的对称轴为直线 x0，即 y 轴， 则， 解得：a2， 则关于 x 的一元二次方程（a2）x2（a+2）x+10 为4x2+10， 则两根之积为， 故选：D 10在平面直角坐标系 xOy 中，RtAOB 的直角顶点 B 在 y 轴上，点 A 的坐标为（1，） ，将 RtAOB 沿直线 yx 翻折，得到 RtAOB，过 A作 AC 垂直于 O
22、A交 y 轴于点 C，则点 C 的坐标为（ ） A （0，2） B （0，3） C （0，4） D （0，4） 【分析】依据轴对称的性质可得 OBOB，ABAB1，OAOA2，进而通过证得A OBCOA，求得 OC4，即可证得 C 的坐标为（0，4） 【解答】解：点 A 的坐标为（1，） ， AB1，OB， OA2， 将 RtAOB 沿直线 yx 翻折，得到 RtAOB， OBOB，ABAB1，OAOA2， A（，1） ， 过 A作 AC 垂直于 OA交 y 轴于点 C， AOC+ACO90， AOB+AOC90， ACOAOB， ABOOAC90， AOBOCA， ，即， OC4， C（0，
23、4） ， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11已知：ab，则 ab 6 【分析】直接化简二次根式进而得出 a，b 的值求出答案 【解答】解：原式3ab， 故 a3，b2， 则 ab6 故答案为：6 12对某条线段的长度进行了 3 次测量，得到 3 个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用 a 作为这条线 段长度的近似值，当 10.0mm 时，最小对另一条线段的长度进行了 n 次测量，得到 n 个结果（单位： mm）x1，x2，xn，若用 x 作为这条线段长度的近似值，当 x mm 时， （xx1）2+ （xx2）2+（xxn）2最小 【分析】构建二次函数，利用
24、二次函数的性质即可解决问题 【解答】解：设 y（a9.9）2+（a10.1）2+（a10.0）23a260.0a+300.02， a30，当 10.0mm 时， （xx1）2+（xx2）2+（xxn）2最小， 当 x10.0 时，y 有最小值， 设 w（xx1）2+（xx2）2+（xxn）2nx22（x1+x2+xn）x+（x12+x22+xn2） ， n0， 当 x时，w 有最小值 故答案为： 13在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx 与双曲线 y交于 A，B 两点若点 A，B 的纵坐标分别为 y1， y2，则 y1+y2的值为 0 【分析】联立方程组，可求 y1，y2的值，即可求解 【
25、解答】解：方法一、直线 yx 与双曲线 y交于 A，B 两点， 联立方程组得：， 解得：， y1+y20， 方法二、直线 yx 与双曲线 y交于 A，B 两点， 点 A，点 B 关于原点对称， y1+y20， 故答案为：0 14如图，已知ABCDCEGEF，三条对应边 BC、CE、EF 在同一条直线上，连接 BG，分别交 AC、DC、DE 于点 P、Q、K，其中 SPQC3，则图中三个阴影部分的面积和为 39 【分析】根据全等三角形对应角相等，可以证明 ACDEGF，再根据全等三角形对应边相等 BCCE EF，然后利用平行线分线段成比例定理求出 GF3PC，KE2PC，所以 PCDK，设DQK
26、 的边 DK 为 x，DK 边上的高为 h，表示出DQK 的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴 影部分的面积 【解答】解：ABCDCEGEF， ACBDECGFE，BCCEEF， ACDEGF， ， KE2PC，GF3PC， 又DKDEKE3PC2PCPC， DQKCQP（相似比为 1） 设DQK 的边 DK 为 x，DK 边上的高为 h， 则xh3，整理得 xh6， SBPCx2hxh6， S四边形CEKQ3x2h33xh336318315， SEFH3x2h3xh18， 三个阴影部分面积的和为：6+15+1839 故答案为：39 15如图，正方形 ABCD 的边长为 a
27、，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A，B 重合） ，DAM45，点 F 在 射线 AM 上， 且 AFBE， CF 与 AD 相交于点 G， 连接 EC、 EF、 EG 则下列结论： ECF45； AEG 的周长为（1+）a；BE2+DG2EG2；EAF 的面积的最大值是a2；当时 BE a，G 是线段 AD 的中点其中正确的结论是 【分析】正确如图 1 中，在 BC 上截取 BHBE，连接 EH证明FAEEHC（SAS）即可解决 问题 错误 如图 2 中， 延长 AD 到 H， 使得 DHBE， 则CBECDH （SAS） ， 再证明GCEGCH （SAS）即可解决问题 正确设 BEx，
28、则 AEax，AFx，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题 正确 当 BEa 时， 设 DGx， 则 EGx+a， 利用勾股定理构建方程可得 x0.5a 即可解决问题 【解答】解：如图 1 中，在 BC 上截取 BHBE，连接 EH BEBH，EBH90， EHBE， AFBE， AFEH， DAMEHB45，BAD90， FAEEHC135， BABC，BEBH， AEHC， FAEEHC（SAS） ， EFEC，AEFECB， ECH+CEB90， AEF+CEB90， FEC90， ECFEFC45，故正确， 如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DHBE，则CBECDH（SA
29、S） ， ECBDCH， ECHBCD90， ECGGCH45， CGCG，CECH， GCEGCH（SAS） ， EGGH， GHDG+DH，DHBE， EGBE+DG，故错误， AEG 的周长AE+EG+AGAE+AHAD+DH+AEAE+EB+ADAB+AD2a，故错误， 设 BEx，则 AEax，AFx， SAEF （ax）xx2+ax（x2ax+a2a2）（xa）2+a2， 0， xa 时，AEF 的面积的最大值为a2故正确， 当 BEa 时，设 DGx，则 EGx+a， 在 RtAEG 中，则有（x+a）2（ax）2+（a）2， 解得 x， AGGD，故正确， 故答案为： 三解答题
30、三解答题 16先化简，再求代数式（1）的值，其中 x4cos301 【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，把 x 的值代入得出答案 【解答】解：原式 ， x4cos3014121， 原式 17境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈如图是某国截止 5 月 31 日新冠病毒感染人数 的扇形统计图和折线统计图 根据上面图表信息，回答下列问题： （1） 截止 5 月 31 日该国新冠肺炎感染总人数累计为 20 万人，扇形统计图中 4059 岁感染人数对应 圆心角的度数为 72 ； （2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图； （3）在该国所有新冠肺炎感
31、染病例中随机地抽取 1 人，求该患者年龄为 60 岁或 60 岁以上的概率； （4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为 1%，2.75%，3.5%，10%，20%，求该国新冠 肺炎感染病例的平均死亡率 【分析】 （1）由 6079 岁人数及其所占百分比可得总人数，用 360乘以 4059 岁感染人数所占比例 即可； （2）根据各年龄段人数之和等于总人数求出 2039 岁的人数，从而补全图形； （3）用患者年龄为 60 岁或 60 岁以上的人数除以总人数即可； （4）根据加权平均数的定义列式计算即可 【解答】解： （1）截止 5 月 31 日该国新冠肺炎感染总人数累计为 945%20
32、（万人） ， 扇形统计图中 4059 岁感染人数对应圆心角的度数为 36072， 故答案为：20、72； （2）2039 岁的人数为 20（0.5+4+9+4.5）2（万人） ， 补全折线图如下： （3）该患者年龄为 60 岁或 60 岁以上的概率为； （4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为100% 10% 18如图，一艘船由 A 港沿北偏东 65方向航行 34km 到 B 港，然后再沿北偏西 42方向航行至 C 港，已 知 C 港在 A 港北偏东 20方向 （1）直接写出C 的度数； （2）求 A、C 两港之间的距离 （结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可） 【分析】 （1）根据两直线
33、平行，内错角相等即可得出答案； （2）由题意得，CAB652045，ACB42+2062，AB34，过 B 作 BEAC 于 E，解直角三角形即可得到答案 【解答】解： （1）如图，由题意得： ACB20+4262； （2）由题意得，CAB652045，ACB62，AB34， 过 B 作 BEAC 于 E，如图所示： AEBCEB90， 在 RtABE 中，EAB45， ABE 是等腰直角三角形， AB34， AEBEAB17， 在 RtCBE 中，ACB62，tanACB， CE， ACAE+CE17+， A，C 两港之间的距离为（17+）km 19某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型
34、设备，设备的生产成本为 10 万元/件 （1）如图，设第 x（0 x20）个生产周期设备售价 z 万元/件，z 与 x 之间的关系用图中的函数图象表 示求 z 关于 x 的函数解析式（写出 x 的范围） （2）设第 x 个生产周期生产并销售的设备为 y 件，y 与 x 满足关系式 y5x+40（0 x20） 在（1）的 条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润收入成本） 【分析】 （1）分别得出当 0 x12 时和当 12x20 时，z 关于 x 的函数解析式即可得出答案； （2）设第 x 个生产周期工厂创造的利润为 w 万元，当 0 x12 时，可得出 w 关于 x
35、的一次函数，根 据一次函数的性质可得相应的最大值；当 12x20 时，可得出 w 关于 x 的二次函数，根据二次函数 的性质可得相应的最大值取中较大的最大值即可 【解答】解： （1）由图可知，当 0 x12 时，z16， 当 12x20 时，z 是关于 x 的一次函数，设 zkx+b， 则 解得： zx+19， z 关于 x 的函数解析式为 z （2）设第 x 个生产周期工厂创造的利润为 w 万元， 当 0 x12 时，w（1610）（5x+40）30 x+240， 由一次函数的性质可知，当 x12 时，w最大值3012+240600（万元） ； 当 12x20 时， w（x+1910） （5
36、x+40） x2+35x+360 （x14）2+605， 因为0， 当 x14 时，w最大值605（万元） 综上所述，工厂第 14 个生产周期创造的利润最大，最大是 605 万元 20小云在学习过程中遇到一个函数 y|x|（x2x+1） （x2） 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当2x0 时，对于函数 y1|x|，即 y1x，当2x0 时，y1随 x 的增大而 减小 ，且 y1 0；对于函数 y2x2x+1，当2x0 时，y2随 x 的增大而 减小 ，且 y20；结合上述分析，进 一步探究发现，对于函数 y，当2x0 时，y 随 x 的增大而 减小 （2）当 x0 时，对于函数
37、y，当 x0 时，y 与 x 的几组对应值如下表： x 0 1 2 3 y 0 1 结合上表，进一步探究发现，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大在平面直角坐标系 xOy 中，画出当 x0 时的函数 y 的图象 （3）过点（0，m） （m0）作平行于 x 轴的直线 l，结合（1） （2）的分析，解决问题：若直线 l 与函数 y|x|（x2x+1） （x2）的图象有两个交点，则 m 的最大值是 【分析】 （1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可 （2）利用描点法画出函数图象即可 （3）观察图象可知，x2 时，m 的值最大 【解答】解： （1）当2x0 时，对于函数 y1|x|，即 y1x
38、，当2x0 时，y1随 x 的增大而减 小，且 y10；对于函数 y2x2x+1，当2x0 时，y2随 x 的增大而减小，且 y20；结合上述分析， 进一步探究发现，对于函数 y，当2x0 时，y 随 x 的增大而减小 故答案为：减小，减小，减小 （2）函数图象如图所示： （3）直线 l 与函数 y|x|（x2x+1） （x2）的图象有两个交点， 观察图象可知，x2 时，m 的值最大，最大值 m2（4+2+1）， 故答案为： 21古希腊数学家毕达哥拉斯认为： “一切平面图形中最美的是圆” 请研究如下美丽的圆如图，线段 AB 是O 的直径，延长 AB 至点 C，使 BCOB，点 E 是线段 OB
39、 的中点，DEAB 交O 于点 D，点 P 是 O 上一动点（不与点 A，B 重合） ，连接 CD，PE，PC （1）求证：CD 是O 的切线； （2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加 以证明 【分析】 （1）连接 OD、DB，由已知可知 DE 垂直平分 OB，则 DBDO，再由圆的半径相等，可得 DB DOOB，即ODB 是等边三角形，则BDO60，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可 得CDB30，从而可得ODC90，按照切线的判定定理可得结论； （2）连接 OP，先由已知条件得 OPOBBC2OE，再利用两组边成比例，夹角相等来证明OE
40、P OPC，按照相似三角形的性质得出比例式，则可得答案 【解答】解： （1）如图 1 中，连接 OD、DB， 点 E 是线段 OB 的中点，DEAB 交O 于点 D， DE 垂直平分 OB， DBDO，OEBE 解法一： 在O 中，DOOB， DBDOOB， ODB 是等边三角形， BDODBO60， BCOBBD，且DBE 为BDC 的外角， BCDBDCDBO DBO60， CDB30 ODCBDO+BDC60+3090， CD 是O 的切线； 解法二： BCOB，OBOD， ， 又DOECOD， EODDOC， CDODEO90， CD 为圆 O 的切线； （2）答：这个确定的值是 连接
41、 OP，如图 2 中： 由已知可得：OPOBBC2OE ， 又COPPOE， OEPOPC， 22希腊数学家帕普斯给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下： 建立平面直角坐标系，将已知锐角AOB 的顶点与原点 O 重合，角的一边 OB 与 x 轴正方向重合； 在平面直角坐标系中，绘制函数 y的图象，图象与已知角的另一边 OA 交于点 P； 以 P 为圆心，2OP 为半径作弧，交函数 y的图象于 R 点； 分别过点 P 和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线，两线相交于点 M、Q； 连接 OM，得到MOB，这时MOBAOB 根据以上材料解答下列问题： （1）设点 P 的坐标为（a，） ，点 R 的
42、坐标为（b，） ，则点 M 的坐标为 （b，） ； （2）求证：点 Q 在直线 OM 上； （3）求证：MOBAOB 【分析】 （1）由 PMx 轴，MRy 轴，P（a，） ，R（b，） ，即可得出 M 点的坐标； （2） 先求出直线 OM 解析式和点 Q 的坐标， 将点 Q 的坐标代入解析式即可判断点 Q 是否在直线 OM 上； （3）连接 PR，交 OM 于点 S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论 【解答】解： （1）PMx 轴，MRy 轴，P（a，） ，R（b，） ， M（b，） ， 故答案为： （b，） ； （2）由（1）得：Q（a，） ， 设 OM 的解析式为 ykx， ， k
43、， 直线 OM 的解析式为：yx， 当 xa 时，y， 点 Q 在直线 OM 上； （3）连接 PR，交 M 于点 D， 过 P，R 作 x，y 轴的平行线， 四边形 PQRM 为矩形， PDMD，PMQROB，PR2PD， MOBPMO，PDO2PMO， PDO2MOB， 又PR2PO， OPPD， POMPDO， POM2MOB， MOBAOB 23请完成下面的几何探究过程： （1）观察填空 如图 1，在 RtABC 中，C90，ACBC4，点 D 为斜边 AB 上一动点（不与点 A，B 重合） ，把 线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到线段 CE，连 DE，BE，则 CBE 的度数
44、为 45 ； 当 BE 2 时，四边形 CDBE 为正方形 （2）探究证明 如图 2，在 RtABC 中，C90，BC2AC4，点 D 为斜边 AB 上一动点（不与点 A，B 重合） ，把 线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90后并延长为原来的两倍到线段 CE，连 DE，BE，则： 在点 D 的运动过程中，请判断CBE 与A 的大小关系，并证明； 当 CDAB 时，求证：四边形 CDBE 为矩形 （3）拓展延伸 如图 2，在点 D 的运动过程中，若BCD 恰好为等腰三角形，请直接写出此时 AD 的长 【分析】 （1）由等腰直角三角形的性质得出AABC45，由旋转的性质得：ACDBCE， CDC
45、E，证明BCEACD，即可得出结果； 由得CBE45，求出DBEABC+CBE90，作 EMBC 于 M，则BEM 是等腰直角 三角形，证出CME 是等腰直角三角形，求出BEC90，证出四边形 CDBE 是矩形，再由垂直平分 线的性质得出 BECE，即可得出结论； （2）证明BCEACD，即可得出CBEA； 由垂直的定义得出ADCBDC90，由相似三角形的性质得出BECADC90，即可得 出结论； （3）存在两种情况：当 CDBD 时，证出 CDBDAD，由勾股定理求出 AB，即可得出结果； 当 BDBC4 时，得出 ADABBD24 即可 【解答】解： （1）ACB90，ACBC， AABC
46、45， 由旋转的性质得：ACDBCE，CDCE， 在BCE 和ACD 中， BCEACD（SAS） ， CBEA45； 故答案为：45； 当 BE2时，四边形 CDBE 是正方形；理由如下： 由得：CBE45， DBEABC+CBE90， 作 EMBC 于 M，如图所示： 则BEM 是等腰直角三角形， BE2， BMEM2， CMBCBM2， BMCMEM， CME 是等腰直角三角形， CEM45， BEC45+4590， 又ACB90， 四边形 CDBE 是矩形， 又EM 垂直平分 BC， BECE， 四边形 CDBE 是正方形； 故答案为：2； （2）CBEA，理由如下： 由旋转的性质得：BCEACD， BC2AC，CE2CD， 2， BCEACD， CBEA； CDAB， ADCBDC90， 由得：BCEACD， BECADC90， 又DCE90， 四边形 CDBE 是矩形； （3）在点 D 的运动过程中，若BCD 恰好为等腰三角形，存在两种情况： 当 CDBD 时，则DCBDBC， DBC+A90，ACD+DCB90， AACD， CDAD， CDBDAD， ADAB， AB2， AD； 当 BDBC4 时，ADABBD24； 综上所述：若BCD 恰好为等腰三角形，此时 AD 的长为或 24