1、2021 年浙江省杭州市余杭区中考数学冲刺试卷（一）年浙江省杭州市余杭区中考数学冲刺试卷（一） 一选择题（满分一选择题（满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1若|x|5，|y|2 且 x0，y0，则 x+y（ ） A7 B7 C3 D3 2在一个不透明的盒子中装有 4 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出 一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为（ ） A6 B8 C10 D12 3下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4如图是根据某班 40 名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的
2、 中位数，众数分别是（ ） A10.5，16 B8.5，16 C8.5，8 D9，8 5下列运算不正确的是（ ） Aa2a3a5 B （y3）4y12 C （2x）38x3 Dx3+x32x6 6代数式+中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx3 Cx2 且 x3 Dx2 且 x3 7 九章算术是中国传统数学最重要的著作，其中，方程术是九章算术最高的数学成就 九章算术 中记载： “今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数、鸡价各几何？”译文： “假设 有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱问： 有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少
3、？”设有 x 个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程，正确的 是（ ） A9x116x+16 B9x+116x16 C D 8如图，ABC 内接于O，弦 AB6，sinC，则O 的半径为（ ） A5 B10 C D 9a 是不为 2 的有理数，我们把称为 a 的“哈利数” 如：3 的“哈利数”是2，2 的“哈利 数”是，已知 a13，a2是 a1的“哈利数” ，a3是 a2的“哈利数” ，a4是 a3的“哈利数” ， 依此类推，则 a2019（ ） A3 B2 C D 10如图，点 E，F 分别为菱形 ABCD 的边 AD，CD 的中点，BEF 为等边三角形，BD 交 EF 于点 G，则 下列结
4、论正确的个数为（ ）ABD 是等边三角形；ABECBF；ABBE；DEG CBF A1 B2 C3 D4 二填空题（满分二填空题（满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11 （4 分）上海合作组织青岛峰会期间，为推进“一带一路”建设，中国决定在上海合作组织银行联合体 框架内，设立 300 亿元人民币等值专项贷款，将 300 亿元用科学记数法表示为 元 12 （4 分）已知 x2+，则代数式（74）x2+（2）x的值为 13 （4 分）已知圆锥的侧面展开的扇形面积是 24，扇形的圆心角是 60，则这个圆锥的底面圆的半径 是 14 （4 分）若式子+1 在实数范围内有意义，则 x 的取值
5、范围是 15 （4 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（0，2） ，B（，0） ，C（0，2） ，D（，0） ，则以 这四个点为顶点的四边形 ABCD 是 16 （4 分） 如图， 在 RtABC 中， C90， B30， AD 平分BAC， BD6， 则 CD 的长为 三解答题三解答题 17 （6 分）给出三个多项式：a2+3ab2b2，b23ab，ab+6b2请任请选择两个多项式进行加法运 算，并把结果分解因式 18 （8 分）众志成城抗击新型冠状病毒，某校积极开展网络课程，计划开设“我们一起战疫”系列五个课 程（用 A，B，C，D，E 表示） ，要求每位学生根据自己需要自主选择其中一个课
6、程（只选一个） ，为此， 随机调查了本校各年级部分学生选择课程的意向，并将调查结果绘制成如图的统计（不完整） 根据统计图中的信息回答下列问题： （1）求本校调查的学生总人数； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该共有 1000 名学生试估计全校选择 C 课程的学生人数 19 （8 分）如图，已知直线 y12x 经过点 P（2，a） ，点 P 关于 y 轴的对称点 P在反比例函数 y2 （k0）的图象上 （1）求点 P 的坐标； （2）求反比例函数的解析式，并直接写出当 y22 时自变量 x 的取值范围 20 （10 分）随着生活水平的提高，人们对饮用水品质的要求越来越高，某公司根据市场需求
7、代理 A，B 两 种型号的净水器，其中 A 型净水器每台的进价为 2000 元，B 型净水器每台的进价为 1800 元，该公司计 划购进 A，B 两种型号的净水器共 50 台进行试销，设购进 A 型净水器 x 台，购进这批净水器的总费用为 y 元 （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）已知购进这批净水器的总费用不超过 98000 元，试销时 A 型净水器每台售价 2500 元，B 型净水器 每台售价 2180 元，公司决定从销售 A 型净水器的利润中按每台捐献 a（a120）元作为公司帮扶贫困村 饮水改造资金， 若公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润不超过23000元， 求a
8、的取值范围 21 （10 分）如图所示，O 的直径 AB10cm，弦 AC6cm，ACB 的平分线交O 于点 D， （1）求证：ABD 是等腰三角形； （2）求 CD 的长 22 （12 分）已知：如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，DEB 的平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F， 且 ABBF，连接 DF （1）若 tanFDC，AD1，求 DF 的长； （2）求证：DEBE+CF 23 （12 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴负半轴于点 A、 B （点 A 在点 B 左边） ， 交 y 轴于点 C，OAOC4 （1）求抛物线解析式；
9、 （2）点 P 为对称轴右侧 x 轴下方的抛物线上一点，射线 AP 关于 x 轴对称图形（射线 AQ）交抛物线于 点 Q，若点 P 的横坐标为 t，点 Q 的横坐标为 d，求 d 与 t 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，射线 BQ、AP 分别交抛物线对称轴于点 D、E，过点 Q 作 x 轴的平行线 QF，在 对称轴左侧作DEF 交 QF 于点 F，DEF2BDE，QF+EF，连接 DF，求QDF 的度数 2021 年浙江省杭州市余杭区中考数学冲刺试卷（一）年浙江省杭州市余杭区中考数学冲刺试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（满分一选择题（满分 30 分，每小题分，
10、每小题 3 分）分） 1若|x|5，|y|2 且 x0，y0，则 x+y（ ） A7 B7 C3 D3 【分析】由绝对值的定义，得 x5，y2，再根据 x0，y0，确定 x、y 的具体对应值，最后代 入计算 x+y 的值 【解答】解：|x|5，|y|2， x5，y2， x0，y0， x5，y2， x+y3 故选：D 2在一个不透明的盒子中装有 4 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出 一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为（ ） A6 B8 C10 D12 【分析】首先设黄球的个数为 x 个，然后根据概率公式列方程即可求得答案 【解答】解：设黄球有 x 个，根据题
11、意，得： ， 解得：x8， 即黄球有 8 个， 故选：B 3下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； 故选：A 4如图是根据某班 40 名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的 中位数，众数分别是（ ） A10.5，16 B8.5，16 C8.5，8 D9，8
12、 【分析】根据中位数、众数的概念分别求解即可 【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组 数据的中位数是 9； 众数是一组数据中出现次数最多的数，即 8； 故选：D 5下列运算不正确的是（ ） Aa2a3a5 B （y3）4y12 C （2x）38x3 Dx3+x32x6 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及合并同类项的法则 逐一判断即可 【解答】解：Aa2a3a2+3a5，故本选项不合题意； B （y3）4y3 4y12，故本选项不合题意； C （2x）3（2）3x38x3，故本选项不合题意； Dx3+x3
13、2x3，故本选项符合题意 故选：D 6代数式+中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx3 Cx2 且 x3 Dx2 且 x3 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，2x0 且 x30， 解答 x2 且 x3， 所以，自变量 x 的取值范围是 x2 故选：A 7 九章算术是中国传统数学最重要的著作，其中，方程术是九章算术最高的数学成就 九章算术 中记载： “今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数、鸡价各几何？”译文： “假设 有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱问： 有几个人共
14、同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有 x 个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程，正确的 是（ ） A9x116x+16 B9x+116x16 C D 【分析】根据题意可得等量关系：9人数116人数+16，根据等量关系列出方程即可 【解答】解：设有 x 个人共同买鸡，根据题意得： 9x116x+16， 故选：A 8如图，ABC 内接于O，弦 AB6，sinC，则O 的半径为（ ） A5 B10 C D 【分析】过 B 作直径 BD，连接 AD，如图，根据圆周角定理和三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：过 B 作直径 BD，连接 AD，如图，则 BD3cm， BD 为直径， BAD90， DC，
15、 sinDsinC， AB6， BD10， O 的半径为 5， 故选：A 9a 是不为 2 的有理数，我们把称为 a 的“哈利数” 如：3 的“哈利数”是2，2 的“哈利 数”是，已知 a13，a2是 a1的“哈利数” ，a3是 a2的“哈利数” ，a4是 a3的“哈利数” ， 依此类推，则 a2019（ ） A3 B2 C D 【分析】分别求出数列的前 5 个数得出该数列每 4 个数为一周期循环，据此可得答案 【解答】解：a13， a22， a3， a4， a53， 该数列每 4 个数为一周期循环， 201945043， a2019a3， 故选：C 10如图，点 E，F 分别为菱形 ABCD
16、 的边 AD，CD 的中点，BEF 为等边三角形，BD 交 EF 于点 G，则 下列结论正确的个数为（ ）ABD 是等边三角形；ABECBF；ABBE；DEG CBF A1 B2 C3 D4 【分析】连接 AC 与 BD 交于点 O，设 BD 与 EF 交于 G，AC 与 BE 交于 H，则 ACBD，得 BD 是 EF 的垂直平分线，设 EGx，则 BE2x，BGx，根据BHOBEG 对应边成比例可得 AHBH， 进而可得ABD 是等边三角形； 根据菱形的性质，结合即可证明ABECBF； 结合，根据特殊角三角函数即可得结论； 结合，根据菱形的性质即可证明DEGCBF 【解答】解：如图，连接
17、AC，与 BD 交于点 O，设 BD 与 EF 交于 G，AC 与 BE 交于 H，则 ACBD， BEBF，EDDF， BD 是 EF 的垂直平分线， EGFG，EBGEBF30， RtBEG 中，设 EGx， 则 BE2x，BGx， 点 E，F 分别为菱形 ABCD 的边 AD，CD 的中点， EGAO，E 为 AD 的中点， G 是 OD 的中点， AO2EG2x，ODOB2OGBGx， OHGE， BHOBEG， ， ， OHx，BHx， AHAOOH2xxx， AHBH， HABABH， BHCHAB+ABH60， HABABH30， BAD60， ABD 是等边三角形， 所以正确；
18、 ADBC， ABC+BAD180， ABC18060120， ABE30，EBF60， CBF120603030， ABECBF， 所以正确； ABE30，BAE60， AEB90， 在 RtABE 中，cos30， ABBE， 所以错误； 由知，ABECBF30， 四边形 ABCD 是菱形， AC， DEGCBF， 所以正确 所以结论正确有 故选：C 二填空题（满分二填空题（满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11 （4 分）上海合作组织青岛峰会期间，为推进“一带一路”建设，中国决定在上海合作组织银行联合体 框架内，设立 300 亿元人民币等值专项贷款，将 300 亿元用科学记
19、数法表示为 31010 元 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10， n 为整数， 据此判断即可 【解答】解：300 亿元31010元 故答案为：31010 12 （4 分）已知 x2+，则代数式（74）x2+（2）x的值为 2 【分析】将 x2+代入代数式（74）x2+（2）x，先利用完全平方公式和平方差公式 化简计算，再进行实数的混合运算即可得出答案 【解答】解：x2+， （74）x2+（2）x （74） （2+）2+（2） （2+） （74） （7+4）+（43） 4948+1 2 故答案为：2 13 （4 分）已知圆锥的侧面展开的扇形面积是
20、24，扇形的圆心角是 60，则这个圆锥的底面圆的半径是 2 【分析】设扇形的半径为 r，圆锥的底面半径为 R利用扇形的面积公式求出 r，再根据扇形的弧长圆 锥底面圆的周长，构建方程求出 R 即可 【解答】解：设扇形的半径为 r，圆锥的底面半径为 R 由题意，24， 解得 r12 或12（舍弃） ， 扇形的弧长圆锥底面圆的周长， 2R， R2， 故答案为：2 14 （4 分）若式子+1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零 【解答】解：式子+1 在实数范围内有意义， x10，解得：x1 故答案为：x1 15 （4 分）在平面直角坐标系中，已知点
21、A（0，2） ，B（，0） ，C（0，2） ，D（，0） ，则以 这四个点为顶点的四边形 ABCD 是 菱形 【分析】由 A（0，2） ，B（，0） ，C（0，2） ，D（，0） ，可得 OAOC，OBOD，AC BD，即可判定四边形 ABCD 是菱形 【解答】解：A（0，2） ，B（，0） ，C（0，2） ，D（，0） ， OAOC，OBOD，ACBD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD 是菱形 故答案为：菱形 16 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，B30，AD 平分BAC，BD6，则 CD 的长为 3 【分析】由角平分线的定义得到BADCAD30，结合已知条件和对角对
22、等边推知 ADBD6， 所以在含有 30 度角的直角ACD 中来求 CD 的长度即可 【解答】解：在 RtABC 中，C90，B30， BAC60， 又 AD 平分BAC， BADCAD30， BADB30， ADBD6， CDAD3， 故答案是：3 三解答题三解答题 17 （6 分）给出三个多项式：a2+3ab2b2，b23ab，ab+6b2请任请选择两个多项式进行加法运 算，并把结果分解因式 【分析】任选两式利用整式的加减运算合并同类项，再利用公式法分解因式即可 【解答】解：+得：a2+3ab2b2+b23aba2b2（a+b） （ab） +得：a2+3ab2b2+ab+6b2a2+4ab
23、+4b2（a+2b）2 +得：b23ab+ab+6b27b22abb（7b2a）. 18 （8 分）众志成城抗击新型冠状病毒，某校积极开展网络课程，计划开设“我们一起战疫”系列五个课 程（用 A，B，C，D，E 表示） ，要求每位学生根据自己需要自主选择其中一个课程（只选一个） ，为此， 随机调查了本校各年级部分学生选择课程的意向，并将调查结果绘制成如图的统计（不完整） 根据统计图中的信息回答下列问题： （1）求本校调查的学生总人数； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该共有 1000 名学生试估计全校选择 C 课程的学生人数 【分析】 （1）根据条形图和扇形图中选课程 B 的情况，计算出
24、被调查的学生人数； （2）先计算出调查学生中选修课程 D、A 的学生人数，再补全条形图； （3）先计算出选修课程 C 的人数占调查学生的百分比，再估计全校学生选择课程 C 的学生人数 【解答】解： （1）由条形图、扇形图知，调查学生中选课程 B 的有 70 人，占调查人数的 35%， 所以本校调查的总人数为：7035%200（人） 答：本校调查的学生总人数为 200 人 （2）调查学生中：选课程 D 的人数为 20010%20（人） ， 选课程 A 的人数为 2007040201060（人） 补全的条形统计图如图所示： （3）调查学生中，选课程 C 的学生占调查学生的比为：4020020%，
25、所以估计全校学生中选择课程 C 的人数为：100020%200（人） 19 （8 分）如图，已知直线 y12x 经过点 P（2，a） ，点 P 关于 y 轴的对称点 P在反比例函数 y2 （k0）的图象上 （1）求点 P 的坐标； （2）求反比例函数的解析式，并直接写出当 y22 时自变量 x 的取值范围 【分析】 （1）利用待定系数法把 P（2，a）代入函数关系式 y12x 中即可求出 P 点坐标， （2）根据关于 y 轴对称的点的坐标特点得到 P的坐标，利用待定系数法把 P的坐标代入反比例函数 y2 （k0）中，即可算出 k 的值，进而可得到反比例函数关系式，结合图象可以直接写出答案 【解
26、答】解： （1）将 M（2，a）代入 y2x 中得：a2（2）4， P（2，4） ， （2）P（2，4） ， P（2，4） ， 将（2，4）代入 y中得：k8 反比例函数的解析式为 y， 由图象得：当 y22 时自变量 x 的取值范围：x0 或 x4 20 （10 分）随着生活水平的提高，人们对饮用水品质的要求越来越高，某公司根据市场需求代理 A，B 两 种型号的净水器，其中 A 型净水器每台的进价为 2000 元，B 型净水器每台的进价为 1800 元，该公司计 划购进 A，B 两种型号的净水器共 50 台进行试销，设购进 A 型净水器 x 台，购进这批净水器的总费用为 y 元 （1）求 y
27、 关于 x 的函数关系式； （2）已知购进这批净水器的总费用不超过 98000 元，试销时 A 型净水器每台售价 2500 元，B 型净水器 每台售价 2180 元，公司决定从销售 A 型净水器的利润中按每台捐献 a（a120）元作为公司帮扶贫困村 饮水改造资金， 若公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润不超过23000元， 求a的取值范围 【分析】 （1）根据题意即可得出 y 关于 x 的函数关系式； （2） 根据题意可以求得x的取值范围和利润与x的函数关系式， 然后根据一次函数的性质即可解答本题 【解答】解： （1）根据题意得：y2000 x+1800（50 x）200 x+900
28、00； （2）200 x+9000098000， 解得：x40， 设公司售完 50 台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为 w 元， 则 w（25002000a）x+（21801800） （50 x）（120a）x+19000， a120， 120a0，w 随 x 的增大而增大， 当 x40 时，w 取得最大值， 40（120a）+1900023000， 解得：a20， a 的取值范围是 20a120 21 （10 分）如图所示，O 的直径 AB10cm，弦 AC6cm，ACB 的平分线交O 于点 D， （1）求证：ABD 是等腰三角形； （2）求 CD 的长 【分析】 （1）连接 OD，根据角
29、平分线的定义得到ACDBCD，根据圆周角定理，等腰三角形的定 义证明； （2）作 AECD 于 E，根据等腰直角三角形的性质求出 AD，根据勾股定理求出 AE、CE，DE，结合图 形计算，得到答案 【解答】 （1）证明：连接 OD， AB 为O 的直径， ACB90， CD 是ACB 的平分线， ACDBCD45， 由圆周角定理得，AOD2ACD，BOD2BCD， AODBOD， DADB，即ABD 是等腰三角形； （2）解：作 AECD 于 E， AB 为O 的直径， ADB90， ADAB5， AECD，ACE45， AECEAC3， 在 RtAED 中，DE4， CDCE+DE3+47
30、22 （12 分）已知：如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，DEB 的平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F， 且 ABBF，连接 DF （1）若 tanFDC，AD1，求 DF 的长； （2）求证：DEBE+CF 【分析】 （1）首先根据 tanFDC，则，设 FCx，DC2x，利用 ABBF 即可得出 FC， DC 的长，进而利用勾股定理得出即可； （2）利用角平分线的性质以及直角三角形的判定方法得出 BENE，FCDN，进而得出答案 【解答】 （1）解：tanFDC， ，设 FCx，DC2x， ABBF，AD1， 2x1+x， 解得：x1， FC1，DC2， DF 的长为
31、：； （2）证明：过点 F 作 FNDE 于点 N， DEB 的平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F，FNDE，FBAB， FNFB（角平分线上的点到角的两边距离相等） ， 在 RtFEN 和 RtFEB 中 ， RtFENRtFEB（HL） ， NEBE， 在 RtFDN 和 RtDFC 中 ， RtFDNRtDFC（HL） ， FCDN， DENE+DNBE+CF 23 （12 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴负半轴于点 A、 B （点 A 在点 B 左边） ， 交 y 轴于点 C，OAOC4 （1）求抛物线解析式； （2）点 P 为对称轴右侧
32、x 轴下方的抛物线上一点，射线 AP 关于 x 轴对称图形（射线 AQ）交抛物线于 点 Q，若点 P 的横坐标为 t，点 Q 的横坐标为 d，求 d 与 t 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，射线 BQ、AP 分别交抛物线对称轴于点 D、E，过点 Q 作 x 轴的平行线 QF，在 对称轴左侧作DEF 交 QF 于点 F，DEF2BDE，QF+EF，连接 DF，求QDF 的度数 【分析】 （1）根据所告诉的等量关系求出 A、C 坐标，再将坐标代入解析式即可求出 b、c 的值，从而可 得二次函数的解析式； （2）先表示 P 和 Q 的坐标，由对称的性质可知：PAHQAG，根据三角函数列比例式
33、化简整理即 可得到 d 与 t 关系式 （3）构造全等形，将QDF 转化成DFN 计算 【解答】解： （1）OAOC4， A（4，0） ，C（0，4） ， 将 A（4，0） ，C（0，4）代入 yx2+bx+c 中，得， 解得 b5，c4， yx25x4； （2）如图 1，作 QGx 轴于点 G，作 PHx 轴于点 H， tanPAO，tanQAO， PAOQAO， ， 点 P 的横坐标为 t，点 Q 的横坐标为 d， P（t，t25t4） ，Q（d，d25d4） ， 则 PHt2+5t+4，AHt+4，QGd25d4，AGd+4， ，即， t+1d1， dt2； （3）如图 2，连接 BD，
34、 DEx 轴于点 M， AME90， 抛物线的对称轴：x， AM4， 由（2）知：tanEAMt+1， 在 RtAME 中，tanEAM， MEAMtanEAM（t+1） ， 在 RtDBM 中，tanDBM， DMBMtanDBM（2t） ， DM+EMQF+EF， 设BDE，则DEF2， 作 FNDQ 于点 N， 在FQN 中，NFQ+NQF90， 设 DE 交 FQ 于点 T FQx 轴， DTFDMA90， 在DQT 中，TDQ+NQF90， NFQBDE， 在EFT 中，EFT902，EFKEFT+NFQ902+90， 在EFK 中，EKF180FEKEFK1802（90）90， EFKEKF， EFEK， DKFQ， FQNDKN， （SAS） FNDN， QDFDFN45