1、2020-2021 学年江苏省泰州市姜堰区四校联考九年级（下）月考数学试卷学年江苏省泰州市姜堰区四校联考九年级（下）月考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 12 的绝对值是（ ） A2 B C2 D2 2下列式子正确的是（ ） A2xx2 B （ab2）3ab8 Caa4a5 D （a+b）2（a+b）2 3估计+1 的值在（ ） A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 4分式方程0 的解是（ ） A1 B1 C1 D无解 5若 ab 成立，则下列不等式成立的是（ ） Aab
2、 Ba+1b+1 C（a1）（b1） Da1b1 6如图，将直线 yx 向下平移 b 个单位长度后得到直线 l，l 与反比例函数 y（k0，x0）的图象相 交于点 A，与 x 轴相交于点 B，若 OA2OB220，则 k 的值是（ ） A15 B5 C20 D10 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 7若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是 8 “一带一路”是国家的发展战略，计划用 10 年左右的时间，使中国同沿线国家的年贸易额突破 25000 亿 美元把 25000 用科学记数法表示为 9在2、，22、0 中，是无理数的有
3、 个 10写出不等式 5x+33（2+x）所有的非负整数解 11若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个实数根，则 k 的取值范围是 12已知 x、y 满足，则代数式 4x2y2的值为 13已知一个扇形的半径为 R，圆心角为 n，当这个扇形的面积与一个直径为 R 的圆的面积相等时，此时 n 14已知三个数据 3，x+3，3x 的方差为，则 x 15抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论： a，b 同号；当 x1 和 x3 时，函数值相同；4a+b0；当 y2 时，x 的值只能取 0； 其中正确的个数是（填序号） 16如图，在 RtABC 中，ACB90，AB2
4、，点 D 为线段 AB 的中点，将线段 BC 绕点 B 顺时针旋转 90，得到线段 BE，连接 DE，则 DE 最大值是 三、解答题三、解答题 17 （12 分） （1）计算：； （2）解方程：1 18 （8 分）先化简，再求值： （），其中 x 满足 x22x20 19 （8 分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学 生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科 类、 小说类、 生活类” 中选择自己喜欢的一类， 根据调查结果绘制了统计图 （未完成） ， 请根据图中信息， 解答下列问题： （1）此次共调
5、查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）图 2 中“小说类”所在扇形的圆心角为 度； （4）若该校共有学生 2000 人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数 20 （8 分）小明登陆泰微课学习页面后，发现推荐的数学微课有四个，其中有两个等级为 A，另外两个等 级为 B，如果小明点击微课学习是随机的，且每个微课只点击学习一次 （1）求小明第一次点击学习的微课等级为 A 的概率； （2）如果小明第一次点击的微课等级为 A，小明继续点击学习两次，利用树状图或表格求三次点击学习 中有两个等级为 A 的概率 21 （10 分）某商店在 2016 年至 2018 年期间销售一种礼盒2016
6、年，该商店用 3500 元购进了这种礼盒并 且全部售完；2018 年，这种礼盒的进价比 2016 年下降了 11 元/盒，该商店用 2400 元购进了与 2016 年相 同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为 60 元/盒 （1）2016 年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 22 （10 分） 给出： BE 平分ABC； CDAB； CFECEF， 从中选择两个填在下面的文字 “且” 之后，再将剩余的一个作为结论填在“则”后面，构成一个命题判断命题是否正确，并说明理由 如图，RtABC 中，ACB90，D、E 分别在边 AB
7、、AC 上，且 ，则 23 （10 分）如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OPAD，OP 与 AB 的延长线交于点 P，过 B 点的 切线交 OP 于点 C （1）求证：CBPADB； （2）若 OA4，AB2，求线段 BP 的长 24 （10 分）如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与 地面的夹角，使其由 45改为 30已知原传送带 AB 长为 4 米 （1）求新传送带 AC 的长度； （2）如果需要在货物着地点 C 的左侧留出 2 米的通道，试判断距离 B 点 4 米的货物 MNQP 是否需要挪 走，并说明理由 （说明： （1） （2）的
8、计算结果精确到 0.1 米，参考数据：1.41，1.73， 2.24，2.45） 25 （12 分）甲、乙两车分别从 A 地将一批物品运往 B 地，再返回 A 地，图中表示两车离 A 地的距离 s（千 米）随时间 t（小时）变化的图象，已知乙车到达 B 地后以 30 千米/小时的速度返回请根据图象中的数 据回答： （1）乙车出发多长时间后追上甲车？ （2）甲车与乙车在距离 A 地多远处迎面相遇？ （3）甲车从 B 地返回的速度多大时，才能比乙车先回到 A 地？ 26 （14 分）如图，直线 l：y3x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，抛物线 yax22ax3a（a0） 经过点
9、B （1）求该抛物线的函数表达式； （2） 已知点 M 是抛物线上的一个动点， 并且点 M 在第一象限内， 连接 AM、 BM， 设点 M 的横坐标为 m， ABM 的面积为 S，求 S 与 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当 S 取得最大值时，动点 M 相应的位置记为点 M将直线 l 绕点 A 按顺时针 方向旋转得到直线 l，当直线 l与直线 AM重合时停止旋转，在旋转过程中，直线 l与线段 BM 交于点 C，设点 B、M到直线 l的距离分别为 d1、d2，当 d1+d2最大时，求直线 l旋转的角度（即 BAC 的度数） 2020-2021 学年江苏省泰州市
10、姜堰区四校联考九年级（下）月考数学试卷学年江苏省泰州市姜堰区四校联考九年级（下）月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 12 的绝对值是（ ） A2 B C2 D2 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案 【解答】解：2 的绝对值是 2 故选：D 2下列式子正确的是（ ） A2xx2 B （ab2）3ab8 Caa4a5 D （a+b）2（a+b）2 【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可作出判断； B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
11、C、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断； D、原式利用完全平方公式判断即可 【解答】解：A、原式x，不符合题意； B、原式a3b6，不符合题意； C、原式a5，符合题意； D、 （a+b）2（ab）2（a+b）2，不符合题意， 故选：C 3估计+1 的值在（ ） A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 【分析】直接利用 23，进而得出答案 【解答】解：23， 3+14， 故选：B 4分式方程0 的解是（ ） A1 B1 C1 D无解 【分析】根据解分式方程的步骤计算可得 【解答】解：两边都乘以 x+1，得：x210， 解得：x1 或 x
12、1， 当 x1 时，x+10，是方程的解； 当 x1 时，x+10，是方程的增根，舍去； 所以原分式方程的解为 x1， 故选：B 5若 ab 成立，则下列不等式成立的是（ ） Aab Ba+1b+1 C（a1）（b1） Da1b1 【分析】根据不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边 乘或除以一个负数，不等号的方向改变可知 【解答】解：A、不等式 ab 两边都乘1，不等号的方向不变，不等式不成立，不符合题意； B、不等式 ab 两边都乘1，不等号的方向改变，都加 1，不等号的方向不变，不等式不成立，不符合 题意； C、不等式 ab 两边都减 1，不等号的方
13、向不变，都乘1，不等号的方向改变，不等式不成立，不符合 题意； D、不等式 ab 两边都减 1，不等号的方向不变，不等式成立，符合题意； 故选：D 6如图，将直线 yx 向下平移 b 个单位长度后得到直线 l，l 与反比例函数 y（k0，x0）的图象相 交于点 A，与 x 轴相交于点 B，若 OA2OB220，则 k 的值是（ ） A15 B5 C20 D10 【分析】先利用函数图象“上加下减”的平移规律，得出直线 l 的方程为 yxb，与反比例函数联立消 去 y 后，得到关于 x 的方程，整理后得到 x2bx+k，并令直线 l 方程中 y0，求出 x 的值，确定出 B 的 坐标，得出 OB2
14、，设出 A 的坐标，利用勾股定理表示出 OA2，化简 OA2OB22k，由 OA2OB220， 即可求出 k 的值 【解答】解：直线 yx 向下平移 b 个单位后得直线 l：yxb， B（b，0） ， l 与反比例函数 y（k0，x0）的图象相交于点 A， xb，则 x2bxk0 x2bx+k 设点 A 的坐标为（x，xb） ， OA2OB2x2+（xb）2b22x22bx2（bx+k）2bx2k，OA2OB220， 2k20， k10 故选：D 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 7若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是
15、x3 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可 【解答】解：代数式有意义， x+30，即 x3 故答案为：x3 8 “一带一路”是国家的发展战略，计划用 10 年左右的时间，使中国同沿线国家的年贸易额突破 25000 亿 美元把 25000 用科学记数法表示为 2.5104 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 25000 用科学记数法
16、表示为 2.5104 故答案为：2.5104 9在2、，22、0 中，是无理数的有 2 个 【分析】根据无理数的定义求解即可 【解答】解：在2、，22、0 中，是无理数的有 ，共 2 个 故答案为：2 10写出不等式 5x+33（2+x）所有的非负整数解 0，1 【分析】求出不等式的解集，找出解集中的非负整数解即可 【解答】解：不等式 5x+33（2+x） ， 去括号得：5x+36+3x， 移项合并得：2x3， 解得：x， 则不等式的所有非负整数解为：0，1 故答案为：0，1 11若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个实数根，则 k 的取值范围是 k1 且 k0 【分析】首先利用
17、根的判别式b24ac4+4k0，根据一元二次方程的意义得出 k0，两者结合得 出答案即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个实数根， b24ac4+4k0，k0， 解得：k1 且 k0 故答案为：k1 且 k0 12已知 x、y 满足，则代数式 4x2y2的值为 7.5 【分析】方程组整理求出 2x+y 与 2xy 的值，原式利用平方差公式化简，将各自的值代入计算即可求出 值 【解答】解：方程组整理得：， 则原式（2x+y） （2xy）7.5 故答案为：7.5 13已知一个扇形的半径为 R，圆心角为 n，当这个扇形的面积与一个直径为 R 的圆的面积相等时，此时 n
18、90 【分析】根据扇形和圆的面积公式列方程即可得到结论 【解答】解：根据题意得： （）2， 解得：n90， 故答案为 90 14已知三个数据 3，x+3，3x 的方差为，则 x 1 【分析】先由平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再代入方差公式进行计算，即可求出 x 的值 【解答】解：这三个数的平均数是： （3+x+3+3x）33， 则方差是：（33）2+（x+33）2+（3x3）2， 解得：x1； 故答案为：1 15抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论： a，b 同号；当 x1 和 x3 时，函数值相同；4a+b0；当 y2 时，x 的值只能取 0； 其中正确的个数
19、是（填序号） 【分析】根据图象与 x 轴交点坐标，即可得出此函数的对称轴，再利用二次函数的性质到对称轴距离相 等得出对应函数值相等，以及利用图象解答即可 【解答】解：根据图象可以得出：图象与 x 轴交点坐标为（1，0） ， （5，0） ， 故此函数的对称轴为：直线 x2， 对称轴为直线 x2，经过 x 轴正半轴，a，b 异号，故此选项错误； x1 和 x3 到对称轴距离相等，当 x1 和 x3 时，函数值相同，故此选项正确； 2，b4a，则 4a+b0，故此选项正确； 当 y2 时，对应两个 x 值，利用图象可得，此选项错误 故答案为： 16如图，在 RtABC 中，ACB90，AB2，点 D
20、 为线段 AB 的中点，将线段 BC 绕点 B 顺时针旋转 90，得到线段 BE，连接 DE，则 DE 最大值是 【分析】将线段 BD 绕点 B 顺时针旋转 90，得到线段 BP，连接 PE，PD，证明CBDEBP，可得 PEDB1，DP，根据 PD+PEDE，即可得出 DE 的最大值 【解答】解：如图，将线段 BD 绕点 B 顺时针旋转 90，得到线段 BP，连接 PE，PD， 则 DBPB，DBP90， 将线段 BC 绕点 B 顺时针旋转 90，得到线段 BE， BCBE，CBE90， CBDEBP， CBDEBP（SAS） ， PEDB， 在 RtABC 中，ACB90，AB2，点 D
21、为线段 AB 的中点， DBCDAB1， PE1，PB1， DP， PD+PEDE， DE+1， DE 最大值为+1， 故答案为：+1 三、解答题三、解答题 17 （12 分） （1）计算：； （2）解方程：1 【分析】 （1）根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的定义以及特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）先去分母把分式方程化成整式方程，再求出整式方程的解，然后再检验即可 【解答】解： （1）； 3+12+1 3+1+1 3； （2）方程两边同乘（x3）得：3xx3+1， 解得：x1， 经检验，x1 是原方程的解， 原方程的解为 x1 18 （8 分）先化简，再求值： （），其中 x 满足
22、 x22x20 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由 x22x20 得 x22x+22（x+1） ， 整体代入计算可得 【解答】解：原式 ， x22x20， x22x+22（x+1） ， 则原式 19 （8 分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学 生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科 类、 小说类、 生活类” 中选择自己喜欢的一类， 根据调查结果绘制了统计图 （未完成） ， 请根据图中信息， 解答下列问题： （1）此次共调查了 200 名学生； （2）将条形统计图补充完整；
23、 （3）图 2 中“小说类”所在扇形的圆心角为 126 度； （4）若该校共有学生 2000 人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数 【分析】 （1）根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数； （2）根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数； （3）根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数； （4） 利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比， 从而求出喜欢社科类书籍的学生人数； 【解答】解： （1）喜欢文史类的人数为 76 人，占总人数的 38%， 此次调查的总人数为：7638%200 人， 故答案为：200； （2）喜欢生活类书籍的人数占总人数
24、的 15%， 喜欢生活类书籍的人数为：20015%30 人， 喜欢小说类书籍的人数为：20024763070 人， 如图所示： （3）喜欢社科类书籍的人数为：24 人， 喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：100%12%， 喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%15%38%12%35%， 小说类所在圆心角为：36035%126； （4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的 12%， 该校共有学生 2000 人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：200012%240 人 20 （8 分）小明登陆泰微课学习页面后，发现推荐的数学微课有四个，其中有两个等级为
25、A，另外两个等 级为 B，如果小明点击微课学习是随机的，且每个微课只点击学习一次 （1）求小明第一次点击学习的微课等级为 A 的概率； （2）如果小明第一次点击的微课等级为 A，小明继续点击学习两次，利用树状图或表格求三次点击学习 中有两个等级为 A 的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得 【解答】解： （1）小明第一次点击学习的微课等级为 A 的概率为； （2）画树状图如下： 由树状图知，共有 6 种等可能结果，其中三次点击学习中有两个等级为 A 的有 4 种结果， 三次点击学习中有两个等级为 A
26、 的概率为 21 （10 分）某商店在 2016 年至 2018 年期间销售一种礼盒2016 年，该商店用 3500 元购进了这种礼盒并 且全部售完；2018 年，这种礼盒的进价比 2016 年下降了 11 元/盒，该商店用 2400 元购进了与 2016 年相 同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为 60 元/盒 （1）2016 年这种礼盒的进价是多少元/盒？ （2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 【分析】 （1）设 2016 年这种礼盒的进价为 x 元/盒，则 2018 年这种礼盒的进价为（x11）元/盒，根据 2016 年花 3500 元与 2018
27、年花 2400 元购进的礼盒数量相同，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验 后即可得出结论； （2） 设年增长率为 a， 根据数量总价单价求出 2016 年的购进数量， 再根据 2018 年的销售利润 （1+ 增长率）22018 年的销售利润，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）设 2016 年这种礼盒的进价为 x 元/盒，则 2018 年这种礼盒的进价为（x11）元/盒， 根据题意得：， 解得：x35， 经检验，x35 是原方程的解 答：2016 年这种礼盒的进价是 35 元/盒 （2）设年增长率为 a， 2016 年的销售数量为 350035100（
28、盒） 根据题意得： （6035）100（1+a）2（6035+11）100， 解得：a0.220%或 a2.2（不合题意，舍去） 答：年增长率为 20% 22 （10 分） 给出： BE 平分ABC； CDAB； CFECEF， 从中选择两个填在下面的文字 “且” 之后，再将剩余的一个作为结论填在“则”后面，构成一个命题判断命题是否正确，并说明理由 如图，RtABC 中，ACB90，D、E 分别在边 AB、AC 上，且 BE 平分ABC，CDAB ，则 CFECEF 【分析】根据题意写出已知和求证，根据角平分线的定义、直角三角形的性质证明即可 【解答】解：如图，RtABC 中，ACB90，D、
29、E 分别在边 AB、AC 上，且 BE 平分ABC，CD AB，则CFECEF， 证明：BE 平分ABC， CBEABE， ACB90， CBE+CEF90， CDAB， ABE+BFD90， CEFBFD， CFEBFD， CFECEF 故答案为：BE 平分ABC，CDAB；CFECEF 23 （10 分）如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OPAD，OP 与 AB 的延长线交于点 P，过 B 点的 切线交 OP 于点 C （1）求证：CBPADB； （2）若 OA4，AB2，求线段 BP 的长 【分析】 （1） 连接 OB， 如图， 根据圆周角定理得到ABD90， 再根据切线的性质
30、得到OBC90， 然后利用等量代换进行证明； （2）证明AOPABD，然后利用相似比求 BP 的长 【解答】 （1）证明：连接 OB，如图， AD 是O 的直径， ABD90， A+ADB90， BC 为切线， OBBC， OBC90， OBA+CBP90， 而 OAOB， AOBA， CBPADB； （2）解：OPAD， POA90， P+A90， PD， AOPABD， ，即， BP14 24 （10 分）如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与 地面的夹角，使其由 45改为 30已知原传送带 AB 长为 4 米 （1）求新传送带 AC 的长度； （
31、2）如果需要在货物着地点 C 的左侧留出 2 米的通道，试判断距离 B 点 4 米的货物 MNQP 是否需要挪 走，并说明理由 （说明： （1） （2）的计算结果精确到 0.1 米，参考数据：1.41，1.73， 2.24，2.45） 【分析】 （1）过 A 作 BC 的垂线 AD在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边， 进而在 RtACD 中，求出 AC 的长 （2）通过解直角三角形，可求出 BD、CD 的长，进而可求出 BC、PC 的长然后判断 PC 的值是否大于 2 米即可 【解答】解： （1）如图，作 ADBC 于点 D RtABD 中， ADABsin4542 在
32、RtACD 中， ACD30， AC2AD45.6 即新传送带 AC 的长度约为 5.6 米； （2）结论：货物 MNQP 应挪走 解：在 RtABD 中，BDABcos4542 在 RtACD 中，CDACcos302 CBCDBD222（）2.1 PCPBCB42.11.92， 货物 MNQP 应挪走 25 （12 分）甲、乙两车分别从 A 地将一批物品运往 B 地，再返回 A 地，图中表示两车离 A 地的距离 s（千 米）随时间 t（小时）变化的图象，已知乙车到达 B 地后以 30 千米/小时的速度返回请根据图象中的数 据回答： （1）乙车出发多长时间后追上甲车？ （2）甲车与乙车在距离
33、 A 地多远处迎面相遇？ （3）甲车从 B 地返回的速度多大时，才能比乙车先回到 A 地？ 【分析】 （1）设甲车由 A 地前往 B 地的函数解析式为 skt，将（2，60）可求得 k 的值，然后将 s30 代入函数解析式可求得乙车追上甲车时甲行驶的时间； （2）先求得乙车返回时函数的解析式，然后再求得两个函数的交点坐标即可； （3）先求得乙车的总时间，然后再求得甲车返回所用的时间，最后，根据速度路程时间求解即可 【解答】解： （1）由图知，可设甲车由 A 地前往 B 地的函数解析式为 skt，将（2，60）代入，解得 k 30，所以 s30t 由图可知，在距 A 地 30 千米处，乙车追上甲
34、车， 所以当 s30 千米时，t1（小时） 10.50.5（小时） 即乙车出发 0.5 小时后追上甲车 （2）由图知，可设乙车由 A 地前往 B 地函数的解析式为 spt+m， 将（0.5，0）和（1，30）代入，得， 解得，所以 s60t30 当乙车到达 B 地时，s60 千米代入 s60t30，得 t1.5 小时， 又设乙车由 B 地返回 A 地的函数的解析式为 s30t+n， 将（1.5，60）代入，得 60301.5+n，解得 n105， 所以 s30t+105， 当甲车与乙车迎面相遇时，有30t+10530t， 解得 t1.75 小时代入 s30t，得 s52.5 千米， 即甲车与乙
35、车在距离 A 地 52.5 千米处迎面相遇； （3）当乙车返回到 A 地时，有30t+1050，解得 t3.5 小时， 甲车要比乙车先回到 A 地，速度应大于40（千米/小时） 26 （14 分）如图，直线 l：y3x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，抛物线 yax22ax3a（a0） 经过点 B （1）求该抛物线的函数表达式； （2） 已知点 M 是抛物线上的一个动点， 并且点 M 在第一象限内， 连接 AM、 BM， 设点 M 的横坐标为 m， ABM 的面积为 S，求 S 与 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当 S 取得最大值时，动点 M
36、 相应的位置记为点 M将直线 l 绕点 A 按顺时针 方向旋转得到直线 l，当直线 l与直线 AM重合时停止旋转，在旋转过程中，直线 l与线段 BM 交于点 C，设点 B、M到直线 l的距离分别为 d1、d2，当 d1+d2最大时，求直线 l旋转的角度（即 BAC 的度数） 【分析】 （1）利用直线 l 的解析式求出 B 点坐标，再把 B 点坐标代入二次函数解析式即可求出 a 的值； （2）设 M 的坐标为（m，m2+2m+3） ，然后根据面积关系将ABM 的面积进行转化； （3）由（2）可知 m，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值； 可将求 d1+d2最大值转化为求 AC 的最小值 【解答
37、】解： （1）令 x0 代入 y3x+3， y3， B（0，3） ， 把 B（0，3）代入 yax22ax3a， 33a， a1， 二次函数解析式为：yx2+2x+3； （2）令 y0 代入 yx2+2x+3， 0 x2+2x+3， x1 或 3， 抛物线与 x 轴的交点横坐标为1 和 3， M 在抛物线上，且在第一象限内， 0m3， 令 y0 代入 y3x+3， x1， A 的坐标为（1，0） ， 由题意知：M 的坐标为（m，m2+2m+3） ， SS四边形OAMBSAOB SOBM+SOAMSAOB m3+1（m2+2m+3）13 （m）2+， 当 m时，S 取得最大值 （3）由（2）可知
38、：M的坐标为（，） ； 过点 M作直线 l1l，过点 B 作 BFl1于点 F， 根据题意知：d1+d2BF， 此时只要求出 BF 的最大值即可， BFM90， 点 F 在以 BM为直径的圆上， 设直线 AM与该圆相交于点 H， 点 C 在线段 BM上， F 在优弧上， 当 F 与 M重合时， BF 可取得最大值， 此时 BMl1， A（1，0） ，B（0，3） ，M（，） ， 由勾股定理可求得：AB，MB，MA， 过点 M作 MGAB 于点 G， 设 BGx， 由勾股定理可得：MB2BG2MA2AG2， （x）2x2， x， cosMBG， l1l， BCA90， BAC45； 方法二：过 B 点作 BD 垂直于 l于 D 点，过 M点作 ME 垂直于 l于 E 点，则 BDd1，MEd2， SABMAC（d1+d2） 当 d1+d2取得最大值时，AC 应该取得最小值，当 ACBM时取得最小值 根据 B（0，3）和 M（，）可得 BM， SABMACBM， AC， 当 ACBM时，cosBAC， BAC45