1、2021 年湖南省三湘名校教育联盟高考数学第三次大联考试卷年湖南省三湘名校教育联盟高考数学第三次大联考试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知 U 为全集，非空集合 A，B 满足 A（UB），则下列正确的是（ ） AAB BAB CBA D（UA）B 2已知复数 z 满足 z（1i）1+2i，则 1+ 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列选项中的两个条件是互为充要条件的是（ ） AP：a1；Q：函数 f（x）x2（1a2）x+3 是偶函数 B在ABC 中，P：ABC 是等边三角形；Q：sinAsinBsinC CP：数列an的
2、前 n 项和 Sn2n23n+1；Q：数列an是公差为 2 的等差数列 DP：实数 x1；Q：x+2 4九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府的正门对面，是权力的象征，做工十分 精美，艺术和历史价值很高九龙壁中九条蟠龙各居神态，正中间即第五条为正居之龙，两侧分别是降 沉之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位，即第 1，3，7，9 位，沉降之龙位居 2，4，6，8 位 某工匠自己雕刻一九龙壁模型， 为了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置， 只能调换四条升腾之龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置则不同的雕刻模型有多少种（ ） AA B2A CA DA A
3、 5 函数 f （x） sin （x+） （0， |） 的部分图象如图所示， 则 f （x） 的单调递增区间为 （ ） Ak ，k，kZ Bk+，k+，kZ Ck，k+，kZ Dk+，k+，kZ 6已知直线 l 被双曲线 C：y21 所截得的弦的中点坐标为（1，2），则直线 l 的方程（ ） Ax+4y90 Bx4y+70 Cx8y+150 Dx+8y170 7目前我国对于轻型汽车将“国六标准”分为“国六 A“和“国六 B”两个阶段，并计划于 2023 年在全国 统一实施国六标准即“国家第六阶段机动车污染物排放标准”，是为了贯彻环境保护相关法律减少 并防止汽车排气对环境的污染，保护生态环境，保
4、证人体健康而制定的某国有汽车品牌努力研发轻型 燃油汽车性能，对旗下生产的三款汽车在不同速度下燃油效率性能检测如图（“燃油效率”是指汽车每 消耗 1 升汽油行驶的里程）下列叙述中正确的是（ ） 排放物 国六 A 国六 B 一氧化碳 700（mg/km） 500（mg/km） 非甲烷烃 68（mg/km） 35（mg/km） 氮氧化物 60（mg/km） 35（mg/km） PM 细颗粒物 4.5（mg/km） 3（mg/km） PN 颗粒物 61011颗/km 61011颗/km A国六 B 阶段比国六 A 阶段对 PN 颗粒物排放量要求减少 B以相同速度行驶时，甲车每小时消耗汽油最少 C乙车以
5、 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗汽油不到 10 升 D甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1km 需要消耗汽油约 10 升 8 已知连续型随机变量 XiN （ui， i2） （i1， 2， 3） ， 其正态曲线如图所示， 则下列结论正确的是 （ ） AP（X12）P（X21） BP（X22）P（X33） CP（X12）P（X23） DP（i2iXii+2i）P（i+12i+1Xi+1i+1+2i+1）（i1，2） 二、选择题：共二、选择题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对分在每小题给出的选项中，有多项符合题
6、目要求全部选对 的得的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cb3，B2C，则下列结论正确的是（ ） AsinC Ba Cac DSABC2 10数列an为等比数列，公比为 q1，其前 n 项和为 Sn，若 a5a115，a2 a 416，则下列说法正确的 是（ ） ASn+12Sn+1 Ban2n C数列log3（Sn+1）是等比数列 D对任意的正整数 k（k 为常数），数列log2（Sn+kSn）是公差为 1 的等差数列 11已知向量 （1，sin）， （cos，）（0），则下列命
7、题正确的是（ ） A 与 可能平行 B存在 ，使得| | | C当 时，sin D当 tan时， 与 垂直 12已知奇函数 f（x）的定义域为 R，且满足对任意的 xR，都有 f（x）f（x+1）当 0 x时，f （x）log2（1+x），则下列说法正确的是（ ） Af（x）的周期为 2 B若 iN*，则f（i）0 C点（1，0）为 f（x）的一个对称中心 Df（）log2（ ）1011 三、填空题（共三、填空题（共 4 小题）小题）. 13从古至今，奇门遁甲，五行八卦等，称之为玄学，它充满了神秘色彩，人们常说“无极生太极，太极 生两仪，两仪生四象，四象生八卦”八卦是由，组合而成，八卦中的阳爻
8、和阴爻与计算机数 制“二进制”中的 1 和 0 分别对应，例如在二进制下“101011”表示的“十进制”数为 125+024+1 23+022+12+12043，在八卦中 乾卦代表的二进制数“111111”表示十进制数 63，坤 卦代表的二进制数“00000”表示的十进制数为 0，据此，离卦表示的十进制数字为 14 已知过点 （0， 4） 且倾斜角的余弦值为的直线方程为 ， 若该直线与抛物线 x22py （p0） 只有一个公共点，则抛物线的准线方程为 15“开车不喝酒，喝酒不开车”，为了营造良好的交通秩序，全国各地交警都大力宣传和查处“酒驾行 为”某地交警在设卡查处“酒驾行为”时碰到甲、乙、丙
9、三位司机， 司机甲说：我喝酒了 司机乙说：我没有喝酒 司机丙说：甲没有喝酒 若这三位司机身上都有酒味，但只有一人真正喝酒了，三人中只有一人说的是真话，请你在不使用酒精 测试仪的情况下，帮助交警判定出真正喝酒的人是 16已知点 P 是等边ABC 外一点，且点 P 在ABC 所在平面内的射影恰好在边 BC 上，若ABC 的边长 为 2，三棱锥 PABC 的外接球体积为 4，则三棱锥 PABC 体积的最大值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已
10、知 a11，从以下三个条件中任选其中一个S15120；a5+a7 12； （1）求公差 d 及an的通项公式； （2）求 Tn 18在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tanA （1）若 a，c，求 b 的值； （2）若角 A 的平分线交 BC 于点 D，a2，求ACD 的面积 192020 年 5 月 27 日，中央文明办明确规定，在 2020 年全国文明城市测评指标中不将马路市场、流动商 贩列为文明城市测评考核内容6 月 1 日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、 小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机其中套
11、圈游戏凭 借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎现有甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点 A，B 两 点处进行套圈，已知甲在 A，B 两点的命中率均为，乙在 A 点的命中率为 1p（0p），在 B 点 的命中率为 12p，且他们每次套圈互不影响 （1）若甲在 A 处套圈 3 次，求甲至多命中 1 次的概率； （2）若甲和乙每人在 A，B 两点各套圈一次，且在 A 点命中计 2 分，在 B 点命中计 3 分，未命中则计 0 分，设甲的得分为 X，乙的得分为 Y，写出 X 和 Y 的分布列和期望； （3）在（2）的条件下，若 EXEY，求 p 的范围 20如图所示，ABC 是等边三角形，DEAC
12、，DFBC，二面角 DACB 为直二面角，ACCDAD DE2DF2 （1）求证：EFBC； （2）求平面 ACDE 与平面 BEF 所成锐二面角的正切值 21已知函数 f（x）满足 xf（x）xlnx2a0（aR）恒成立 （1）分析函数 f（x）的单调性； （2）若 g（x）+，证明：当 a时，f（x）g（x） 22已知椭圆 C：1（ab0）的离心率 e，F1，F2分别为左、右焦点，点 T 在椭圆上， TF1F2的面积最大为 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B过定点（1，0）且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点， 直线 AP 和
13、直线 BQ 相交于椭圆 C 外一点 M，求证：点 M 的轨迹为定直线 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知 U 为全集，非空集合 A，B 满足 A（UB），则下列正确的是（ ） AAB BAB CBA D（UA）B 解：因为 U 为全集，非空集合 A，B 满足 A（UB）， 所以 AB，选项 A 正确； AB，选项 B 正确； BA 时，A（UB），所以选项 C 错误； （UA）B时，BA，由选项 C 知 D 错误 故选：B 2已知复数 z 满足 z（1i）1+2i，则 1+ 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解：
14、因为 z（1i）1+2i， 所以 z， 所以 1+ 1在复平面内对应的点在第四象限 故选：D 3下列选项中的两个条件是互为充要条件的是（ ） AP：a1；Q：函数 f（x）x2（1a2）x+3 是偶函数 B在ABC 中，P：ABC 是等边三角形；Q：sinAsinBsinC CP：数列an的前 n 项和 Sn2n23n+1；Q：数列an是公差为 2 的等差数列 DP：实数 x1；Q：x+2 解：选项 A，当 a1 时，函数 f（x）x2（1a2）x+3 是偶函数， 但函数 f（x）x2（1a2）x+3 是偶函数，可得 a1，故 P 是 Q 的充分不必要条件； 选项 B，在ABC 中，ABC 是
15、等边三角形可得 sinAsinBsinC， 当 sinAsinBsinC 时，ABC 是等边三角形，所以 P 和 Q 互为充要条件； 选项 C，数列an的前 n 项和 Sn2n23n+1，可得数列不是等差数列， 当数列an是公差为 2 的等差数列时，因为不知道首项，所以数列an的前 n 项和 Sn不确定， 所以 P 是 Q 的既不充分也不必要条件； 选项 D，因为 x1，所以 x+2，可以推出 x+2， 但是当 x+2 时，可得 x0，不能推出 x1，所以 P 是 Q 的充分不必要条件 故选：B 4九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府的正门对面，是权力的象征，做工十分 精美
16、，艺术和历史价值很高九龙壁中九条蟠龙各居神态，正中间即第五条为正居之龙，两侧分别是降 沉之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位，即第 1，3，7，9 位，沉降之龙位居 2，4，6，8 位 某工匠自己雕刻一九龙壁模型， 为了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置， 只能调换四条升腾之龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置则不同的雕刻模型有多少种（ ） AA B2A CA DA A 解：由题设可知：四条升腾之龙的相对位置有调换方法，四条沉降之龙的相对位置有调换方法， 不同的雕刻模型共有种， 故选：D 5 函数 f （x） sin （x+） （0， |） 的部分图象如图所示， 则
17、 f （x） 的单调递增区间为 （ ） Ak ，k，kZ Bk+，k+，kZ Ck，k+，kZ Dk+，k+，kZ 解：由图象知，T， ，2， 过点， ，且|， ， ， 当，即（kZ）时，函数单调递增， f（x）的单调递增区间为， f（x）的单调递增区间为 故选：A 6已知直线 l 被双曲线 C：y21 所截得的弦的中点坐标为（1，2），则直线 l 的方程（ ） Ax+4y90 Bx4y+70 Cx8y+150 Dx+8y170 解：设 P，Q 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 线段 PQ 的中点为（1，2），x1+x22，y1+y24， 1，1， （y1y2）（y1+y2）0，
18、整理得，即直线 l 的斜率为， 故直线 l 的方程为 y2（x1）， 即 x8y+150， 故选：C 7目前我国对于轻型汽车将“国六标准”分为“国六 A“和“国六 B”两个阶段，并计划于 2023 年在全国 统一实施国六标准即“国家第六阶段机动车污染物排放标准”，是为了贯彻环境保护相关法律减少 并防止汽车排气对环境的污染，保护生态环境，保证人体健康而制定的某国有汽车品牌努力研发轻型 燃油汽车性能，对旗下生产的三款汽车在不同速度下燃油效率性能检测如图（“燃油效率”是指汽车每 消耗 1 升汽油行驶的里程）下列叙述中正确的是（ ） 排放物 国六 A 国六 B 一氧化碳 700（mg/km） 500（
19、mg/km） 非甲烷烃 68（mg/km） 35（mg/km） 氮氧化物 60（mg/km） 35（mg/km） PM 细颗粒物 4.5（mg/km） 3（mg/km） PN 颗粒物 61011颗/km 61011颗/km A国六 B 阶段比国六 A 阶段对 PN 颗粒物排放量要求减少 B以相同速度行驶时，甲车每小时消耗汽油最少 C乙车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗汽油不到 10 升 D甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1km 需要消耗汽油约 10 升 解：对于 A，国六 B 阶段比国六 A 阶段对 PN 颗粒物排放量要求相同，故 A 错误； 对于 B，三款车无论以什么样的相
20、同速度行驶，甲车消耗汽油最少，故 B 正确； 对于 C，由图象可知，乙车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗汽油超过 10 升，故 C 错误； 对于 D，甲车以 80 千米/小时的速度行驶 10km 需要消耗汽油约 1 升，故 D 错误 故选：B 8 已知连续型随机变量 XiN （ui， i2） （i1， 2， 3） ， 其正态曲线如图所示， 则下列结论正确的是 （ ） AP（X12）P（X21） BP（X22）P（X33） CP（X12）P（X23） DP（i2iXii+2i）P（i+12i+1Xi+1i+1+2i+1）（i1，2） 解：对于 A：P（X12）是正态分布密度函数在第
21、二条虚线左侧与 x 轴围成的部分， P（X21）是正态分布密度函数在第一条虚线左侧与 x 轴围成的部分， 故由图象可知 P（X12）P（X21），故 A 错误； 对于 B：P（X22），P（X33） ，则 P（X22）P（X33），故 B 错误； 对于 C：P（X12）P（X23），故 C 错误； 对于 D：由于概率表示曲线和 x 轴围成的部分，与是 i 还是 i+1 无关， 故 P（i2iXii+2i）P（i+12i+1Xi+1i+1+2i+1）（i1，2）成立，故 D 正确 故选：D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出
22、的选项中，有多项符合题目要求全部分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cb3，B2C，则下列结论正确的是（ ） AsinC Ba Cac DSABC2 解：B2C，sinBsin2C2sinCcosC， 由正弦定理知， cb，cosC，sinC，即选项 A 正确； 由余弦定理知，c2a2+b22abcosC， 9a2+2a（2 ），即 a24a+30， 解得 a3 或 a1， 若 a3，则 AC，此时 cosC，与题意不符，
23、 a1，即选项 B 正确，选项 C 错误； ABC 的面积 SABCabsinC1 ，即选项 D 错误 故选：AB 10数列an为等比数列，公比为 q1，其前 n 项和为 Sn，若 a5a115，a2 a 416，则下列说法正确的 是（ ） ASn+12Sn+1 Ban2n C数列log3（Sn+1）是等比数列 D对任意的正整数 k（k 为常数），数列log2（Sn+kSn）是公差为 1 的等差数列 解：因为公比为 q1，由 可得，即， 所以 4q415q240， 解得 q24， 所以，所以 an2n 1，S n2 n1， 所以 Sn+12n+112Sn+1，Sn+12n， 所以 log3（S
24、n+1）nlog32， 所以数列log3（Sn+1）是等差数列，对任意的正整数 n，k，Sn+kSn2n+k2n（2k1）2n， 所以数列 log2（Sn+kSn）n+log2（2k1）， 所以数列log2（Sn+kSn）是公差为 1 的等差数列， 故正确的为 AD 故选：AD 11已知向量 （1，sin）， （cos，）（0），则下列命题正确的是（ ） A 与 可能平行 B存在 ，使得| | | C当 时，sin D当 tan时， 与 垂直 解：若 与 平行，则 sincos，即 sin22不成立，即 与 不可能平行，故 A 错误， 若| | |，则得 1+sin2cos2+2，即 cos2
25、sin2cos21，此时 存 在，故 B 正确， 若 ，则 cos+sin（cos+sin）， 设 sin，cos，则 cos+sinsin（+）， 则 sin（+）1，即 +2k+， 0，k0 时， 则 sincos，故 C 正确， 当 tan时，则 sincos，则 cos+sincos+（cos）coscos 0，则 与 垂直成立，故 D 正确， 故选：BCD 12已知奇函数 f（x）的定义域为 R，且满足对任意的 xR，都有 f（x）f（x+1）当 0 x时，f （x）log2（1+x），则下列说法正确的是（ ） Af（x）的周期为 2 B若 iN*，则f（i）0 C点（1，0）为 f
26、（x）的一个对称中心 Df（）log2（ ）1011 解：对于 A，因为对任意的 xR，都有 f（x）f（x+1），所以 f（x）关于 x对称， 又因为 f（x）为奇函数，所以 f（x）f（x）， 所以，f（x）f（x+1）（f（x+1+1）f（x+2），于是 f（x）的周期为 2，所以 A 对； 对于 B，因为 f（1）f（0）0，f（2）f（0）0，所以当 iN*时，f（i）0，所以f（i）0， 所以 B 对； 对于 C，因为 f（2x）f（x）f（x），所以点（1，0）为 f（x）的一个对称中心，所以 C 对； 对于 D，当 i2k 时，f（）f（k）0，当 i4k+1 时，f（）f（2
27、k+）f（），当 i4k+3 时，f（）f（2k+）f（1+）f（）f（）， 所以f（）f（）log2（）log2（）1011，所以 D 错 故选：ABC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13从古至今，奇门遁甲，五行八卦等，称之为玄学，它充满了神秘色彩，人们常说“无极生太极，太极 生两仪，两仪生四象，四象生八卦”八卦是由，组合而成，八卦中的阳爻和阴爻与计算机数 制“二进制”中的 1 和 0 分别对应，例如在二进制下“101011”表示的“十进制”数为 125+024+1 23+022+12+12043，在八卦中 乾卦代表的二进制
28、数“111111”表示十进制数 63，坤 卦代表的二进制数“00000”表示的十进制数为 0，据此，离卦表示的十进制数字为 45 解： 由题意， 离卦表示的二进制数是 101101， 对应的十进制数的计算为 125+024+123+122+0 2+12045 故答案为：45 14已知过点（0，4）且倾斜角的余弦值为的直线方程为 y2x4 ，若该直线与抛物线 x22py （p0）只有一个公共点，则抛物线的准线方程为 y1 解：由直线的倾斜角的余弦值为可得直线的正切值为 2，即直线的斜率为 2， 又过（0，4），所以直线的方程为：y2x4， 联立，整理可得：x24px+8p0， 由直线与抛物线相切
29、， 所以0，即16p248p0，解得 p2， 所以准线方程为：y1， 故答案为：y2x4，1 15“开车不喝酒，喝酒不开车”，为了营造良好的交通秩序，全国各地交警都大力宣传和查处“酒驾行 为”某地交警在设卡查处“酒驾行为”时碰到甲、乙、丙三位司机， 司机甲说：我喝酒了 司机乙说：我没有喝酒 司机丙说：甲没有喝酒 若这三位司机身上都有酒味，但只有一人真正喝酒了，三人中只有一人说的是真话，请你在不使用酒精 测试仪的情况下，帮助交警判定出真正喝酒的人是 乙 解：因为只有一人真正喝酒了，三人中只有一人说的是真话， 若果甲说的是真话，那么乙说也是真话，与只有一人说的是真话相矛盾， 故甲说的是假话，即甲没
30、有喝酒是真的， 则丙说的是真话，那么乙说的就是假话，则乙喝酒了， 故答案为：乙 16已知点 P 是等边ABC 外一点，且点 P 在ABC 所在平面内的射影恰好在边 BC 上，若ABC 的边长 为 2，三棱锥 PABC 的外接球体积为 4，则三棱锥 PABC 体积的最大值为 解：如图，点 P 在过直线 PC 与平面 ABC 垂直的球的小圆面的圆周上， 当点 P 在平面 ABC 的射影为 BC 中点时，三棱锥 PABC 体积最大， 设等边三角形 ABC 的中心为 O1，三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 上，球 O 的体积为 4 ， 外接球的半径 r，ABC 的边长为 2，点 P 在ABC 所
31、在平面内的射影恰好在边 BC 上， 设为 D，过 O 作 OEPD，垂足为 E，垂足为 E，依题意可得， PE， 又，PD， 三棱锥 PABC 体积的最大值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a11，从以下三个条件中任选其中一个S15120；a5+a7 12； （1）求公差 d 及an的通项公式； （2）求 Tn 【解答】（1）若选条件： S15120 15a8，a88， 又 a11， d1，ann； 若选条件： 由 a5+a712
32、 可得：a66， 又 a11， d1，ann； 若选条件： 由可得：，解得：d1， ann； （2）由（1）可得：Sn， 2（）， Tn2（1 +）2（1） 18在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tanA （1）若 a，c，求 b 的值； （2）若角 A 的平分线交 BC 于点 D，a2，求ACD 的面积 解：（1）因为 tanA， 所以 cosA， 由余弦定理得 a2b2+c22bccosA7， 即 b23b40， 解得 b4 或 b1（舍）， （2）因为， 所以， 因为CADBAD， 所以， 因为 a2， 由余弦定理得， 故 c2 ， 所以 SABC ， AC
33、D 的面积 SACD 192020 年 5 月 27 日，中央文明办明确规定，在 2020 年全国文明城市测评指标中不将马路市场、流动商 贩列为文明城市测评考核内容6 月 1 日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、 小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机其中套圈游戏凭 借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎现有甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点 A，B 两 点处进行套圈，已知甲在 A，B 两点的命中率均为，乙在 A 点的命中率为 1p（0p），在 B 点 的命中率为 12p，且他们每次套圈互不影响 （1）若甲在 A 处套圈 3 次，求甲
34、至多命中 1 次的概率； （2）若甲和乙每人在 A，B 两点各套圈一次，且在 A 点命中计 2 分，在 B 点命中计 3 分，未命中则计 0 分，设甲的得分为 X，乙的得分为 Y，写出 X 和 Y 的分布列和期望； （3）在（2）的条件下，若 EXEY，求 p 的范围 解：（1）设“甲至多命中 1 次”为事件 C，则 P（C）+， 故甲至多命中 1 次的概率为 （2）由题意知，X0，2，3，5，Y0，2，3，5， P（X0），P（X2）P（X3） ，P（X5）， P（Y0）1（1p）1（12p）2p2， P（Y2）（1p）1（12p）2p2p2， P（Y3）1（1p）（12p）p2p2， P（
35、Y5）（1p）（12p）2p23p+1， X 的分布列为 X 0 2 3 5 P Y 的分布列为 X 0 2 3 5 P 2p2 2p2p2 p2p2 2p23p+1 E（X）0+2+3+5， E（Y）02p2+2（2p2p2）+3（p2p2）+5（2p23p+1）58p （3）EXEY， 58p，即 p， p 的取值范围是（， 20如图所示，ABC 是等边三角形，DEAC，DFBC，二面角 DACB 为直二面角，ACCDAD DE2DF2 （1）求证：EFBC； （2）求平面 ACDE 与平面 BEF 所成锐二面角的正切值 【解答】（1）证明：因为 DEAC，DFBC，所以ABC 是等边三角
36、形， 所以EDFACB60，又 ACDEBC2DF2， 在EDF 中，由余弦定理可得， 所以 EF2+DF2DE2， 故 EFDF，所以 EFBC； （2）解：设线段 AC 的中点为 O，连结 BO，DO， 因为ABC 和ACD 都是等边三角形，所以 BOAC，DOAC， 故BOD 即为二面角 DACB 的平面角， 由于二面角 DACB 是直二面角，所以BOD90， 建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面 BEF 的法向量为， 则有，即， 令，则，所以， 又，且是平面 ACDE 的一个法向量， 所以， 则， 所以， 故平面 ACDE 与平面 BEF 所成锐二面角的正切值为 21已知
37、函数 f（x）满足 xf（x）xlnx2a0（aR）恒成立 （1）分析函数 f（x）的单调性； （2）若 g（x）+，证明：当 a时，f（x）g（x） 解：（1）由题意得 x0， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，f（x）在 R 上单调递增， 当 a0 时，若 0 x2a，f（x）0，函数单调递减， 若 x2a，f（x）0，函数单调递增， 综上，a0 时，f（x）在 R 上单调递增， 当 a0 时，函数在（0，2a）上单调递减，在（2a，+）上单调递增， （2）若 f（x）g（x），则 xlnx+2a， 设 F（x）xlnx+2a，G（x）， F（x）lnx， 同（1）F（x）minF（）2a
38、，G（x）maxG（1）， 由于 a ，所以 2a，即 F（x）minG（x）max， 故当 a时，F（x）G（x）， 即 f（x）g（x） 22已知椭圆 C：1（ab0）的离心率 e，F1，F2分别为左、右焦点，点 T 在椭圆上， TF1F2的面积最大为 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B过定点（1，0）且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点， 直线 AP 和直线 BQ 相交于椭圆 C 外一点 M，求证：点 M 的轨迹为定直线 解：（1）由题意，椭圆的离心率为，TF1F2的面积的最大值为 2， 所以，解得 a29，b25，c24， 所以椭圆的方程为； （2）证明：由题意，直线 PQ 的斜率不为 0， 设直线 PQ 的方程为：xty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）（y10，y20），M（x，y）， 联立方程，消去 x 整理可得：（5t2+9）y2+10ty400， 则 y ，所以 y ， 由 AP，M 三点共线可得：， 由 B，Q，M 三点共线可得：， 两式相除可得： ， 解得 x9， 综上，点 M 在定直线 x9 上