1、福建省厦门市海沧区福建省厦门市海沧区 2021 年中考数学模拟试卷（一）年中考数学模拟试卷（一） 一、 选择题 （本大题有一、 选择题 （本大题有 10 小题， 每小题小题， 每小题 4 分， 共分， 共 40 分分.每小题都有四个选项， 其中有且只有一个选项正确）每小题都有四个选项， 其中有且只有一个选项正确） 130角的正弦值是（ ） A B C D 2下列几何体的三视图中，左视图是圆的是（ ） A B C D 3如图，在ABC 中，DEBC，AD6，DB3，AE4，则 EC 的长为（ ） A1 B2 C3 D4 4下列式子化简后的结果为 x6的是（ ） Ax3+x3 Bx3x3 C （x
2、3）3 Dx12x2 5一元二次方程 x22x 的解是（ ） Ax2 Bx0 Cx12，x20 Dx12，x20 6测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最高 成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（ ） A方差 B标准差 C中位数 D平均数 7用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60”时，首先应该假设这个三角形中（ ） A有一个内角小于 60 B每一个内角都小于 60 C有一个内角大于 60 D每一个内角都大于 60 8 九章算术中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到 900 里外的城市，需要的时间比规 定时间多一天，如果
3、用快马送，所需的时间比规定时间少 3 天，已知快马的速度是慢马的 2 倍，求规定 时间设规定时间为 x 天，则可列方程为（ ） A B C D 9如图，ABC 中，AB6，BC9，D 为 BC 边上一动点，将ABD 绕点 A 逆时针旋转得到AEF，使 得点 B 的对应点 E 与 A，C 在同一直线上，若 AFBC，则 BD 的长为（ ） A3 B4 C6 D9 10若 x2y20，x24y2+4m0（0m1） ，则多项式 2mxx24my4y24xy 的值可能为（ ） A1 B0 C D 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分）
4、11计算：tan60sin60 12一组数据 2，2，2，2，2 的方差是 13在 RtABC 中，C90，AC5，AB10，则B 14如图，已知O 内切于边长为 2 的正方形 ABCD，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ） 15如图，一轮船在 M 处观测灯塔 P 位于南偏西 30方向，该轮船沿正南方向以 15 海里/小时的速度匀速 航行 2 小时后到达 N 处，再观测灯塔 P 位于南偏西 60方向，若该轮船继续向南航行至灯塔 P 最近的 位置 T 处，此时轮船与灯塔之间的距离 PT 为 海里（结果保留根号） 16在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 在反比例函数 y（x0）的图象上，且
5、点 A 与点 B 关于直线 y x 对称，C 为 AB 的中点，若 AB4，则线段 OC 的长为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）解方程组 18 （8 分）如图，在ABC 中，AB2，AC，点 D 在 AC 边上，若ABDC，求 AD 的长 19 （8 分）先化简，再求值：1其中 m5 20 （8 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（0，4） ，B（4，4） ，C（6，2） （1）请确定经过点 A，B，C 的圆弧所在圆的圆心 M 的位置，并写出点 M 的坐标； （2）请找出一个点 D，使得直线 CD 与M 相切，并写出点 D 的坐标
6、21 （8 分）厦门市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活 动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解” 、 “比较了解” 、 “基本了解” 、 “不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如表： 等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 频数 40 120 36 4 频率 0.2 m 0.18 0.02 （1）本次调查样本容量为 ，表中的 m 值为 ； （2）请你用尺规作图方法补全扇形统计图； （3）若该校有学生 2000 人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约为多 少？ 22 （10 分）如图，折叠矩
7、形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知折痕 AE5cm，且 tanEFC （1）AFB 与FEC 有什么关系？试证明你的结论 （2）求矩形 ABCD 的周长 23 （10 分）已知，函数 yx 与函数 y相交于点 M，N（其中 M 在 N 的左侧） ，点 P 是函数 yx 图象上一点，且点 P 在点 N 右侧，PAx 轴于点 A，交函数 y图象于点 E，PBy 轴于点 B，交函数 y图象于点 F（点 E，F 不重合） （1）求线段 MN 的长度； （2）判断：EF 与 AB 的关系，并说明理由 24 （12 分）如图，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的
8、速度往水槽中注水，28s 时注满水 槽水槽内水面的高度 y（cm）与注水时间 x（s）之间的函数图象如图所示 （1）写出正方体铁块的棱长为 ； （2）求线段 AB 对应的函数解析式； （3）若水槽满后，停止注水井马上将正方体铁块用细线竖直匀速上拉至全部拉出水面若匀速拉动铁块 的速度为 2cm/s，求铁块完全拉出时水面的高度，并把图象补充完整（细线体积忽略不计） 25 （14 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴只有一个公共点 A（2，0）且经过点（3，） （1）求抛物线的函数解析式； （2）直线 l：yx+m 与抛物线 yax2+bx+c 相交于 B，C 两点（C 点在 B 点
9、的左侧） ，与对称轴相 交于点 P，且 B，C 分布在对称轴的两侧若 B 点到抛物线对称轴的距离为 n，且 CPtBP（2t3） 试探求 n 与 t 的数量关系； 求线段 BC 的最大值，以及当 BC 取得最大值时对应 m 的值 2021 年福建省厦门市海沧区中考数学模拟试卷（一）年福建省厦门市海沧区中考数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 选择题 （本大题有一、 选择题 （本大题有 10 小题， 每小题小题， 每小题 4 分， 共分， 共 40 分分.每小题都有四个选项， 其中有且只有一个选项正确）每小题都有四个选项， 其中有且只有一个选项正确） 130角的正弦值是
10、（ ） A B C D 【分析】根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案 【解答】解：30角的正弦值是 故选：A 2下列几何体的三视图中，左视图是圆的是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：A正方体的左视图是正方形，故本选项不合题意； B圆锥的左视图是等腰三角形，故本选项不合题意； C球的的左视图是圆，故本选项符号题意； D圆柱的左视图是矩形，故本选项不合题意 故选：C 3如图，在ABC 中，DEBC，AD6，DB3，AE4，则 EC 的长为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可
11、解答 【解答】解：DEBC， ， 即， 解得：EC2， 故选：B 4下列式子化简后的结果为 x6的是（ ） Ax3+x3 Bx3x3 C （x3）3 Dx12x2 【分析】根据同底数幂的运算法则进行计算即可 【解答】解：A、原式2x3，故本选项错误； B、原式x6，故本选项正确； C、原式x9，故本选项错误； D、原式x12 2x10，故本选项错误 故选：B 5一元二次方程 x22x 的解是（ ） Ax2 Bx0 Cx12，x20 Dx12，x20 【分析】首先移项，将方程右边 2x 移到左边，再提取公因式 x，可得 x（x2）0，将原式化为两式相 乘的形式，再根据“两式相乘值为 0，这两式中
12、至少有一式值为 0 ” ，即可求得方程的解 【解答】解：原方程移项得： x22x0， x（x2）0， （提取公因式 x） ， x10，x22， 故选：D 6测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最高 成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（ ） A方差 B标准差 C中位数 D平均数 【分析】根据中位数的定义解答可得 【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点” ，不受极端 值影响， 所以将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数， 故选：C 7用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60”时，首
13、先应该假设这个三角形中（ ） A有一个内角小于 60 B每一个内角都小于 60 C有一个内角大于 60 D每一个内角都大于 60 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可 【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于 60”时， 应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于 60，即每一个内角都大于 60 故选：D 8 九章算术中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到 900 里外的城市，需要的时间比规 定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少 3 天，已知快马的速度是慢马的 2 倍，求规定 时间设规定时间为 x 天，则可列方程为（ ） A B C D 【分析】首先
14、设规定时间为 x 天，则快马所需的时间为（x3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题 意得等量关系：慢马速度2快马速度，根据等量关系，可得方程 【解答】解：设规定时间为 x 天，则快马所需的时间为（x3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题 意得： 2， 故选：A 9如图，ABC 中，AB6，BC9，D 为 BC 边上一动点，将ABD 绕点 A 逆时针旋转得到AEF，使 得点 B 的对应点 E 与 A，C 在同一直线上，若 AFBC，则 BD 的长为（ ） A3 B4 C6 D9 【分析】只要证明BADBCA，推出，求出 BD 即可解决问题 【解答】解：AFBC， FACACB， BADF
15、AC， BADACB， BB， BADBCA， ， ， BD4， 故选：B 10若 x2y20，x24y2+4m0（0m1） ，则多项式 2mxx24my4y24xy 的值可能为（ ） A1 B0 C D 【分析】根据因式分解将多项式分解，利用 0m1 即可得 0（2m1）2+11，进而可得结果 【解答】解：x2y20，x24y2+4m0（0m1） ， x2y2， 4m4y2x2（2y+x） （2yx） ， x+2y2m， 2mxx24my4y24xy （2mx4my）（x2+4y2+4xy） 2m（x2y）（x2+4y2+4xy） 2m（x2y）（x+2y）2 4m4m2 （2m1）2+1，
16、 0m1， 02m2， 12m11， 0（2m1）21， 0（2m1）2+11， 故选：C 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11计算：tan60sin60 【分析】代入特殊角的三角函数值进行计算即可 【解答】解：原式（1）， 故答案为： 12一组数据 2，2，2，2，2 的方差是 0 【分析】根据方差的定义即可得出结论 【解答】解：这一组数完全相同， 平均数与原数相同， 这组数据的方差为：（22）2+（22）2+（22）2+（22）2+（22）20 故答案为：0 13在 RtABC 中，C90，AC5，AB10，则B 6
17、0 【分析】利用正弦定义计算即可 【解答】解：sinB， B60， 故答案为：60 14如图，已知O 内切于边长为 2 的正方形 ABCD，则图中阴影部分的面积是 4 （结果保留 ） 【分析】根据正方形的面积公式、圆的面积公式计算，得到答案 【解答】解：设 AD、AB 于O 切于点 E、F，连接 OE、OF， 则 OEAD，OFAB，又A90， 四边形 AFOE 为矩形， AEAF， 四边形 AFOE 为正方形， AEOE， 同理可得，DEOE， AEED， 图中阴影部分的面积22124， 故答案为：4 15如图，一轮船在 M 处观测灯塔 P 位于南偏西 30方向，该轮船沿正南方向以 15 海
18、里/小时的速度匀速 航行 2 小时后到达 N 处，再观测灯塔 P 位于南偏西 60方向，若该轮船继续向南航行至灯塔 P 最近的 位置 T 处，此时轮船与灯塔之间的距离 PT 为 15 海里（结果保留根号） 【分析】根据“若该轮船继续向南航行至灯塔 P 最近的位置 T 处，此时轮船与灯塔之间的距离为 PT” ， 得 PTMN，利用锐角三角函数关系进行求解即可 【解答】解：由题意得，MN15230 海里， PMN30，PNT60， MPNPMN30， PNMN30 海里， PTPNsinPNT15海里 故答案为：15 16在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 在反比例函数 y（x0）的图象上，
19、且点 A 与点 B 关于直线 y x 对称，C 为 AB 的中点，若 AB4，则线段 OC 的长为 2 【分析】设 A（t，） ，利用关于直线 yx 对称的点的坐标特征得到 B（，t） ，再根据两点间的距离公 式得到（t）2+（t）242，则 t2（舍去）或 t2，解分式方程得到 t 的值， 确定出点 A，B 坐标，接着利用线段中点坐标公式写出 C 点坐标，然后利用两点间的距离公式求出 OC 的长 【解答】解：设 A（t，） ， 点 A 与点 B 关于直线 yx对称， B（，t） ， AB4， （t）2+（t）242， 即 t2或 t2， 解方程 t2，得 t2（由于点 A 在第一象限，所以舍
20、去）或 t+2， 经检验，t+2，符合题意， A（+2，+2） ，B（+2，+2） ， C 为 AB 的中点， C（2，2） ， OC2 解方程 t2，得 t2（由于点 A 在第一象限，所以舍去）或 t+2， 经检验，t+2，符合题意， B（+2，+2） ，A（+2，+2） ， C 为 AB 的中点， C（2，2） ， OC2 故答案为 2 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）解方程组 【分析】+得到方程 3x6，求出 x 的值，把 x 的值代入得出一个关于 y 的方程，求出方程的解 即可 【解答】解：， +得：3x6， 解得 x2， 将
21、 x2 代入得：2y1， 解得：y1 原方程组的解为 18 （8 分）如图，在ABC 中，AB2，AC，点 D 在 AC 边上，若ABDC，求 AD 的长 【分析】由ABDC，A 为公共角，可得ABD 和ACB 相似，根据相似三角形的性质对应边成 比例，得到含有 AD 的比例式，解方程可得结论 【解答】解：ABDC，AA， ABDACB AB2，AC， AD 19 （8 分）先化简，再求值：1其中 m5 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 m 的值代入计算即可 【解答】解：原式1m（m5） 1 ， 当 m5 时， 原式 20 （8 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（0，
22、4） ，B（4，4） ，C（6，2） （1）请确定经过点 A，B，C 的圆弧所在圆的圆心 M 的位置，并写出点 M 的坐标； （2）请找出一个点 D，使得直线 CD 与M 相切，并写出点 D 的坐标 【分析】 （1）作 AB 和 BC 的垂直平分线，两线交于一点 M，点 M 即为所求，由图形可知：这点的坐标 是（2，0） ； （2）连接 MC，过 C 作 CDCM，交 x 轴于 D，根据圆的切线的判定，则直线 CD 与M 相切，过 C 作 CEMD 于 E，根据相似三角形的判定证得MCECDE，由相似三角形的性质求得 ED，即可求 得 D 点的坐标 【解答】解： （1）如图 1，连接 AB、B
23、C， 作 AB 和 BC 的垂直平分线，两线交于一点 M，点 M 即为所求， 由图形可知：这点的坐标是（2，0） ， 圆弧所在圆的圆心 M 点的坐标是（2，0） ； （2）如图 2，连接 MC，过 C 作 CDCM，交 x 轴于 D， 则直线 CD 与M 相切， 过 C 作 CEMD 于 E， MCCD，CDMD， MCDCED90， MCEEDC90CME， MCECDE， ， 点 M 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（6，2） ， MEOEOM624，CE2， ， ED1， OD7， 点 D 的坐标为（7，0） 21 （8 分）厦门市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃
24、圾分类知多少”的专题调查活 动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解” 、 “比较了解” 、 “基本了解” 、 “不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如表： 等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 频数 40 120 36 4 频率 0.2 m 0.18 0.02 （1）本次调查样本容量为 200 ，表中的 m 值为 0.6 ； （2）请你用尺规作图方法补全扇形统计图； （3）若该校有学生 2000 人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约为多 少？ 【分析】 （1）根据非常了解的频数和频率，可以计算出本次调查的样本容量，然后即可计算出
25、 m 的值； （2）根据频数分布表中的数据，可以补全扇形统计图； （3）根据统计图中的数据，可以计算出这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约为多少 【解答】解： （1）本次调查样本容量为：400.2200，m1202000.6， 故答案为：200，0.6； （2）由表格可得， 非常了解占 20%，比较了解占 60%， 补全的扇形统计图如右图所示； （3）20000.61200（人） ， 即估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约为 1200 人 22 （10 分）如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知折痕 AE5cm，且 tanEFC （1
26、）AFB 与FEC 有什么关系？试证明你的结论 （2）求矩形 ABCD 的周长 【分析】 （1）由矩形的性质与折叠的性质，易证得BC90，BAFEFC，继而证得AFB FEC； （2）设 EC3xcm，FC4xcm，继而求得 AF5xcm，则可求得 x 的值，继而求得答案 【解答】解： （1）AFBFEC 证明：四边形 ABCD 是矩形， BCD90， BAF+AFB90， 由折叠的性质可得：AFED90， AFB+CFE90， BAFCFE， AFBFEC； （2）tanEFC， 在 RtEFC 中， 设 EC3xcm，FC4xcm， EF5x（cm） ， 由折叠的性质可得：DEEF5xcm
27、， ABCDDE+CE8x（cm） ， BAFEFC， tanBAF， BF6xcm， AF10 x（cm） ， AE5x（cm） ， AE5cm， x1， ADBCAF10 x10（cm） ，ABCD8x8（cm） ， 矩形 ABCD 的周长为：10+10+8+836（cm） 23 （10 分）已知，函数 yx 与函数 y相交于点 M，N（其中 M 在 N 的左侧） ，点 P 是函数 yx 图象上一点，且点 P 在点 N 右侧，PAx 轴于点 A，交函数 y图象于点 E，PBy 轴于点 B，交函数 y图象于点 F（点 E，F 不重合） （1）求线段 MN 的长度； （2）判断：EF 与 AB
28、 的关系，并说明理由 【分析】 （1）解析式联立，进而方程组求出 M 和 N 的坐标，然后利用勾股定理即可求得 MN 的长度； （2）通过证明 PM，PB 和 PN，PA 相对成比例可证明 EFAB 【解答】解： （1）由得或， M（，） ，N（，） ， MN； （2）EFAB，理由如下： 令点 P 为（2a，a） ， （a0） ，则 A（2a，0） ，B（0，a） ，E（2a，） ，F（，a） ， ， ， EFAB 24 （12 分）如图，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s 时注满水 槽水槽内水面的高度 y（cm）与注水时间 x（s）之间的函数图象如图所示
29、（1）写出正方体铁块的棱长为 10cm ； （2）求线段 AB 对应的函数解析式； （3）若水槽满后，停止注水井马上将正方体铁块用细线竖直匀速上拉至全部拉出水面若匀速拉动铁块 的速度为 2cm/s，求铁块完全拉出时水面的高度，并把图象补充完整（细线体积忽略不计） 【分析】 （1）直接利用一次函数图象结合水面高度的变化得出正方体的棱长； （2）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用函数图象得出自变量 x 的取值范围； （3）利用一次函数图象结合水面高度的变化得出铁块完全拉出时水面的高度和时间即可解答 【解答】解： （1）由题意可得：12 秒时，水槽内水面的高度为 10cm，12 秒后水槽内
30、高度变化趋势改变， 故正方体的棱长为 10cm； 故答案为：10cm； （2）设线段 AB 对应的函数解析式为：ykx+b， 图象过 A（12，10） ，B（28，20） ， ， 解得：， 线段 AB 对应的解析式为：yx+（12x28） ； （3）281216（s） ， 没有立方体时，水面上升 10cm，所用时间为：16 秒， 前 12 秒由立方体的存在，导致水面上升速度加快了 4 秒， 铁块完全拉出时水面的高度：20417.5（cm） ， 28+10233（s） ， 33+（102.5）236.75（s） ， 36.75s 时铁块完全拉出水面如图： 25 （14 分）已知抛物线 yax2+
31、bx+c（a0）与 x 轴只有一个公共点 A（2，0）且经过点（3，） （1）求抛物线的函数解析式； （2）直线 l：yx+m 与抛物线 yax2+bx+c 相交于 B，C 两点（C 点在 B 点的左侧） ，与对称轴相 交于点 P，且 B，C 分布在对称轴的两侧若 B 点到抛物线对称轴的距离为 n，且 CPtBP（2t3） 试探求 n 与 t 的数量关系； 求线段 BC 的最大值，以及当 BC 取得最大值时对应 m 的值 【分析】 （1）由题意可知抛物线的顶点坐标，故设抛物线的解析式为 ya（x2）2，将点（3，）代 入，解得 a 的值，则可得抛物线的函数解析式； （2）设直线 l：yx+m
32、与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 D，过点 B，C 分别作 y 轴，x 轴的垂线， CF 交 BF 于点 F，设 BF 与抛物线的对称轴 AP 交于点 G，根据题意画出图形，在 RtODE 中，由 tan OED，可得OED30；由 FCPG，CPtBP，可得比例式，将 FG 和 BF 用 n 和 t 表示出来，再结合点 B，C 在抛物线 y（x2）2上及在 RtBFC 中，tanCBF，可求得 答案；在 RtBFC 中，利用三角函数将 BC 用 t 表示出来，再根据 BC 随 s 的变化规律可得答案 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴只有一个公共点 A（2
33、，0） ， A（2，0）为抛物线顶点， 设抛物线的解析式为 ya（x2）2，将点（3，）代入得 a， 抛物线的函数解析式为 y（x2）2； （2）设直线 l：yx+m 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 D，过点 B，C 分别作 y 轴，x 轴的垂线， CF 交 BF 于点 F，设 BF 与抛物线的对称轴 AP 交于点 G，如图： 令x+m0，解得 xm， OEm， 直线 l：yx+m 与 y 轴交于点 D， D（0，m） ， ODm， 在 RtODE 中，tanOED， OED30， B 点到抛物线对称轴的距离为 n， BGn， FCPG，CPtBP（2t3） ， FG：BGCP：BPt
34、， FGnt，BFnt+n， xB2+n，xFxC2nt 点 B，C 在抛物线 y（x2）2上， C（2nt，） ，B（2+n，） ， FC， BFAE， CBFOED30， 则在 RtBFC 中，tanCBF， ， 化简得 n； BFnt+n，且 n， BF， 在 RtBFC 中， BC 2（1+） ， 令 st1，由于 2t3， 1s2， BC2（1+） ， 当 1s2 时，随 s 的增大而减小， 当 s1，即 t2 时，BC 取得最大值，此时 BC6， 当 t2 时，n，则 B（2+，1） ， 将点 B 坐标代入 yx+m，得 m2+ 线段 BC 的最大值为 6，此时对应 m 的值为 2+