1、2021 年河南省名校中考数学一模试卷（年河南省名校中考数学一模试卷（1） 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 下列各数中，绝对值最小的数是( ) A. 5 B. 1 2 C. 1 D. 2 2. 将 867000 用科学记数法表示为( ) A. 867 103 B. 8.67 104 C. 8.67 105 D. 8.67 106 3. 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了 10名参赛学 生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： 一分钟跳绳个数(个) 141 144 145 146 学生人数(名) 5 2 1 2 则关于这组数据
2、的结论正确的是( ) A. 平均数是 144 B. 众数是 141 C. 中位数是144.5 D. 方差是5.4 4. 函数 = 与 = 2 + + 的图象如图所示，则函数 = 的大致图象 为( ) A. B. C. D. 5. 下列几何体是由 4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是( ) A. B. C. D. 6. 如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上若1 = 35，则2的度 数是( ) A. 35 B. 45 C. 55 D. 65 7. 方程22 8 1 = 0的解的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D
3、. 有一个实数根 8. 近年来，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2017 年我国快递业务量为 400 亿件，2019 年快递 量将达到 600亿件，设快递量平均每年增长率为 x，则下列方程中正确的是( ) A. 400(1 + ) = 600 B. 400(1 + 2) = 600 C. 400(1 + )2= 600 D. 600(1 )2= 400 9. 如图，在矩形 ABCD中， = 3， = 4，动点 P沿折线 BCD从点 B 开始运动 到点 D，设点 P运动的路程为 x， 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系 的图象大致是( ) A. B. C. D. 10. 如图，
4、在菱形 ABCD中，按以下步骤作图： 分别以点 C和点 D为圆心，大于1 2的长为半径作弧，两弧相 交于 M、N 两点； 作直线 MN，且 MN 恰好经过点 A，与 CD交于点 E，连接 BE 则下列说法错误的是( ) A. = 60 B. = 2 C. 若 = 4，则 = 47 D. sin = 21 14 二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分） 11. 计算：2;1+ (3)0=_ 12. 若关于 x的不等式组 ;2 4 ;1 3 2 2 有且只有三个整数解，则 m 的取值范围是_ 13. 从甲、乙、丙、丁 4 名三好学生中随机抽取 2名学生担任国旗队升旗手，则抽取的 2 名学
5、生恰好是乙和 丙的概率是_ 14. 如图， 中， = 90， = 30， = 2， 将 绕点 C顺时针旋转，点 A、B的对应点分别为1、1，当点1恰 好落在 AB上时，弧1与点1构成的阴影部分的面积为 _ 15. 正方形 ABCD的边长为 4，点 M，N 在对角线 AC上(可与点 A，C 重合)， = 2，点 P，Q 在正方形 的边上下面四个结论中， 存在无数个四边形 PMQN是平行四边形； 存在无数个四边形 PMQN是菱形； 存在无数个四边形 PMQN是矩形； 至少存在一个四边形 PMQN是正方形 所有正确结论的序号是_ 三、计算题（本大题共 1 小题，共 8.0 分） 16. (1)计算：
6、(4)2 ( 1 2) 3 (4 + 1) (2)下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务 2 9 2+ 6 + 9 2 + 1 2 + 6 = (:3)(;3) (:3)2 2:1 2(:3)第一步 = ;3 :3 2:1 2(:3)第二步 = 2(;3) 2(:3) 2:1 2(:3)第三步 = 2;6;(2:1) 2(:3) 第四步 = 2;6;2:1 2(:3) 第五步 = 5 2:6第六步 任务一：填空： 以上化简步骤中，第_步是进行分式的通分，通分的依据是_.或填为：_； 第_步开始出现错误，这一步错误的原因是_； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务
7、三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学 提一条建议 四、解答题（本大题共 7 小题，共 67.0 分） 17. 为了解某校八年级学生一门课程的学习情况， 小佳和小丽分别对八年级 1 班和 2 班本门课程的期末成绩 进行了调查分析 小佳对八年级 1 班全班学生(25名)的成绩进行分析，过程如下： 收集、整理数据： 表一 分数段 班级 60 70 70 80 80 90 90 100 八年级 1 班 7 5 10 3 分析数据： 表二 统计量 班级 平均数 中位数 众数 极差 方差 八年级 1 班 78 _ 85 36 105.28 小丽用同样的方法对
8、八年级 2班全班学生(25名)的成绩进行分析，数据如下： 表三 统计量 班级 平均数 中位数 众数 极差 方差 八年级 2 班 75 76 73 44 146.80 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知八年级 1班学生的成绩在80 0)个单位长度后与上述函数 图象有且只有一个交点，请求出此时 a的值 21. 在近期“抗疫”期间，某药店销售 A、B两种型号的口罩，已知销售 800只 A型和 450只 B 型的利润为 210元，销售 400只 A型和 600 只 B型的利润为 180 元 (1)求每只 A 型口罩和 B 型口罩的销售利润； (2)该药店计划一次购进两种型号的口罩共 2000 只
9、， 其中 B 型口罩的进货量不超过 A 型口罩的 3倍， 设 购进 A型口罩 x只，这 2000 只口罩的销售总利润为 y 元 求 y关于 x 的函数关系式； 该药店购进 A 型、B 型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？ (3)在销售时，该药店开始时将 B 型口罩提价100%，当收回成本后，为了让利给消费者，决定把 B 型 口罩的售价调整为进价的15%，求 B型口罩降价的幅度 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x的二次函数 = 2+ + 的图象过点(1,0)，(2,0) (1)求这个二次函数的表达式； (2)求当2 1时，y 的最大值与最小值的差； (3)一次函数 = (2 ) +
10、 2 的图象与二次函数 = 2+ + 的图象交点的横坐标分别是a和b， 且 3 ，求 m 的取值范围 23. 在 中， = ， = ，点 P是平面内不与点 A，C 重合的任意一点，连接 CP，将线段 CP 绕点 P 旋转得到线段 DP，连结 AP，CD，BD (1)观察猜想：如图 1，当 = 60时，线段 CP 绕点 P 顺时针旋转得到线段 DP，则 的值是_， 直线 AP 与 BD相交所成的较小角的度数是_； (2)类比探究：如图 2，当 = 90时，线段 CP绕点 P顺时针旋转得到线段.请直接写出 AP 与 BD 相交所成的较小角的度数，并说明 与 相似，求出 的值； (3)拓展延伸：当
11、= 90时，且点 P到点 C的距离为1 3，线段 CP 绕点 P逆时针旋转得到线段 DP， 若点 A，C，P在一条直线上时，求 的值 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】解： | 5| = 5，| 1 2| = 1 2，| 1| = 1，|2| = 2， 绝对值最小的数是1 2 故选：B 根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可 本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键 2.【答案】C 【解析】解：867000 = 8.67 105， 故选：C 科学记数法的表示形式为 10的形式，其中1 | 10，n为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，
12、小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 10的形式，其中1 | 0， 根据二次函数的图象可知 0， 0， 所以方程有两不相等的实数根 故选：A 根据根的判别式的值与零的大小关系即可判断 本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系： 0 方程有两个不相等的实数根 8.【答案】C 【解析】解：设快递量平均每年增长率为 x， 依题意，得：400(1 + )2= 600 故选：C 设快递量平均每年增长率为 x， 根据我国 2017年及 2019年的快递业务量， 即可得出关于 x 的一元二次方程
13、， 此题得解 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 9.【答案】D 【解析】解：由题意当0 4时， = 1 2 = 1 2 3 4 = 6， 当4 7时， = 1 2 = 1 2 (7 ) 4 = 14 2 故选：D 分别求出0 4、4 7时函数表达式，即可求解 本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考 题型 10.【答案】C 【解析】解：由作法得 AE垂直平分 CD，即 = ， ， 四边形 ABCD为菱形， = = 2，/， 在 中， = = 1 2， = 60， = 60，所以 A 选项的
14、结论正确； = 1 2 ， = 1 2 ， 而 = 2， = 2，所以 B 选项的结论正确； 若 = 4，则 = 2， = 23， 在 中， =42+ (23)2= 27，所以 C选项的结论错误； 作 交 BC 的延长线于 H，如图， 设 = 4，则 = 2， = 4， = 27， 在 中， = = 60， = ， = 3， sin = = 3 27 = 21 14 ，所以 D 选项的结论正确 故选：C 利用基本作图得到 AE 垂直平分 CD，再根据菱形的性质得到 = = 2，/，利用三角函数求 出 = 60，则可对 A 选项进行判断；利用三角形面积公式可对 B 选项进行判断；当 = 4，则
15、= 2， 先计算出 = 23，再利用勾股定理计算出 = 27，则可对 C 选项进行判断；作 交 BC 的延长 线于 H，如图，设 = 4，则 = 2， = 4， = 27，先计算出 = ， = 3，则可根据 正弦的定义对 D选项进行判断 本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知 线段的垂直平分线； 作已知角的角平分线； 过一点作已知直线的垂线).也考查了菱形的性质和解直角三角形 11.【答案】3 2 【解析】解：原式= 1 2 + 1 = 3 2 故答案为：3 2 直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案 此题主要考查了实
16、数运算，正确化简各数是解题关键 12.【答案】1 4 【解析】解：解不等式;2 4 2， 解不等式2 2 ，得： :2 3 ， 则不等式组的解集为2 :2 3 ， 不等式组有且只有三个整数解， 1 :2 3 2， 解得1 4， 故答案为：1 4 解不等式组得出其解集为2 :2 3 ，根据不等式组有且只有三个整数解得出1 :2 3 2，解之可得答 案 此题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不 等式的解法 13.【答案】1 6 【解析】解：画树状图为： 共有 12种等可能的结果数，其中抽取的 2 名学生恰好是乙和丙的结果数为 2， 所以抽取的 2
17、名学生恰好是乙和丙的概率= 2 12 = 1 6 故答案为1 6 画树状图展示所有 12种等可能的结果数，再找出抽取的 2 名学生恰好是乙和丙的结果数，然后根据概率公 式求解 本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A或 B的概率 14.【答案】2 3 【解析】 【分析】 本题考查了旋转的性质、 等边三角形的性质和判定、 含30角的直角三角形的性质、 扇形面积公式等知识点， 能求出线段1的长和1的度数是解此题的关键 解直角三角形求得1 = 1，1 = = 23， = 3，由旋转性质可得
18、1= 1= 60，利用 计算得答案 【解答】 解：在 中， = 90， = 30， = 2， = 2 = 4， = cos30 = 23， = 60， 将 绕点 C 顺时针旋转，点 A、B 的对应点分别为1、1，当点1恰好落在 AB 上时， = 1， 1为等边三角形， 1= 1= 1 = 60， = 90， 1 = 30， 1 = 1 21 = 1，1 = = 23， 由勾股定理得： = 3， 在 1OC中，1 = 1sin60 = 3， ， 又 1OB= 1 2 1 3 = 3 2 ， 1= 1 2 3 3 = 33 2 ， 故答案为2 3 15.【答案】 【解析】解：如图，作线段 MN 的
19、垂直平分线交 AD于 P，交 AB于 Q 垂直平分线段 MN， = ， = ， 四边形 ABCD是正方形， = = 45， = = 45， = ， 垂直平分线段 PQ， = ， 四边形 PMQN是菱形， 在 MN 运动过程中，这样的菱形有无数个，当点 M与 A 或 C重合时，四边形 PMQN是正方形， 正确， 故答案为 根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到结论 本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握 各定理是解题的关键 16.【答案】三 分式的基本性质 分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为
20、0的整式，分式的值不变 五 括 号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号 【解析】解：(1)(4)2 ( 1 2) 3 (4 + 1) = 16 ( 1 8) + 3 = 2 + 3 = 1； (2)以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为：分式的分子分 母都乘(或除以)同一个不为 0 的整式，分式的值不变； 第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变 号； 任务二： 2;9 2:6:9 2:1 2:6 = (:3)(;3) (:3)2 2:1 2(:3)第一步 = ;3 :3 2:1 2(:3)第二步 =
21、 2(;3) 2(:3) 2:1 2(:3)第三步 = 2;6;(2:1) 2(:3) 第四步 = 2;6;2;1 2(:3) 第五步 = 7 2:6第六步； 任务三：答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘 法的运算律运算，会简化运算过程 故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为 0的整式，分式的值不变；五； 括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号 (1)先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； (2)根据分式的基本性质即可判断； 根据分式的加减运算法则即可判断； 任务二：依据分式加
22、减运算法则计算可得； 任务三：答案不唯一，只要合理即可 本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质同 时考查了有理数的混合运算 17.【答案】(1)80； (2)八年级 1班学生的成绩更为优异 理由如下：八年级 1班学生的成绩的平均数比 2班高，1班的中位数比 2班的中位数大，并且 1 班的众数为 85，比 2班的众数大，1 班的方差比 2 班小，比较稳定 【解析】 解：(1)共有 25个数据，第 13 个数落在80 90这一组中，此组最小的数为第 13 个数， 所以八年级 1班学生的成绩的中位数为 80； 故答案为 80； (2)见答案 【分析】
23、 (1)根据中位数的定义找出第 13 个数，然后确定80 0； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示； (3)将直线 = + 3向上平移( 0)个单位长度后，得到直线的解析式为 = + 3 + ， 由 = + 3 + = 4 ， 得2 (3 + ) + 4 = 0， 平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点， = (3 + )2 16 = 0， 解得 = 1或 = 7(不合题意舍去)， 故此时 a的值为 1 【解析】 【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数与几何变换、一元二次方程根的判别式等知识点，正 确的理解题意是解题的关键 (1)根据三角形的面积公式即可得到结
24、论； (2)根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可； (3)将直线 = + 3向上平移( 0)个单位长度后， 得到直线的解析式为 = + 3 + ， 根据一元二次 方程根的判别式即可得到结论 【解答】 解：(1) 在 中，BC边的长为 x，BC边上的高为 y， 的面积为 2， 1 2 = 2， = 4， 关于 x 的函数关系式是 = 4 ， x 的取值范围为 0 故答案为 = 4 ； 0； (2)见答案； (3)见答案 21.【答案】解：(1)设每只 A型口罩销售利润为 a 元，每只 B型口罩销售利润为 b 元，根据题意得 800 + 450 = 210 400 + 600 = 180，
25、解得 = 0.15 = 0.2 ， 答：每只 A型口罩销售利润为0.15元，每只 B型口罩销售利润为0.2元； (2)根据题意得， = 0.15 + 0.2(2000 )，即 = 0.05 + 400； 根据题意得，2000 3，解得 500， = 0.05 + 400， = 0.05 0； 随 x的增大而减小， 为正整数， 当 = 500时，y取最大值，则2000 = 1500， 即药店购进 A 型口罩 500只、B 型口罩 1500 只，才能使销售总利润最大； (3)设 B 型口罩降价的幅度是 x，根据题意得 (1 + 100%)(1 ) = 1 + 15%， 解得 = 0.425 答：B
26、 型口罩降价的幅度42.5% 【解析】 (1)设每只 A 型口罩销售利润为 a元， 每只 B型口罩销售利润为 b 元， 根据“销售 800 只 A型和 450 只 B 型的利润为 210元，销售 400只 A 型和 600只 B 型的利润为 180 元”列方程组解答即可； (2)根据题意即可得出 y 关于 x 的函数关系式；根据题意列不等式得出 x 的取值范围，再结合的结论 解答即可； (3)设 B 型口罩降价的幅度是 x，根据题意列方程解答即可 本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数 x 值的增大而确定 y值的增减情况 22.【答案】 解
27、： (1)由二次函数 = 2+ + 的图象经过(1,0) 和(2,0)两点， 1 + = 0 4 + 2 + = 0，解得 = 1 = 2， 此二次函数的表达式 = 2 2； (2) 抛物线开口向上，对称轴为直线 = ;1:2 2 = 1 2， 在2 1范围内，当 = 2时，函数有最大值为： = 4 + 2 2 = 4；当 = 1 2时函数有最小值： = 1 4 1 2 2 = 9 4， 最大值与最小值的差为：4 ( 9 4) = 25 4 ； (3) = (2 ) + 2 与二次函数 = 2 2图象交点的横坐标为 a和 b， 2 2 = (2 ) + 2 ，整理得 2+ ( 3) + 4 =
28、 0 3 0 5， 3 2 2， 把 = 3代入(2 ) + 2 2 2，解得 1， 的取值范围为 1 【解析】(1)由二次函数的图象经过(1,0)和(2,0)两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式； (2)求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当 = 2时，函数有最大值 4；当 = 1 2时函数有最小值 9 4，进 而求得它们的差； (3)由题意得2 2 = (2 ) + 2 ，整理得2+ ( 3) + 4 = 0，因为 3 0，把 = 3代入(2 ) + 2 2 2，解得 1 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合 是解题的关键 2
29、3.【答案】(1)1 60 (2)如图 2 中，设 BD交 AC于 O = ， = ， = = 90， ， 都是等腰直角三角形， = 2， = 2， = = 45， = ， = ， ()， = = 2， = ， = ， = = 45， = 2，直线 AP与 BD相交所成的较小角的度数是45 (3)如图3 1中，当点 P在 AC的延长线上时，设 = ，则 = 3， = 4， = = 45， = 90， 在 中， = 2 = 32， = 2 = 2， = 2+ 2=(32)2+ (2)2= 25， = 25 4 = 5 2 如图3 2中，当点 P落在 AC上时，设 = ，则 = 3， = 2， =
30、 = 45， = 90， = 2+ 2=(32)2+ (2)2= 25， = 25 2 = 5， 综上所述， 的值为 5 2 或 5 【解析】 【分析】 本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的 判定和性质， 相似三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题， 属于中考压轴题 (1)如图 1 中，延长 AP交 BD的延长线于 K，设 AK交 BC于.证明 ()，推出 = ， = 可得结论 (2)如图 2 中，设 BD 交 AC 于.证明 ()，推出 = = 2， = 可得结论 (3)分两种情形： 如图3 1中， 当点 P在 AC的延长线上时， 如图3 2中， 当点 P落在 AC 上时， 设 = ， = 3，求出 BD，PA 即可解决问题 【解答】 解：(1)如图 1 中，延长 AP交 BD的延长线于 K，设 AK交 BC于 J = ， = ， = = 60， ， 都是等边三角形， = ， = ， = = 60， = ， ()， = ， = ， = ， = = 60， = 1，直线 AP与 BD相交所成的较小角的度数是60， 故答案为 1，60 (2)(3)见答案