1、JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 1 第十五章第十五章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 15.1 割集 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 15.4 回路电流方程的矩阵形式 15.5 结点电压方程的矩阵形式 15.6 割集电压方程的矩阵形式 JiangSu University Of Science and Techn
2、ology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 2 基本要求基本要求 掌握割集、关联矩阵、回路矩阵及割集矩阵。 掌握结点电压方程的矩阵形式，了解回路电流方程的矩阵 形式。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information Scho
3、ol Thursday, April 8, 2021 3 1. 定义 连通图G的一个割集是G的一个支 路集合，如果 把这些支路移去，将使G(恰好)分 离为两个部分， 但是少移去其中一条支路，G将 仍是连通的。 (a，d，f )这个支路集合就是G 的一个割集。 a d f b c e Q1 a d f b c e Q2 Q3 Q4 (a，b，e ) (b，c，f ) (c，d，e ) 显然，对右图，汇集于同一结点的支 路都是G的一个割集。 15.1 割集割集 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Ci
4、rcuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 4 全移，G一分为二；少移一条， G连通。 (b, d, e, f )是 Q5 a d f b c e a d f b c e Q6 Q7 a d f b c e (a, e, c, f )是 (a, b, c, d ) 也是 15.1 割集割集 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By
5、 Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 5 15.1 割集割集 (a, d, e, f )不是不是G的割集！的割集！ a d f b c e Q8 原因：少移去原因：少移去e，G仍为两部分。仍为两部分。 (a, b, c, d ,e )不是G的割集！ 原因：全移，G被分为三部分。 a d f b c e Q9 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jian
6、g / Information School Thursday, April 8, 2021 6 2. 割集的判断与确定 直观方便的方法是闭合面加定义。 注意：有些割集可能不易用与闭合 面相切割的方法表示。 a b e c d f 无法作闭合面判断割集 (a, b, c, d)。 Q a b c d e 与Q相切割的支路集合 (a, b, e) 不是割集。 15.1 割集割集 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / I
7、nformation School Thursday, April 8, 2021 7 3. 独立割集和基本割集独立割集和基本割集 KCL适用于任一闭合面。 属同一割集的所有支路电流也 满足KCL。 对于一个连通图 G，总可 以列出与割集数量相等的 KCL方程。但它们不一定 线性独立。 (1)独立割集 与一组线性独立的KCL方程 相对应的割集，称为独立割集。 a b e c d f Q1 Q2 Q3 Q4 当割集的所有支路连接于 同一结点时，割集的KCL 变为结点的KCL。 对较大规模的电路， 用观察法选择一组独 立割集是困难的。 借助于树，就比较方便。 15.1 割集割集 JiangSu U
8、niversity Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 8 (2)独立割集的确定 选一个树，一条树支与 相应的连支可以构成一 个割集。 由一条树支与相应的连支构成 的割集叫单树支割集。 对于具有n个结点b条支路的连 通图，树支数为(n-1)条。 这(n-1)个单树支割集称为基本 割集组。 bt l1 l2 l3 Q 独立割集组不一定是单树支 割集。就象独立回路不一定
9、是单连支回路一样。 而基本割集组是独立 割集组。 15.1 割集割集 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 9 树支为2,3,4,6时的基本割集组 树支为 5,6,7,8时的 基本割集组。 1 2 3 4 5 6 7 8 Q1 Q1 (1,2,5,7,8) 1 2 3 4 5 6 7 8 Q2 Q2 (1,3,5,8) 1 2 3
10、4 5 6 7 8 Q3 Q3 (1,4,5) Q4 Q4 (5,6,7,8) 1 2 3 4 5 6 7 8 Q1 Q2 Q3 Q4 同一个图，有许 多不同的树，因 此能选出许多不 同的基本割集组。 15.1 割集割集 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 10 0 0 1. 关联矩阵的特点 描述结点与支路关联的矩阵。 是一个(n
11、b)阶的矩阵。 Aa= 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 - -1 - -1 +1 0 0 0 - -1 - -1 0 +1 1 i1 2 i2 3 i3 4 i4 5 i5 i6 6 +1 0 0 +1 +1 0 0 +1 0 0 - -1 - -1 (1)Aa的元素定义 ajk= +1，支路k与结点j关联， 且方向背离结点； ajk= -1，支路k与结点j关联， 且方向指向结点； ajk= 0，支路k与结点j无 关联。 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 JiangSu University Of Science and Technology. Zha
12、ngjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 11 (2)降阶关联矩阵A 划去Aa中任意一行所得到的(n- 1)b阶矩阵。 A = 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 - -1 - -1 +1 0 0 0 0 0 - -1 - -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0 0 +1 0 0 - -1 - -1 1 i1 2 i2 3 i3 4 i4 5 i5 i6 6 被划去的行对应的结点可以当 作参考结点。 a 提示 给定A可以确
13、定 Aa，从而 画出有向图。 若以结点 4 为参考结点，把式中 的第 4 行划去，得 A 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 12 (3)用A表示KCL的矩阵形式 b(=6)条支路电流可以用列向量表示 i = i1, i2 , , i6 T Ai = -1 -1
14、+1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0 i1 i2 i6 = -i1 i2 +i3 -i3 i4 +i6 +i1 +i4 +i5 = 0 0 0 Ai = 结点结点1的的KCL 结点结点(n-1)的的KCL 结点结点2的的KCL Ai =0 1 i1 2 i2 3 i3 4 i4 5 i5 i6 6 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xu
15、ebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 13 (4)用A表示KVL的矩阵形式 以b(=6)阶列向量表示支路电压： u = u1, u2 , , u6 T 并取某一结点(取)为参考， (n-1=3) 个结点电压的列向量： un = un1, un2 , un3 T 结点电压与支路电压之间的关系为 u = ATun u1 u2 u3 u4 u5 u6 = 1 i1 2 i2 3 i3 4 i4 5 i5 i6 6 - -un1+ un3 - -un1 un1- -un2 - -un2 + un3 un3 un2 = un1 u
16、n2 un3 - -1 0 1 - -1 0 0 1 - -1 0 0 - -1 1 0 0 1 0 1 0 AT 可以认为，这 是用A表示KVL 的矩阵形式。 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 14 小小 结结 矩阵 A表示有向图结点与支路的关联性质。 用 A
17、表示的 KVL 的矩阵形式为 u = ATun 用 A表示的 KCL 的矩阵形式为 Ai =0 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 15 2. 回路矩阵回路矩阵 描述回路与支路关联的矩阵, 是一个(lb)阶的矩阵。 (1)B 的元素定义 bjk= +1，支路k与回
18、路j关联，且方向一致； bjk= -1， 支路k与回路j关联，且方向相反； bjk= 0， 支路k与回路j无关联。 1 2 3 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 0 1 0 - -1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 - -1 1 B = 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thur
19、sday, April 8, 2021 16 (2)基本回路矩阵Bf Bf 反映了一组单连支回路与支路间 的关联关系。 写Bf时的排列顺序： 先连支后树支。 Bf = 1l Bt 1 2 3 4 5 6 1 2 3 1 2 4 3 5 6 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 -1 1 Bf = 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Ji
20、ang / Information School Thursday, April 8, 2021 17 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 (3)用B表示的KVL矩阵形式 ：u1+u3 -u5 +u6= 0 ：u2+ u3+u6= 0 ：u4-u5 +u6= 0 Bu = 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 u1 u2 u3 u4 u5 u6 = 0 0 0 1 2 3 4 5 6 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circ
21、uit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 18 (4)用B表示的KCL矩阵形式 若用列向量表示 l(=3) 个独立回路电流： il = il1 il2 ill T 则支路电流与回路电流之间的关系可以 表示为 i = BTil 可以认为是用B 表示KCL的矩 阵形式。 1 2 3 4 5 6 i1 i2 i3 i4 i5 i6 = il1 il2 il3 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 -1 0 -1 1 1 1 ii1 il2 il1+il2 il3 -il1
22、-il3 il1+il2 +il3 = 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 19 3. 割集矩阵Q 描述割集与支路关联的矩阵。 Q是一个(n-1)b阶的矩阵。各元素定义为： qjk= +1，支路k与割集j关联，且方向一致； qjk= -1，支路k与割集j关联，且方
23、向相反； qjk= 0，支路k与割集j无关联。 1 2 3 4 5 6 1 2 3 1 2 3 4 5 6 Q1 -1 -1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 -1 -1 0 -1 0 1 Q2 Q3 Q = 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 20 15.
24、2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 若选单树支割集为一组独立割集， 则得到基本割集矩阵Qf。 排列顺序为先树支后连支。 Qf = 1t Ql Qf = 1t Ql = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - -1 1 - -1 - -1 0 - -1 0 1 - -1 3 5 6 1 2 4 Q1 Q2 Q3 1 2 3 4 5 6 Q1 Q2 Q3 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / I
25、nformation School Thursday, April 8, 2021 21 (1)用割集矩阵Q表示的 KCL的矩阵形式 因属同一割集的所有支路的电 流也满足KCL，所以 Q i = 0 1 2 3 4 5 6 Q1 Q2 Q3 - -1 - -1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 - -1 - -1 0 - -1 0 1 i1 i2 i3 i4 i5 i6 = - -i1 i2 + +i3 i1 + +i4 +i5 - -i1 - -i2 - -i4 +i6 = 0 0 0 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 JiangSu Universi
26、ty Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 22 (2)用基本割集矩阵Qf表示KVL的矩阵形式 式中 ut =ut1 ut2 ut(n-1)T 为树支电压列向量。 对右图：ut =ut1 ut2 ut3T u =u3 u5 u6 u1 u2 u4T u = Qf ut T 1 2 3 4 5 6 Q1 Q2 Q3 u = 1 0 0 - -1 - -1 0 0 1 0
27、1 0 1 0 0 1 - -1 - -1 - -1 ut1 ut2 ut3 = ut1 ut2 ut3 - -ut1+ +ut2 - -ut3 - -ut1- -ut3 ut2- -ut3 = =u3 = =u5 = =u6 = =u1 = =u2 = =u4 当选单树支割集为独立割集时，树支电 压可视为割集电压。 树支电压(割集 电压)也是一组完 备的独立变量，支 路电压可以用树支 电压表示。 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus
28、. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 23 1. 复合支路 既含阻抗(导纳)，又有电源。 (1)支路阻抗Zk是单一的R或L或C，但 不是它们的组合； (2)可以缺少某种元件。但不许存在 无伴电流源支路。 Zk - + . Usk . Isk . Iek . Ik - + . Uk . Uk = Zk . (Ik+ . ISk) . -USk 式中各量为第 k 条支路的阻抗、独立电流源和独立电压 源。无独立源时将其置零。 则 . U = Z . (I + . I
29、S) . -US 避免造成计算困难。 15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 24 15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 2. 支路方程的矩阵形式 情况1 电路无互感 设 . I = . I1 . I2 . IbT . U = . U1 . U2 . UbT .
30、 IS = . IS1 . IS2 . ISbT . US = . US1 . US2 . USbT Zk - - + . Usk . Isk . Iek . Ik - - + . Uk Z称为支路阻抗矩阵， Z是对角矩阵， 对角元素是各支路阻抗。 . U = Z . (I + . IS) . -US Z1 Z2 . . . Zb 0 0 Z = JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information Scho
31、ol Thursday, April 8, 2021 25 情况2 电路有互感 设在b条支路中，1g支路之间相互有耦合，则有 (g+1)b支路之间无耦合，关系式同情况1。 . U1 = Z1 . Ie1 jw wM12 . Ie2 jw wM13 . Ie3 jw wM1g . Ieg . - -US1 . U2 = jw wM21 . Ie1 +Z 2 . Ie2 jw wM23 . Ie3 jw wM2g . Ieg . - -US2 . Ug =jw wMg1 . Ie1 jw wMg2 . Ie2 jw wMg3 . Ie3 . - -USg +Zg . Ieg . Ie1= . I1
32、+ . IS1， . Ie2= . I2+ . IS2， ； M12= M21， 。 15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 26 有互感和无互感，方程形式相同。 有互感时，Z 不再是对角阵。非对角线元素将含互感阻抗，其 正负号根据同名端确定。 = = - - . U = Z .
33、 (I + . IS) . - -US . U1 . U2 . Ug . Ug+ +1 . Ub Z1 jw wM12 jw wM1g 0 0 jw wM21 Z2 jw wM2g 0 0 jw wMg1 jw wMg2 Zg 0 0 0 0 0 Zg+1 +1 0 0 0 0 0 Zb . . I1+ IS! . . I2+ IS2 . . Ig+ ISg . . Ig+1 +1+IS(g+1+1) . . Ib+ ISb . US1 . US2 . USg . US(g+ +1) . USb 15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 JiangSu University Of
34、 Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 27 情况3 含受控电压源的复合支路 受控电压源与无源元件串 联，控制量可以是其它支 路无源元件的电压或电流。 在第十章，我们曾用受控源替代法分析过含有互感的电路。 所以当支路含受控电压源时，可以仿照含互感的方法处理。 但互感是成对出现的，而受控源可以单个出现。 Z的非对角线元素将含有与控制系数有关的元素。 其正负号的确定：控制量、被控
35、量与复合支路的参考方向 都一致(或都相反)时取“+”，否则取“-”。 Zk - - + . Usk . Isk . Ik - - + . Uk + - - . Udk . U = Z . (I + . IS) . - -US 支路方程的矩阵形式仍然是： 15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8
36、, 2021 28 3. 回路电流方程的矩阵形式 用B表示的KVL： 令 Zl = BZBT ，则 Zl 称为回路阻抗矩阵。 Zl的主对角线元素为自阻抗；非对角线元素为互阻抗。 . BU = 0 . U = Z . (I + . IS) . -US 将支路方程 代入得： BZ . I . -BUS = 0 +BZ . IS 用B表示的KCL： . I = BT . Il 代入上式得回路电流方程的矩阵形式为： BZBT . I = . BUS -BZ . IS BZBT是 l 阶方阵。 . BUS 和BZ都是l 阶列向量。 15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 JiangSu
37、University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 29 4. 回路电流方程的编写步骤 解：(1)作有向图，选树； R1 - - + . US2 . IS1 jw wL4 R2 jw wL3 jw wC5 1 1 2 3 4 5 15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 (2)画基本回路电流，参考方 向同连支电流； (3)写基本回路矩阵B、 支路阻
38、抗矩阵和电压、 电流列向量； B = - -1 0 1 0 1 0 1 0 1 - -1 Z = diag R1, R2 , jw wL3 , jw wL4 , jw wC5 1 . US = 0 - -US2 0 0 0T . . . IS = IS1 0 0 0 0T P401例15-1 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 3
39、0 (4) 求回路阻抗矩阵Zl =BZBT (5) 并计算整理便得回路电流方程的矩阵形式。 Zl =BZBT Zl . I = . BUS -BZ . IS 将Zl 、 . US 、 . IS 代入式 = = - -1 0 1 0 1 0 1 0 1 - -1 R1 R2 jw wL3 jw wL4 jw wC5 1 - -1 0 1 0 1 0 1 0 1 - -1 15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lect
40、ured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 31 1. 复合支路及其方程的矩阵形式 情况1 无受控电流源、无耦合电感 Yk - - + . Usk . Isk . Iek . Ik - - + . Uk . Idk 与回路法定义的复合支路相比，增加 了受控电流源。 但不许存在受控电压源； 也不许存在无伴电压源。 对第 k 条支路有 . Ik = Yk . (Uk+ . USk) . -ISk 对整个电路有 . I = Y . (U+ . US) . -IS Y 称为支路导纳矩阵。 Y 是一个对角矩阵， 对角
41、线元素为各支路导纳。 15.5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School Thursday, April 8, 2021 32 情况2 无受控电流源、有耦合电感 相当于回路法的情况2： VCR的矩阵形式与情况1相同。差别只是 Y 不再是对角阵。 Yk - - + . Usk . Isk . Iek . Ik - - + . Uk . U
42、= Z . (I + . IS) . -US 电路有耦合电感时，支路阻抗 Z 不是 对角阵，在 Z 的非主对角线元素中将 含有互感阻抗。 利用上式可求得 . Y U = . I + . IS . -YUS . I = Y . (U . +US) . - IS Y= Z-1是支路导纳矩阵。 15.5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School
43、 Thursday, April 8, 2021 33 . Ik 注意它们在复合支 路中的方向。 . Idk =Ykj 情况情况3 有受控电流源有受控电流源 设：第k条支路受控源受第 j条支 路无源元件的电流(或电压)控制。 Yk - - + . Usk . Isk . Ik - - + . Uk . Idk Yj - - + . Usj . Is j . Iej . Ij - - + . Uj + - - . Uej . . Idk = gkj Uej 或 . . Idk = b bkj Iej 因为 . . Iej = Yj Uej . . Idk = b bkj Yj Uej 所以无论是流控还是压控，均化成 VCCS，且 控制系数用Ykj 表示： Ykj = gkj b bkj Yj 第k条支路方程为： . Ik = Yk . (Uk+ . USk) . +Idk . - -ISk = Yk . (Uk+ . USk) +Ykj . (Uj . +Usj) . - -ISk . Uej = Ykj ( . Uj+ . USj ) 15.5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式 JiangSu University