1、第八章第八章 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析 81 引言引言 82 正弦信号正弦信号 8. 正弦信号的相量表示正弦信号的相量表示 8. 4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 8. 5 电阻、电感、电容元件伏安电阻、电感、电容元件伏安 关系的相量形式关系的相量形式 第八章第八章 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析 8. 6 阻抗和导纳阻抗和导纳 8. 7 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析 8. 8 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率 8. 9 最大功率传输最大功率传输 分析正弦稳态电路通常有两种方法 一是时域分析方法,列写微分方程,求方 程的特解或稳态解，计算比较复杂；
2、 二是相量法分析法。 8.1 引言引言 两种分析法的简单比较 对图示电路求解正弦稳 态响应的过程如下 C u cos S Ut R u 1.1. C u cos S Ut R u 两种分析法的简单比较 1.用时域分析法 列写电路方程 cos c cs du RCuUt dt 代入微分方程比较系数确定 和 ( )cos() ccxx u tUt设特解为 cx U x sin()cos()cos cxxcxxs RCUtUtUt 解正弦函数方程，定出 和 ，再求出 cx U x ( ) c u t 2.用相量法 列写电路电压相量方程 解这个代数方程，用复数运算求出 ， 再写出与 相对应的瞬时值 S
3、RCUUU CU CU ( ) C u t 。 即求出电路的稳态响应。 两种分析法的简单比较 8.2.1正弦信号的三个特征量正弦信号的三个特征量 按正弦或余弦规律变化的周期电压、电 流、电荷和磁链信号统称为正弦信号。 以余弦信号为例，正弦信号的一般表达 式为 若表示电路中的电流信号，在选定参考方 向下，可表示为 8.2 正弦信号正弦信号 ( )cos() m f tFt ( )cos() mi i tIt m F 2T 是正弦信号的振幅或最大值 ()t 是瞬时相位 是初相 周期T 正弦信号每经过一个周期T的时间，相位 变化弧度 8.2 正弦信号正弦信号 ( )cos() m f tFt 表示正
4、弦信号单位时 间内变化的弧度数， 单位为 弧度 /s t f(t) 0 0(a) 2 2f T t f(t) 0 0(b) 为角频率 或 8.2 正弦信号正弦信号 1 f T 表示每秒钟正弦波变化的次数， 单位为赫兹（HZ）。 正弦量的振幅正弦量的振幅 ，频率，频率 （或角频率（或角频率 ），）， 初相初相 称为正弦量的三个特征量。称为正弦量的三个特征量。这三个这三个 特征量确定了，正弦量的变化规律就唯一特征量确定了，正弦量的变化规律就唯一 地确定了。地确定了。 m Ff 5A m I ，173rad/s， rad 6 ， ( )5cos(173)A 6 i tt 例如，已知一个正弦电流 则则
5、 8.2 正弦信号正弦信号 20 ( )i t t 相位差相位差 , 规定规定 180 设两个同频率的正弦信号设两个同频率的正弦信号 波形如图波形如图823所示所示 | ( )cos() mu u tUt ( )cos() mi i tIt u i 0 i u t u i m I m U 8.2.2 相位差相位差 与 的相位差， 同频正弦信号的相位差即是它们的初相之差。 ui () () ui tt ui 0 ui ui ui 0 ui ui 讨论相位差 说明 超前于 度； u滞后于 i 度或i趋前于 u 度 8.2.2 相位差相位差 ，表示 与 同相； ,表示 与 反相； ，表示 与 正交。
6、 例例821 已知 ，求 与 的相位差？ 解：解： 说明 趋前 240。由于规定 180 0 ui u i 120 ui 90 ui u i ( )3cos(140 )u tt ( )8cos(100 )i tt ui 120100240 ui （） ui| 180 ui 8.2.2 相位差相位差 周期电流i 流过电阻R在一个周期T 内作 功与直流电流I 流过同样电阻R 在同样时 间T 内所作功相等，称直流电流量I为此 周期性电流i的有效值。 周期电流 i流过电阻R在一个周期T内所 作功为 2 00 ( )( ) TT wp t dtRi t dt 8.2.3 有效值有效值 直流电流 流过 在
7、 内所作功为 两者相等 即 上式表明，周期性电流的有效值，等于周上式表明，周期性电流的有效值，等于周 期性电流瞬时值的平方在一个周期内的平期性电流瞬时值的平方在一个周期内的平 均值再取平方根，因此有效值又称为方均均值再取平方根，因此有效值又称为方均 根值根值 I R T 22 0 T wRI dtRI T 22 0 T I RTi Rdt 2 0 1 T Ii dt T 8.2.3 有效值有效值 周期电压的有效值 如果周期信号是正弦电流， 有效值为 2 0 1 ( ) T Uu t dt T ( )cos() mi i tIt 2 0 1 cos() T mi IItdt T 1 2 m T
8、I T 2 m I 0.707 m I 8.2.3 有效值有效值 同理可得正弦电压的有效值 可见,正弦量有效值是最大值的 倍 正弦电流和电压也可用有效值表示 2 m U U 0.707 m U 1 2 ( )2 cos() i i tIt ( )2cos() u u tUt 实际应用中有关交流电流、电压指示值都是有效 值，例如电气设备的额定值，仪器仪表的量测值 8.2.3 有效值有效值 8.3 正弦信号的相量表示正弦信号的相量表示 8.1 复数及其运算法则复数及其运算法则 一、复数的表示一、复数的表示 设复数 式中 ，是虚数单位。 a为复数的实部，b为复数的虚部， a,b 都为实数 Aajb
9、1j Re aA Im bA 复数可用复平面上的一点来表示，该点 在实轴上的坐标是a，在虚轴上的坐标是 b。复数还可用从原点指向点（ a，b） 的向量来表示，如图所示。该向量的长 度称为复数的模，记作 22 |Aab a b A 1 j 0 8.1 复数及其运算法则复数及其运算法则 复数A的向量与实轴 正向间的夹角称为的 辐角，记作 复数直角坐标与极坐 标的表示为 b arctg a a b A 1 j 0 |cosaA |sinbA 或 |AA 8.1 复数及其运算法则复数及其运算法则 复数的三角表示为 由欧拉公式 复数的指数表示 |(cossin )AAj cossin j ej | j
10、AA e 8.1 复数及其运算法则复数及其运算法则 二、复数的代数运算 设复数 复数的加、减运算 111 Aajb 222 Aajb 12 AA 1122 ()()ajbajb 1212 ()()aaj bb 8.1 复数及其运算法则复数及其运算法则 复数的乘除运算采用极复数的乘除运算采用极 坐标形式坐标形式 11111 | _ / AajbA 22222 | _ / AajbA 1212 12 | / AAAA 11 12 22 | / | AA AA 8.1 复数及其运算法则复数及其运算法则 共轭复数的性质 = 实部相同,虚部符号相反的两个复数称为 共轭复数,例如复数A,其共轭复数记作 8
11、.1 复数及其运算法则复数及其运算法则 用直角坐标形式和极坐标形式表示式 的结果。 解 1.112.27 j 例例8 用相量法分析正弦稳态电路，先讨论用 相量表示正弦量。 由欧拉公式 8.3.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 设正弦电流 用复数表示 其中 称为电流的振幅相量 8.3.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 称为电流的有效值相量 是复常量，它们的模是正弦电流的 最大幅度或有效值幅度，幅角是正弦电 流的初相角。 8.3.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 在同一电路里，各正弦稳态响应都与激 励同频率，因此，用振幅（或有效值） 与初相就能确定正弦响应中的电流。 所以 或 是能够表
12、征正弦电流 的复 数。 在式(8-3-1)中， , 相量 与 相乘， 幅角 是时间 t 的函数，随着时间的推移，相量 以原点为中心，以角速 度作周期性旋转。因 此 称为旋转相量，其中 称为旋转因子 8.3.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 （）求 对应的相量并画出相 量图； （）求相位差。 解：（） 对应的振幅相量为 例例 已知已知正弦电流和电压 对应 的有效值相量 对应的 相量 相量图为 （2） 与 的相位差 电流滞后电压40 解题时注意，相量与正弦量（或瞬时值）是 对应关系不是相等关系 已知正弦电路某三支路电压的相量分别 为 画出相量图，写出对应的正弦电压表达 式。 解：为了表示统一，
13、将三支路电压相量 表示成标准的振幅相量形式 例例8 相量图为 所对应的正弦电压为 或者 8.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 基尔霍夫电流定律(KCL)时域表示 当电路处于正弦稳态时,各支路电流都是同 频率正弦电流,于是上式可表示为 因 ， 或 所以 KCL相量形式表明，正弦稳态电路中，任 一节点上各支路电流相量代数和为零。 8.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 KCL相量形式 注意，电流相量的代数和为零，意味 着节点上各支路电流的瞬时值代数和 为零，而不是电流振幅值或有效值代 数和为零，即 它表明，正弦稳态电路中，沿着任一回 路的所有支路电压相量的代数和为零。
14、 8.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 基尔霍夫电压定律的相量形式 注意，电压相量的代数和为零，意味着回路 中各支路电压的瞬时值代数和为零，而不是 电压的振幅值或有效值代数和为零，即 某电路节点电流为 如8-4-1图所示， 求 并画出电路相量图。 解：先将电流换算成同一函数形式，写出 已知电流的相量。 例例841 由KCL得 对应的 相量图 8.5 电阻、电感、电容元件伏安关系的相量形式电阻、电感、电容元件伏安关系的相量形式 一、电阻元件伏安关系的相量形式 设流过电阻R的电流为 由欧姆定律得 对应的相量形式 或 比较得 电阻电压的有效值等于电阻电流有效值 与电阻乘积，电压与电流
15、相位相同。电 阻元件相量模型图如851所示，电压 与电流相量图如852所示。 电阻元件相量模型 电感电压为 二、电感元件伏安关系的相量形式 设流过电感元件L的电流为 电感元件的伏安关系的相量形式 其中 称为感抗，单位是 。 或 电感电压与电流的有效值关系为 电压相位超前电流90度， 相量图如图所示 或可写为 即 电感元件相量模型 如图所示 设电容两端电压为 流过电容电流为 三、电容元件伏安关系的相量形式 比较上两式 也可写为 电容电压与电流的有效值关系为 电压相位滞后电流 电容元件的电压电流相量图 8.6 阻抗和导纳 一阻抗 由R、L、C元件组成的无源二端网络如 图所示，电流相量和电压相量为关
16、联参 考方向，电压相量与电流相量的比称为 二端网络的等效阻抗，即 Z的单位为 。 Z为复数 其中 是阻抗的模，它是二端网络输入电 压和电流的振幅或有效值之比 阻抗角 是端电压与电流之间的相位差 阻抗模及阻抗角与电阻和电抗的关系为 阻抗三角形 阻抗是复量，不是相量，不能代表正弦量。 R、L、C三元件的阻抗 求R、L、C串联电路的阻抗。 解： 由于 例861 电路等效阻抗 的值域取决于电路的性质，讨论如下 无源二端网络的阻抗 导纳 二、导纳 8.6 阻抗和导纳 导纳是阻抗的倒数，也是复量 单位为西门子（s）， 式中G是导纳的实部，称为电导，B是导纳的虚 部，称为电纳, 是导纳的模， 为导纳角。 R
17、、L、C元件的 导纳分别为 、 与G、B的关系 阻抗与导纳的转换 模和幅角为 8.6 阻抗和导纳 二端网络的阻抗 它可等效 为一个电阻和一个电抗的串联，如 图（a）所示。 二端网络的导纳 ，它可等 效为一个电导和一个电纳元件的并 联，如图（b）所示。 三、阻抗、导纳串并联电路 8.6 阻抗和导纳 若干个导纳并联，如图 所示。 等效导纳为 若干个阻抗串联，如图 （c）所示。 等效阻抗为 已知图（a)所示电路的电压、电流为 1）求输入阻抗Z，并画出等效电路图。 2）求输入导纳Y，并画出等效电路图 解： 电压、电流的振幅相量 例862 、 1）输入阻抗 对应的元件值 等效电路如图（b）所示。 2）输
18、入导纳 对应的元件值 等效电路如图（c）所示。 图示电路 ，求 ， 与 的相位 差。 解： 电路的输入阻抗 电流有效值 例863 电流电压相量图如图所示。 8.7 正弦稳态电路的分析 KCL、KVL和元件的伏安关系是分析电 路的基本依据，前面已经定义了这两类 约束关系的相量形式，相量形式的电路 方程和电阻电路的电路方程一样，也是 线性代数方程，所以分析电阻电路的定 律、定理、方法和公式等，都适用于相 量法分析正弦稳态电路。以下举例说明 正弦稳态电路的分析计算。 图（a）电路 ，求电路 的戴维南等效电路。 例871 解： 电路的相量模型如 图（b）所示 开路电压相量 等效阻抗 开路电压相量 戴维
19、南等效电路如图（c）所示。 列写图示电路的节点电压方程和网孔电流方 程。 解： 选为参考节点，节点电压方程为 例872 网孔电流方程 电路如图所示，求 与 的相位差。 解：为节点电压，列写节点电压方程 例873 8.8 正弦稳态电路的功率 8.8.1 瞬时功率 一个无源二端网络N， 端口电压与电流是关联 参考方向，如图所示， 网络N在任一瞬时吸收 的功率为 设端口电压、电流分别为 阻抗角 二端网络吸收的瞬时功率为 第一项 是不随时间变化的恒定值，如波 形图虚线所示； 第二项是以 为中心线，随时间变化的 正弦波。 符号相同时， ， 二端网络从外电 路吸收能量。 符号相异时， ，二端网络向外电 路
20、释放能量。 瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均 功率，即 P也称有功功率，单位是瓦特（w） 。 8.8.2 平均功率平均功率 当二端网络是纯电阻时 当二端网络是纯电感时 当二端网络是阻抗时，可以用等效电路表示， 如图（a）所示。 二端网络吸收的平均功率 ，就是网络中电阻 消耗的功率。 假设 若二端网络中有N个电阻，网络吸收的总 平均功率等于各电阻吸收的平均功率之 和，即 8.8.2 平均功率平均功率 电感和电容虽然不消耗能量，但却存在 与外电路交换能量的过程，这种能量交换用 无功功率来计量。 8.8.3 无功功率 瞬时功率也可另推导如下 以电源的两倍频作周期变化，它代表了二端网络 中等效电抗
21、所吸收的瞬时功率。 代表了二端网络中等效电阻所吸收的。 电抗元件只与外电路进行能量交换。能量交换 的最大速度 ，称为二端网络的无功功 率， 表示 为了区别有功功率，无功功率的单位为 乏（Var）。 当二端网络等效为纯电阻时，有 当二端网络等效为纯电感时，有 当二端网络等效为纯电容时，有 二端网络端口电压与电流的有效值乘积 称为视在功率，记为 单位为伏安（VA）。 一般电气设备都要规定额定电压和额定 电流，工程上用它们的乘积视在功率表 示某些电气设备的容量。 二端网络的有功功率与视在功率之比称 为功率因数，记为 8.8.4 视在功率和功率因数 由于0 1，有0PS，实际中为了提高电气 设备的利用
22、率，应尽量提高负载的功率因数。 例如的变压器，额定视在功率是 ，如果 所接负载的功率因数=1，它能传输的功率 是 ；如果=0.5，它只能传输 了， 所以要更充分的利用该电气设备的容量，就应 设法提高负载的功率因数。 以上讨论的二端网络是假设无源的网络，对于 上述定义的各功率也适用有源二端网络，只要 将阻抗角 改为二端口电压与电流的相位差 即可。 设二端网络N的输入电压与电流的相量为 电流的共轭复数为 8.8.5 复功率 复功率 单位为伏安（VA） 复功率可表述为：复功率等于电压相量 与电流相量的共轭复量的乘积。 复功率只是计算用的复量不代表正弦量， 因此不能视为相量。 复功率的模为视在功率 复
23、功率的实部是有功功率 复功率的虚部是无功功率 8.8.5 复功率 的关系为 8.8.5 复功率 功率三角形 如图所示 复功率具有守恒性，视在功率不守恒。 图示电路， ，求电路消耗 的总平均功率；电路功率因数；电源输 出的复功率、视在功率、无功功率。 解： 电路的总阻抗为 例881 电源支路的电流为 电路消耗的总平均功率为 功率因数 电源输出的复功率 视在功率 在正弦稳态电路中，电源电压和电源内 阻抗一定，怎样的负载才能获得最大的 平均功率，这是电气电子技术经常遇到 的问题。 电路的等效信号源 和内阻抗 是 一定的，负载阻抗 可变，讨论 获得最大的平均功率的条件。 8.9 最大功率传输 第一种情
24、况， 其中 与 均可变。 电路电流 8.9 最大功率传输 电流有效值 负载电阻吸收的功率 欲使 最大，令 有 8.9 最大功率传输 此时分母最小，功率 再令 得 所以当 ， 负载可获最大功率 负载获得最大功率的条件为负载获得最大功率的条件为 8.9 最大功率传输 称为负载阻抗与信号源内阻抗共轭匹配。 这种匹配也是最佳匹配。 在共轭匹配的条件下，负载可以获得最 大功率为 8.9 最大功率传输 第二种情况, 负载阻抗 的模可以改变 负载电阻吸收的功率 上式只有分母与 有关,对分母求极小值,即是 对 求极大值，令分母的导数等于零，即 得 负载获得最大功率的条件是阻抗的模与电源内 阻抗的模相等。这种方式称为模匹配。 8.9 最大功率传输 图示电路，按以下三种情况求负载吸收的 功率， 1)负载是5电阻； 2)负载是电阻，并且与 电源内阻抗匹配； 3)负载与电源内阻抗共 轭匹配。 例891 1) 解：由图示电路知 例891 3) 比较以上三种情况，显然共轭匹配负载获得 的功率最大，模匹配次之，所以共轭匹配是 最佳匹配。 2) 例891 图示电路， 为何值能获得 最大功率，并求其最大功率。 解：图（a)所示电路a、b端 以左的戴维南等效电路为图 （ b)所示 例892 电路共轭匹配条件为 获得的最大功率 例892 第八章 结束