1、 1 1电路与电路模型 12电路分析的基本变量 13基尔霍夫定律 14电路的线图 15 KCL和KVL方程的独立性 16 电路的独立变量 第一章第一章 电路模型和基尔霍夫电路模型和基尔霍夫 定律定律 1.1. 1 1- -1 1 电路与电路模型电路与电路模型 一、电路的组成 电路由电源（信号源）、负载、传导和控 制部分组成。 如图1-1-1（a）所示 (a)手电筒实际电路 (b)手电筒电路模型 对于各种实际的电路元件，在一定条件下， 忽略其次要性质，用一个表征其主要物理特性 的理想化模型来表示，即理想元件。 对于理想电阻元件，简称为电阻，只表征消 耗电能的性质。 二、理想元件 理想电感元件，简
2、称为电感，只表征储存 和释放磁场能量的特性。 理想电容元件，简称为电容，只表征储存 和释放电场能量的特性。 1 1- -1 1 电路与电路模型电路与电路模型 电路符号见图1-1-2。 电阻符号 电感符号 电容符号 图1-1-2 三、电路模型 由理想元件组成的电路称为电路模型。 电路分析的对象是电路模型。 1 1- -1 1 电路与电路模型电路与电路模型 由集总参数元件构成的电路称为集总参数电路。 四、集总参数 集总参数元件(lumped parameter element)： 当实际电路的尺寸远小于其使用时最高工作频 率所对应的波长时而抽象出的理想元件。 集总参数电路 几种常用集总参数元件：
3、RCL s U s i 1 1- -1 1 电路与电路模型电路与电路模型 例如电力系统的供电频率为50Hz,波长 =6000km, 在此工作频率下，电路实验的元件 尺寸L0 ，说明电路吸收（消耗）功率； 若p0 ，说明电路释放（供给）功率。 当电压与电流取关联参考方向时: 1 1- -2 2 电路分析的基本变量电路分析的基本变量 已知某支路电压电流参考方向如图所示。 （1）如i=2mA,u=-5mV,求元件吸收的功率， （2）如u=-200V,元件吸收功率p=12kW,求电流。 元件吸收功率-1010-6 W，或供出功率 1010-6W。 6 10 10 Wpui 解解：（1） 例例1-2-1
4、 （2） 3 12 10 60A 200 p i u 支路电流是-60A 例例1 1- -2 2- -2 2 如图所示，(a)已知某支路电流i=5A， u=3V,求功率p。(b)已知电压源支路， i=-2A,us=3V，求功率p。 + _ (a) (b) 例例1-2-2 解：解：（a）电压电流为非关联方向 p=-u i=-35=-15W 支路供出功率15W (b) 电压电流为关联参考方向 p=u i=3(-2)=-6W 供出功率6W 11 ( ) tt tt w tpduid 能量的单位是焦耳（J）。 例例1 1- -2 2- -3 3已知图1-2-6（a）中某元件电流 , i 电压 的波形如
5、（b）（c）所示,求1）求元 件吸收的功率；2）求元件吸收的能量及平均 功率。 u 2.能量 ( )w t 若电路的电流和电压符合关联参考方向，在 到 时刻内该电路吸收的能量为: 1 t t 例例1-2-2 u ( )a ( )b 036 ( )/Ai t / t s 0 4 5 36 3 4 ( )/Vu t / t s ( ) c ( )i t 1-2-6图 1 解解：1）由图示波形写出电流和电压的表达式如下： 1 03 3 1 2 V36 3 tt i t tts 1 4 03 3 1 2 V 36 3 tt u t tts 1.元件吸收的功率 2 2 41 03 39 ( ) ( )
6、1 4 W 36 9 ttt p ti t u t ttS 在0t6s期间，元件吸收平均功率为 12 751 W 63 ww P t 2 1 7 03 ( ) ( ) 5 J 36 t t t w tp t d t tS 2.元件吸收的能量 1 1- -3 3 基尔霍夫定律基尔霍夫定律 支路：一个二端元件就是一条支路。也可以将 流过同一个电流的几个串联元件视为一条支路。 流经该支路的电流和支路端电压称为支路电流 和支路电压。 节点：电路中元件的汇结点称为节点。 回路：电路中任一闭合路径称为回路。 网孔：内部不含支路的回路称为网孔。 相关名词: 一一、基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律（Kirch
7、hoff s Current Law ，缩写为缩写为KCL） KCL可陈述为：对于任一集总电路中的任一 节点，在任一时刻，流出（或流入）该节点的 所有支路电流的代数和为零。数学表达式为： 1 0 b k k it 其中，b为节点处的支路数， 为第k条支路 电流。 ( ) k i t ii 入出或表示为： 1 1- -3 3 基尔霍夫定律基尔霍夫定律 关于KCL的讨论： （1）KCL的实质是电流连续性原理或电荷守 恒定律的体现。 （2）KCL说明了节点上各支路电流的线性约 束关系，各支路电流是线性相关的，KCL方 程是一个线性齐次代数方程。 （3）KCL与支路元件性质无关，只决定于电路 的结构。
8、 （4） KCL不仅适用于一个节点，还可以推广为 任意封闭面。这个封闭面称为广义节点。 1 1- -3 3 基尔霍夫定律基尔霍夫定律 有： 123 0iii 1 i 2 i 3 i S A B C 4 i 5 i 6 i . 广义节点示意图 如图所示电路中，对于虚线围成的封闭面S: 1 1- -3 3 基尔霍夫定律基尔霍夫定律 二二、基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律（Kirchhoff s Voltage Law ，缩写为缩写为KVL） 对任一集总电路中的任一回路，在任一时 刻，沿该回路的所有支路电压降的代数和为零， 即： 1 0 K k k ut 其中，K为回路中的支路个数， 为第k条 支路
9、电压。 k ut 1 1- -3 3 基尔霍夫定律基尔霍夫定律 KVL列写方法：以图示电路为例，首先任意 选取回路的绕行方向，图中选取的是顺时针方 向，支路电压极性与绕行方向一致，电压前面 取正号，反之则取负号。然后沿回路绕行一周， 列写KVL方程如下： 2 u 3 u 4 u 1 u 1234 0uuuu 或 1234 uuuu KVL方程示意图 1 1- -3 3 基尔霍夫定律基尔霍夫定律 （1）KVL可表示为 uu 升降 所以KVL是能量守恒的体现。 KVL表明 (2)在集总电路中，回路中各支路电压的线性约 束关系，即支路电压是线性相关的。 (3)KVL与支路元件性质无关，仅与支路元件的
10、 连接方式有关。 1 1- -3 3 基尔霍夫定律基尔霍夫定律 图是一个复杂电路中的部分电路，求支路电流 i1和 。 0 i 解：解：先用广义KCL求 ，对于封闭面S，列写 KCL方程 1 i 1 1 63( 4) 7 i iA 对于节点O，列KCL方程 01 0 210 5 ii iA 1 i o i2A 10A 6A 3A 4A o S 例例1-3-1 对于图示电路, （1）求所有未知电压和电流； （2）求各支路吸收 的功率； （3）验证电路的功 率平衡关系。 -3A 3 1 4 1 -u 4V 6 1V 2A 2 8 56V 2V 1A 9 10 2V 7 5V 3V 9 u 2 u 7
11、 i 4 i 解：解：（1）设元件1， 2，,10的电流、电 压分别为 12101210 ,;,i iiu uu 求得电流和电压为 例例1-3-2 759 2 11Aiii 1346 4 1 27Vuuuu 2475 2266Vuuuu 97810 23 50Vuuuu （2）各支路吸收的功率为 11 1 3 721Wpui 22 2 2 ( 6)12Wpu i 33 3 3 412Wpu i 412 325Aiii 例例1-3-2 （2）其它元件的功率为 4 10Wp 5 12Wp 6 3Wp 7 2Wp 8 3Wp 9 0Wp 10 5Wp （3）电路的总功率 10 1 0 i i pp
12、即，电路中所有支路供出的功率之和恒等于 吸收的功率之和，此关系称为功率守恒。 例例1-3-2 1-4 电路的线图 一一、图图 图是一些点和一些边的集合，每条边只在 节点处相交。这样的图称为拓扑图或线图，简 称图。 图一般用G表示，图中的节点用、 标注，用点集 表示，边 用1，2，3标注，边的编号和方向既表示支 路电压又表示支路电流，边集用 表示，对于n个节点b条边的图可记作: G（V，E） 123 , n Vv v vv， 123 , b Ee e ee， 1有向图和无向图 标明支路参考方向的图称为有向图，没有 标明参考方向的图称为无向图。 1 23 45 6 ( )b 1 2 3 4 1 2
13、3 45 6 ( )a 1 2 3 4 无向图 有向图 1-4 电路的线图 2连通图和非连通图 一个图的任意两个节点间至少有一条连通路 径，这样的图称为连通图，否则称为非连通图。 如下图（a）为连通图，（b）为非连通图。 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) a( ) b 1-4 电路的线图 3子图 若 图的点和边是图G的部分点和边，则 称 为G的一个子图。 1 G 1 G 4平面图和非平面图 任意两条边除端点外均不相交，或者说在空间 上没有上下交叠关系的图称为平面图，否则为非 平面图。图(a)为平面图，图 (b)为非平面图。 (b) 1-4 电路的线图 1 23 45 6 ( )a 1 2
14、 3 4 5完全图 如果图中任意两点间恰有一条边，则该图 为完全图。图1-4-3为完全图。 二二、树树、树支树支、连支连支 树的概念：一个包含连通图G的所有节点而没 有构成回路的连通子图，称为图G的一个树。 1-4 电路的线图 例如，图 (b)、 (c)的粗线段构成的图是图（a） 的树，而图 (d)、(e)不是图（a）的树。 1 3 4 2 ( )e ( )a( )b( )c ( )d （有回路）（不连通） 5 6 1 2 1 233 44 55 6 6 1 2 5 5 46 1-4 电路的线图 树支与连支 对于图G，如果选定了它的一种树T，构成树T 的每条边就称为这个树的树支，其余不属于树T
15、 的边都称为连支。如图 (b)， (c)中粗线段为树支， 其余细线段即为连支。 图G有不同的树，每棵树的树支数是相同的， 设连通图G共有b条边，n个节点，则树支数为 （n-1），而连支数则为 (b-n+1)个。 1-4 电路的线图 三三、 割集割集 、基本割集基本割集 、基本回路基本回路 1割集割集 、基本割集、基本割集 割集是从连通图G割除一组边集，当割除的 边集满足以下两个条件时，称为图G的割集，记 作C （1） 从连通图G中移去或切割该边集中的全部 边，图G的剩余节点和边成为一个非连通图。也 就是说，图G被分成不连通的两部分； （2） 被割除的边集中只要少割去其中任一条 边，图G仍然是连
16、通的。 简言之割集是将连通 图G分为两个分离部分的最少边集。 1-4 电路的线图 例如图中，（1，2，4）， （1，3，4， 5）， （1，3，6）， （4，5，6）都是图的 割集。但 （1，2，3，5）不是图的割集，因 为在中少切割边1，图仍是不连通的。 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 1 c 2 c 3 c 4 c 1 2 3 4 1 2 3 4 6 5 5 c 割集和基本割集示意图 1-4 电路的线图 对于一个连通图G选定了该图的一种树T，如 果割集中只有一条边是树支，其余皆为连支，则 称这种割集为基本割集。对于图1-4-5,选树T（2， 3，5）如图粗线所示，三个树支构成三个基
17、本割 集 ， ， 。 1 C 3 C 4 C 基本割集数=树支数=（n1）。基本割集的方 向与基本割集中树支方向一致。通常以箭头在切 割弧线上标明，如图1-4-5所示。 1-4 电路的线图 2 l 3 l 1 l 1 2 4 1 2 3 4 6 5 3 基本回路示意图 如果一个回路只有一条连支，其余均为树支， 该回路称为基本回路。如上面图所示，选树T （2，3，5） ， ， 都是基本回路。 1 l 2 l 3 l 显然，基本回路数=连支数=(b-n+1)个。基本回 路也有方向的，其方向与连支方向一致。 2基本回路基本回路 1 1- -5 5 KCLKCL和和KVLKVL方程的独立性方程的独立性
18、 一、一、KCL方程的独立性方程的独立性 独立节点：根据这些节点列写的每个KCL方程 彼此独立。 独立的KCL方程数=独立节点数=基本割集数=树 支数= n-1。 二、二、KVL方程的独立性方程的独立性 独立回路：按这些回路列写的KVL方程含有本 方程彼此独立，则称为独立回路。 独立的KVL方程数=独立回路数=基本回路数= 网孔数=连支数=b- n+1。 1 1- -5 KCL5 KCL和和KVLKVL方程的独立性方程的独立性 1 1- -6 6 电路的独立变量电路的独立变量 一、完备独立电流变量的选取一、完备独立电流变量的选取 在电路中选取一组电流变量，如果满足以 下条件： （1）利用KCL
19、和欧姆定律，可以由这组电流 变量求出电路中各支路的电流和电压，即完备 性； （2）这组电流变量是彼此独立无关的，其中 的任一个电流不能用其它电流表示，即独立性。 这组电流变量就是一组独立且完备的电流变量。 完备独立电流变量个数完备独立电流变量个数 对于含有 条支路，n个节点的电路，完备 独立电流变量数= 连支电流数=（bn1）。 b 电路中，网孔电流也具有完备性。所以网 孔电流是一组完备独立的电流变量。 完备独立电流变量数=网孔数=基本回路数= 连支电流数=（bn1）。 1 1- -6 6 电路的独立变量电路的独立变量 二二、完备完备独立电压变量的选取独立电压变量的选取 完备独立电压变量应具有
20、的性质是： （1）利用KVL和欧姆定律，可以由这组电压 变量求出电路中各支路的电流和电压，即完备 性； （2）这组电压变量是彼此独立无关的，其中 的任一个电压不能用其它电压表示，即独立 性。 1 1- -6 6 电路的独立变量电路的独立变量 对于含有 条支路，n个节点的电路，完备 独立电压变量数=树支数=（n1）。 b 则对于含有 条支路，n个节点的电路，完备 独立电压变量数=节点电压数=独立节点数=n1。 b 电路中节点电压是一组完备独立的电压变量。 树支电压具有完备性，是一组完备独立 的电压变量。 完备独立电压变量个数完备独立电压变量个数 1 1- -6 6 电路的独立变量电路的独立变量