1、 10.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 10.2 周期函数展成傅里叶级数周期函数展成傅里叶级数 10.4 非正弦周期激励电路的分析非正弦周期激励电路的分析 10.3 有效值和平均功率有效值和平均功率 第十章第十章 非正弦周期激励电非正弦周期激励电 路的稳态响应路的稳态响应 0 ( )u t t 尖顶冲 0 ( )u t t 矩形波 0 ( )u t t 三角波 0 ( )u t t 半波整流波形 图 1011 10.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 电子技术中常见的一些周期信号波形: 10.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 非正弦周期激励作用于电路，求电路的稳态非正弦周期激励作用于电路，求电
2、路的稳态 响应，用傅里叶级数先将周期信号展成一系列不响应，用傅里叶级数先将周期信号展成一系列不 同频率、不同幅度的正弦信号，然后让各正弦激同频率、不同幅度的正弦信号，然后让各正弦激 励分别作用于电路，求出各正弦激励下的稳态响励分别作用于电路，求出各正弦激励下的稳态响 应的瞬时值，将各响应叠加起来，最终得到非正应的瞬时值，将各响应叠加起来，最终得到非正 弦周期激励下的稳态响应。弦周期激励下的稳态响应。 10.2 周期函数展成傅里叶级数周期函数展成傅里叶级数 周期电压、电流信号可以用周期函数表示 其中T是周期， - t k=0, 1, 2, 3. 当周期信号满足狄里赫利条件，就能展成傅里叶级当周期
3、信号满足狄里赫利条件，就能展成傅里叶级 数。数。 狄里赫利条件是：在一个周期内绝对可积，即 ， 在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内 只有有限个极大值和极小值。 一般工程中的周期信号能满足狄里赫利条件。 ( )()f tf tkT 0 |( )|; ( ) T f tdtf t 展成傅里叶级数 011 1 ( )cos()sin() nn n f taantbnt 其中各项系数可按下列公式求出 2 2 0 0 11 ( )( ) T T T af t dtf t dt TT 2 2 11 0 22 ( )cos()( )cos() T T T n af tnt dtf tnt dt TT
4、 2 1111 0 11 ( )cos() ()( )cos() ()f tnt dtf tnt dt ( )f t (1021) 10.2 周期函数展成傅里叶级数周期函数展成傅里叶级数 2 2 11 0 22 ( )sin()( )sin() T T T n bf tnt dtf tnt dt TT 2 1111 0 11 ( )sin() ()( )sin() ()f tnt dtf tnt dt 0,1,2,3.n 将前两式中同频正弦函数和余弦函数合并得 0111212 1 ( )cos()cos(2) . cos(). mm nmn f tAAtAt Ant 01 1 cos() nm
5、n n AAnt (1023) 10.2 周期函数展成傅里叶级数周期函数展成傅里叶级数 (1021)和(1023)两式中对应的系数关系为 10.2 周期函数展成傅里叶级数周期函数展成傅里叶级数 00 Aa 22 nmnn Aab n n n b arctg a cos nnmn aA sin nnmn bA 上式表明，任何周期性时间函数，只要满足狄里赫利上式表明，任何周期性时间函数，只要满足狄里赫利 条件，就能展成频率为条件，就能展成频率为 频率整数倍的一系列正弦函频率整数倍的一系列正弦函 数之和。数之和。 第一项第一项 称为恒定分量或直流分量；称为恒定分量或直流分量； 第二项第二项 称为称为
6、1次谐波，也叫基波分量，频次谐波，也叫基波分量，频 率与率与 相同；相同； 第三项第三项 频率是基波的二倍频，称为频率是基波的二倍频，称为2次次 谐波；谐波； 其它各项分别称为其它各项分别称为3次、次、4次以至高次谐波分量。次以至高次谐波分量。 ( )f t 0 A 111 cos() m At 212 cos(2) m At 10.2 周期函数展成傅里叶级数周期函数展成傅里叶级数 0111212 1 ( )cos()cos(2) . cos(). mm nmn f tAAtAt Ant ( )f t 描绘谐波振幅随频率变化的图形，称为幅 度频谱图，如图所示 1m A 0 1 1 2 1 3
7、1 n n 图 1021幅度频谱 2m A 3m A nm A 周期函数展成傅里叶级数周期函数展成傅里叶级数 各次谐波的初相随频率变化的图形称为相 位频谱图。由于各谐波的频率是基波频率的 整数倍，所以频谱是离散谱。 ( )f t 求图示周期矩形波的傅里叶级数，并画出幅 度频谱图。 0 t U m U m ( )f t T 2 T3 2 T 矩形波 例例1021 解解：在 内 表达式为 0T ( )f t 0 2 ( ) 2 m m T Ut f t T UtT 展成傅里叶级数展成傅里叶级数 0 0 1 ( )0 T af t dt T 2 11 0 1 ( )cos() n af tnt dt
8、 2 1111 0 11 cos()cos() mm Unt dtUnt dt 11 0 2 cos()0 m U nt dt 例例1021 10.2 周期函数展成傅里叶级数周期函数展成傅里叶级数 2 11 0 1 ( )sin() n bf tnt dt 2 1111 0 11 sin()sin() mm Unt dtUnt dt 1110 0 221 sin()cos() mm UU nt dtnt n 0 2 1 cos() 4 m m n U n U n n n 为偶数 为奇数 ( )f t的傅里叶级数展开式为 111 411 ( )sinsin3sin5. 35 m U f tttt
9、 ( )f t 的幅度频谱图为 0 1 1 3 1 5 1 7 1 n Rm A 4 m U 4 3 m U 4 5 m U 图 1023矩形波幅度频谱图 例例1021 序号 的波形图 的傅里叶级数 1 2 ()ft()ft 2 0 t A 2 21 ()(coscos3 23 AA fttt 11 cos5cos7.) 57 tt 0 t A 2 21 ()(sinsin3 23 AA fttt 11 sin5sin7.) 57 tt 表101 几种常见周期函数的傅里叶级数 10.2 周期函数展成傅里叶级数周期函数展成傅里叶级数 3 4 5 0 2 A 4 0 t A 2 A 0 t 2 4
10、 1 ()(sinsin2 22 AA fttt 11 sin3sin4.) 34 tt 2 81 ()(sinsin3 9 A fttt 1 sin5.) 25 t 4111 ()(coscos2.) 2315 A fttt 10.3 有效值和平均功率有效值和平均功率 由周期信号的有效值定义可知，周期电流信 号的有效值为 2 0 1 ( ) T Ii t dt T (1031) 将 ( ) i t 展成傅里叶级数 01 1 ( )cos() nmn n i tIInt 代入式(1031)得 2 01 0 1 1 cos() T nmn n IIIn tdt T (1032) 一、有效值一、有
11、效值 有效值有效值 展开上式 2 01 0 1 cos() T nmn n IIntdt 2 22 0011 000 11 2cos()cos () TTT nm nmnn nn I dtIIntdtIntdt 11 0 11 2cos()cos() T kmknmn kn kn IktIntdt 式中 22 00 0 1 T I dtI T 2 22 1 0 11 1 cos () T nmnn nn IntdtI T 有效值有效值 由于三角函数的正交性，其余两项均为零 01 0 1 1 2cos()0 T n n Intdt T 11 0 1 2cos()cos()0 T kmknmn I
12、ktIntdt T 所以得到 22 0 1 n n III (1033) 上式表明，周期信号的有效值等于各次谐波有 效值平方和的平方根。 01 1 ( )cos() nmu n u tUUnt 有效值为 同理，周期电压信号 22 02 1n UUU 有效值有效值 平均功率平均功率 设图示二端网络的端口电压，电流为周期 性非正弦信号，且为关联参考方向，二端网 络 N吸收的瞬时功率为 0102 11 ( )( ) ( )cos() cos() nmumnmin nn p tu t i tUUntIInt ( ) ti ( ) tu N 图 1031 平均功率平均功率 网络 N吸收的平均功率为 01
13、 000 1 111 ( )cos() TTT nmun n Pp t dtuidtUUnt TTT 01 1 cos() nmin n IIntdt 展开上式有 0000 0 1 T U I dtU I T 11 0 1 1 cos()cos() T nmunnmin n UntIntdt T 1 cos() nnunin n U I 1 cos nnn n U I 平均功率平均功率 其余两交叉项在一周期内积分为0，于是得到 00 1 cos nnn n PU IU I 0123 1 . nn n PPPPPP 上式表明，非正弦周期激励电路，吸收的功 率等于其直流分量和各次谐波吸收的平均功率
14、 之和。也说明不同频率的电压、电流之间不产 生平均功率，只有同频的电压、电流产生平均 功率。 10.4 非正弦周期激励电路的分析非正弦周期激励电路的分析 非正弦周期信号作用于电路，求其稳态响应的步 骤为： (1) 按照傅里叶级数，将周期激励信号展开，根 据精确度要求取舍高次谐波项； (2) 分别求出直流分量和各次谐波分量单独作用 时的稳态响应； (3) 根据叠加定理，将直流响应和各次谐波分量 的瞬时值响应相叠加，最后得到周期激励电路的 瞬时值响应。 在图1041所示电路中， 1 1 , L=2 , 1R C 电源电压 111 ( )3 5 2cos2 2cos22cos3.V s u tttt
15、 ，求电流 i 和电路的吸收的平均功率。 S u i LR C 图题 1041 例例1041 例例1041 解解：所求电流相量为 当n=0时，直流分量 000 3V,0,0 s UIP 当n=1时，基波分量 例例1041 例例1041 将各分量电流的瞬时值叠加为 0123 ( )( )( )( )i tii ti ti t 11 5cos(45 )0.78cos(274.05 )0.25cos(379.99 ).A it tt 电路吸收的总平均功率为 (0)(1)(2)(3) .12.83WPPPPP 例例1042 22cos V s ut 5 2cos1A s it在图示电路中， ， ，求电压u ，电流源供出的平均 功率。 解解：直流电源作用的情况，直流等效电路如 图(b)所示 00 5V,1AUI 电流源支路供出的平均功率 00 0 5WPU I 正弦电源作用时，电路的相量模型如图 (c)所示 例例1042 用节点电压法求出 1 111 ()5 211 U jjj 111.05 5.19/U 1 cos11.05 5cos5.1955.02WPUI 例例1042 所求电压 01 ( )5 11.05 2cos(5.19 )Vu tUut 电流源供出的功率 01 555.0260.02WPPP 例例1042 第十章 结束