1、第六章第六章 电容元件和电感元件电容元件和电感元件 6.1电容元件电容元件 6.2电容的伏安特性电容的伏安特性 6.4电感元件电感元件 6.3电容的储能电容的储能 6.5电感的伏安特性电感的伏安特性 6.6电感的储能电感的储能 6.7电容、电感的串、并联电容、电感的串、并联 6.1电容元件电容元件 电容元件是实际电容器的理想模型。 电容器是由两块金属板间隔介质构成的。 不同介质，命名了不同品种的电容，例如， 陶瓷电容器、云母电容器、电解质电容器 等。 如果电容器外接电源，两块极板上就分别 聚集了等量的正负电荷，极板之间形成了 电场，储存了电场能量。去掉了外电源， 两极板上的电荷依靠电场力的作用
2、相互吸 引，由于介质的绝缘作用又不能中和，理 想情况下，电荷就会永远地储存在电容中。 电容器 是能够储存电荷，建立电场，储存电 场能量的器件。 电路理论中的电容元件就是模拟电容 器的这种物理特性的电路模型。 ( )q t ( ) tu ( )i t q u （a） （b） 图 61 电容元件 电容元件的定义电容元件的定义 一个二端元件，在任一时刻 t，它的 电荷与端电压u的关系用平面上的一条曲 线确定，则该二端元件为电容元件，电 容元件符号如图6-1(a)所示。 quq ( )q t ( ) tu ( )i t q u （a） （b） 图 61 电容元件 如果 特性曲线如图6-1(b)所示，是
3、一条通 过原点的直线，且不随时间而变，则称该电容 元件为线性时不变电容。 ( )( )q tCu t (F) 库仑（C） 伏特（V） 6 1F10F 6 1 F=10Fp 电容元件的定义电容元件的定义 ( ) ( ) q t C u t 电容的单位电容的单位 2 1 ( )( ) 2 w tCut 6.2电容的伏安特性电容的伏安特性 当电容的电流和电压是关联参考方向时当电容的电流和电压是关联参考方向时 若电流和电压为非关联参考方向，则上式要加负号若电流和电压为非关联参考方向，则上式要加负号 ( )( )( ) ( ) dq tdCu tdu t i tC dtdtdt ( ) ( ) du t
4、 i tC dt 1 ( )( ) t u tid C 0 0 111 ( )( )( )( ) ttt t u tididid CCC 0 0 1 ( )( ) t t u tid C 如果任意选定一初始时刻 作为研究起 点， 以后的电压为 0 t 0 t 或 6.2电容的伏安特性电容的伏安特性 开关在 时刻从1端合向2端， 设 时电容充电且电容电压为 ， 讨论 时电容电压的情况。 0t 0t (0 ) C u 0t C u 2 R 1 R 12 0 u S u C i C 例例6-2-1 0 u 解：解：在 t0时，开关合向 2端，电容的充电电流 。设开关离 开1端的瞬间为 ，合向2端的瞬
5、间为 则 1 C i 2 C i 0 0 1 1 ( )( ) t CC utit dt C 12 00 00 111 ( )( )( ) t CCC it dti t dtit dt CCC 例例6-2-1 已知 观察电路，由于开关动作从 过 程，电容没有新增或新减的电荷，所以 或 即 (6-2-4) 1 0 1 ( )(0 ) CC it dtu C 0 0 ( )(0 )(0 ) C i t dtqq 00 (0 )(0 )0qq 0 0 1 ( )(0 )(0 )0 CCC it dtuu C (0 )(0 )qq 例例6-2-1 式（6-2-4）说明电容在t=0时接入新电路， 在换路
6、瞬间电容上的电荷或电容电压不 突变，这也正是瞬时电荷守恒定律的体 现。于是式（6-2-4）可表示为： (0 )(0 ) CC uu 2 0 1 ( )(0 )( ) t CCC utuit dt C 例例6-2-1 6.3电容的储能电容的储能 6.3.1电容的能量公式电容的能量公式 当电容电压与电流为关联参考方向 时，每瞬时电容吸收的功率为 当电容充电时， 、 符号相同， 功率为正，电容吸收能量；当电容放电 时， 、 符号相反， 功率为负，电 容释放能量。 ( )( ) ( )p tu t i t u u i i 0p 0p 从 到 时刻，电容元件吸 收的电场能量为 时, 则 t t ( )(
7、 )( ) ( ) tt w tpduid ( ) ( ) t du Cud d ( ) () ( )( ) u t u Cudu 22 11 ( )() 22 CutCu t ()0u 2 1 ( )( ) 2 w tCut 上式表明，电容在某一时刻的储能，只取决于该上式表明，电容在某一时刻的储能，只取决于该 时刻的电容电压值。时刻的电容电压值。 6.3.2 总结和举例总结和举例 电容元件的性能与电阻相比更复杂，为方电容元件的性能与电阻相比更复杂，为方 便理解记忆，归纳电容元件的性能如下：便理解记忆，归纳电容元件的性能如下： 2 1 ( )( ) 2 w tCut 6.3.2 总结和举例总结
8、和举例 1. 电容是动态元件 是直流时， 为0，即电容有隔直特 性。 2. 电容的电流为有限值时，若电路在 时换路，电容电压不会跃变，即 电容是惯性元件。 3. 电容电压 ，说明了 电容是记忆元件。 ( ) ( ) du t i tC dt u i 0t (0 )(0 ) CC uu 1 ( )( ) t u tid C 例例6-3-1 电路如图 6-3（a）所示，电容电 压 波形如图（b）所示，求电容电 流 ，瞬时功率 和储能 并画出波形图。 ( ) C ut ( ) C i t ( ) C pt ( ) C w t C i 2F C u 图6-3(a) 图6-3(b) 解：解：由图（b）波
9、形知 0 0 04 ( ) 12246 0 V6 C t tt ut tt tS 图6-3(b) 例例6-3-1 电流 波形如图(c)所示 0 0 2 04 ( ) 446 0 A6 C t t it t tS ( ) C C du itC dt 瞬时功率 波形如图(d)所示 ( )( ) ( ) CCC ptut it 0 0 2 04 ( ) 48846 0 W6 C t tt pt tt tS 瞬时储能 波形如图(e)所示 2 1 ( )( ) 2 CC wtCut 2 2 0 0 04 ( ) (122 )46 0 J6 C t tt wt tt tS 0 246 4 ( ) / V
10、C ut / St （b） 0 2 46 4 ( ) / A C it / St （c） 0 2 46 8 ( ) / W C pt / St （d） 16 0 246 16 ( ) / J C tw / St （e） 图63 6.4电感元件电感元件 电感元件是实际电感器的理想模型。将 一根导线绕成线圈，当线圈通过电流时产生 磁链 如图（a）所示，并在周围建立起磁场，储存 磁场能量。不考虑其它作用， 只体现能够建立磁场，储存磁 能这一物理特性的电路模型就 是电路理论中的电感元件，称 为电感。 ,NN 为线圈的匝数， 为磁通, 电路符号如图 （b）所示 电感元件定义为：一个二端元件在 任一时刻t
11、，它的磁链 与它的电流 有关，并可用 平面的一条曲线 来确定。 如果 平面上的特性曲线是一条 通过原点的直线，且不随时间而变化， 如图（c）所示，则称此电感元件为线性 时不变电感元件。 ( ) t ( )i ti i 电感元件定义 当电感中磁链与电流的参考方向符合右手螺旋法 则，如图6-2（c）所示时， 与 的关系表示为 其中L为正值常数，是 特性曲线的斜率，称 为电感。 i ( )( )tLi t i 电感的单位有亨利（电感的单位有亨利（H）、毫亨（）、毫亨（mH）、）、 微亨（微亨（H）。）。 1韦伯（wb） 亨利(H)= 1安培（A） 1H1000 Hm 1 H1000 Hm 6.5电感
12、的伏安特性电感的伏安特性 如果通过电感的电流随时间变化，磁链也跟 随变化，根据电磁感应定律，线圈两端产生感应 电压，电压与磁链参考方向符合右手螺旋法则， 如图6-4（a）所示，则 将式（6-4-1）代入上式可得 （6-5-1） d u dt ( ) ( ) di t u tL dt 电感上电压、电流符合关联参考方向 若电感电压、电流是非关联参考方向，关 系式前要加负号，即 ( ) ( ) di t u tL dt 1 ( )( ) t i tud L 或 表明，某一时刻t的电感电压不仅取决于该时刻的电压 值，还取决于t之前，从 到t的所有时间里的电压值， 因此，电感电流能记忆电压的历史，电感元
13、件也是个 记忆元件。 如果选定任意时刻 作为研究起点， 以后的 电流为 0 t 0 t 0 0 111 ( )( )( )( ) ttt t i tududud LLL 0 0 1 ( )( ) t t i tud L 1 ( )( ) t i tud L 其中 为 时刻的初始电流， 它反映了电感电压 以前全部电压积累 的效果。电感在 时刻以后的电流 0 ( )i t 0 ( )i t 0 t 0 t 0 t 0 tt ( )i t 0 0 111 ( )( )( )( ) ttt t i tududud LLL 0 0 1 ( )( ) t t i tud L 由 和 后的电压来决定。 在图
14、6-5中，开关在t=0时刻闭合，设开关 闭合前电感的初始电流为 ， 时电流为 其中 是开关闭合前瞬时， 是开关闭 合后瞬时。 (0 ) L i 0t 1 ( )( ) t LL i tut dt L 00 00 111 ( )( )( ) t LLL u t dtu t dtu t dt LLL 0 0 2 R 2 u ( )ut L ( )it L 1 u 1 R S 图65 讨论电感电流具有惯性 上式第一项 上式第二项 由于电感电压为有限值，电感电流具有惯 性，是连续变化的，所以 0 1 ( )(0 ) LL u t dti L 0 0 1 ( )(0 )(0 ) LLL ut dtii
15、L (0 )(0 )0 LL ii (0 )(0 ) LL ii 或 上式说明在换路瞬间，电感电流不发生 跃变，符合瞬时磁链守恒规律。 0 1 ( )(0 )( ) t LLL i tiu t dt L (0 )(0 ) (0 )(0 ) LL ii 1 ( )( ) t LL i tut dt L 6.6电感的储能电感的储能 当电感电流、电压为关联参考方向 时，任一时刻电感吸收的功率为 表示瞬时功率，当 时，电 感吸收能量，当 时，电感释放能 量。 从 到 时刻，电感吸收的磁场能 量为 ( )( ) ( )p tu t i t ( )p t0p 0p t t 由于 时， 所以 从时刻 到 内
16、，电感吸收的磁场能量 ( )( )( ) ( ) tt w tpduid ( ) () ( ) ( )( )( ) ti t i di LidLi t di t d 22 11 ( )() 22 LL Li tLi t ()0i 2 1 ( )( ) 2 w tLit 1 t 2 t 2 1 ()22 ( )12 11 ( )( ) ( )( )( ) 22 i t i t w tLi t di tLi tLi t 12 ( )( )w tw t i i 0w 0w当电感电流 增加时，电感吸收能量 ， 当电感电流 减小时，电感释放能量 。 电感元件不消耗能量，所以说电感元件仅是储 能元件。 1
17、. 电感元件是动态元件， ， 当 是直流电流时，电感元件视为短 路线; 2. 电感电压为有限值时，电路发生换路， 电感电流不跃变 ，电感 是惯性元件; 3. 电感电流记忆了电感电压作用历史， 电感元件是记忆元件。 ( ) ( ) di t u tL dt ( )i t (0 )(0 ) LL ii 1 ( )( ) t LL i tut dt L 归纳电感元件的特性为 6.7 电容、电感的串、并联电容、电感的串、并联 假设有n个电容元件串联， 各电容的初始电压分别 是 、 、 ，电 路的电流为 ,各电容电压分别 、 、 。 总电压 1 0u 2 0u 3 0u i 1 u t 2 ut n u
18、t 12 . n uu tutut 一、电容的串、并联一、电容的串、并联 电容的串联电容的串联 各电压为 11 0 1 1 0 t u tui q dq C 22 0 2 1 0 t utui p dp C 0 1 0 t n n utui p dp C 所以总电压为 即总初始电压 串联连接的总电容为 0 12 0 12 1 0 111 00.0. t s t n n u tui p dp C uuui p dp CCC 12 000.0 n uuuu 12 1111 . sn CCCC . 12 1111 . sn CCCC 若 并联，根据KCL并联 时总电流为 电容伏安关系 12 ,. n
19、 C CC 12 . n iiii 11 du iC dt 22 du iC dt nn du iC dt 电容的并联电容的并联 = 并联电容的总电容为 12 . n dududu iCCC dtdtdt 12 . n du CCC dt p du C dt 12 . pn CCCC 若有几个电感串联，如图所示，总电压为 12 . n uuuu 12 . n dididi LLL dtdtdt 12 . n di LLL dt 二、电感的串、并联二、电感的串、并联 12 . sn LLLL 1 u 2 u i u 1 L 2 L N L 串联电感总电感为各电感之和 S L 电感的并联 12 . n iiii 12 000 12 12 0 12 111 00.0 111 00.0. ttt n n t n n iudpiudpiudp LLL iiiudp LLL （） 0 1 0 t p iudp L 即总初始电流为 并联连接的总电感为 12 000.0 n iiii 12 1111 . pn LLLL 第六章第六章 结束结束