1、JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 1 第八章第八章 相量法相量法 8.1 复数 8.2 正弦量 8.3 相量法基础 8.4 电路定律的相量形式 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jia
2、ng / Information School 2021年4月8日星期四 2 基本要求基本要求 深入理解正弦量的有效值及相位差的物理概念； 掌握相量法的基本概念； 熟练掌握R、L、C元件的电压相量与电流相量的关系。 本章是学习第 912 章的基础，必须熟练掌握相量法的 解析运算。 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 3 1. 复数的表示形式 (1)代数
3、形式 F=a+jb ReF=a， ImF=b (2) 三角形式 F=| F |(cos+ jsin ) a=| F |cos ，b=| F |sin (3)指数和极坐标形式 根据欧拉公式 e j =cos+jsin 得指数形式： F = | F | e j 或写成极坐标形式： | F | = = a2 + + b2 F = = | F | q q q q = = arctg b a 8.1 复复 数数 (4) 矢量形式 o + +j + +1 F a b q q JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
4、 Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 4 2. 复数的运算 (1)加减 用代数形式最好 设 F1=a1+jb1 F2=a2+jb2 则 F1F2 =(a1a2)+j (b1b2) 复数加、减的图解 + +j o + +1 F1 F2 F= =F1+ +F2 F= =F1- -F2 - -F2 + +j o + +1 F1 F2 F 8.1 复复 数数 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
5、Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 5 (2) 乘除 用指数或极坐标形式最好 设 F1= | F1 | e j1 ， F2 = | F2 | e j 2 则 F=F1 F2 = | F1 | | F2 | e j(1+ 2) F = |F1 | |F2 | 1+2 1-2 或 F = F1 F2 = |F1 | |F2 | 若两个复数相等 F1 = F2 则必须是 |F1| = |F2|，1=2 或是 a1 = a2， jb1= jb2 乘(除)法运算满足模相乘(除)，辐角相加(减)
6、。 8.1 复复 数数 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 6 复数乘、除的图解 乘： F1 的模被放大|F2|倍， 辐角逆时针旋转2 。 除： F1 的模被缩小|F2|倍， 辐角顺时针旋转2 。 + +j o + +1 q q1 1 F1 F2 q q2 2 |F2|F1 q q2 2 F=F1F2 q q= =q q1 1+ +q q2 2 q q
7、1 1 F1 F2 q q2 2 F1 |F2| q q2 2 F= F1 F2 q q= =q q1 1- -q q2 2 + +j o + +1 8.1 复复 数数 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 7 3. 旋转因子ej 旋转因子 ej =1是一个模等 于1，辐角为的复数。 任意一个复数A=|A|eja乘以ej ， 等于把A逆时针旋转角度，而
8、模|A|保持不变。 + +j o + +1 A q qa Aejq q q q 都是旋转 因子 Aj = jA，等于把 A逆时针旋转90o。 = -jA，等于把 A顺时针旋转90o。 A j e p p 2 2 = = j j e p p 2 2 = = - -j - -j e jp p = = - -1 8.1 复复 数数 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8
9、日星期四 8 电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称正弦量。 研究正弦电路的意义是正弦交流电有很多优点，使它应用 广泛。例如： 可以根据需要，利用变压器方便地把正弦电压升高或降低； 电机、变压器等电气设备，在正弦交流电下具有较好的 性能； 正弦量对时间的导数、积分、几个同频率正弦量的加 减，其结果仍是同频率的正弦量，这不仅使电路的分析计算 变得简单，而且其结果还可以推广到非正弦周期电流电路中。 8.2 正弦量正弦量 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured
10、 By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 9 正弦量的时域表达式有两种形式 i = Imcos(t+i) i = Imsin(t+ i) 也称为瞬时值表达式 分析时不可混用，以免发生相位错误。 采用的形式以教材为准： i = Imcos(t+i) u = Umcos(t+u) 8.2 正弦量正弦量 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information
11、 School 2021年4月8日星期四 10 1. 正弦量的三要素（以电流为例） (1)振幅Im、有效值I (要素之一) o i w w t p p 2 2p p 3 3p p - -p p 正弦量的波形正弦量的波形 Im - -Im 在放大器参数中有时用峰峰值表达。 峰峰- -峰值峰值2Im 正弦量变化过程中所能达到的最大幅度 ； i = = Imcos(w wt + + f fi) = = 2 I cos(w wt + + f fi) 8.2 正弦量正弦量 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
12、 Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 11 通过比较直流电流 I 和交流电流 i 在相同时间 T 内流经同一 电阻 R 产生的热效应来确定： 关于有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效 应，工程上采用有效值来表示。 I def T 1 0 T i2 dt I2RT = = 0 T i2R dt 把 i=Imcos(t+i) 代入上式计算可以得到： 正弦量的有效值与振幅之间的关系： Im= 2 I 同理可得： Um= 2 U 8.2 正弦量正弦量 JiangSu
13、University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 12 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如电网的电 压等级、设备铭牌的额定值等。但绝缘水平、耐压值指 的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按 最大值考虑。 在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为 有效值。 区分电压、电流的瞬时值 i、u ，振幅 Im、Um 和有效值 I、 U 的符号。 注 意 8.2 正弦量
14、正弦量 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 13 (2) 角频率、频率f、周期T (要素之二) 角频率 频率f ：正弦量每秒钟变化的 周期数，单位是Hz。 在工程中，常用频率区分电路： 音频、高频、甚高频、特高频等等。 = = dt d (w wt+ +f fi) 正弦量单位时间内变化 的电角度。 w wT=2p=2p T 2p2p 、 f、T 之间的
15、关系 =2f f = T 1 o i w w t p p 2 2p p 3 3p p - -p p 反映正弦量变化快慢的参数。 周期T：正弦量变化一个周 期所需要的时间。 T = f 1 8.2 正弦量正弦量 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 14 (3) 相位角、初相角i (要素之三) 相位角(t+i)： 随时间变化 的角度, 单位：rad 或 (
16、o) t=0时刻的相位角i 称为初 相角。 计时起点不同，初相位不同。 若正最大值发生在计时起点之前， 则初相位为正，之后为负。 f fi 常取主值：|i|180o 反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。 f fi 对任一正弦量，初相可以任 意指定。但对多个同频率正 弦量，应相对于同一个计时 起点确定各自的相位。 o i w w t p p 2 2p p 3 3p p - -p p i i1 o i f fi1 8.2 正弦量正弦量 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course
17、 Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 15 2. 同频率正弦量的相位差 ！ 相位差j j12定义为： 改变计时起点，初相不同， 但相位差不变！ j j1 12 2 相位差一般取主值，即j j12 | p p |。 设：i1=Imcos(t+i1)，u2=Umcos(t+u2) 即初相之差 j j12 12 = ( = (w wt+ +f fi1) )- -( (w wt+ +f fu2) ) = =f fi1- -f fu2 o i1，u2 w w t p p 2 2p p 3 3p p - -p p i1 u
18、2 j j1 12 2 j j1 12 2 (1)j j120 ,称 i 超前 u ,或 u 滞后 i ， 表明 i 比 u 先达到最大值； (2)j j120 ,称 u 超前 i ,或 i 滞后u， 表明 u 比 i 先达到最大值； 8.2 正弦量正弦量 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 16 j j12=0，i1与u2同相 两个正弦量进行相位比较
19、时应满足同频率、 同函数、同符号，且在主值范围比较。 j j12=90o，i1与u2正交 j j12=180o，i1与u2反相 改变参考方向时，该正弦量的初相改变 ，因 此与其它正弦量的相位差都改变。 + + - - u2 i1 Z i2 o i1，u2 w w t p p 2 2p p o i1，u2 w w t p p 2 2p p o i1，u2 w w t p p 2 2p p 8.2 正弦量正弦量 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By
20、Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 17 在正弦稳态线性电路中，各支路的电压和电流(响应)与 电源(激励)是同频率的正弦量，因此应用KCL、KVL分析正 弦电路时，将遇到正弦量的加减运算和积分、微分运算，在 时域进行这些运算十分繁复，通过借用复数表示正弦信号可 以使正弦电路分析得到简化 。 相量表示法的实质是用复数表示正弦量。是求解正弦 电流电路稳态响应的有效工具。 8.3 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Ci
21、rcuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 18 根据叠加定理和数学理论，取实部或虚部进行分析 1. 相量相量 正弦量的相量要追溯到欧拉公式: e jq q = cosq q + jsinq q 若 q q =w wt+f fi 则 e j(w wt+f fi)= cos(w wt+f fi)+ jsin(w wt+f fi) 求解，就能得到全部结果。 设： i = Im cos (w wt+f fi) 则： i = ReIm e j(w wt+f fi) = ReIm e jf fi e jw
22、 wt = Re Im e jw wt . 其中， Im . = Im e j i 这是一个特殊的复数，其特点是辐角随时间变化。 这是一个与时间无关的复数， 模是该正弦电流的振幅，辐角是初相。 8.3 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 19 3030o o 在线性电路中，若激励都是同频率的正弦量，则响应也都是 与激励同频率的
23、正弦量。在分析过程中，考虑的主要是求解 振幅或有效值，初相或相位差。 因此，变换简单易行： 已知：i = = Im cos (w wt + + f fi) Im . = = Im e jf fi 简写为 Im . = = Im f fi 反过来 Um . = = 300 V u= =300 cos(w wt+ +3030o o) V 频率为 的正 弦函数集合 相量的集合 变换 反变换 时域与相量域的映射 8.3 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Cour
24、se Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 20 正弦量与相量的关系是一种数学变换关系。不是相等的关系！ . Im 旋转相量的实部 等于正弦量 正弦量相量，可认为是正变换； 相量正弦量，可认为是反变换。 是 Im e jf fi e jw wt 的复常数部分。 i = = Imcos (w wt+ +f fi) Im . = = Im f fi 是 Ime jf fi e jw wt 的实部。 任意时刻，两者相对位置不变。 因此，可用不含旋转因子ejt的复 数表示正弦量。 w w + +j + +1 o f fi
25、. Im . Um f fu . Um 8.3 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 21 2. 相量的性质 (1)线性性质 k1 i1 k2 i2 若 i1 = = Im1 cos(w wt+ +f fi1) i2 = = Im2 cos(w wt+ +f fi2) 则 i=i1+ i2 . Im = = . Im1 . Im
26、2 + + . Im1 = = Im1 f fi1 . Im2 = = Im2 f fi2 相量也具有比例性质： 由叠加性质和比例性质可知 这是叠加性质 k i1 . Im1 k (k1 . I1 k2 ) . I2 8.3 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 22 (2) 微分性质 设 i=Imcos(w wt+f fi)
27、di dt = =w wImcos(w wt+ +f fi + +90o ) = = Rew w 2 p p j = = Rejw w . Im ejw wt dni din (jw w)n Im . Im ejw wt e . Im = = Im f fi 正弦量的微分是一个同频正弦量，时域内的一次 其结果是模变为Im，相位比原相量超前90o。 对高阶导数有 . Im jw w = = w wIm f fi+ +90o . 微分，对应于相量域内乘以j。 8.3 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangji
28、agang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 23 (3) 积分性质 设 u=Umcos(w wt+f fu) udt = = w w Um cos(w wt+ +f fu- -9090o o) ) = = Re . Um jw w ejw wt (jw w)n U 对n重积分有 udt 则 . Um = = Um f fu 积分，对应于相量域内除以jw w。 其结果是模变为(Um/)，相位比原相量滞后90o。 正弦量的积分是一个同频正弦量，时域内的一次 . 8.3
29、 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 24 例题分析例题分析 解：变换为相量形式求解 . I1= =10 60o . I2= =22 - -150o A A di1 dt 60o jw w = = j314 . I1 10 = = 3140 60o+ +90o = = 3140 cos(314t+150o) 设 i1= =10
30、 2 cos(314t+60o) A i2= =22 cos(314t- -150o) A 求： di1 dt i2 dt 2 i1+i2 2 di1 dt 所以 8.3 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 25 14.052+ +2.342 8.3 相量法的基础相量法的基础 i2 dt . I2 22 - -150o - -
31、 90o = = 314 = = 0.07 120o 所以 i2 dt = = 0.07 2 cos(314t+120o) jw w = =5+ +j8.66 A = = - -19.05- -j11 A . I1 . + + I2 = =(5- -19.05) + + j(8.66- -11) = =(- -14.05 - - j2.34) A . I1= =10 60o . I2= = 22 - -150o I = = = =14.24 A JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit
32、Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 26 + +j + +1 o - -14.05 - -2.34 - -170.54o f fi = = + + arctg - -14.05 - -2.34 - -180o f fi为第3象限角： = =14.24 - -170.54o A i1+i2 = = 14.24 2 cos(314t- -170.54o) A I1+ +I2 . . I1 . . + + I2 8.3 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of Science
33、and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 27 引入相量的优点是： 把时域问题变为复数问题； 把微积分方程的运算变为复数方程运算； 需要注意的是： 相量法实质上是一种变换，通过把正弦量转化为相 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路； 相量法用来分析正弦稳态电路。 量，而把时域里正弦稳态分析问题转为频域里复数 代数方程问题的分析； 8.3 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of
34、Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 28 比例性质 3. 元件VCR的相量形式 (1) 电阻元件 电阻元件两端的电压与流过 它电流同相位 ！ . UR + +1 + +j o . IR f fu= =f fi R + + - - uR iR . UR . IR uR = = R iR . . UR = = R IR UR = R IR 或 IR = G UR . . IR = = G UR 有效
35、值的关系： 8.3 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 29 (2)电感元件 在L中，电压超前于电流90o ! 有效值的关系： UL=w wLIL L + + - - uL iL . UL . IL uL = = L diL dt 微分性质 UL= = L(jw w) IL + +1 + +j o . UL f fu . IL
36、 f fi = = w wL IL UL L也具有电阻的量纲。并与频率 f 成正比！ 或电流滞后于电压90o ! . . UL= = jw wL IL . . 8.3 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 30 (3) 电容元件 C + + - - uC iC . UC . IC 微分性质 IC = = C(jw w UC )
37、iC = = C duC dt . . + +1 + +j o . UC f fi . IL f fu (1/C)也具有电阻的量纲，且与频率 f 成反比！ 在C中，电流超前于电压90o ! . UC jw wC 1 . IC 有效值的关系 UC = C 1 IC . UC = = - -j w wC 1 . IC 或 = = 或电压滞后于电流90o ! C IC UC = 1 8.3 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By
38、 Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 31 4. 受控源的相量表示 控制系数、g、r和都是常数，因此，根据相量的比例性 质，可以直接用与正弦量对应的相量表示。 用相量表示的CCCS ib + + - - + + - - rbe ube uce ib Ib + + - - + + - - rbe Ube Uce Ib . . . . 用瞬时值表示的CCCS 8.3 相量法的基础相量法的基础 JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit
39、Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 32 已知电源电压 求电源电流i(t)。 2 u(t)=120 cos(5t) V， 8.3 相量法的基础相量法的基础 L u iL C 15W W iC iR - - + + i R 0.02F 4H 0o 解：电压源电压的相量为： U . =120=120 V w wC 1 = = 50.02 1 = 10W= 10W w wL = = 54 = 20W= 20W L U IL C 15W W IC IR - - + + I R - -j10W W j20W
40、W . . . . . JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus. Circuit Course Lectured By Xuebin Jiang / Information School 2021年4月8日星期四 33 IR . = = R U . = = 120120 1515 = 8 A= 8 A IC . = = - -j U . = = w wC 1 - -j10 120120 = = j12 A12 A IL . = = U . jw wL = = j20 120120 = = - -j6 A6 A I . IR . = = + + IC . + + IL . = 8 + = 8 + j12 12 - -j6 A 6 A 8.3 相量法的基础相量法的基础 L U IL C 15W W IC IR - - + + I R - -j10W W j20W W . . . . . 36.9o I . = 8 + = 8 + j6 6 = 10 = 10 A i(t) =10=10 2 cos(5t + + 36.9o) A U . I . IC . IL . 36.9o 相量图 IR .