1、图形的旋转巩固练习图形的旋转巩固练习 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机以下图中，中心对称图形个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与ACP重合， 如果 AP3，那么 PP的长等于（ ） A3 B2 C4 D3 3在平面直角坐标系中，已知点 P（x0，y0） ，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 顺时针旋转 90后，得到线 段 OQ，则点 Q 的坐标是（ ） A （y0，x0） B （y0，x0） C （y0，x0） D （x0，y0） 4
2、如图，RtOAB 的斜边 OA 在 y 轴上，AOB30，OB，将 RtAOB 绕原点顺时 针旋转 60，则 A 的对应点 A1的坐标为（ ） A （1，） B （，1） C （，1） D （1，） 5如图，将ABC 纸片绕点 C 顺时针旋转 40得到ABC，连接 AA，若 ACAB，则AAB的度数为 （ ） A20 B40 C50 D60 6如图，矩形 ABCD 中，AC2AB，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得到矩形 ABCD，使点 B 的对应点 B落在 AC 上，BC交 AD 于点 E，在 BC上取点 F，使 BFAB若 AB2，则 BF 的长为（ ） A B C D2 7如图，ABC
3、绕点 A 逆时针旋转 40得到ADE，BAC50，则DAC 的度数为（ ） A10 B15 C20 D25 8如图，在ABC 中，BAC138，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC若点 B刚好落在 BC 边上，且 ABCB，则C 的度数为（ ） A16 B15 C14 D13 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9如图，在平面直角坐标系中，点 P1的坐标为（，） ，将线段 OP1绕点 O 按顺时针方向旋转 45， 再将其长度伸长为 OP1的 2 倍，得到线段 OP2；又将线段 OP2绕 O 点按顺时针方向旋转 45，长度伸 长为 OP2的 2 倍，得到线段 OP3；如此下去，
4、得到线段 OP4，OP5，K，OPn（n 为正整数） ，则点 P2022 的坐标是 10 如图， 在凸四边形 ABCD 中， BADBCD120， BCCD12cm， 则线段 AC 的长等于 cm 11如图，菱形 ABCD 中，AB9，ABC60，点 E 在 AB 边上，且 BE2AE，动点 P 在 BC 边上，连 接 PE，将线段 PE 绕点 P 顺时针旋转 60至线段 PF，连接 AF，则线段 AF 长的最小值为 12如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背 AO 与地面垂直，为了使座椅更舒适，现调整靠背，把 OA 绕 点 O 旋转到 OA处， 若 AOm， AOA， 则调整后点 A比调整前点
5、 A 的高度降低了 （用含 m， 的代数式表示） 13已知点 A（a，3）与点 B（4，b）关于原点对称，则 a+b 的值为 14如图，ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，AB3，AD2，连接 CE、BE，点 F、G 分别为 DE、 BE 的中点，连接 FG，在ADE 旋转的过程中，当 D、E、C 三点共线时，线段 FG 的长为 15如图，点 O 是ABCD 的对称中心，ADAB，E，F 是边 AB 上的点，且 EFAB；G，H 是 BC 边上 的点， 且 GHBC， 若 S1， S2分别表示EOF 和GOH 的面积， 则 S1与 S2之间的等量关系是 16如图，P 是等边ABC 内一点，P
6、A4，PB2，PC2，则ABC 的边长为 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 17如图 1，直线 MNPQ、ABC 按如图放置，ACB90，AC、BC 分别与 MN、PQ 相交于点 D、E， 若CDM40 （1）求CEP 的度数； （2）如图 2，将ABC 绕点 C 逆时针旋转，使点 B 落在 PQ 上得ABC，若CBE22，求ACB 的度数 18如图 1，在 RtACB 中，ACBC，过 B 点作 BDCD 于 D 点，AB 交 CD 于 E （1）如图 1，若 AC6，tanACD2，求 DE 的长； （2）如图 2，若 CE2BD，连接 AD，在 AD 上找一点 F，使 CFDF
7、，在 FD 上取一点 G，使EGF CFG，求证：AFEG； （3） 如图 3， D 为线段 BC 上方一点， 且BDC90， AC6， 连接 AD， 将 AD 绕 A 点逆时针旋转 90， D 点对应点为 E 点，H 为 DE 中点，求当 AH 有最小值时，直接写出ACH 的面积 19如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C90若固定ABC，将 DEC 绕点 C 旋转 （1）当DEC 绕点 C 旋转到点 D 恰好落在 AB 边上时，如图 2： 当BE30时，此时旋转角的大小为 ； 当BE 时，求旋转角的大小（用含 的式子表示） （2） 当DEC 绕点 C 旋
8、转到如图 3 所示的位置时， 小杨同学猜想： BDC 的面积与AEC 的面积相等， 试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想；若不正确，请说明理由 20 【问题提出】如图 1，在等边三角形 ABC 内部有一点 P，PA3，PB4，PC5求APB 的度数 【数学思考】当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题 【尝试解决】 （1）将APC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到APB，连接 PP，则APP为等边三角形 PPPA3，PB4，PBPC5， PP2+PB2PB2， BPP为 三角形， APB 的度数为 【类比探究】 （2）如图 2，在等边三角形 A
9、BC 外部有一点 P，若BPA30，求证：PA2+PB2PC2 【联想拓展】 （3）如图 3，在ABC 中，BAC90，ABAC点 P 在直线 BC 上方且APB45， PCBC2，求 PA 的长 21如图 1，已知ABC 中，C90，AC4，BC3，将ABC 绕点 B 逆时针旋转一定的角度 得到 A1BC1 （1）若 90，则 AA1的长为 （2）如图 2，若 090，直线 A1C1分别交 AB，AC 于点 G，H，当AGH 为等腰三角形时，求 CH 的长 （3）如图 3，若 0360，M 为边 A1C1的中点，N 为 AM 的中点，请直接写出 CN 的最大 值 22 （1）如图 1，等腰直
10、角ABC，B90，点 D 为 AC 的中点，点 E 为边 AB 上的一点，作 DE 垂直 DF 交 BC 于点 F，求证：DEDF （2）如图 2，等腰直角ABC，B90，点 D 为 AC 的中点，点 E 为边 AB 上的一点，线段 DE 绕着 点 D 逆时针旋转 90得到线段 DF，求证：点 F 在线段 BC 上； （3）如图 3，直角ABC，点 D 为 AC 的中点，点 E 为边 AB 上的一点，线段 DE 绕着点 D 逆时针旋转 90得到线段 DF，若 AB6，BC8， 直接写出线段 EF时，BE 的长； 直接写出ACF 是等腰三角形时，BE 的长； 直接写出BEF 面积的最大值 图形的
11、旋转巩固练习图形的旋转巩固练习 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机以下图中，中心对称图形个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫 做中心对称图形根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：从左到右第一、三两个图案是中心对称图形，第二、四两个图案不是中心对称图形 故选：B 【点评】 本题考查了中心对称图形的概念， 中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图重合 2如图，在
12、 RtABC 中，BAC90，ABAC，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与ACP重合， 如果 AP3，那么 PP的长等于（ ） A3 B2 C4 D3 【分析】利用等腰直角三角形的性质得ABAC，BAC90，再根据旋转的性质得 APAP， PAPBAC90，则APP为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解 【解答】解：ABC 是等腰直角三角形， ABAC，BAC90， ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与ACP重合， APAP，PAPBAC90， APP为等腰直角三角形， PPAP3， 故选：A 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的
13、夹角等 于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等腰直角三角形的性质 3在平面直角坐标系中，已知点 P（x0，y0） ，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 顺时针旋转 90后，得到线 段 OQ，则点 Q 的坐标是（ ） A （y0，x0） B （y0，x0） C （y0，x0） D （x0，y0） 【分析】如图，不妨设 x00，y00，过点 P 作 PFx 轴于 F，过点 Q 作 QEx 轴于 E利用全等三角 形的性质，求出点 Q 的坐标，可得结论 【解答】解：如图，不妨设 x00，y00，过点 P 作 PFx 轴于 F，过点 Q 作 QEx 轴于 E P（x0，y0） ， OFx0，PFy0，
14、 PFOQEOPOQ90， POF+QOE90，POE+P90， QOEP， 在PFO 和EOQ 中， ， PFOEOQ（AAS） ， OEPEy0，EQOFx0， Q（y0，x0） ， 故选：A 【点评】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅 助线，构造全等三角形解决问题 4如图，RtOAB 的斜边 OA 在 y 轴上，AOB30，OB，将 RtAOB 绕原点顺时 针旋转 60，则 A 的对应点 A1的坐标为（ ） A （1，） B （，1） C （，1） D （1，） 【分析】如图，过点 A作 AHx 轴于 H解直角三角形求出 OH，AH 即可解
15、决问题 【解答】解：如图，过点 A作 AHx 轴于 H ABO90，AOB30，OB， OA2， AOA60， AOH30， AHOA1，OHAH， A（，1） ， 故选：C 【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所 学知识解决问题 5如图，将ABC 纸片绕点 C 顺时针旋转 40得到ABC，连接 AA，若 ACAB，则AAB的度数为 （ ） A20 B40 C50 D60 【分析】在直角A1CD 中，求得DA1C 的度数，然后在等腰ACA1中利用等边对等角求得AA1C 的 度数，即可求解 【解答】解：若 ACA1B1，垂足为 D， ACA1B1
16、， 直角A1CD 中，DA1C90DCA1904050 CACA1， CAA1CA1A70， AA1B705020 故选：A 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质 是本题的关键 6如图，矩形 ABCD 中，AC2AB，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得到矩形 ABCD，使点 B 的对应点 B落在 AC 上，BC交 AD 于点 E，在 BC上取点 F，使 BFAB若 AB2，则 BF 的长为（ ） A B C D2 【分析】连接 AF，过 A 作 AMBF，可得ABF 是等腰直角三角形，ABB 为等边三角形，分别 求出 BM，FM 可得结论
17、【解答】解：连接 AF，过 A 作 AMBF， 在 RtABC 中，AC2AB， ACBACB30，BAC60， ABAB ABB 为等边三角形， ABBBBF，ABF90， ABF 是等腰直角三角形， AFB45， AFM30，ABF45， 在 RtAMF 中，AMBMABcosABM2， 在 RtAMF 中，MF， 则 BF+ 故选：A 【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形、等腰直角三角形的性 质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键 7如图，ABC 绕点 A 逆时针旋转 40得到ADE，BAC50，则DAC 的度数为（ ） A10 B15 C20 D25 【
18、分析】利用角的和差定义求解即可 【解答】解：由旋转的性质可知，BAD40， BAC50， DACBACBAD504010， 故选：A 【点评】本题考查旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 8如图，在ABC 中，BAC138，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC若点 B刚好落在 BC 边上，且 ABCB，则C 的度数为（ ） A16 B15 C14 D13 【分析】 由旋转的性质可得CC， ABAB， 由等腰三角形的性质可得CCAB， BABB， 由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解 【解答】解：ABCB， CCAB， ABBC+CAB2C， 将ABC 绕点
19、A 按逆时针方向旋转得到ABC， CC，ABAB， BABB2C， B+C+CAB180， 3C180138， C14， CC14， 故选：C 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9如图，在平面直角坐标系中，点 P1的坐标为（，） ，将线段 OP1绕点 O 按顺时针方向旋转 45， 再将其长度伸长为 OP1的 2 倍，得到线段 OP2；又将线段 OP2绕 O 点按顺时针方向旋转 45，长度伸 长为 OP2的 2 倍，得到线段 OP3；如此下去，得到线段 OP4，OP5，K，OPn（n 为正整数） ，
20、则点 P2022 的坐标是 （22021，0） 【分析】根据题意得出 OP11，OP22，OP34，如此下去，得到线段 OP4823，OP51624， OPn2n 1，再利用旋转角度得出点 P 2020的坐标与点 P4的坐标在同一直线上，进而得出答案 【解答】解：点 P1的坐标为（，） ，将线段 OP1绕点 O 按顺时针方向旋转 45，再将其长度 伸长为 OP1的 2 倍，得到线段 OP2； OP11，OP22， OP34，如此下去，得到线段 OP423，OP524， OPn2n 1， 由题意可得出线段每旋转 8 次旋转一周， 202282526， 点 P2022的坐标与点 P6的坐标在同一直
21、线上，正好在 x 轴的负半轴上， 点 P2022的坐标是（22021，0） 故答案为： （22021，0） 【点评】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点 P2020的坐标与点 P4的坐标在同一直线上是解 题关键 10 如图， 在凸四边形 ABCD 中， BADBCD120， BCCD12cm， 则线段 AC 的长等于 12 cm 【分析】连接 AC，由BADBCD120BCCD，作辅助线：把ACD 绕点 C 按逆时针方向旋转 120得到ECB， 使 CD 与 BC 重合， 则ACDECB， 进而可得四边形 ABCE 和四边形 ABCD 全等， 则 ACECBCCD，已知 BCCD12cm
22、，则问题得解 【解答】解：连接 AC， BADBCD120，BCCD， 把ACD 绕点 C 按逆时针方向旋转 120得到ECB，使 CD 与 BC 重合， ACDECB，ACE120， ACCE，BEAD，CBED， BADBCD120， ABC+D120， ABC+CBE120，即ABE120， 又ABC 是公共部分， 四边形 ABCE 和四边形 ABCD 全等， ACECBCCD， BCCD12cm， AC12cm 故答案为：12 【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键 11如图，菱形 ABCD 中，AB9，ABC60，点 E 在 AB 边上，且 BE2AE，动点
23、 P 在 BC 边上，连 接 PE，将线段 PE 绕点 P 顺时针旋转 60至线段 PF，连接 AF，则线段 AF 长的最小值为 3 【分析】在 BC 上取一点 G，使得 BGBE，连接 EG，EF，作直线 FG 交 AD 于 T，过等 A 作 AHGF 于 H证明BGF120，推出点 F 在射线 GF 上运动，根据垂线段最短可知，当点 F 与 H 重合时， AF 的值最小，求出 AH 即可 【解答】解：在 BC 上取一点 G，使得 BGBE，连接 EG，EF，作直线 FG 交 AD 于 T，过等 A 作 AH GF 于 H B60，BEBG， BEG 是等边三角形， EBEG，BEGBGE6
24、0， PEPF，EPF60， EPF 是等边三角形， PEF60，EFEP， BEGPEF， BEPGEF， BEPGEF（SAS） ， EGFB60， BGF120， 点 F 在射线 GF 上运动， 根据垂线段最短可知，当点 F 与 H 重合时，AF 的值最小， AB9，BE2AE， BE6，AE3， BEGEGF60， GTAB， BGAT， 四边形 ABGT 是平行四边形， ATBGBE6，ATHB60， AHATsin603， AF 的最小值为 3， 故答案为：3 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，构造全等三角形解
25、决问题，属于中考常考题型 12如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背 AO 与地面垂直，为了使座椅更舒适，现调整靠背，把 OA 绕 点 O 旋转到 OA处， 若 AOm， AOA， 则调整后点 A比调整前点 A 的高度降低了 mmcos （用 含 m， 的代数式表示） 【分析】作 ABAO 于 B，通过解余弦函数求得 OB，然后根据 ABOAOB 求得即可 【解答】解：如图，ABAO 于 B， 根据题意 OAOAm，AOA， 作 ABAO 于 B， OBOAcosmcos， ABOAOBmmcos 故答案为：mmcos 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键
26、 13已知点 A（a，3）与点 B（4，b）关于原点对称，则 a+b 的值为 7 【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得 a、b 的值，根据有理数的加法，可得答 案 【解答】解：由 A（a，3）与点 B（4，b）关于原点对称，得 a4，b3， a+b437， 故答案是：7 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称 点，横纵坐标都变成相反数 14如图，ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，AB3，AD2，连接 CE、BE，点 F、G 分别为 DE、 BE 的中点， 连接 FG， 在ADE 旋转的过程中， 当 D、 E、 C 三点
27、共线时， 线段 FG 的长为 【分析】连接 BD，证明ADBAEC，求得BDC90，在 RtBDC 中利用勾股定理求出 BD 长 度，最后利用三角形中位线性质求解 FG 长度 【解答】解：连接 BD， BAD90BAE，CAE90BAE， BADCAE 在ADB 和AEC 中， ， ADBAEC（SAS） BDCE，ADBAEC135， BDC1354590 ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，AB3，AD2， DE2，BC3 设 BDx，则 DC2+x， 在 RtBDC 中，利用勾股定理 BD2+DC2BC2， x2+（2+x）218，解得 x1（舍去） ，x2+ 点 F、G 分别为 DE
28、、BE 的中点， FGBD 故答案为： 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线性质，解题的关键是找到 共顶点的全等三角形，从而得到直角三角形，运用勾股定理求解线段长度 15如图，点 O 是ABCD 的对称中心，ADAB，E，F 是边 AB 上的点，且 EFAB；G，H 是 BC 边上 的点，且 GHBC，若 S1，S2分别表示EOF 和GOH 的面积，则 S1与 S2之间的等量关系是 S1 S2 【分析】如图，连接 OA，OB，OC设平行四边形的面积为 4s求出 S1，S2（用 s 表示）即可解决问题 【解答】解：如图，连接 OA，OB，OC设平行四边形的面积为
29、4s 点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心， SAOBSBOCS平行四边形ABCDs， EFAB，GHBC， S1s，S2s， S1：S2s：s3：2， S1S2 故答案为：S1S2 【点评】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解 决问题，属于中考常考题型 16如图，P 是等边ABC 内一点，PA4，PB2，PC2，则ABC 的边长为 2 【分析】作 BHPC 于 H，如图，根据等边三角形的性质得 BABC，ABC60，于是可把ABP 绕点 B 顺时针旋转 60得到CBD，连接 PD，如图，根据旋转的性质得 CDAP4，BDBP2， PBD60
30、，则可判断PBD 为等边三角形，所以 PDPB2，BPD60，然后利用勾股定 理的逆定理可证明PCD 为直角三角形，CPD90，易得BPC150，利用平角等于有BPH 30，再利用勾股定理求出 BC 即可 【解答】解：作 BHPC 于 H，如图， ABC 为等边三角形， BABC，ABC60， 把ABP 绕点 B 顺时针旋转 60得到CBD，连接 PD，如图， CDAP4，BDBP2，PBD60， PBD 为等边三角形， PDPB2，BPD60， 在PDC 中，PC2，PD2，CD4， PC2+PD2CD2， PCD 为直角三角形，CPD90， BPCBPD+CPD150， BPH30， 在
31、RtPBH 中，BPH30，PB2， BHPB，PHBH3， CHPC+PH2+35， 在 RtBCH 中，BC2BH2+CH2（）2+5228， BC2， 故答案为：2 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质此题难度较 大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 17如图 1，直线 MNPQ、ABC 按如图放置，ACB90，AC、BC 分别与 MN、PQ 相交于点 D、E， 若CDM40 （1）求CEP 的度数； （2）如图 2，将ABC 绕点 C 逆时针旋转，使点 B 落在 PQ 上得ABC，若CBE
32、22，求ACB 的度数 【分析】 （1）连接 DE，利用平行线性质和三角形内角和可得答案， （2）过 C 作 CFMN，利用平行性质先求出旋转角ACA，再加上 90即可 【解答】解： （1）连接 DE，如答图 1： MNPQ， MDE+PED180，即CDM+CEP+CDE+CED180， CDE+CED+ACB180，ACB90， CDE+CED90， CDM+CEP90， CDM40， CEP90CDM904050； （2）过 C 作 CFMN，如答图 2： MNPQ，CFMN， MNPQCF， CBEFCB，CDMDCF， CBE22，CDM40 FCB22，DCF40， ACB90，
33、ACA90FCBDCF28， ACBACA+ACB118 【点评】本题考查平行线的性质及角的和差，关键是根据已知找出相关角的关系 18如图 1，在 RtACB 中，ACBC，过 B 点作 BDCD 于 D 点，AB 交 CD 于 E （1）如图 1，若 AC6，tanACD2，求 DE 的长； （2）如图 2，若 CE2BD，连接 AD，在 AD 上找一点 F，使 CFDF，在 FD 上取一点 G，使EGF CFG，求证：AFEG； （3） 如图 3， D 为线段 BC 上方一点， 且BDC90， AC6， 连接 AD， 将 AD 绕 A 点逆时针旋转 90， D 点对应点为 E 点，H 为
34、DE 中点，求当 AH 有最小值时，直接写出ACH的面积 【分析】 （1）如图 1 中，过点 E 作 EHBC 于 H解直角三角形求出 CD，CE 可得结论 （2）如图 2 中，过点 A 作 ATCE 于 T，在 AG 上取一点 J，使得 EJEG想办法证明ACFEAJ （AAS） ，可得结论 （3）如图 3 中，取 BC 的中点 T，连接 DT，AT易知 AHAD，求出 AD 的最小值可得结论 【解答】解： （1）如图 1 中，过点 E 作 EHBC 于 H BDCD， D90， ACB90， ACD+DCB90，DCB+DBC90， ACDDBC， tanDBCtanACD2， 2， AC
35、BC6， BD，CD， EHBC，EBH45， EHB90，EHBHBE45， EHBH， 设 EHBHm，则 HC2EH2m， 3m6， m2， EH2，CH4， EC2， DECDCE2 （2）如图 2 中，过点 A 作 ATCE 于 T，在 AG 上取一点 J，使得 EJEG EJEG， EJGEGJ， CFGEGJ， CFGEJG， AFCAJE， ATCCDBACB90， ACT+DCB90，DCB+CBD90， ACTCBD， ACBC， ATCCDB（AAS） ， CTBD， EC2BD， CTET， ATEC， ACAE， ACTAEC， ACF+FCDEAJ+FDC， FCF
36、D， FCDFDC， ACFEAJ， ACFEAJ（AAS） ， AFEJEG （3）如图 3 中，取 BC 的中点 T，连接 DT，AT ACBC6，ACT90，CTTB3， AT3， CDBD， CDB90， DTBC3， ADATDT， AD33， AD 的最小值为 33， ADE 是等腰直角三角形，AHDE， DHEH， AHDEAD， AH 的最小值为 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角 三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题 19如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 D
37、EC 重合放置，其中C90若固定ABC，将 DEC 绕点 C 旋转 （1）当DEC 绕点 C 旋转到点 D 恰好落在 AB 边上时，如图 2： 当BE30时，此时旋转角的大小为 60 ； 当BE 时，求旋转角的大小（用含 的式子表示） （2） 当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时， 小杨同学猜想： BDC 的面积与AEC 的面积相等， 试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想；若不正确，请说明理由 【分析】 （1）证明ADC 是等边三角形即可 如图 2 中，作 CHAD 于 H想办法证明ACD2B 即可解决问题 （2）小杨同学猜想是正确的过 B 作 BNCD 于
38、 N，过 E 作 EMAC 于 M，如图 3，想办法证明CBN CEM（AAS）即可解决问题 【解答】解： （1）B30，ACB90， CAD903060， CACD， ACD 是等边三角形， ACD60， 旋转角为 60， 故答案为 60 如图 2 中，作 CHAD 于 H CACD，CHAD， ACHDCH， ACH+CAB90，CAB+B90， ACHB， ACD2ACH2B2， 旋转角为 2 （2）小杨同学猜想是正确的，证明如下： 过 B 作 BNCD 于 N，过 E 作 EMAC 于 M，如图 3， ACBDCE90， 1+290，3+290， 13， BNCD 于 N，EMAC 于
39、 M， BNCEMC90， ACBDCE， BCEC， 在CBN 和CEM 中， BNCEMC，13，BCEC， CBNCEM（AAS） ， BNEM， SBDCCDBN，SACEACEM， CDAC， SBDCSACE 【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质 等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 20 【问题提出】如图 1，在等边三角形 ABC 内部有一点 P，PA3，PB4，PC5求APB 的度数 【数学思考】当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题 【尝试解决】 （1）将APC 绕点 A 逆时
40、针旋转 60，得到APB，连接 PP，则APP为等边三角形 PPPA3，PB4，PBPC5， PP2+PB2PB2， BPP为 直角 三角形， APB 的度数为 150 【类比探究】 （2）如图 2，在等边三角形 ABC 外部有一点 P，若BPA30，求证：PA2+PB2PC2 【联想拓展】 （3）如图 3，在ABC 中，BAC90，ABAC点 P 在直线 BC 上方且APB45， PCBC2，求 PA 的长 【分析】 （1）根据勾股定理的逆定理可得到BPP为直角三角形，且BPP90，即可得到APB 的度数 （2）如图 2 中，将PAB 绕点 B 逆时针旋转 60得到TCB，连接 PT证明CT
41、P90，利用勾股 定理证明即可 （3）过点 C 作 CTPB 于 T，连接 AT，设 CT 交 AB 于 O证明APT 是等腰直角三角形，CT2PT， 设 PTm，则 CT2m，利用勾股定理构建方程求出 m，即可解决问题 【解答】 （1）解：如图 1，将APC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到APB，连接 PP，则APP为 等边三角形 PPPA3，PB4，PBPC5， PP2+PB2PB2 BPP为直角三角形 APB 的度数为 90+60150 故答案为：直角；150 （2）证明：如图 2 中，将PAB 绕点 B 逆时针旋转 60得到TCB，连接 PT BPBT，PBT60， PBT 是等边三
42、角形， PTPB，PTB60， 由旋转的性质可知：PABTCB， APBCTB30，PACT， PTCPTB+CTB60+3090， PC2PT2+CT2， PBPT，PCCT， PA2+PB2PC2 （3）解：过点 C 作 CTPB 于 T，连接 AT，设 CT 交 AB 于 O PCBC2，CTPB， PTBT， CAOBTO90，AOCBOT， ACTABP，ATCABC45， CTB90， ATPCTAAPT45 ACAB， CATBAP（AAS） ， CTPB2PT， 设 PTm，则 CT2m， PC2PT2+CT2， （2）2m2+（2m）2， 解得 m2 或2（舍弃） ， PT2
43、， PAPT 【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定 与性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键 21如图 1，已知ABC 中，C90，AC4，BC3，将ABC 绕点 B 逆时针旋转一定的角度 得到 A1BC1 （1）若 90，则 AA1的长为 5 （2）如图 2，若 090，直线 A1C1分别交 AB，AC 于点 G，H，当AGH 为等腰三角形时，求 CH 的长 （3）如图 3，若 0360，M 为边 A1C1的中点，N 为 AM 的中点，请直接写出 CN 的最大 值 【分析】 （1）利用勾股定理求出 AB，再根
44、据ABA1是等腰直角三角形，推出 AA1AB，可得结论 （2）分两种情形：如图 21 中，当 AGAH 时，如图 22 中，当 GAGH 时，过点 G 作 GMAH 于 M分别求解即可 （3）如图 3 中，取 AB 的中点 J，连接 BM，CJ，JN想办法求出 CJ，JN，根据 CNCJ+JN，即可解 决问题 【解答】解： （1）C90，AC4，CB3， AB5， 90， ABA1是等腰直角三角形，AA1AB5 故答案为：5 （2）如图 21 中，当 AGAH 时， AGAH， AHGAGH， AA1，AGHA1GB， AHGA1BG， A1GBA1BG， ABAG5， GC1A1GC1G1，
45、 BC1G90， BG， AHAGABBG5， CHACAH4（5）1 如图 22 中，当 GAGH 时，过点 G 作 GMAH 于 M 同法可证，GBGA1，设 GBGAx，则有 x232+（4x）2， 解得 x， BG，AG5， GMBC， ， ， AM， GAGH，GMAH， AMHM， AH3， CHACAM1 综上所述，满足条件的 CH 的值为1 或 1 （3）如图 3 中，取 AB 的中点 J，连接 BM，CJ，JN AJBJ，ACB90， CJAB， BC1BC3，MC1MA12，BC1M90， BM， AJBJ，ANNM， JNBM， CNCJ+JN， CN， CN 的最大值为
46、 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角 形中位线定理等知识， 解题的关键是理解题意， 学会用分类讨论使得思想思考问题， 属于中考常考题型 22 （1）如图 1，等腰直角ABC，B90，点 D 为 AC 的中点，点 E 为边 AB 上的一点，作 DE 垂直 DF 交 BC 于点 F，求证：DEDF （2）如图 2，等腰直角ABC，B90，点 D 为 AC 的中点，点 E 为边 AB 上的一点，线段 DE 绕着 点 D 逆时针旋转 90得到线段 DF，求证：点 F 在线段 BC 上； （3）如图 3，直角ABC，点 D 为 AC 的中点，点 E
47、 为边 AB 上的一点，线段 DE 绕着点 D 逆时针旋转 90得到线段 DF，若 AB6，BC8， 直接写出线段 EF时，BE 的长； 直接写出ACF 是等腰三角形时，BE 的长； 直接写出BEF 面积的最大值 【分析】 （1）证明：如图 1 中，连接 BD证明EDBFDC（ASA） ，可得结论 （2）如图 2 中，连接 DB，CF证明EDBFDC（SAS） ，推出DBEDCF45，推出点 F 在 线段 BC 上 （3）如图 31 中，过点 D 作 DTAB 于 T解直角三角形求出 ET 可得结论 证明AFC 是等腰直角三角形，推出点 E 与 A 重合，可得结论 如图 33 中，过点 D 作 DTAB 于 T，过点 F 作 FRDT 于 R证明DTEFRD（AAS） ，推出 ETDR，DTFR4，设 ETDRm，则 RT4m，构建二次函数，可得结论 【解答】 （1）证明：如图 1 中，连接 BD ABC 是等腰直角三角形，ADDC， BDAC，BDDADC， BDAC， EDDF， EDFBDC90， EDBFDC， DBEC45， EDBFDC（ASA） ， DEDF （2）证明：如图 2 中，连接 DB，CF