1、二次函数巩固练习二次函数巩固练习 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 如图， 抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴正半轴， y 轴正半轴分别交于点 A， B 且 OAOB， 则 c 的值为 （ ） A0 B1 C2 D3 2如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2） ，与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，其中1 x10，1x22，则下列结论中正确的是（ ） Aa1 Bb2 C2a+b0 Dk 为任意实数，关于 x 的方程 ax2+bx+c+k20 没有实数根 3如下表给出了二次函数 yx2+2x10 中 x，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程 x2
2、+2x100 的 一个近似解（精确到 0.1）为（ ） x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 y 1.39 0.76 0.11 0.56 1.25 A2.2 B2.3 C2.4 D2.5 4如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，对称轴为直线 x1结合图象分析下列结论： abc0； 4a+2b+c0； 一元二次方程 ax2+bx+c0 的两根分别为 x13，x21； 2a+c0其中正确的结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 5 将抛物线y2x2先向左平移3个单位， 再向上平移2个单位， 得到的新抛物线对应的函数表达式是 （ ） Ay2（x+3）2+2 By
3、2（x3）2+2 Cy2（x+3）22 Dy2（x3）22 6二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论：b24ac0；a+b+c0；2a b；abc0，其中正确的结论是（ ） A B C D 7如图是二次函数 ymx2+nx+k 图象的一部分且过点 P（3，0） ，二次函数图象的对称轴是直线 x1，下 列结论正确的是（ ） An24mk0 Bmk0 Cn2m Dmn+k0 8要得到抛物线，可以将抛物线（ ） A向右平移 6 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度 B向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度 C向左平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长
4、度 D向左平移 6 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度 9已知（1，y1） ， （2，y2） ， （4，y3）是抛物线 ym（x+2）2+c（m0）上的点，则（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy3y1y2 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x，有下列结论： abc0；3a+c0；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；一元二次方程 cx2+bx+a0 的两个根分 别为 x1，x2；0，正确的有（ ） A2 B3 C4 D5 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11抛物线 yx23x+2 与 x 轴的交点
5、个数是 个 12如果抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x1，那么 2a+b 0 （从，中选择） 13已知二次函数图象经过点（3，4）和（7，4） ，那么该二次函数图象的对称轴是直线 14二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x2，下列结论： 4a+b0；9a+c3b；4a+2bam2+bm（m 为任意实数） ；当 x1 时，y 的值随 x 值的增大 而增大；其中正确的结论有 （填序号） 15如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这 个点为“平衡点” 现将抛物线 C1：y（x1）21
6、 向右平移得到新抛物线 C2，如果“平衡点”为（3，3） ，那么新抛物 线 C2的表达式为 16抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，3） ，B（2，3） ，则关于 x 的一元二次方程 a（x2）232bbx c 的解为 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 17用配方法把二次函数 y3x26x+5 化为 ya（x+m）2+k 的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对 称轴和顶点坐标 18已知二次函数 yx2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点（0，3） ， （1，0） （1）则 b ，c ； （2）该二次函数图象的顶点坐标为 ； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （4
7、）根据图象，当1x0 时，y 的取值范围是 19某商店销售一种成本为 40 元的玩具，若按每件 50 元销售，一个月可售出 500 件，销售价每涨 1 元， 月销量就减少 10 件； （1）商店要使月销售利润达到 8000 元，销售价应定为每件多少元？ （2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？ 20如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（3，0） ，C（0，3）两点 （1）求 b，c 的值； （2）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标，并结合图象，写出当 y0 时，x 的取值范围 21已知抛物线 G：yax2+bx+c 过点 A（1，1+b+c） ，B（1，1+b） （1）用
8、含 b 的式子表示 c； （2）设抛物线 G 的顶点坐标是（h，k） ，经过探究发现，随着 b 的值的变化，抛物线 G 的顶点的纵坐标 k 与横坐标 h 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式； （3）若 0b8，当6x2 时，yax2+bx+c 的最大值与最小值之差是 25，求 b 的值 22一班数学兴趣小组对函数 yx22|x|3 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： x 3 2 1 0 1 2 3 y 0 m 4 3 4 3 0 （1）自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应值见表：其中，m （2）根据表中数据，在所示的平面坐标系中描点，并画出了函数图象的一
9、部分，请画出该函数图象的另 一部分 （3）观察函数 yx22|x|3 图象，回答下列问题： 函数图象的对称性是： 当 x0 时，写出 y 随 x 的变化规律： 进一步探究图象发现：方程 x22|x|33 的根为 23在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 经过点（6，7） ，其对称轴为直线 x2 （1）求这条抛物线所对应的函数表达式 （2）当时，求函数值 y 的取值范围 （3）当2xk 时，函数值 y 先随 x 的增大而减小，后随 x 的增大而增大，且 y 的最大值为 7，则 k 的取值范围是 （4）已知 A、B 两点均在抛物线 yx2+bx+c 上，点 A 的横坐标为 m，点 B 的横
10、坐标为 m+2将抛物线 上 A、B 两点之间（含 A、B 两点）的图象记为 M，当图象 M 的最高点与最低点的纵坐标之差为 2 时， 求 m 的值 二次函数巩固练习二次函数巩固练习 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 如图， 抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴正半轴， y 轴正半轴分别交于点 A， B 且 OAOB， 则 c 的值为 （ ） A0 B1 C2 D3 【分析】根据题意得出 A（c，0） ，代入解析式得到c2+2c+c0，解得即可 【解答】解：抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B， B（0，
11、c） ， OBc， OAOB， OAc， A（c，0） ， c2+2c+c0，解得 c3 或 c0（舍去） ， 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，得出 A 的坐标为（c，0）是解题 的关键 2如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2） ，与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，其中1 x10，1x22，则下列结论中正确的是（ ） Aa1 Bb2 C2a+b0 Dk 为任意实数，关于 x 的方程 ax2+bx+c+k20 没有实数根 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及
12、抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：当 x1 时，a+b+c2 ab+c0，4a+2b+c0， 由+得到 2a+2c2， 由2 得到 2ac4，即 4a2c8， 上面两个相加得到 6a6， a1即 A 选项是正确； a+b+c2，ab+c0， a+c2b， a+cb2bb0， 解得 b1即 B 选项错误 01，a0， b2a，即 2a+b0所以 C 选项错误； 由图象可知抛物线 yax2+bx+c 与直线 yk2一定有两个交点， 关于 x 的方程 ax2+bx+c+k20 一定有两个不相等的实数根，以 D 选项错误； 故选：A 【点评】本题考查二次函数 yax
13、2+bx+c 系数符号的是由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交 点、抛物线与 x 轴交点的个数等确定 3如下表给出了二次函数 yx2+2x10 中 x，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程 x2+2x100 的 一个近似解（精确到 0.1）为（ ） x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 y 1.39 0.76 0.11 0.56 1.25 A2.2 B2.3 C2.4 D2.5 【分析】根据表格中的数据可得出“当 x2.3 时，y0.11；当 x2.4 时，y0.56 ”由0.11 更接近 于 0 即可得出结论 【解答】解：当 x2.3 时，y0.11；当 x2.4 时，y
14、0.56 0.11 更接近于 0， 方程的一个近似根为 2.3 故选：B 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方 法是解题的关键 4如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，对称轴为直线 x1结合图象分析下列结论： abc0； 4a+2b+c0； 一元二次方程 ax2+bx+c0 的两根分别为 x13，x21； 2a+c0其中正确的结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关 系，逐项判断即可 【解答】解：抛物线开口向下，因此 a
15、0，对称轴为 x10，因此 a、b 异号，所以 b0，抛物线与 y 轴交点在正半轴，因此 c0，所以 abc0，故不正确； 当 x2 时，y4a+2b+c0，故正确； 抛物线与 x 轴交点（3，0） ，对称轴为 x1因此另一个交点坐标为（1，0） ，即方程 ax2+bx+c0 的 两根为 x13，x21，故正确； 抛物线与 x 轴交点（1，0） ，所以 ab+c0，又 x1，有 2a+b0，所以 3a+c0，而 a0， 因此 2a+c0，故不正确； 故选：B 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的 a、b、c 的值决定抛物线的位置是正确判断 的关键 5 将抛物线y2x2先向左平移
16、3个单位， 再向上平移2个单位， 得到的新抛物线对应的函数表达式是 （ ） Ay2（x+3）2+2 By2（x3）2+2 Cy2（x+3）22 Dy2（x3）22 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式 【解答】解：抛物线 y2x2先向左平移 3 个单位得到解析式：y2（x+3）2，再向上平移 2 个单位得到 抛物线的解析式为：y2（x+3）2+2 故选：A 【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是 解题的关键 6二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论：b24ac0；a+b+c0；2a
17、b；abc0，其中正确的结论是（ ） A B C D 【分析】由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b24ac0 即可判断；根据 x1 时，y0，即可判断； 根据1，得出 b2a，即可判断；根据抛物线开口判断 a0，然后根据对称轴判断 b0，抛 物线交 y 轴于正半轴，c0，可得 abc0，据此判断即可 【解答】解：图象与 x 轴有两个交点， 方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根， b24ac0，错误； 当 x1 时，y0， a+b+c0，正确； 1， b2a，错误； 抛物线开口向下， a0； 抛物线的对称轴为1，b2a，故 b0； 抛物线交 y 轴于正半轴，得：c0； abc0；正确
18、故选：B 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c） ；当 b24ac0， 抛物线与 x 轴有两个交点；当 b24ac0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b24ac0，抛物线与 x 轴没 有交点 7如图是二次函数 ymx2+nx+k 图象的一部分且过点 P（3，0） ，二次函数图象的对称轴是直线 x1，下 列结论正确的是（ ） An24mk0 Bmk0 Cn2m Dmn+k0 【分析】 】根据抛物线与 x 轴有两个交点可对 A 进行判断；由抛物线开口向上得
19、m0，由抛物线与 y 轴 的交点在 x 轴下方得 k0，则可对 B 进行判断；根据抛物线的对称轴是 x1 对 C 选项进行判断；根据 抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ，所以 mn+k0，则可对 D 选项进行判 断 【解答】解：A抛物线与 x 轴有两个交点， n24mk0，所以 A 选项错误； B抛物线开口向上， m0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， k0， mk0，所以 B 选项错误； C二次函数图象的对称轴是直线 x1， 1， n2m，所以 C 选项错误； D抛物线过点 A（3，0） ，二次函数图象的对称轴是 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，
20、0） ， mn+k0，所以 D 选项正确； 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c） ；当 b24ac0， 抛物线与 x 轴有两个交点；当 b24ac0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b24ac0，抛物线与 x 轴没 有交点 8要得到抛物线，可以将抛物线（ ） A向右平移 6 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度 B向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度 C向左平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度 D向左平移 6 个
21、单位长度，再向下平移 3 个单位长度 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到 【解答】解：的顶点坐标为（6，3） ，yx2的顶点坐标为（0，0） ， 将抛物线 yx2向右平移 6 个单位长度， 再向上平移 3 个单位长度， 可得到抛物线 故选：B 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标 9已知（1，y1） ， （2，y2） ， （4，y3）是抛物线 ym（x+2）2+c（m0）上的点，则（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy3y1y2 【分析】求出抛物线的对称轴为直线 x2，然后根据二次函数的
22、增减性和对称性解答即可 【解答】解：由抛物线 ym（x+2）2+c（m0）可知抛物线的开口向下，对称轴为直线 x2， 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大， （1，y1）关于对称轴的对称点为（5，y1） ， 542， y1y3y2 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称 点是解题的关键 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x，有下列结论： abc0；3a+c0；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；一元二次方程 cx2+bx+a0 的两个根分 别为 x1，x2；0，正确的有（
23、 ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从 而可以解答本题 【解答】解：由函数图象可得， a0，b0，c0， 则 abc0，故正确； ，得 ab， x3 时，y9a3b+c0， 6a+c0， c6a， 3a+c3a6a3a0，故正确； 由图象可知，当 x时，y 随 x 的增大而增大，当x0 时，y 随 x 的增大而减小，故错误； 抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x， 该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标为（2，0） ， ax2+bx+c0 的两个根为 x13，x22，
24、a+b+c（）20 的两个根为 x13，x22， 一元二次方程 cx2+bx+a0 的两根分别为 x1，x2，故正确； 0， 0，故正确； 故选：C 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、抛物线与 x 轴的交点、二次函数的最 值，二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的 思想解答 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11抛物线 yx23x+2 与 x 轴的交点个数是 2 个 【分析】令 x23x+20，求出的值，判断出其符号即可 【解答】解：令 x23x+20， （3）241210， 抛物线 yx23x+2 与 x 轴的
25、交点个数是 2 故答案是：2 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，熟知二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的交 点与一元二次方程 ax2+bx+c0 根之间的关系是解答此题的关键 12如果抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x1，那么 2a+b 0 （从，中选择） 【分析】根据对称轴公式列出1，变形即可 【解答】解对称轴为 x1， 1， 2a+b0， 故答案为 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆二次函数对称轴公式是解题关键 13已知二次函数图象经过点（3，4）和（7，4） ，那么该二次函数图象的对称轴是直线 x5 【分析】根据二次函数图象具
26、有对称性，由二次函数的图象经过（0，3） 、 （4，3）两点，可以得到该二 次函数的图象对称轴 【解答】解：二次函数图象经过点（3，4）和（7，4） ， 该二次函数的图象对称轴为直线：x5， 故答案为：x5 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数的图象关于对称轴对 称 14二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x2，下列结论： 4a+b0；9a+c3b；4a+2bam2+bm（m 为任意实数） ；当 x1 时，y 的值随 x 值的增大 而增大；其中正确的结论有 （填序号） 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、
27、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数 a、b、c 满足的关系 进行综合判断即可 【解答】解：2， 4a+b0，故正确； 当 x3 时，y9a3b+c0，即 9a+c3b，故不正确； 当 x2 时，y最大4a+2b+c，当 xm 时，yam2+bm+c， 4a+2b+cam2+bm+c， 4a+2bam2+bm，故正确； 在对称轴的左侧，即当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，故不正确； 综上所述，正确的结论有：， 故答案为： 【点评】 本题考查二次函数的图象和性质， 掌握抛物线的位置与系数 a、 b、 c 的关系是解决问题的关键 15如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在
28、平移后的函数图象上，那么称这 个点为“平衡点” 现将抛物线 C1：y（x1）21 向右平移得到新抛物线 C2，如果“平衡点”为（3，3） ，那么新抛物 线 C2的表达式为 y（x3）21 或 y（x7）21 【分析】设将抛物线 C1：y（x1）21 向右平移 m 个单位，则平移后的抛物线解析式是 y（x1 m）21，然后将（3，3）代入得到关于 m 的方程，通过解方程求得 m 的值即可 【解答】解：设将抛物线 C1：y（x1）21 向右平移 m 个单位，则平移后的抛物线解析式是 y（x 1m）21， 将（3，3）代入，得（31m）213 整理，得 4m2 解得 m12，m26 故新抛物线 C2
29、的表达式为 y（x3）21 或 y（x7）21 故答案是：y（x3）21 或 y（x7）21 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定 函数关系式，解题的关键是理解“平衡点”的含义 16抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，3） ，B（2，3） ，则关于 x 的一元二次方程 a（x2）232bbx c 的解为 1 或 4 【分析】把 a（x2）232bbxc，转化为 a（x2）2+b（x2）+c3，即 ya（x2）2+b（x 2）+c 于 y3 的交点，进而求解 【解答】关于 x 的一元二次方程 a（x2）2+bx2bc 变形为 a（x2）
30、2+b（x2）+c0， 把抛物线 yax2+bx+c 沿 x 轴向右平移 2 个单位得到 ya（x2）2+b（x2）+c， 设 y3， 当 yy时，即 a（x2）2+b（x2）+c3，即 a（x2）232bbxc， 即一元二次方程 a（x2）232bbxc 的解转化为 yy的交点， 而平移前函数交点的横坐标为1 或 2，向右平移 2 个单位后交点的横坐标为 1 或 4 故答案为 1 或 4 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴 的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质 三解答题（共三解答题（
31、共 7 小题）小题） 17用配方法把二次函数 y3x26x+5 化为 ya（x+m）2+k 的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对 称轴和顶点坐标 【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答 【解答】解：y3x26x+5 3（x22x）+5 3（x22x+11）+5 3（x1）2+2， 开口向上，对称轴为直线 x1，顶点（1，2） 【点评】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解 题的关键 18已知二次函数 yx2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点（0，3） ， （1，0） （1）则 b 2 ，c 3 ； （2）该二次函数图象
32、的顶点坐标为 （1，4） ； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （4）根据图象，当1x0 时，y 的取值范围是 0y3 【分析】 （1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案； （2）化成顶点式即可求得； （3）根据函数的解析式画出抛物线即可； （4）根据图形得出 y 的取值范围即可 【解答】解： （1）将（0，3） 、 （1，0）代入 yx2+bx+c 得：， 解得， 故答案为 2，3； （2）yx2+2x+3（x1）2+4， 顶点坐标为（1，4） ， 故答案为（1，4） ； （3）如图： ； （3）由图象可知，当 x 满足1x0 时，0y3， 故答案为 0y3 【点评】本题考
33、查了二次函数的图象和性质和用待定系数法求二次函数的解析式，能求出二次函数的解 析式是解此题的关键 19某商店销售一种成本为 40 元的玩具，若按每件 50 元销售，一个月可售出 500 件，销售价每涨 1 元， 月销量就减少 10 件； （1）商店要使月销售利润达到 8000 元，销售价应定为每件多少元？ （2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？ 【分析】 （1）设销售价应定为每件 x 元，由利润 8000 元等于每件的利润乘以销售量得出关于 x 的一元二 次方程，求解即可； （2）设销售价应定为每件 x 元，获得利润 y 元，由利润等于每件的利润乘以销售量得出 y 关于 x 的二次 函
34、数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质及 x 的取值范围可得答案 【解答】解： （1）设销售价应定为每件 x 元，由题意得： （x40）50010（x50）8000， 化简得 x2140 x+48000， 解得：x160，x280， 销售价应定为每件 60 元或 80 元； （2）设销售价应定为每件 x 元，获得利润 y 元，依题意得： y（x40）50010（x50） 10 x2+1400 x40000 10（x70）2+9000， x50，且 50010（x50）0， 50 x100， 当 x70 时，y 取最大值 9000， 销售价定为每件 70 元时会获得最大利润 9000 元 【点评
35、】本题考查了一元二次方程与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二 次函数的性质是解题的关键 20如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（3，0） ，C（0，3）两点 （1）求 b，c 的值； （2）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标，并结合图象，写出当 y0 时，x 的取值范围 【分析】 （1）利用待定系数法解答； （2）由（1）中所求得的 b、c 的值可以确定函数解析式，将一般式转化为交点式，易得点 B 的坐标；结 合函数图象解答 【解答】解： （1）把 A（3，0） ，C（0，3）分别代入 yx2+bx+c，得 解得； （2）由（1）可得：抛物线 yx2+
36、2x3（x+3） （x1） ，则 A（3，0） ，B（1，0） 观察函数图象知，当 y0 时，x 的取值范围是3x1 【点评】本题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解 题时，注意二次函数三种解析式的不同含义 21已知抛物线 G：yax2+bx+c 过点 A（1，1+b+c） ，B（1，1+b） （1）用含 b 的式子表示 c； （2）设抛物线 G 的顶点坐标是（h，k） ，经过探究发现，随着 b 的值的变化，抛物线 G 的顶点的纵坐标 k 与横坐标 h 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式； （3）若 0b8，当6x2 时，yax2+bx+c 的
37、最大值与最小值之差是 25，求 b 的值 【分析】 （1）把点 A（1，1+b+c） ，B（1，1+b）代入解析式即可求得 （2）解析式变形为 yx2+bx+2b（x+）2+2b，即可求得 h，k+2b，从而得到 k +2bh24h； （3）由 kh24h（h+2）2+4，求得当6x2 时，yax2+bx+c 的最大值是 4，由 yx2+bx+2b （x+）2+2b，得当6x2 时，yax2+bx+c 的最小值是+2b，即可根据题意得到 4 （+2b）25，解得即可 【解答】解： （1）抛物线 G：yax2+bx+c 过点 A（1，1+b+c） ，B（1，1+b） ， ， 解得 a1，c2b；
38、 （2）a1，c2b， 抛物线 G 为：yx2+bx+2b， yx2+bx+2b（x+）2+2b， h，k+2b， k+2bh24h； （3）kh24h（h+2）2+4， 当 h2 时，k 的最大值为 4， 当6x2 时，yax2+bx+c 的最大值为 4， yx2+bx+2b（x+）2+2b， 当 x时，函数有最小值+2b， 0b8， 40， 当6x2 时，函数有最小值+2b， 4（+2b）25，整理得 b28b840， 解得 b16，b214（舍去） ， b 的值为 6 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解 题的关键 22一班数学兴趣小
39、组对函数 yx22|x|3 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： x 3 2 1 0 1 2 3 y 0 m 4 3 4 3 0 （1）自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应值见表：其中，m 3 （2）根据表中数据，在所示的平面坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另 一部分 （3）观察函数 yx22|x|3 图象，回答下列问题： 函数图象的对称性是： 关于 y 轴对称 当 x0 时，写出 y 随 x 的变化规律： 当 0 x1 时，y 随 x 的增大而减小；当 x1 时，y 随 x 的增 大而增大 进一步探究图象发现：方程 x22|x|33
40、 的根为 x12，x20，x32 【分析】 （1）计算自变量为2 对应的函数值即可； （2）利用描点法画函数图象； （3）利用轴对称的定义进行判断； 利用二次函数的性质解决问题； 进一步探究图象发现：结合函数图象写出函数值为3 对应的自变量的值即可 【解答】解： （1）当 x2 时，yx22|x|33，即 m3； 故答案为3； （2）如图， （3）函数 yx22|x|3 图象关于 y 轴对称； 当 0 x1 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大； 进一步探究函数图象发现：当 x2 或 0 或 x2 时，y0， 所以方程 x22|x|33 的根为 x12，x20
41、，x32 故答案为关于 y 轴对称；当 0 x1 时，y 随 x 的增大而减小；当 x1 时，y 随 x 的增大而增大；x1 2，x20，x32 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴 的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质和抛物线的几何变换 23在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 经过点（6，7） ，其对称轴为直线 x2 （1）求这条抛物线所对应的函数表达式 （2）当时，求函数值 y 的取值范围 （3）当2xk 时，函数值 y 先随 x 的增大而减小，后随 x 的增大而增大，且
42、y 的最大值为 7，则 k 的取值范围是 2k6 （4）已知 A、B 两点均在抛物线 yx2+bx+c 上，点 A 的横坐标为 m，点 B 的横坐标为 m+2将抛物线 上 A、B 两点之间（含 A、B 两点）的图象记为 M，当图象 M 的最高点与最低点的纵坐标之差为 2 时， 求 m 的值 【分析】 （1）根据待定系数法求得即可； （2）求得抛物线的最小值，然后求得 x和 x时的函数值，即可求得结果； （3）求得函数值是 7 时的自变量的值，根据题意即可求得； （4）分四种情况讨论，根据题意列出关于 m 的方程，解方程即可 【解答】解： （1）由题意，得，解得， 抛物线所对应的函数表达式为 y
43、x24x5； （2），对称轴为直线 x2， 当 x2 时， 当时， 当时， 当时，y 的取值范围是； （3）把 y7 代入 yx24x5 得，7x24x5， 解得 x16，x22， 当2xk 时，函数值 y 先随 x 的增大而减小，后随 x 的增大而增大，且 y 的最大值为 7，则 k 的取 值范围是 2k6， 故答案为 2k6； （4）点 A、B 的坐标分别为（m，m24m5） 、 （m+2，m29） ， 当 m0 时，m24m5（m29）2， 解得（不合题意，舍去） 当 0m1 时，m24m5（9）2， 解得，（不合题意，舍去） 当 1m2 时，m29（9）2， 解得，（不合题意，舍去） 当 m2 时，m29（m24m5）2， 解得（不合题意，舍去） 综上，m 的值为或 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，二次函数图 象上点的坐标特征，熟练掌握基本知识是解题的关键