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2021年浙教版中考数学一轮复习《第7讲 二次函数》专题训练(含答案解析)

1、二次函数巩固练习二次函数巩固练习 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 1 如图, 抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴正半轴, y 轴正半轴分别交于点 A, B 且 OAOB, 则 c 的值为 ( ) A0 B1 C2 D3 2如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)的图象经过点(1,2) ,与 x 轴交点的横坐标分别为 x1,x2,其中1 x10,1x22,则下列结论中正确的是( ) Aa1 Bb2 C2a+b0 Dk 为任意实数,关于 x 的方程 ax2+bx+c+k20 没有实数根 3如下表给出了二次函数 yx2+2x10 中 x,y 的一些对应值,则可以估计一元二次方程 x2

2、+2x100 的 一个近似解(精确到 0.1)为( ) x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 y 1.39 0.76 0.11 0.56 1.25 A2.2 B2.3 C2.4 D2.5 4如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴交于点(3,0) ,对称轴为直线 x1结合图象分析下列结论: abc0; 4a+2b+c0; 一元二次方程 ax2+bx+c0 的两根分别为 x13,x21; 2a+c0其中正确的结论有( )个 A1 B2 C3 D4 5 将抛物线y2x2先向左平移3个单位, 再向上平移2个单位, 得到的新抛物线对应的函数表达式是 ( ) Ay2(x+3)2+2 By

3、2(x3)2+2 Cy2(x+3)22 Dy2(x3)22 6二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图,给出下列四个结论:b24ac0;a+b+c0;2a b;abc0,其中正确的结论是( ) A B C D 7如图是二次函数 ymx2+nx+k 图象的一部分且过点 P(3,0) ,二次函数图象的对称轴是直线 x1,下 列结论正确的是( ) An24mk0 Bmk0 Cn2m Dmn+k0 8要得到抛物线,可以将抛物线( ) A向右平移 6 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度 B向右平移 6 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度 C向左平移 6 个单位长度,再向上平移 3 个单位长

4、度 D向左平移 6 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度 9已知(1,y1) , (2,y2) , (4,y3)是抛物线 ym(x+2)2+c(m0)上的点,则( ) Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy3y1y2 10如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴交于点(3,0) ,其对称轴为直线 x,有下列结论: abc0;3a+c0;当 x0 时,y 随 x 的增大而增大;一元二次方程 cx2+bx+a0 的两个根分 别为 x1,x2;0,正确的有( ) A2 B3 C4 D5 二填空题(共二填空题(共 6 小题)小题) 11抛物线 yx23x+2 与 x 轴的交点

5、个数是 个 12如果抛物线 yax2+bx+c(a0)的对称轴是直线 x1,那么 2a+b 0 (从,中选择) 13已知二次函数图象经过点(3,4)和(7,4) ,那么该二次函数图象的对称轴是直线 14二次函数 yax2+bx+c(a0)的部分图象如图,图象过点(1,0) ,对称轴为直线 x2,下列结论: 4a+b0;9a+c3b;4a+2bam2+bm(m 为任意实数) ;当 x1 时,y 的值随 x 值的增大 而增大;其中正确的结论有 (填序号) 15如果将二次函数的图象平移,有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上,那么称这 个点为“平衡点” 现将抛物线 C1:y(x1)21

6、 向右平移得到新抛物线 C2,如果“平衡点”为(3,3) ,那么新抛物 线 C2的表达式为 16抛物线 yax2+bx+c 经过 A(1,3) ,B(2,3) ,则关于 x 的一元二次方程 a(x2)232bbx c 的解为 三解答题(共三解答题(共 7 小题)小题) 17用配方法把二次函数 y3x26x+5 化为 ya(x+m)2+k 的形式,并指出这个函数图象的开口方向、对 称轴和顶点坐标 18已知二次函数 yx2+bx+c(b,c 为常数)的图象经过点(0,3) , (1,0) (1)则 b ,c ; (2)该二次函数图象的顶点坐标为 ; (3)在所给坐标系中画出该二次函数的图象; (4

7、)根据图象,当1x0 时,y 的取值范围是 19某商店销售一种成本为 40 元的玩具,若按每件 50 元销售,一个月可售出 500 件,销售价每涨 1 元, 月销量就减少 10 件; (1)商店要使月销售利润达到 8000 元,销售价应定为每件多少元? (2)当销售价定为每件多少元时会获得最大利润? 20如图,已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A(3,0) ,C(0,3)两点 (1)求 b,c 的值; (2)求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标,并结合图象,写出当 y0 时,x 的取值范围 21已知抛物线 G:yax2+bx+c 过点 A(1,1+b+c) ,B(1,1+b) (1)用

8、含 b 的式子表示 c; (2)设抛物线 G 的顶点坐标是(h,k) ,经过探究发现,随着 b 的值的变化,抛物线 G 的顶点的纵坐标 k 与横坐标 h 之间存在一个函数关系,求这个函数关系式; (3)若 0b8,当6x2 时,yax2+bx+c 的最大值与最小值之差是 25,求 b 的值 22一班数学兴趣小组对函数 yx22|x|3 的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整: x 3 2 1 0 1 2 3 y 0 m 4 3 4 3 0 (1)自变量 x 的取值范围是全体实数,x 与 y 的几组对应值见表:其中,m (2)根据表中数据,在所示的平面坐标系中描点,并画出了函数图象的一

9、部分,请画出该函数图象的另 一部分 (3)观察函数 yx22|x|3 图象,回答下列问题: 函数图象的对称性是: 当 x0 时,写出 y 随 x 的变化规律: 进一步探究图象发现:方程 x22|x|33 的根为 23在平面直角坐标系中,抛物线 yx2+bx+c 经过点(6,7) ,其对称轴为直线 x2 (1)求这条抛物线所对应的函数表达式 (2)当时,求函数值 y 的取值范围 (3)当2xk 时,函数值 y 先随 x 的增大而减小,后随 x 的增大而增大,且 y 的最大值为 7,则 k 的取值范围是 (4)已知 A、B 两点均在抛物线 yx2+bx+c 上,点 A 的横坐标为 m,点 B 的横

10、坐标为 m+2将抛物线 上 A、B 两点之间(含 A、B 两点)的图象记为 M,当图象 M 的最高点与最低点的纵坐标之差为 2 时, 求 m 的值 二次函数巩固练习二次函数巩固练习 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 1 如图, 抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴正半轴, y 轴正半轴分别交于点 A, B 且 OAOB, 则 c 的值为 ( ) A0 B1 C2 D3 【分析】根据题意得出 A(c,0) ,代入解析式得到c2+2c+c0,解得即可 【解答】解:抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴正半轴,y 轴正半轴分别交于点 A,B, B(0,

11、c) , OBc, OAOB, OAc, A(c,0) , c2+2c+c0,解得 c3 或 c0(舍去) , 故选:D 【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,得出 A 的坐标为(c,0)是解题 的关键 2如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)的图象经过点(1,2) ,与 x 轴交点的横坐标分别为 x1,x2,其中1 x10,1x22,则下列结论中正确的是( ) Aa1 Bb2 C2a+b0 Dk 为任意实数,关于 x 的方程 ax2+bx+c+k20 没有实数根 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号,然后根据对称轴及

12、抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断 【解答】解:当 x1 时,a+b+c2 ab+c0,4a+2b+c0, 由+得到 2a+2c2, 由2 得到 2ac4,即 4a2c8, 上面两个相加得到 6a6, a1即 A 选项是正确; a+b+c2,ab+c0, a+c2b, a+cb2bb0, 解得 b1即 B 选项错误 01,a0, b2a,即 2a+b0所以 C 选项错误; 由图象可知抛物线 yax2+bx+c 与直线 yk2一定有两个交点, 关于 x 的方程 ax2+bx+c+k20 一定有两个不相等的实数根,以 D 选项错误; 故选:A 【点评】本题考查二次函数 yax

13、2+bx+c 系数符号的是由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交 点、抛物线与 x 轴交点的个数等确定 3如下表给出了二次函数 yx2+2x10 中 x,y 的一些对应值,则可以估计一元二次方程 x2+2x100 的 一个近似解(精确到 0.1)为( ) x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 y 1.39 0.76 0.11 0.56 1.25 A2.2 B2.3 C2.4 D2.5 【分析】根据表格中的数据可得出“当 x2.3 时,y0.11;当 x2.4 时,y0.56 ”由0.11 更接近 于 0 即可得出结论 【解答】解:当 x2.3 时,y0.11;当 x2.4 时,y

14、0.56 0.11 更接近于 0, 方程的一个近似根为 2.3 故选:B 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根,熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方 法是解题的关键 4如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴交于点(3,0) ,对称轴为直线 x1结合图象分析下列结论: abc0; 4a+2b+c0; 一元二次方程 ax2+bx+c0 的两根分别为 x13,x21; 2a+c0其中正确的结论有( )个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关 系,逐项判断即可 【解答】解:抛物线开口向下,因此 a

15、0,对称轴为 x10,因此 a、b 异号,所以 b0,抛物线与 y 轴交点在正半轴,因此 c0,所以 abc0,故不正确; 当 x2 时,y4a+2b+c0,故正确; 抛物线与 x 轴交点(3,0) ,对称轴为 x1因此另一个交点坐标为(1,0) ,即方程 ax2+bx+c0 的 两根为 x13,x21,故正确; 抛物线与 x 轴交点(1,0) ,所以 ab+c0,又 x1,有 2a+b0,所以 3a+c0,而 a0, 因此 2a+c0,故不正确; 故选:B 【点评】本题考查二次函数的图象和性质,掌握二次函数的 a、b、c 的值决定抛物线的位置是正确判断 的关键 5 将抛物线y2x2先向左平移

16、3个单位, 再向上平移2个单位, 得到的新抛物线对应的函数表达式是 ( ) Ay2(x+3)2+2 By2(x3)2+2 Cy2(x+3)22 Dy2(x3)22 【分析】按照“左加右减,上加下减”的规律,即可得出平移后抛物线的解析式 【解答】解:抛物线 y2x2先向左平移 3 个单位得到解析式:y2(x+3)2,再向上平移 2 个单位得到 抛物线的解析式为:y2(x+3)2+2 故选:A 【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换,掌握抛物线解析式的变化规律:左加右减,上加下减是 解题的关键 6二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图,给出下列四个结论:b24ac0;a+b+c0;2a

17、b;abc0,其中正确的结论是( ) A B C D 【分析】由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b24ac0 即可判断;根据 x1 时,y0,即可判断; 根据1,得出 b2a,即可判断;根据抛物线开口判断 a0,然后根据对称轴判断 b0,抛 物线交 y 轴于正半轴,c0,可得 abc0,据此判断即可 【解答】解:图象与 x 轴有两个交点, 方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根, b24ac0,错误; 当 x1 时,y0, a+b+c0,正确; 1, b2a,错误; 抛物线开口向下, a0; 抛物线的对称轴为1,b2a,故 b0; 抛物线交 y 轴于正半轴,得:c0; abc0;正确

18、故选:B 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象为抛物线,当 a0,抛物线开口向上;对称轴为直线 x;抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,c) ;当 b24ac0, 抛物线与 x 轴有两个交点;当 b24ac0,抛物线与 x 轴有一个交点;当 b24ac0,抛物线与 x 轴没 有交点 7如图是二次函数 ymx2+nx+k 图象的一部分且过点 P(3,0) ,二次函数图象的对称轴是直线 x1,下 列结论正确的是( ) An24mk0 Bmk0 Cn2m Dmn+k0 【分析】 】根据抛物线与 x 轴有两个交点可对 A 进行判断;由抛物线开口向上得

19、m0,由抛物线与 y 轴 的交点在 x 轴下方得 k0,则可对 B 进行判断;根据抛物线的对称轴是 x1 对 C 选项进行判断;根据 抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点为(1,0) ,所以 mn+k0,则可对 D 选项进行判 断 【解答】解:A抛物线与 x 轴有两个交点, n24mk0,所以 A 选项错误; B抛物线开口向上, m0, 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方, k0, mk0,所以 B 选项错误; C二次函数图象的对称轴是直线 x1, 1, n2m,所以 C 选项错误; D抛物线过点 A(3,0) ,二次函数图象的对称轴是 x1, 抛物线与 x 轴的另一个交点为(1,

20、0) , mn+k0,所以 D 选项正确; 故选:D 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象为抛物线,当 a0,抛物线开口向上;对称轴为直线 x;抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,c) ;当 b24ac0, 抛物线与 x 轴有两个交点;当 b24ac0,抛物线与 x 轴有一个交点;当 b24ac0,抛物线与 x 轴没 有交点 8要得到抛物线,可以将抛物线( ) A向右平移 6 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度 B向右平移 6 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度 C向左平移 6 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度 D向左平移 6 个

21、单位长度,再向下平移 3 个单位长度 【分析】找到两个抛物线的顶点,根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到 【解答】解:的顶点坐标为(6,3) ,yx2的顶点坐标为(0,0) , 将抛物线 yx2向右平移 6 个单位长度, 再向上平移 3 个单位长度, 可得到抛物线 故选:B 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标 9已知(1,y1) , (2,y2) , (4,y3)是抛物线 ym(x+2)2+c(m0)上的点,则( ) Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy3y1y2 【分析】求出抛物线的对称轴为直线 x2,然后根据二次函数的

22、增减性和对称性解答即可 【解答】解:由抛物线 ym(x+2)2+c(m0)可知抛物线的开口向下,对称轴为直线 x2, 当 x2 时,y 随 x 的增大而增大, (1,y1)关于对称轴的对称点为(5,y1) , 542, y1y3y2 故选:C 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,主要利用了二次函数的增减性和对称性,求出对称 点是解题的关键 10如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴交于点(3,0) ,其对称轴为直线 x,有下列结论: abc0;3a+c0;当 x0 时,y 随 x 的增大而增大;一元二次方程 cx2+bx+a0 的两个根分 别为 x1,x2;0,正确的有(

23、 ) A2 B3 C4 D5 【分析】根据题意和函数图象中的数据,利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确,从 而可以解答本题 【解答】解:由函数图象可得, a0,b0,c0, 则 abc0,故正确; ,得 ab, x3 时,y9a3b+c0, 6a+c0, c6a, 3a+c3a6a3a0,故正确; 由图象可知,当 x时,y 随 x 的增大而增大,当x0 时,y 随 x 的增大而减小,故错误; 抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴交于点(3,0) ,其对称轴为直线 x, 该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标为(2,0) , ax2+bx+c0 的两个根为 x13,x22,

24、a+b+c()20 的两个根为 x13,x22, 一元二次方程 cx2+bx+a0 的两根分别为 x1,x2,故正确; 0, 0,故正确; 故选:C 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、抛物线与 x 轴的交点、二次函数的最 值,二次函数与一元二次方程的关系,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的 思想解答 二填空题(共二填空题(共 6 小题)小题) 11抛物线 yx23x+2 与 x 轴的交点个数是 2 个 【分析】令 x23x+20,求出的值,判断出其符号即可 【解答】解:令 x23x+20, (3)241210, 抛物线 yx23x+2 与 x 轴的

25、交点个数是 2 故答案是:2 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点,熟知二次函数 yax2+bx+c(a,b,c 是常数,a0)的交 点与一元二次方程 ax2+bx+c0 根之间的关系是解答此题的关键 12如果抛物线 yax2+bx+c(a0)的对称轴是直线 x1,那么 2a+b 0 (从,中选择) 【分析】根据对称轴公式列出1,变形即可 【解答】解对称轴为 x1, 1, 2a+b0, 故答案为 【点评】此题主要考查了二次函数的性质,正确记忆二次函数对称轴公式是解题关键 13已知二次函数图象经过点(3,4)和(7,4) ,那么该二次函数图象的对称轴是直线 x5 【分析】根据二次函数图象具

26、有对称性,由二次函数的图象经过(0,3) 、 (4,3)两点,可以得到该二 次函数的图象对称轴 【解答】解:二次函数图象经过点(3,4)和(7,4) , 该二次函数的图象对称轴为直线:x5, 故答案为:x5 【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是明确二次函数的性质,二次函数的图象关于对称轴对 称 14二次函数 yax2+bx+c(a0)的部分图象如图,图象过点(1,0) ,对称轴为直线 x2,下列结论: 4a+b0;9a+c3b;4a+2bam2+bm(m 为任意实数) ;当 x1 时,y 的值随 x 值的增大 而增大;其中正确的结论有 (填序号) 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、

27、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数 a、b、c 满足的关系 进行综合判断即可 【解答】解:2, 4a+b0,故正确; 当 x3 时,y9a3b+c0,即 9a+c3b,故不正确; 当 x2 时,y最大4a+2b+c,当 xm 时,yam2+bm+c, 4a+2b+cam2+bm+c, 4a+2bam2+bm,故正确; 在对称轴的左侧,即当 x2 时,y 随 x 的增大而增大,故不正确; 综上所述,正确的结论有:, 故答案为: 【点评】 本题考查二次函数的图象和性质, 掌握抛物线的位置与系数 a、 b、 c 的关系是解决问题的关键 15如果将二次函数的图象平移,有一个点既在平移前的函数图象上又在

28、平移后的函数图象上,那么称这 个点为“平衡点” 现将抛物线 C1:y(x1)21 向右平移得到新抛物线 C2,如果“平衡点”为(3,3) ,那么新抛物 线 C2的表达式为 y(x3)21 或 y(x7)21 【分析】设将抛物线 C1:y(x1)21 向右平移 m 个单位,则平移后的抛物线解析式是 y(x1 m)21,然后将(3,3)代入得到关于 m 的方程,通过解方程求得 m 的值即可 【解答】解:设将抛物线 C1:y(x1)21 向右平移 m 个单位,则平移后的抛物线解析式是 y(x 1m)21, 将(3,3)代入,得(31m)213 整理,得 4m2 解得 m12,m26 故新抛物线 C2

29、的表达式为 y(x3)21 或 y(x7)21 故答案是:y(x3)21 或 y(x7)21 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换,二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定 函数关系式,解题的关键是理解“平衡点”的含义 16抛物线 yax2+bx+c 经过 A(1,3) ,B(2,3) ,则关于 x 的一元二次方程 a(x2)232bbx c 的解为 1 或 4 【分析】把 a(x2)232bbxc,转化为 a(x2)2+b(x2)+c3,即 ya(x2)2+b(x 2)+c 于 y3 的交点,进而求解 【解答】关于 x 的一元二次方程 a(x2)2+bx2bc 变形为 a(x2)

30、2+b(x2)+c0, 把抛物线 yax2+bx+c 沿 x 轴向右平移 2 个单位得到 ya(x2)2+b(x2)+c, 设 y3, 当 yy时,即 a(x2)2+b(x2)+c3,即 a(x2)232bbxc, 即一元二次方程 a(x2)232bbxc 的解转化为 yy的交点, 而平移前函数交点的横坐标为1 或 2,向右平移 2 个单位后交点的横坐标为 1 或 4 故答案为 1 或 4 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:把求二次函数 yax2+bx+c(a,b,c 是常数,a0)与 x 轴 的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质 三解答题(共三解答题(

31、共 7 小题)小题) 17用配方法把二次函数 y3x26x+5 化为 ya(x+m)2+k 的形式,并指出这个函数图象的开口方向、对 称轴和顶点坐标 【分析】利用配方法把一般式化为顶点式,根据二次函数的性质解答 【解答】解:y3x26x+5 3(x22x)+5 3(x22x+11)+5 3(x1)2+2, 开口向上,对称轴为直线 x1,顶点(1,2) 【点评】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质,掌握配方法、二次函数的性质是解 题的关键 18已知二次函数 yx2+bx+c(b,c 为常数)的图象经过点(0,3) , (1,0) (1)则 b 2 ,c 3 ; (2)该二次函数图象

32、的顶点坐标为 (1,4) ; (3)在所给坐标系中画出该二次函数的图象; (4)根据图象,当1x0 时,y 的取值范围是 0y3 【分析】 (1)把已知点的坐标代入函数解析式,即可求出答案; (2)化成顶点式即可求得; (3)根据函数的解析式画出抛物线即可; (4)根据图形得出 y 的取值范围即可 【解答】解: (1)将(0,3) 、 (1,0)代入 yx2+bx+c 得:, 解得, 故答案为 2,3; (2)yx2+2x+3(x1)2+4, 顶点坐标为(1,4) , 故答案为(1,4) ; (3)如图: ; (3)由图象可知,当 x 满足1x0 时,0y3, 故答案为 0y3 【点评】本题考

33、查了二次函数的图象和性质和用待定系数法求二次函数的解析式,能求出二次函数的解 析式是解此题的关键 19某商店销售一种成本为 40 元的玩具,若按每件 50 元销售,一个月可售出 500 件,销售价每涨 1 元, 月销量就减少 10 件; (1)商店要使月销售利润达到 8000 元,销售价应定为每件多少元? (2)当销售价定为每件多少元时会获得最大利润? 【分析】 (1)设销售价应定为每件 x 元,由利润 8000 元等于每件的利润乘以销售量得出关于 x 的一元二 次方程,求解即可; (2)设销售价应定为每件 x 元,获得利润 y 元,由利润等于每件的利润乘以销售量得出 y 关于 x 的二次 函

34、数,将其写成顶点式,按照二次函数的性质及 x 的取值范围可得答案 【解答】解: (1)设销售价应定为每件 x 元,由题意得: (x40)50010(x50)8000, 化简得 x2140 x+48000, 解得:x160,x280, 销售价应定为每件 60 元或 80 元; (2)设销售价应定为每件 x 元,获得利润 y 元,依题意得: y(x40)50010(x50) 10 x2+1400 x40000 10(x70)2+9000, x50,且 50010(x50)0, 50 x100, 当 x70 时,y 取最大值 9000, 销售价定为每件 70 元时会获得最大利润 9000 元 【点评

35、】本题考查了一元二次方程与二次函数在销售问题中的应用,理清题中的数量关系并熟练掌握二 次函数的性质是解题的关键 20如图,已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A(3,0) ,C(0,3)两点 (1)求 b,c 的值; (2)求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标,并结合图象,写出当 y0 时,x 的取值范围 【分析】 (1)利用待定系数法解答; (2)由(1)中所求得的 b、c 的值可以确定函数解析式,将一般式转化为交点式,易得点 B 的坐标;结 合函数图象解答 【解答】解: (1)把 A(3,0) ,C(0,3)分别代入 yx2+bx+c,得 解得; (2)由(1)可得:抛物线 yx2+

36、2x3(x+3) (x1) ,则 A(3,0) ,B(1,0) 观察函数图象知,当 y0 时,x 的取值范围是3x1 【点评】本题主要考查了抛物线与 x 轴的交点,二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征,解 题时,注意二次函数三种解析式的不同含义 21已知抛物线 G:yax2+bx+c 过点 A(1,1+b+c) ,B(1,1+b) (1)用含 b 的式子表示 c; (2)设抛物线 G 的顶点坐标是(h,k) ,经过探究发现,随着 b 的值的变化,抛物线 G 的顶点的纵坐标 k 与横坐标 h 之间存在一个函数关系,求这个函数关系式; (3)若 0b8,当6x2 时,yax2+bx+c 的

37、最大值与最小值之差是 25,求 b 的值 【分析】 (1)把点 A(1,1+b+c) ,B(1,1+b)代入解析式即可求得 (2)解析式变形为 yx2+bx+2b(x+)2+2b,即可求得 h,k+2b,从而得到 k +2bh24h; (3)由 kh24h(h+2)2+4,求得当6x2 时,yax2+bx+c 的最大值是 4,由 yx2+bx+2b (x+)2+2b,得当6x2 时,yax2+bx+c 的最小值是+2b,即可根据题意得到 4 (+2b)25,解得即可 【解答】解: (1)抛物线 G:yax2+bx+c 过点 A(1,1+b+c) ,B(1,1+b) , , 解得 a1,c2b;

38、 (2)a1,c2b, 抛物线 G 为:yx2+bx+2b, yx2+bx+2b(x+)2+2b, h,k+2b, k+2bh24h; (3)kh24h(h+2)2+4, 当 h2 时,k 的最大值为 4, 当6x2 时,yax2+bx+c 的最大值为 4, yx2+bx+2b(x+)2+2b, 当 x时,函数有最小值+2b, 0b8, 40, 当6x2 时,函数有最小值+2b, 4(+2b)25,整理得 b28b840, 解得 b16,b214(舍去) , b 的值为 6 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的最值,熟练掌握二次函数的性质是解 题的关键 22一班数学兴趣小

39、组对函数 yx22|x|3 的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整: x 3 2 1 0 1 2 3 y 0 m 4 3 4 3 0 (1)自变量 x 的取值范围是全体实数,x 与 y 的几组对应值见表:其中,m 3 (2)根据表中数据,在所示的平面坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另 一部分 (3)观察函数 yx22|x|3 图象,回答下列问题: 函数图象的对称性是: 关于 y 轴对称 当 x0 时,写出 y 随 x 的变化规律: 当 0 x1 时,y 随 x 的增大而减小;当 x1 时,y 随 x 的增 大而增大 进一步探究图象发现:方程 x22|x|33

40、 的根为 x12,x20,x32 【分析】 (1)计算自变量为2 对应的函数值即可; (2)利用描点法画函数图象; (3)利用轴对称的定义进行判断; 利用二次函数的性质解决问题; 进一步探究图象发现:结合函数图象写出函数值为3 对应的自变量的值即可 【解答】解: (1)当 x2 时,yx22|x|33,即 m3; 故答案为3; (2)如图, (3)函数 yx22|x|3 图象关于 y 轴对称; 当 0 x1 时,y 随 x 的增大而减小; 当 x1 时,y 随 x 的增大而增大; 进一步探究函数图象发现:当 x2 或 0 或 x2 时,y0, 所以方程 x22|x|33 的根为 x12,x20

41、,x32 故答案为关于 y 轴对称;当 0 x1 时,y 随 x 的增大而减小;当 x1 时,y 随 x 的增大而增大;x1 2,x20,x32 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:把求二次函数 yax2+bx+c(a,b,c 是常数,a0)与 x 轴 的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质和抛物线的几何变换 23在平面直角坐标系中,抛物线 yx2+bx+c 经过点(6,7) ,其对称轴为直线 x2 (1)求这条抛物线所对应的函数表达式 (2)当时,求函数值 y 的取值范围 (3)当2xk 时,函数值 y 先随 x 的增大而减小,后随 x 的增大而增大,且

42、y 的最大值为 7,则 k 的取值范围是 2k6 (4)已知 A、B 两点均在抛物线 yx2+bx+c 上,点 A 的横坐标为 m,点 B 的横坐标为 m+2将抛物线 上 A、B 两点之间(含 A、B 两点)的图象记为 M,当图象 M 的最高点与最低点的纵坐标之差为 2 时, 求 m 的值 【分析】 (1)根据待定系数法求得即可; (2)求得抛物线的最小值,然后求得 x和 x时的函数值,即可求得结果; (3)求得函数值是 7 时的自变量的值,根据题意即可求得; (4)分四种情况讨论,根据题意列出关于 m 的方程,解方程即可 【解答】解: (1)由题意,得,解得, 抛物线所对应的函数表达式为 y

43、x24x5; (2),对称轴为直线 x2, 当 x2 时, 当时, 当时, 当时,y 的取值范围是; (3)把 y7 代入 yx24x5 得,7x24x5, 解得 x16,x22, 当2xk 时,函数值 y 先随 x 的增大而减小,后随 x 的增大而增大,且 y 的最大值为 7,则 k 的取 值范围是 2k6, 故答案为 2k6; (4)点 A、B 的坐标分别为(m,m24m5) 、 (m+2,m29) , 当 m0 时,m24m5(m29)2, 解得(不合题意,舍去) 当 0m1 时,m24m5(9)2, 解得,(不合题意,舍去) 当 1m2 时,m29(9)2, 解得,(不合题意,舍去) 当 m2 时,m29(m24m5)2, 解得(不合题意,舍去) 综上,m 的值为或 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的最值,二次函数的性质,二次函数图 象上点的坐标特征,熟练掌握基本知识是解题的关键