1、图形的相似巩固练习图形的相似巩固练习 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1若（b+2d0） ，则的值为（ ） A B C1 D 2 大自然是美的设计师， 即使是一片小小的树叶， 也蕴含着 “黄金分割” 如图， P 为 AB 的黄金分割点 （AP BP） ，如果 AB 的长度为 10cm，那么较短线段 BP 的长度为（ ） A B C D 3若 adbc，则下列不成立的是（ ） A B C D 4如图，小颖身高为 160cm，在阳光下影长 AB240cm，当她走到距离墙角（点 D）120cm 的 C 处时，她 的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子 DE 的长度为（ ） A120c
2、m B80cm C60cm D40cm 5如图是一块三角形钢材 ABC，其中边 BC60cm，高 AD40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的 一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上，则这个正方形零件的边长是（ ） A16 B24 C30 D36 6如图，RtABC 中，AC3，BC5，C90，点 G 是 AB 上的一个动点，过点 G 作 GF 垂直于 AC 于点 F，点 P 是 BC 上的点，若GFP 是以 GF 为斜边的等腰直角三角形，则此时 PC 长为（ ） A B2 C D 7如图，直线 l1l2l3，直线 AC 分别交 l1，l2，l3于点 A，B，C，直线 DF 分
3、别交 l1，l2，l3于点 D，E， F若，则的值为（ ） A B C D 8下列各组长度的线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ） A2，3，4，5 B1，3，4，10 C2，3，4，6 D1，5，3，12 9如图，在ABCD 中，AEAD，连接 BE，交 AC 于点 F，AC12，则 AF 为（ ） A4 B4.8 C5.2 D6 10 如图， 四边形 ABCD 中， 对角线 AC， BD 交于点 E， 若BACBDC， 则下列结论中正确的是 （ ） ； ABE 与DCE 的周长比； ADEABC； SABESDCESADESBCE A B C D 11如图，点 P 是菱形 ABCD 对
4、角线 BD 上点，连接 CP 并延长，交 AD 于点 E，交 BA 的延长线于点 F已 知 PC3，PE2，则 EF 的长为（ ） A2 B C2 D 12如图，正方形 ABCD 中，BEEFFC，CG2GD，BG 分别交 AE、AF 于 M、N，下列结论：AF BG；S四边形CGNFSABN；其中正确的有（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 13若线段 a，b，c，d 成比例，其中 a3cm，b6cm，c4cm，则 d cm 14如果线段 a9cm，b16cm，那么 a 和 b 的比例中项 cm 15学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到
5、 AC 位置，已知 ABBD，CDBD，垂 足分别为 B，D，AO6m，AB1.2m，CO1m，则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为 m 16 如图， 在ABC 中， AB8， BC16， 点 P 是 AB 边的中点， 点 Q 是 BC 边上一个动点， 当 BQ 时， BPQ 与BAC 相似 17如图，四边形 ABCD，对角线 AC 于 BD 相交于点 E，ACD90，且 ACCD，若ABC90， AB3，BD15，则 BE 长为 18如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，E 是 BC 边上的动点，连接 AE，过点 E 作 EFAE 交 CD 于 点 F （1）若 BE1，则 CF
6、的长为 ； （2）在点 E 运动的过程中，CF 的最大值为 19如图，在ABC 中，AB5，AC4，若进行以下操作，在边 BC 上从左到右依次取点 D1、D2、D3、 D4、；过点 D1作 AB、AC 的平行线分别交 AC、AB 于点 E1、F1；过点 D2作 AB、AC 的平行线分别交 AC、AB 于点 E2、F2；过点 D3作 AB、AC 的平行线分别交 AC、AB 于点 E3、F3，则 4（D1E1+D2E2+ +D2021E2021）+5（D1F1+D2F2+D2021F2021） 20 九章算术是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题： “今有句五步，股十二步问句中容 方几何 ”
7、其大意是：如图，RtABC 的两条直角边的长分别为 5 和 12，则它的内接正方形 CDEF 的边 长为 三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题） 21如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 上一点，连接 AE，F 为 AE 上一点，且BFEC求证： ABFEAD 22我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图 是小然站在地面 MN 欣赏悬挂在墙壁 PM 上的油画 AD（PMMN）的示意图，设油画 AD 与墙壁的夹角 PAD，此时小然的眼睛与油画底部 A 处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置 E 处，且 与 AD 垂直已知油画的
8、长度 AD 为 100cm （1）视线ABD 的度数为 （用含 a 的式子表示） （2）当小然到墙壁 PM 的距离 AB250cm 时，求油画顶部点 D 到墙壁 PM 的距离 （3）当油画底部 A 处位置不变，油画 AD 与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果 最佳，他应该更靠近墙壁 PM，还是不动或者远离墙壁 PM？（直接回答即可） 23如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树 OE 的高度，先在操场上点 A 处放一面平面镜，从点 A 处后退 1m 到点 B 处，恰好在平面镜中看到树的顶部 E 点的像；再将平面镜向后移动 4m（即 AC4m） 放在 C 处，从点 C 处向后退
9、 1.5m 到点 D 处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部 E 点的像，测得强强 的眼睛距地面的高度 FB、GD 为 1.5m，已知点 O，A，B，C，D 在同一水平线上，且 GDOD，FB OD，EOOD求大树 OE 的高度 （平面镜的大小忽略不计） 24已知四边形 ABCD 中，ABAD，对角线 AC 平分DAB，点 F 为 AB 上一点，且 CFCB （1）如图 1，求证：CDCF； （2）如图 2，连接 DF，交 AC 于点 G，求证：DGCADC （3）如图 3，若点 H 为线段 DG 上一点，连接 AH，若ADC2HAG，AD5，DC3，求的值 25如图，ABCABC，AD、AD分
10、别是它们的中线，求证：AD：ADAB：AB 26如图，AB 是O 的直径，C、D 是圆上两点，CDBD，过点 D 作 AC 的垂线分别交 AC，AB 延长线于 点 E，F （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若 AE3，sinEAF，求O 的半径 27如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 平分BAD，过点 C 作 CEBD 交 AD 的延长线于点 E （1）求证：CE 是O 的切线； （2）若 CDCE6，DE4，求O 的半径 28探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图，在ABC 中，点 O 在线段 BC 上，BAO30， OAC75，AO3，BO：CO1：3，求 AB 的长 经过社
11、团成员讨论发现，过点 B 作 BDAC，交 AO 的延长线于点 D，连接 BD，如图所示，通过构造 ABD 就可以解决问题 请你写出求 AB 长的过程 应用：如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ACAD，ABCACB75， BO：OD1：3若 AO3，请你求出 AB 的长 29如图，AB 是等腰直角三角形 ABC 的斜边，若点 M 在边 AC 上，点 N 在边 BC 上，沿直线 MN 将MCN 翻折，使点 C 落在边 AB 上，设其落点为 P （1）当点 P 是边 AB 的中点时，求证：AMPN； （2）当点 P 是边 AB 的中点时，求证：； （3）当点 P
12、不是边 AB 的中点时，是否仍然成立？请说明理由 30如图，AD、BD 分别是ABC 的内角BAC，ABC 的平分线，过点 A 作 AEAD 交 BD 的延长线 于点 E （1）证明：EC （2）如图，如果 AEAB，且 BD：DE2：3，求 cosABC 的值 （3）如果ABC 是锐角且ABC 与ADE 相似，求ABC 的度数 图形的相似巩固练习图形的相似巩固练习 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1若（b+2d0） ，则的值为（ ） A B C1 D 【分析】利用比例的性质得出 a 与 b，c 与 d 的关系，进而代入，计算即可求出答案 【
13、解答】解：（b+2d0） ， b3a，d3c， 故选：A 【点评】此题考查了比例线段，根据比例的性质正确得出 a 与 b，c 与 d 的关系是解题关键 2 大自然是美的设计师， 即使是一片小小的树叶， 也蕴含着 “黄金分割” 如图， P 为 AB 的黄金分割点 （AP BP） ，如果 AB 的长度为 10cm，那么较短线段 BP 的长度为（ ） A B C D 【分析】先利用黄金分割的定义计算出 AP 的长，再由 ABAP 即可 【解答】解：P 为 AB 的黄金分割点（APPB） ，AB10cm， APAB10（55）cm， BPABAP10（55）（155）cm， 故选：D 【点评】此题考查
14、了黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（ACBC） ，且使 AC 是 AB 和 BC 的 比例中项（即 AB：ACAC：BC） ，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 3若 adbc，则下列不成立的是（ ） A B C D 【分析】根据比例和分式的基本性质，进行各种演变即可得到结论 【解答】解：A、， adbc，故选项成立； B、， b（ac）a（bd） ， abbcabad， adbc，故选项成立； C、， （a+b）d（c+d）b， ad+bdbc+bd， adbc，故选项成立； D、， （a+1） （d+1）（b+1） （c+1） ， ad+a
15、+d+1bc+b+c+1， ad+a+dbc+b+c，故选项不成立 故选：D 【点评】本题考查了比例线段，根据比例的性质能够灵活对一个比例式进行变形 4如图，小颖身高为 160cm，在阳光下影长 AB240cm，当她走到距离墙角（点 D）120cm 的 C 处时，她 的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子 DE 的长度为（ ） A120cm B80cm C60cm D40cm 【分析】过 E 作 EFCG 于 F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子 DE 长度即可 【解答】解：过 E 作 EFCG 于 F， 设投射在墙上的影子 DE 长度为 xcm，由题意得：GFEHAB， AB：
16、FEAH： （GCx） ， 则 240：120160： （160 x） ， 解得：x80 即：投射在墙上的影子 DE 长度为 80cm 故选：B 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确地构造直角三角形 5如图是一块三角形钢材 ABC，其中边 BC60cm，高 AD40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的 一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上，则这个正方形零件的边长是（ ） A16 B24 C30 D36 【分析】根据正方形的对边平行得到 BCEF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两 边的延长线， 得到的三角形与原三角形相似” ， 设正方形零件的边长
17、为 xcm， 则 KDEFxcm， AK （40 x）cm，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果 【解答】解：四边形 EGHF 为正方形， BCEF， AEFABC； 设正方形零件的边长为 x cm，则 KDEFxcm，AK（80 x）cm， ADBC， ， ， 解得：x24 即：正方形零件的边长为 24cm 故选：B 【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键 6如图，RtABC 中，AC3，BC5，C90，点 G 是 AB 上的一个动点，过点 G 作 GF 垂直于 AC 于点 F，点 P 是 BC 上的点，若GFP 是以 GF 为斜边的等腰
18、直角三角形，则此时 PC 长为（ ） A B2 C D 【分析】依题意补全图形，判定FPC 是等腰直角三角形及AFGABC，从而得比例式，设 CP CFx，将相关线段的值或含 x 的代数式代入比例式，求解即可 【解答】解：依题意补全图形，如图： 由题可知，GFAC，GFP 是以 GF 为斜边的等腰直角三角形， 在 RtABC 中，BCAC， GFBC， GFPFPC45， C90， PFCFPC45， FPC 是等腰直角三角形， 设 CPCFx，则 FPx，GFFP2x， AC3， AF3x， GFBC， AFGABC， ，即， 解得 x 故选：A 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及等
19、腰直角三角形的判定与性质，数形结合、熟练掌握相 关性质及定理是解题的关键 7如图，直线 l1l2l3，直线 AC 分别交 l1，l2，l3于点 A，B，C，直线 DF 分别交 l1，l2，l3于点 D，E， F若，则的值为（ ） A B C D 【分析】先由，根据比例的性质可得，再根据平行线分线段成比例定理求解即可 【解答】解：， ， l1l2l3， 故选：B 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是 解题的关键 8下列各组长度的线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ） A2，3，4，5 B1，3，4，10 C2，3，4，6 D1，5，3，1
20、2 【分析】根据成比例线段的定义逐项判断得到得到结论 【解答】解：A、2534， 2，3，4，5 不能成比例线段，故不符合题意； B、11034， 1，3，4，10 不能成比例线段，故不符合题意； C、2:34:6， 2，3，4，6 成比例线段，故符合题意； D、11235， 1，5，3，12 不能成比例线段，故不符合题意； 故选：C 【点评】本题主要考查了成比例线段的关系，正确的理解题意是解题的关键 9如图，在ABCD 中，AEAD，连接 BE，交 AC 于点 F，AC12，则 AF 为（ ） A4 B4.8 C5.2 D6 【分析】根据平行四边形的对边相等可得 ADBC，然后求出 AEAD
21、BC，再根据平行线分线段 成比例定理求出 AF、FC 的比，然后求解即可 【解答】解：在ABCD 中，ADBC，ADBC， AEAD， AEADBC ADBC， ， AC12， AF124.8 故选：B 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟记定理并求出 AF、FC 的比是解题的关键 10 如图， 四边形 ABCD 中， 对角线 AC， BD 交于点 E， 若BACBDC， 则下列结论中正确的是 （ ） ； ABE 与DCE 的周长比； ADEABC； SABESDCESADESBCE A B C D 【分析】根据相似三角形的判定和性质即可判断； 根据相
22、似三角形周长的比等于相似比即可判断； 根据BACBDC，可得 A，B，C，D 共圆，根据已知条件可得ABCACB，但这两个角不一 定相等，进而可以判断； 假设 SABESDCESADESBCE根据共高的两个三角形面积之比即可判断 【解答】解：BACBDC，AEBDEC， AEBDEC， ；故正确； AEBDEC， ABE 与DCE 的周长比；故正确； BACBDC， A，B，C，D 共圆， ADEACB， 如果ADEABC， ABCACB， 但这两个角不一定相等，故错误； 假设 SABESDCESADESBCE ， ABE 和ADE 共高， ， BCE 和DCE 共高， ， ，故正确 结论中正
23、确的是， 故选：C 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质 11如图，点 P 是菱形 ABCD 对角线 BD 上点，连接 CP 并延长，交 AD 于点 E，交 BA 的延长线于点 F已 知 PC3，PE2，则 EF 的长为（ ） A2 B C2 D 【分析】根据菱形的性质得 ADBC，然后由相似三角形的判定与性质得 EF： （EF+EC）AE：BC1： 3，最后求解即可得到答案 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ADBC， DEPBCP，AFEBFC， PC3，PE2， BC：DEPC：PE3：2， 设 BC3a，则 DE2a， AEa， A
24、FEBFC， EF： （EF+EC）AE：BC1：3， 解得：EF 故选：B 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题关键 12如图，正方形 ABCD 中，BEEFFC，CG2GD，BG 分别交 AE、AF 于 M、N，下列结论：AF BG；S四边形CGNFSABN；其中正确的有（ ） A B C D 【分析】根据正方形性质及 BEEFFC，CG2GD，易证明ABFBCG，进而可证 AFBG；由 BFNBGC，可证得 BNNF；由全等三角形性质可得 SABFSBCG，转化为 SABN+SBNFS BNF+S四边形CGNF，即可得 S四边形CGNFSABN；延长 AD、
25、BG 交于点 H，易知HDGHAB，BEM HAM，可证明结论正确 【解答】解：正方形 ABCD 中，BEEFFC，CG2GD， ABBCCD，ABCC90， BEEFFCBC，BFBC，CGCDBC， BFCG， 在ABF 和BCG 中， ， ABFBCG（SAS） ， AFBBGC， BGC+CBG90， AFB+CBG90， BNF90， AFBG； 故结论正确 BNFC，FBNGBC， BFNBGC， ， BNNF， 故结论错误； ABFBCG， SABFSBCG， 即：SABN+SBNFSBNF+S四边形CGNF， S四边形CGNFSABN， 故结论正确； 延长 AD、BG 交于点
26、H， 四边形 ABCD 是正方形， ABCD，ADBC，CG2GD，BEBC， HDGHAB，BEMHAM， ， HGBH，AHADBC， ， ， BMBH， MGBHBMHGBHBHBHBH， 故结论正确 故选：D 【点评】本题是一道几何综合题，有一定的难度，主要考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，相 似三角形判定和性质，解题关键是正确添加辅助线构造相似三角形 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 13若线段 a，b，c，d 成比例，其中 a3cm，b6cm，c4cm，则 d 8 cm 【分析】根据四条线段成比例的概念，得比例式 a：bc：d，再根据比例的基本性质，即可求得 d 的
27、值 【解答】解：线段 a、b、c、d 成比例， a：bc：d， d6438 故答案为：8 【点评】本题考查了成比例线段的概念，写比例式的时候，要注意分情况讨论 14如果线段 a9cm，b16cm，那么 a 和 b 的比例中项 12 cm 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积 设 a 和 b 的比例中项为 xcm，依题意有 x2916， 解得 x12（线段是正数，负值舍去） 故答案为：12 【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数 15学校门口
28、的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，已知 ABBD，CDBD，垂 足分别为 B，D，AO6m，AB1.2m，CO1m，则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为 0.2 m 【分析】由ABOCDO90、AOBCOD 知ABOCDO，据此得，将已知数据 代入即可得 【解答】解：ABBD，CDBD， ABOCDO90， 又AOBCOD， ABOCDO， 则， AO6m，AB1.2m，CO1m， ， 解得：CD0.2， 栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为 0.2m 故答案为：0.2 【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质 1
29、6如图，在ABC 中，AB8，BC16，点 P 是 AB 边的中点，点 Q 是 BC 边上一个动点，当 BQ 2 或 8 时，BPQ 与BAC 相似 【分析】直接利用BPQBAC 或BPQBCA，分别得出答案 【解答】解：AB8，BC16，点 P 是 AB 边的中点， BP4 当BPQBAC 时， 则， 故， 解得：BQ8； 当BPQBCA 时， 则， 故， 解得：BQ2， 综上所述：当 BQ2 或 8 时，BPQ 与BAC 相似 故答案为：2 或 8 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键 17如图，四边形 ABCD，对角线 AC 于 BD 相交于点 E，ACD90，
30、且 ACCD，若ABC90， AB3，BD15，则 BE 长为 【分析】 过点 D 作 DFBC 交 BC 的延长线于点 F， 证明CDFACB， 运用勾股定理可求得 DFBC 9， 过点B作BHAC于H， 再利用解直角三角形或相似三角形性质可求得BH， 再证明DECBEH， 运用相似三角形性质即可求得答案 【解答】解：如图，过点 D 作 DFBC 交 BC 的延长线于点 F，过点 B 作 BHAC 于 H， FBHC90， ABCACD90， FABC， ACB+BAC90，ACB+DCF90， DCFBAC， 在CDF 和ACB 中， ， CDFACB（AAS） ， DFBC，CFAB，
31、AB3，BD15， CF3， 在 RtBDF 中，BF2+DF2BD2，令 DFBCx，则 BFx+3， （x+3）2+x2152， 解得：x19，x212（舍去） ； DFBC9， ACCD3， sinACB， sinACB， ， BH； DECBEH，DCEBHE90， DECBEH， ， DEBE， BDDE+BEBE+BEBE， BE15， BE 故答案为： 【点评】本题是一道综合性较强的几何综合题，有一定的难度；主要考查了全等三角形判定和性质，相 似三角形判定和性质，勾股定理，解直角三角形和等腰直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线构造 全等三角形和直角三角形是解题关键 18如图，在
32、矩形 ABCD 中，AB3，BC4，E 是 BC 边上的动点，连接 AE，过点 E 作 EFAE 交 CD 于 点 F （1）若 BE1，则 CF 的长为 1 ； （2）在点 E 运动的过程中，CF 的最大值为 【分析】 （1）由矩形的性质及 EFAE 知BAE+AEB90、CEF+BEA90，得出BAE CEF，即可证BAECEF 得 ，据此计算可得； （2）设 BExcm，由相似三角形的性质得比例式，从而得到函数关系式，配方可得最值 【解答】 （1）四边形 ABCD 是矩形， BC90， BAE+AEB90， AEF90， CEF+BEA90， BAECEF， BAECEF， ， BE1，
33、BC4， CE3， ， CF1 故答案为：1 （2）如图所示，设 BExcm， 由得BAECEF， ， ， 整理，得：yx2+x， 根据函数图象可知，抛物线 y（x24x+4）4（x2）2+， 开口向下，抛物线的顶点坐标是它的最高点、且 x2 在函数的定义域内 所以当 BE 的长为 2 时，CF 的长最大为 故答案为： 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形 的判定与性质、矩形的性质 19如图，在ABC 中，AB5，AC4，若进行以下操作，在边 BC 上从左到右依次取点 D1、D2、D3、 D4、；过点 D1作 AB、AC 的平行线分别交 A
34、C、AB 于点 E1、F1；过点 D2作 AB、AC 的平行线分别交 AC、AB 于点 E2、F2；过点 D3作 AB、AC 的平行线分别交 AC、AB 于点 E3、F3，则 4（D1E1+D2E2+ +D2021E2021）+5（D1F1+D2F2+D2021F2021） 40420 【分析】利用平行线分线段成比例定理可得比例式，将 AB，AC 的值带入后可得 4D1E1+5D1F120，同理可得 4D2E2+5D2F220，4D2021E2021+5D2021F202120，由此将原式 转化为 4D1E1+5D1F1+4D2E2+5D2F2+4D2021E2021+5D2021F2021，
35、最后整体代入可得结论 【解答】解：D1F1AC， D1F1AC，D1E1AB， 四边形 D1E1AF1为平行四边形 D1E1AF1 BF1ABAF1ABD1E1 将 AB5，AC4 代入上式得：4D1E1+5D1F120 同理可得：4D2E2+5D2F220， 4D2021E2021+5D2021F202120， 4（D1E1+D2E2+D2021E2021）+5（D1F1+D2F2+D2021F2021） 4D1E1+5D1F1+4D2E2+5D2F2+4D2021E2021+5D2021F2021 20+20+20 202120 40420 故答案为 40420 【点评】本题主要考查了平行
36、线分线段成比例定理的应用，将所得比例式合理转化是解题的关键 20 九章算术是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题： “今有句五步，股十二步问句中容 方几何 ”其大意是：如图，RtABC 的两条直角边的长分别为 5 和 12，则它的内接正方形 CDEF 的边 长为 【分析】设正方形边长为 x，用ADEACB，对应边成比例列方程即可求解； 【解答】解：设正方形 CDEF 边长为 x，则 CDDEx， 由 RtABC 的两条直角边的长分别为 5 和 12 可知 AC5，AD5x，BC12， 正方形 CDEF， DEBC， ADEACB， 又AA， ADEACB， ， ， 解得 x 故答案为：
37、【点评】本题考查正方形性质及相似三角形对应边成比例，关键是根据三角形相似列方程 三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题） 21如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 上一点，连接 AE，F 为 AE 上一点，且BFEC求证： ABFEAD 【分析】由平行的性质结合条件可得到AFBEDA 和BAEAED，可证得结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BAFAED，且C+D180， 又BFE+BFA180， BFEC， BFAD， ABFEAD 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和平行线的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键 22我们知道当人们的视线与物体的表面互
38、相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图 是小然站在地面 MN 欣赏悬挂在墙壁 PM 上的油画 AD（PMMN）的示意图，设油画 AD 与墙壁的夹角 PAD，此时小然的眼睛与油画底部 A 处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置 E 处，且 与 AD 垂直已知油画的长度 AD 为 100cm （1）视线ABD 的度数为 2 （用含 a 的式子表示） （2）当小然到墙壁 PM 的距离 AB250cm 时，求油画顶部点 D 到墙壁 PM 的距离 （3）当油画底部 A 处位置不变，油画 AD 与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果 最佳，他应该更靠近墙壁 PM，还是
39、不动或者远离墙壁 PM？（直接回答即可） 【分析】 （1）利用线段垂直平分线的性质得出 ABBD，根据等腰三角形的性质得到ABEDBE，进 而得出答案； （2） 根据相似三角形的判定证得ACDBEA， 再根据相似三角形的对应边成比例解答即可求出结果； （3）利用（1）可知视角变小，则需要远离墙壁，进而得出答案 【解答】解： （1）连接 BD， AEBE，PMMN，ABMN， ABPM， PAB90，AEB90， ABEPAD90BAE， AEDE，BEAD， ABBD， ABEDBE， ABDDBE+ABE2， 故答案为：2； （2）过点 D 作 DCPM 交 PM 于点 C， 由题意得 AB
40、250cm，AD100cm， 则 AE50cm， CADABE，ACDAEB90， ACDBEA， ， ， CD20（cm） ， 油画顶部到墙壁的距离 CD 是 20cm； （3）当油画底部 A 处位置不变，油画 AD 与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果 最佳，他应该远离墙壁 PM 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用以及视角问题，根据线段垂直平分线的性质得出 ABBD 是 解题关键 23如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树 OE 的高度，先在操场上点 A 处放一面平面镜，从点 A 处后退 1m 到点 B 处，恰好在平面镜中看到树的顶部 E 点的像；再将平面镜向后移动
41、 4m（即 AC4m） 放在 C 处，从点 C 处向后退 1.5m 到点 D 处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部 E 点的像，测得强强 的眼睛距地面的高度 FB、GD 为 1.5m，已知点 O，A，B，C，D 在同一水平线上，且 GDOD，FB OD，EOOD求大树 OE 的高度 （平面镜的大小忽略不计） 【分析】根据题意得到GDCEOC 和BAFOAE，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算 即可 【解答】解：由已知得，AB1m，CD1.5m，AC4m，FBGD1.5m，AOEABFCDG 90，BAFOAE，DCGOCE BAFOAE，ABFAOE， BAFOAE， ，即， OE1.5O
42、A， DCGOCE，CDGCOE， GDCEOC， ，即， OEOA+4， OE1.5OA， 1.5OAOA+4， OA8m，OE12m 答：大树的高度 OE 为 12m 【点评】本题考查了相似三角形的应用应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角 形对应边成比例即可解答 24已知四边形 ABCD 中，ABAD，对角线 AC 平分DAB，点 F 为 AB 上一点，且 CFCB （1）如图 1，求证：CDCF； （2）如图 2，连接 DF，交 AC 于点 G，求证：DGCADC （3）如图 3，若点 H 为线段 DG 上一点，连接 AH，若ADC2HAG，AD5，DC3，求的值 【分
43、析】 （1）求出DACBAC，根据全等三角形的判定得出ADCABC，根据全等三角形的性 质得出 CDCB 即可； （2）根据全等三角形的性质得出ADCB，求出ADC+AFC180，DCF+DAF180， 求出CDGDAC，根据相似三角形的性质得出即可； （3）根据相似三角形的性质得出DGCADC，求出HAGAHG，根据相 似三角形的判定得出DGCAGF，根据相似三角形的性质得出即可 【解答】 （1）证明：AC 平分DAB， DACBAC， 在ADC 和ABC 中 ADCABC（SAS） ， CDCB， CFCB， CDCF； （2）解：ADCABC， ADCB， CFCB， CFBB， ADC
44、CFB， ADC+AFC180， 四边形 AFCD 的内角和等于 360， DCF+DAF180， CDCF， CDGCFD， DCF+CDF+CFD180， DAFCDF+CFD2CDG， DAB2DAC， CDGDAC， DCGACD， DGCADC； （3）解：DGCADC， DGCADC， ADC2HAG，AD5，DC3， HAGDGC， HAGAHG， HGAG， GDCDACFAG，DGCAGF， DGCAGF， ， 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了角平分线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，判断出CDGDAC 是解本题的关键 25如图，ABCABC，AD、A
45、D分别是它们的中线，求证：AD：ADAB：AB 【分析】根据中线的性质得到 BDBC，BDBC，证明ABDABD，根据相似 三角形的性质定理证明即可 【解答】证明：AD、AD分别是ABC 和ABC的中线， BDBC，BDBC， ABCABC， BB， ABDABD， AD：ADAB：AB 【点评】 本题考查的是相似三角形的判定和性质， 掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 26如图，AB 是O 的直径，C、D 是圆上两点，CDBD，过点 D 作 AC 的垂线分别交 AC，AB 延长线于 点 E，F （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若 AE3，sinEAF，求O 的半径 【分析
46、】 （1）连接 OD，AD，由等腰三角形的性质得出CADDAB，ADODAB，由直角三角 形的性质可得出 EFOD，则可得出结论； （2）设 EF4k，AF5k（k0） ，则 AE3k，求出 k1，证明FODFAE，由相似三角形的性质 得出，则可求出答案 【解答】 （1）证明：连接 OD，AD， CDBD， CADDAB， OAOD， ADODAB， CADADO， AEED， AED90， EAD+EDA90， ADO+EDA90， EFOD， EF 是O 的切线； （2）解：在 RtAEF 中，AEF90， sinEAF， sinEAF， 设 EF4k，AF5k（k0） ，则 AE3k，
47、AE3， k1， AF5， EFOD，EFAE， ODAE， FODFAE， ， ， r 【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐 角三角函数，解题的关键是熟练掌握切线的判定 27如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 平分BAD，过点 C 作 CEBD 交 AD 的延长线于点 E （1）求证：CE 是O 的切线； （2）若 CDCE6，DE4，求O 的半径 【分析】 （1）由角平分线的意义和圆周角定理可得出 OCBD，最后由 CEBD，得出 OCCE，进而 得出结论； （2） 连接 AO 并延长交 BC 于点 G， 连接 OB， 证明CDEABC， 由相似三角形的性质得出， 求出 AB 的长，证出 AGBC，由勾股定理可得出答案 【解答】证明： （1）如图 1，连接 OB，OD，OC，OC 交 BD 于点 F， AC 平分BAD， BACDAC，C 为劣弧 BD 的中点， CDBD， OCBD， 又CEBD， OCEOFD90， OCCE， CE 是O 的切线； （2）解：CDCE6， ECDE