1、四边形巩固练习四边形巩固练习 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1如图，将正五边形 ABCDE 的点 C 固定，按顺时针方向旋转一定角度，使新五边形的顶点 D落在直线 BC 上，则旋转的角度是（ ） A108 B72 C54 D36 2如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B处，若 AE2，DE6，EFB60，则 矩形 ABCD 的面积是（ ） A12 B24 C12 D16 3如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，AC、BE 相交于点 F，则BFC 为（ ） A45 B55 C60 D75 4如图，正方形 ABCD 的边长为 4，
2、点 E 在对角线 BD 上，且BAE22.5，EFAB，垂足为 F，则 EF 的长为（ ） A1 B C42 D34 5如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1，S2，则 S1+S2的值为 （ ） A16 B17 C18 D19 6如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别在 AB，CD 上，且 AMCN，MN 与 AC 交于点 O，连接 BO若 DAC28，则OBC 的度数为（ ） A28 B52 C62 D72 7 如图， ABCD 的对角线 AC、 BD 交于点 O， AE 平分BAD 交 BC 于点 E， 且ADC60， ABBC， 连接 OE下列结
3、论： CAD30； SABCDABAC； OBAB； OEBC，成立的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8如图，已知四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，连接 DE若 DE：AC3： 5，则的值为（ ） A B C D 9已知：如图，在正方形 ABCD 外取一点 E，连接 AE、BE、DE过点 A 作 AE 的垂线交 DE 于点 P若 AEAP1，PB下列结论： APDAEB； 点 B 到直线 AE 的距离为； EBED； SAPD+SAPB1+； S正方形ABCD4+ 其中正确结论的序号是（ ） A B C D 10如图，在菱形 AB
4、CD 中，E 是 AB 边上一点，且AEDF60，有下列结论：AEBF； DEF 是等边三角形；BEF 是等腰三角形；ADEBEF，其中结论正确的个数是（ ） A3 B4 C1 D2 11如图，在ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，延长 BC 到点 F，使 CF：BC1：2，连接 DF，EC若 AB 5，AD8，sinB，则 DF 的长等于（ ） A B C D2 12如图，ABCD 为正方形，O 为 AC、BD 的交点，DCE 为 Rt，CED90，DCE30，若 OE ，则正方形的面积为（ ） A5 B4 C3 D2 13如图，正方形 ABCD 的边长为 2，将长为 2 的线段 QR
5、的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动如 果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按 ABCDA 滑动到 A 止，同时点 R 从点 B 出发，沿图中所 示方向按 BCDAB 滑动到 B 止，在这个过程中，线段 QR 的中点 M 所经过的路线围成的图形的面 积为（ ） A2 B4 C D1 二填空题（共二填空题（共 12 小题）小题） 14如图，A+B+C+D+E 15一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 16 如图， 矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O， 过点 O 的直线分别交 AD 和 BC 于点 E、 F， AB2， BC3，则图中阴影部分的面积为
6、 17已知菱形的两对角线长分别为 6cm 和 8cm，则菱形的面积为 cm2 18如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为 CD 上一点，BF 与 AC 交于点 E若CBF20，则AED 等于 度 19如图，在ABCD 中，AD2AB，F 是 AD 的中点，作 CEAB，垂足 E 在线段 AB 上，连接 EF、CF， 则下列结论中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上） DCFBCD；EFCF；SBEC2SCEF；DFE3AEF 20如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 24， 则 OH 的长等于 21如图，在
7、菱形 ABCD 中，AB4cm，ADC120，点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分别沿 AB、CB 方向向点 B 匀速移动（到点 B 为止） ，点 E 的速度为 1cm/s，点 F 的速度为 2cm/s，经过 t 秒DEF 为等 边三角形，则 t 的值为 22如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 的中点，EFEC 交 AD 于点 F，连接 CF（ADAE） ，下列结论： AEFBCE； AF+BCCF； SCEFSEAF+SCBE； 若，则CEFCDF 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 23如图，ABCD 中，ABAD，AE，BE，CM，DM 分别为DAB，ABC，BC
8、D，CDA 的平分线， AE 与 DM 相交于点 F，BE 与 CM 相交于点 N，连接 EM若ABCD 的周长为 42cm，FM3cm，EF 4cm，则 EM cm，AB cm 24如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时， 菱形的周长有最小值 8，那么菱形周长的最大值是 25如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABCDAD1，B60，直线 MN 为梯形 ABCD 的对称轴，P 为 MN 上一动点，那么 PC+PD 的最小值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 26如图，E，F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上两点，AFC
9、E，DFBE，DFBE 求证： （1）AFDCEB； （2）四边形 ABCD 是平行四边形 27如图，ABC 中，ABAC，AD 是BAC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E， 使 OEOD，连接 AE，BE （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）当ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由 28已知：如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延 长线于点 F，且 AFDC，连接 CF （1）求证：D 是 BC 的中点； （2）如果 ABAC，试判断四边形 ADCF 的形状
10、，并证明你的结论 29在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，AEAD，DFAE，垂足为 F；求证：DFDC 30如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，DHAB 于 H， 连接 OH，求证：DHODCO 四边形巩固练习四边形巩固练习 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1如图，将正五边形 ABCDE 的点 C 固定，按顺时针方向旋转一定角度，使新五边形的顶点 D落在直线 BC 上，则旋转的角度是（ ） A108 B72 C54 D36 【分析】根据正多边形的性质求解正五边形 ABCDE 的内角的度数，由旋转的性
11、质可得DCD+BCD 180，进而可求解 【解答】解：多边形 ABCDE 为正五边形， BCD108， 当按顺时针方向旋转后新五边形的顶点 D落在直线 BC 上时，旋转角DCD+BCD180， 旋转角DCD18010872， 故选：B 【点评】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握正多边形的内角的度数是解题的关键 2如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B处，若 AE2，DE6，EFB60，则 矩形 ABCD 的面积是（ ） A12 B24 C12 D16 【分析】 在矩形 ABCD 中根据 ADBC 得出DEFEFB60， 由折叠的性质可得AA90， AEAE2
12、，ABAB，AEFAEF18060120，AEB60根据直 角三角形的性质得出 ABAB2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解 【解答】解：在矩形 ABCD 中， ADBC， BEFEFB60， 由折叠的性质得AA90，AEAE2，ABAB，AEFAEF18060 120， AEBAEFBEF1206060 在 RtAEB中， ABE906030， BE2AE，而 AE2， BE4， AB2，即 AB2， AE2，DE6， ADAE+DE2+68， 矩形 ABCD 的面积ABAD2816 故选：D 【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角
13、相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键 3如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，AC、BE 相交于点 F，则BFC 为（ ） A45 B55 C60 D75 【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出ABE15，BAC45，再求BFC 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABAD， 又ADE 是等边三角形， AEADDE，DAE60， ABAE， ABEAEB，BAE90+60150， ABE（180150）215， 又BAC45， BFC45+1560 故选：C 【点评】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，解题的关键是利用
14、正方形和等边三角形各 边相等的性质及等边对等角求出ABE15 4如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且BAE22.5，EFAB，垂足为 F，则 EF 的长为（ ） A1 B C42 D34 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得ABDADB45，再求出DAE 的度数，根据三 角形的内角和定理求AED，从而得到DAEAED，再根据等角对等边的性质得到 ADDE，然后 求出正方形的对角线 BD，再求出 BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得 解 【解答】解：在正方形 ABCD 中，ABDADB45， BAE22.5， DAE90BAE9022.
15、567.5， 在ADE 中，AED1804567.567.5， DAEAED， ADDE4， 正方形的边长为 4， BD4， BEBDDE44， EFAB，ABD45， BEF 是等腰直角三角形， EFBE（44）42 故选：C 【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正 方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求 出 DEAD 是解题的关键，也是本题的难点 5如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1，S2，则 S1+S2的值为 （ ） A16 B17 C18
16、D19 【分析】 由图可得， S1的边长为 3， 由 ACBC， BCCECD， 可得 AC2CD， CD2， EC； 然后，分别算出 S1、S2的面积，即可解答 【解答】解：如图，设正方形 S2的边长为 x， 根据等腰直角三角形的性质知，ACx，xCD， AC2CD，CD2， EC222+22，即 EC； S2的面积为 EC28； S1的边长为 3，S1的面积为 339， S1+S28+917 故选：B 【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力 6如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别在 AB，CD 上，且 AMCN，MN 与 AC 交于点 O，连接 BO
17、若 DAC28，则OBC 的度数为（ ） A28 B52 C62 D72 【分析】根据菱形的性质以及 AMCN，利用 ASA 可得AMOCNO，可得 AOCO，然后可得 BO AC，继而可求得OBC 的度数 【解答】解：四边形 ABCD 为菱形， ABCD，ABBC， MAONCO，AMOCNO， 在AMO 和CNO 中， ， AMOCNO（ASA） ， AOCO， ABBC， BOAC， BOC90， DAC28， BCADAC28， OBC902862 故选：C 【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂 直的性质 7 如图， ABCD 的对
18、角线 AC、 BD 交于点 O， AE 平分BAD 交 BC 于点 E， 且ADC60， ABBC， 连接 OE下列结论： CAD30； SABCDABAC； OBAB； OEBC，成立的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，得到ABCADC60，BAD120，根据 AE 平分 BAD，得到BAEEAD60推出ABE 是等边三角形，由于 ABBC，得到 AEBC，得到 ABC 是直角三角形，于是得到CAD30，故正确；由于 ACAB，得到 SABCDABAC，故正 确，根据 ABBC，OBBD，且 BDBC，得到 ABOB，故错误；根据
19、三角形的中位线定理得 到 OEAB，于是得到 OEBC，故正确 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCADC60，BAD120， AE 平分BAD， BAEEAD60 ABE 是等边三角形， AEABBE， ABBC， AEBC， BAC90， CAD30，故正确； ACAB， SABCDABAC，故正确， ABBC，OBBD， BDBC， ABOB，故错误； CEBE，COOA， OEAB， OEBC，故正确 故选：C 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的 面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键 8如图，已知四边形
20、 ABCD 是矩形，把矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，连接 DE若 DE：AC3： 5，则的值为（ ） A B C D 【分析】根据翻折的性质可得BACEAC，再根据矩形的对边平行可得 ABCD，根据两直线平行， 内错角相等可得DACBCA，从而得到EACDAC，设 AE 与 CD 相交于 F，根据等角对等边的 性质可得 AFCF，再求出 DFEF，从而得到ACF 和EDF 相似，根据相似三角形对应边成比例求 出，设 DF3x，FC5x，在 RtADF 中，利用勾股定理列式求出 AD，再根据矩形的对边相等 求出 AB，然后代入进行计算即可得解 【解答】解：矩形沿直线 AC 折叠
21、，点 B 落在点 E 处， BACEAC，AEABCD， 矩形 ABCD 的对边 ABCD， DCABAC， EACDCA， 设 AE 与 CD 相交于 F，则 AFCF， AEAFCDCF， 即 DFEF， ， 又AFCEFD， ACFEDF， ， 设 DF3x，FC5x，则 AF5x， 在 RtADF 中，AD4x， 又ABCDDF+FC3x+5x8x， 故选：A 【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股 定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键 9已知：如图，在正方形 ABCD 外取一点 E，连接 AE、BE、DE过点
22、A 作 AE 的垂线交 DE 于点 P若 AEAP1，PB下列结论： APDAEB； 点 B 到直线 AE 的距离为； EBED； SAPD+SAPB1+； S正方形ABCD4+ 其中正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】利用同角的余角相等，易得EABPAD，再结合已知条件利用 SAS 可证两三角形全等； 利用中的全等，可得APDAEB，结合三角形的外角的性质，易得BEP90，即可证； 过 B 作 BFAE，交 AE 的延长线于 F，利用中的BEP90，利用勾股定理可求 BE，结合AEP 是等腰直角三角形，可证BEF 是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求 EF、BF；在 RtABF
23、中， 利用勾股定理可求 AB2，即是正方形的面积；连接 BD，求出ABD 的面积，然后减去BDP 的面积 即可 【解答】解：EAB+BAP90，PAD+BAP90， EABPAD， 又AEAP，ABAD， APDAEB（故正确） ； APDAEB， APDAEB， 又AEBAEP+BEP，APDAEP+PAE， BEPPAE90， EBED（故正确） ； 过 B 作 BFAE，交 AE 的延长线于 F， AEAP，EAP90， AEPAPE45， 又中 EBED，BFAF， FEBFBE45， 又BE， BFEF（故不正确） ； 如图，连接 BD，在 RtAEP 中， AEAP1， EP， 又
24、PB， BE， APDAEB， PDBE， SABP+SADPSABDSBDPS正方形ABCDDPBE（4+）+ （故不正确） EFBF，AE1， 在 RtABF 中，AB2（AE+EF）2+BF24+， S正方形ABCDAB24+（故正确） ； 故选：D 【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理 等知识 10如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，且AEDF60，有下列结论：AEBF； DEF 是等边三角形；BEF 是等腰三角形；ADEBEF，其中结论正确的个数是（ ） A3 B4 C1 D2 【分析】首先连接 BD，易证得ADE
25、BDF，然后可证得 DEDF，AEBF，即可得DEF 是等边 三角形，然后可证得ADEBEF 【解答】解：连接 BD，四边形 ABCD 是菱形， ADAB，ADBADC，ABCD， A60， ADC120，ADB60， 同理：DBF60， 即ADBF， ABD 是等边三角形， ADBD， ADE+BDE60，BDE+BDFEDF60， ADEBDF， 在ADE 和BDF 中， ， ADEBDF（ASA） ， DEDF，AEBF，故正确； EDF60， EDF 是等边三角形， 正确； DEF60， AED+BEF120， AED+ADE180A120， ADEBEF； 故正确 ADEBDF， A
26、EBF， 同理：BECF， 但 BE 不一定等于 BF 故错误 综上所述，结论正确的是 故选：A 【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质此题难度较 大，注意掌握数形结合思想的应用 11如图，在ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，延长 BC 到点 F，使 CF：BC1：2，连接 DF，EC若 AB 5，AD8，sinB，则 DF 的长等于（ ） A B C D2 【分析】由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知 ADBC，且 ADBC；然后根据中点的定义、 结合已知条件推知四边形 CFDE 的对边平行且相等（DECF，且 DECF） ，即四边形 CF
27、DE 是平行四 边形如图，过点 C 作 CHAD 于点 H利用平行四边形的性质、锐角三角函数定义和勾股定理求得 CH4，DH3，则在直角EHC 中利用勾股定理求得 CE 的长度，即 DF 的长度 【解答】证明：如图，在ABCD 中，BADC，ABCD5，ADBC，且 ADBC8 E 是 AD 的中点， DEAD 又CF：BC1：2， DECF，且 DECF， 四边形 CFDE 是平行四边形 CEDF 过点 C 作 CHAD 于点 H 又sinB， sinCDH， CH4 在 RtCDH 中，由勾股定理得到：DH3，则 EH431， 在 RtCEH 中，由勾股定理得到：EC， 则 DFEC 故选
28、：C 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形凡是可以用平行四边形知识 证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题 12如图，ABCD 为正方形，O 为 AC、BD 的交点，DCE 为 Rt，CED90，DCE30，若 OE ，则正方形的面积为（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】过点 O 作 OMCE 于 M，作 ONDE 交 ED 的延长线于 N，判断出四边形 OMEN 是矩形，根 据矩形的性质可得MON90，再求出COMDON，根据正方形的性质可得 OCOD，然后利 用“角角边”证明COM 和DON 全等，根据全等三角形对
29、应边相等可得 OMON，然后判断出四边 形 OMEN 是正方形，设正方形 ABCD 的边长为 2a，根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一 半可得 DECD，再利用勾股定理列式求出 CE，根据正方形的性质求出 OCODa，然后利用四 边形 OCED 的面积列出方程求出 a2，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解 【解答】解：如图，过点 O 作 OMCE 于 M，作 ONDE 交 ED 的延长线于 N， CED90， 四边形 OMEN 是矩形， MON90， COM+DOMDON+DOM， COMDON， 四边形 ABCD 是正方形， OCOD， 在COM 和DON 中， ， COMD
30、ON（AAS） ， OMON， 四边形 OMEN 是正方形， 设正方形 ABCD 的边长为 2a，则 OCOD2aa， CED90，DCE30， DECDa， 由勾股定理得，CEa， 四边形 OCED 的面积aa+ （a） （a）（）2， 解得 a21， 所以，正方形 ABCD 的面积（2a）24a2414 故选：B 或把ODE 绕 O 顺时针旋转 90 度到OCM，再证明一下 C、E、M 三点共线，之后易得OEM 为等腰 直角三角形，就可以算出 EM，设 DEx，则 CMx，CE根号 3x，然后列方程，可以得到 DE，继而 得到 DE 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，
31、勾股定理，直角三角形 30角所对的直 角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点 13如图，正方形 ABCD 的边长为 2，将长为 2 的线段 QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动如 果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按 ABCDA 滑动到 A 止，同时点 R 从点 B 出发，沿图中所 示方向按 BCDAB 滑动到 B 止，在这个过程中，线段 QR 的中点 M 所经过的路线围成的图形的面 积为（ ） A2 B4 C D1 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点 M 到正方形各顶点的距离都 为 1，故点 M 所走的运动
32、轨迹为以正方形各顶点为圆心，以 1 为半径的四个扇形，点 M 所经过的路线围 成的图形的面积为正方形 ABCD 的面积减去 4 个扇形的面积 【解答】解：根据题意得在 QR 运动到四边时，点 M 到正方形各顶点的距离都为 1，点 M 所走的运动轨 迹为以正方形各顶点为圆心，以 1 为半径的四个扇形， 点 M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形 ABCD 的面积减去 4 个扇形的面积 而正方形 ABCD 的面积为 224，4 个扇形的面积为 4 点 M 所经过的路线围成的图形的面积为 4 故选：B 【点评】本题主要是确定点 M 的运动轨迹 二填空题（共二填空题（共 12 小题）小题） 14如图
33、，A+B+C+D+E 180 【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知1B+2，2D+E，A+ 1+C180，由此不难证明结论 【解答】解：如图， 1B+2，2D+E，A+1+C180， A+B+D+E+C180， 故答案为：180 【点评】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解 决问题，属于基础题，中考常考题型 15一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 6 【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题 【解答】解：多边形的外角和是 360 度，多边形的内角和是外角和的 2 倍， 则内角和是 72
34、0 度， 720180+26， 这个多边形的边数为 6 故答案为：6 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键 16 如图， 矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O， 过点 O 的直线分别交 AD 和 BC 于点 E、 F， AB2， BC3，则图中阴影部分的面积为 3 【分析】 根据矩形是中心对称图形寻找思路： AOECOF， 图中阴影部分的面积就是BCD 的面积 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， OAOC，AEOCFO； 又AOECOF， 在AOE 和COF 中， ， AOECOF， SAOESCOF， 图中阴影部分的面积就是BC
35、D 的面积 SBCDBCCD233 故答案为：3 【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影 部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键 17已知菱形的两对角线长分别为 6cm 和 8cm，则菱形的面积为 24 cm2 【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可 【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半 即：68224cm2 故答案为：24 【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半 18如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为 CD 上一点，BF 与 AC 交于点 E若CBF20，则AED 等于
36、65 度 【分析】根据正方形的性质得出BAEDAE，再利用 SAS 证明ABE 与ADE 全等，再利用三角形 的内角和解答即可 【解答】解：正方形 ABCD， ABAD，BAEDAE， 在ABE 与ADE 中， ， ABEADE（SAS） ， AEBAED，ABEADE， CBF20， ABE70， AEDAEB180457065， 故答案为：65 【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出BAEDAE，再利用全等三角形的 判定和性质解答 19如图，在ABCD 中，AD2AB，F 是 AD 的中点，作 CEAB，垂足 E 在线段 AB 上，连接 EF、CF， 则下列结论中一定成立
37、的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上） DCFBCD；EFCF；SBEC2SCEF；DFE3AEF 【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出AEFDMF（ASA） ，得出对 应线段之间关系进而得出答案 【解答】解：F 是 AD 的中点， AFFD， 在ABCD 中，AD2AB， AFFDCD， DFCDCF， ADBC， DFCFCB， DCFBCF， DCFBCD，故正确； 延长 EF，交 CD 延长线于 M， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， AMDF， F 为 AD 中点， AFFD， 在AEF 和DMF 中， ， AEFDMF（ASA） ， FEM
38、F，AEFM， CEAB， AEC90， AECECD90， FMEF， FCFM，故正确； EFFM， SEFCSCFM， MCBE， SBEC2SEFC 故 SBEC2SCEF错误，即错误； 设FECx，则FCEx， DCFDFC90 x， EFC1802x， EFD90 x+1802x2703x， AEF90 x， DFE3AEF，故正确 故答案为： 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出AEFDMF 是解题关键 20如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 24， 则 OH 的长
39、等于 3 【分析】根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H 为 AD 的中点，从而求得 OH 的 长 【解答】解：菱形 ABCD 的周长等于 24， AD6， 在 RtAOD 中，OH 为斜边上的中线， OHAD3 故答案为：3 【点评】此题主要考查直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，还综合利用了菱形的性质 21如图，在菱形 ABCD 中，AB4cm，ADC120，点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分别沿 AB、CB 方向向点 B 匀速移动（到点 B 为止） ，点 E 的速度为 1cm/s，点 F 的速度为 2cm/s，经过 t 秒DEF 为等 边三角形，则 t 的值为
40、 【分析】延长 AB 至 M，使 BMAE，连接 FM，证出DAEEMF，得到BMF 是等边三角形，再利 用菱形的边长为 4 求出时间 t 的值 【解答】 解：延长 AB 至 M，使 BMAE，连接 FM， 四边形 ABCD 是菱形，ADC120 ABAD，A60， BMAE， ADME， DEF 为等边三角形， DAEDFE60，DEEFFD， MEF+DEA120，ADE+DEA180A120， MEFADE， 在DAE 和EMF 中， DAEEMF（SAS） ， AEMF，MA60， 又BMAE， BMF 是等边三角形， BFAE， AEt，CF2t， BCCF+BF2t+t3t， BC
41、4， 3t4， t 故答案为： 或连接 BD根据 SAS 证明ADEBDF，得到 AEBF，列出方程即可 【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关 键是运用三角形全等得出BMF 是等边三角形 22如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 的中点，EFEC 交 AD 于点 F，连接 CF（ADAE） ，下列结论： AEFBCE； AF+BCCF； SCEFSEAF+SCBE； 若，则CEFCDF 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 【分析】根据同角的余角相等可得AEFBCE，判断出正确，然后求出AEF 和BCE 相似，根 据相似三角
42、形对应边成比例可得，然后根据两组边对边对应成比例，两三角形相似求出AEF 和ECF，再根据相似三角形对应角相等可得AFEEFC，过点 E 作 EHFC 于 H，根据角平分线 上的点到角的两边距离相等可得 AEHE，利用“HL”证明AEF 和HEF，根据全等三角形对应边相 等可得 AFFH，同理可得 BCCH，然后求出 AF+BCCF，判断出错误；根据全等三角形的面积相 等可得 SCEFSEAF+SCBE，判断出正确；根据锐角三角函数的定义求出BCE30，然后求出 DCFECF30，再利用“角角边”证明即可 【解答】解：EFEC， AEF+BEC90， BEC+BCE90， AEFBCE，故正确
43、； 又AB90， AEFBCE， ， 点 E 是 AB 的中点， AEBE， ， 又ACEF90， AEFECF， AFEEFC， 过点 E 作 EHFC 于 H， 则 AEHE， 在AEF 和HEF 中， ， AEFHEF（HL） ， AFFH， 同理可得BCEHCE， BCCH， AF+BCCF，故错误； AEFHEF，BCEHCE， SCEFSEAF+SCBE，故正确； 若，则 cotBCE2， BCE30， DCFECF30， 在CEF 和CDF 中， ， CEFCDF（AAS） ，故正确， 综上所述，正确的结论是 故答案为： 【点评】 本题考查了矩形的性质， 全等三角形的判定与性质，
44、 相似三角形的判定与性质， 解直角三角形， 熟记各性质是解题的关键，难点在于求出AEF 和ECF 相似并得到AFEEFC 23如图，ABCD 中，ABAD，AE，BE，CM，DM 分别为DAB，ABC，BCD，CDA 的平分线， AE 与 DM 相交于点 F，BE 与 CM 相交于点 N，连接 EM若ABCD 的周长为 42cm，FM3cm，EF 4cm，则 EM 5 cm，AB 13 cm 【分析】 由条件易证AEBAFDDMC90 进而可证到四边形EFMN是矩形及EFM90， 由 FM3cm，EF4cm 可求出 EM易证ADFCBN，从而得到 DFBN；易证AFDAEB， 从而得到 4DF
45、3AF设 DF3k，则 AF4kAE4（k+1） ，BE3（k+1） ，从而有 AD5k，AB5 （k+1） 由ABCD 的周长为 42cm 可求出 k，从而求出 AB 长 【解答】解：AE 为DAB 的平分线， DAEEABDAB， 同理：ABECBEABC， BCMDCMBCD， CDMADMADC 四边形 ABCD 是平行四边形， DABBCD，ABCADC，ADBC DAFBCN，ADFCBN 在ADF 和CBN 中， ADFCBN（ASA） DFBN 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DAB+ABC180 EAB+EBA90 AEB90 同理可得：AFDDMC90 EFM
46、90 FM3，EF4， ME5（cm） EFMFMNFEN90 四边形 EFMN 是矩形 ENFM3 DAFEAB，AFDAEB， AFDAEB 4DF3AF 设 DF3k，则 AF4k AFD90， AD5k AEB90，AE4（k+1） ，BE3（k+1） ， AB5（k+1） 2（AB+AD）42， AB+AD21 5（k+1）+5k21 k1.6 AB13（cm） 故答案为：5；13 【点评】 本题考查了平行四边形的性质、 平行线的性质、 矩形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质、 全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强 24如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉
47、，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时， 菱形的周长有最小值 8，那么菱形周长的最大值是 17 【分析】画出图形，设菱形的边长为 x，根据勾股定理求出周长即可 【解答】解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为 x， 在 RtABC 中， 由勾股定理：x2（8x）2+22， 解得：x， 4x17， 即菱形的最大周长为 17 故答案为：17 【点评】本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程 25如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABCDAD1，B60，直线 MN 为梯形 ABCD 的对称轴，P 为 MN 上一动点，那么 PC+PD 的最小值为 【分析】因为直线 MN 为梯形 ABCD 的对称轴，所以当 A、P、C 三点位于一条直线时，PC+PD 有最小 值 【解答】解：连接 AC 交直线 MN 于 P 点，P 点即为所求 直线 MN 为梯形 ABCD 的对称轴， APDP， 当 A、P、C 三点位于一条直线时，PC+PDAC，为最小值， ADDCAB，ADBC， DCB