1、中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（1111） 一、一、例题分析例题分析 1. 如图，在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点 C 是 y 轴上的一个动点， 且 A、B、C 三点不在同一条直线上，当ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是（ ） A. （0，0） B. （0，1） C. （0，2） D. （0，3） 2. 如图，已知反比例函数 y= k x （x0）与正比例函数 y=x（x0）的图象，点 A（1，5）、点 A （5，b）与点 B均在反比例函数的图象上，点 B 在直线 y=x 上，四边形 AABB 是平行四边形， 则 B 点的坐标为 3.如图的O
2、中，AB 为直径，OCAB，弦 CD 与 OB 交于点 F，过点 D、A 分别作O 的切线交于点 G， 并与 AB 延长线交于点 E （1）求证：1=2 （2）已知：OF：OB=1：3，O 的半径为 3，求 AG 的长 二、二、巩固提高巩固提高 1. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，以 D 为圆心 1 为半径作D， P 为D 上的一个动点，连接 AP、OP，则AOP 面积的最大值为（ ） A. 4 B. 21 5 C. 35 8 D. 17 4 2. 如图，等腰ABC 三个顶点在O 上，直径 AB=12，P 为弧 BC 上任意一点（不与 B，
3、C 重合），直 线 CP 交 AB 延长线与点 Q，2PAB+PDA=90，下列结论：若PAB=30，则弧 BP 的长为； 若 PD/BC，则 AP 平分CAB；若 PB=BD，则6 3PD ，无论点 P 在弧BC上的位置如何变 化，CPCQ 为定值. 正确的是_. 3. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于 A（3，0），B（1，0）两 点，与 y 轴交于点 C （1）求这个二次函数的解析式； （2）点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点，是否存在点 P，使ACP 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）点 Q 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，过点 Q
4、 作 QE 垂直于轴，垂足为 E是否存在点 Q， 使以点 B、Q、E 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理 由； 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（1212） 一、例题分析一、例题分析 1. 二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象如图，下列四个结论： 4a+c0；m（am+b）+ba（m1）；关于 x 的一元二次方程 ax 2+（b1）x+c=0 没有实数 根；ak 4+bk2a（k2+1）2+b（k2+1）（k 为常数）其中正确结论的个数是（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 2. 如图，已知反比例函数(0
5、) k yx x 的图象经过点3,4A，在该图象上年找一点P，使 45POA，则点P的坐标为 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 34yaxaxa的图象经过点0,2C，交x轴于点A、 (B A点在B点左侧)，顶点为D 1求抛物线解析式及点A、B的坐标； 2将ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A，试求A的坐标； 3抛物线的对称轴上是否存在点P，使BPCBAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由 二、巩固提高 1. 如图，过点 A（4，5）分别 作 x 轴、y 轴的平行线，交直线 y=x+6 于 B、C 两点，若函数 y= k x （x0）的图象ABC 的边有公共点，则 k
6、的取值范围是（ ） A. 5k20 B. 8k20 C. 5k8 D. 9k20 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 匀速运动，到达 点 B 时停止，设点 P 所走的路程为 x，线段 OP 的长为 y，若 y 与 x 之间的函数图象如图所示，则 矩形 ABCD 的周长为_ 3. 如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，AB=8，点 P 从点 A 出发，沿折线 ABBC 向终点 C 运动，在 AB 上以每秒 8 个单位长度的速度运动，在 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度运动，点 Q 从 点 C 出发，沿 CA 方向以
7、每秒3个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点 P 停止时，点 Q 也随 之停止设点 P 运动的时间为 t 秒 （1）求线段 AQ 的长；（用含 t 的代数式表示） （2）当点 P 在 AB 边上运动时，求 PQ 与ABC 的一边垂直时 t 的值； （3）设APQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （4）当APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，直接写出 t 的值 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（1313） 一、例题分析 1. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长 2400m道路为了尽量减少施工对城市交通所造成 的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8
8、 小时完成任务求原计划每小时修路的长 度若设原计划每小时修路 xm，则根据题意可得方程( ) A. 24002400 8 (120%)xx B. 24002400 8 (120%)xx C. 24002400 8 (1 20%)xx D. 24002400 8 (1 20%)xx 2. 如图，矩形 ABCD 中，由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图放置，则矩形 ABCD 的周 长为_ 3. 如图 1，抛物线 2 yaxc与 x 轴，y 轴的正半轴分别交于点4,0B和点0,4C，与 x 轴负半 轴交于点 A， 动点 M 从点 A 出发沿折线A CB向终点 B 匀速运动， 将线
9、段OM绕点 O 顺时针旋转 60得到线段ON，连接MN. （1）求抛物线 2 yaxc的函数表达式； （2）如图 2，当点 N 在线段AC上时，求证：AMCN； （3）当点 N 在线段BC上时，直接写出此时直线MN与抛物线交点的纵坐标； （4）设BN的长度为 n，直接写出在点 M 移动的过程中， 2 n的取值范围. 二、巩固提高 1. 若 a0，b0，且|a|b|，则 a 与 b 的和用|a|、|b|表示为（ ） A. |a|b| B. （|a|b|） C. |a|+|b| D. （|a|+|b|） 2. 观察下列等式 918，16412，25916，361620这些等式反映自然数间的某种 规
10、律，设n（n1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为_ 3. 如图 1 和 2，在 2020 的等距网格（每格的宽和高均是 1 个单位长）中，RtABC 从点 A 与点 M 重合的位置开始，以每秒 1 个单位长的速度先向下平移，当 BC 边与网的底部重合时，继续同样的速 度向右平移，当点 C 与点 P 重合时，RtABC 停止移动设运动时间为 x 秒，QAC 的面积为 y （1）如图 1，当 RtABC 向下平移到 RtA1B1C1的位置时，请你在网格中画出 RtA1B1C1关于直线 QN 成轴对称的图形； （2）如图 2，在 RtABC 向下平移的过程中，请你求出 y 与 x 的函数关系
11、式，并说明当 x 分别取何 值时，y 取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？ （3）在 RtABC 向右平移的过程中，请你说明当 x 取何值时，y 取得最大值和最小值？最大值和最 值分别是多少？为什么？（说明：在（3）中，将视你解答方法的创新程度，给予 14 分的加分） 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（1414） 一、例题分析 1. 已知 mn1，且 5m 2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则m n 的值为（ ） A. 402 B. 5 9 C. 9 5 D. 670 3 2. 如图，在ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，ABD、ACE、 BCF
12、 都是等边三角形，则四边形 AEFD 的面积 S=_. 3. 如图，抛物线与x轴交于A（ 1 x，0）、B（ 2 x，0）两点，且 12 xx，与y轴交于点0, 4C， 其中 12 xx，是方程 2 4120 xx的两个根 （1）求抛物线的解析式； （2） 点M是线段AB上的一个动点， 过点M作MNBC， 交AC于点N， 连接CM， 当C M N 的面积最大时，求点M的坐标； （3）点4,Dk在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以 A D EF、 、 、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不 存在，请说明理由 二、巩固提高 1.
13、A、B 两地相距 90km，甲骑摩托车由 A 地出发，去 B 地办事，甲出发的同时，乙骑自行车同时由 B 地出发沿着同一条道路前往 A 地，甲办完事后原速返回 A 地，结果比乙早到 0.5 小时.甲、乙两人 离 A 地距离 y（km）与时间 x（h）的函数关系图像如图所示.下列说法：.a=3.5，b=4； 甲走的 全路程是 90km；乙的平均速度是 22.5km/h;.甲在 B 地办事停留了 0.5 小时.其中正确的说法有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 如图， 在ABC 中， B=45， 在 BC 边上取一点 D， 使 CD=CA， 点 E 在 AC 上
14、， 连接 ED， 若AED=45, 且 CE=1，BD=2，则 AD 的长是_ 3. 如图，OB 是以（O，a）为圆心，a 为半径的O1的弦，过 B 点作O1的切线，P 为劣弧OB上的 任一点，且过 P 作 OB、AB、OA 的垂线，垂足分别是 D、E、F （1）求证：PD 2=PEPF； （2）当BOP=30，P 点为 OB 的中点时，求 D、E、F、P 四个点的坐标及 SDEF 中考数学提优系中考数学提优系列题选（列题选（1515） 一、例题分析 1. 如图，一个长方体盒子，BC=CD=8，AB=4，则沿盒子表面从 A 点到 D 点的最短路程是（ ） A. 417 B. 4+417 C.
15、413 +8 D. 413 2. 直线y=3x1与直线y=xk的交点在第四象限， k的取值范围是_ _ 3. 如图 1，抛物线 y1=ax 21 2 x+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0），与 y 轴交于点 C（0， 3 4 ），抛 物线 y1的顶点为 G，GMx 轴于点 M将抛物线 y1平移后得到顶点为 B 且对称轴为直线 l 的抛物线 y2 （1）求抛物线 y2的解析式； （2）如图 2，在直线 l 上是否存在点 T，使TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点 T 的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）点 P 为抛物线 y1上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线 y2
16、于点 Q，点 Q 关于直线 l 的对称 点为 R，若以 P，Q，R 为顶点的三角形与AMG 全等，求直线 PR 的解析式 二、巩固提高 1. 如图,先将正方形纸片对折,折痕为 MN,再把 B 点折叠在折痕 MN 上,折痕为 AE,点 B 在 MN 上的对应 点为 H,沿 AH 和 DH 剪下,这样剪得的ADH 中 ( ) A. AH=DHAD B. AH=DH=AD C. AH=ADDH D. AHDHAD 2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 在双曲线 y= k x （k 是常数，且 k0）上，过点 A 作 AD x 轴于点 D，过点 B 作 BCy 轴于点 C，已知点 A
17、的坐标为（4， 3 2 ），四边形 ABCD 的面积为 4， 则点 B 的坐标为_ 3. 如图，在 RtABC 中ABC=90，AC 的垂直平分线交 BC 于 D 点，交 AC 于 E 点，OC=OD （1）若 3 sin 4 A ，DC=4，求 AB长； （2）连接 BE，若 BE 是DEC 的外接圆的切线，求C 的度数 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（1111） 一、例题分析 1. 如图，在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点 C 是 y 轴上的一个动点， 且 A、B、C 三点不在同一条直线上，当ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是 A. （0，0
18、）B. （0，1）C. （0，2） D. （0，3） 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：作 B 点关于 y 轴对称点 B点，连接 AB，交 y 轴于点 C， 此时ABC 的周长最小， 点 A、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），B点坐标为：（-3，0）， 则 OB=3 过点 A 作 AE 垂直 x 轴，则 AE=4，OE=1 则 BE=4，即 BE=AE， EBA=BAE， COAE，BCO=BAE，BCO=EBA BO=CO=3，点 C的坐标是（0，3），此时ABC 的周长最小故选 D 2. 如图，已知反比例函数 y= k x （x0）与正比例函数 y=x（x0）的图象，点 A
19、（1，5）、点 A （5，b）与点 B均在反比例函数的图象上，点 B 在直线 y=x 上，四边形 AABB 是平行四边形， 则 B 点的坐标为_ 【答案】（ 21，21） 【解析】 反比例函数 y=（x0），点 A（1，5），k=15=5，反比例函数解析式为：y=， 点 A（5，b）在反比例函数的图象上，5b=5，解得：b=1，A（5，1），点 B 在直线 y=x 上，设 B 点坐标为：（a，a），点 A（1，5），A（5，1），A 点向下平移 4 个单位，再向 右平移 4 个单位，即可得到 A点，四边形 AABB 是平行四边形， B 点向下平移 4 个单位，再向右平移 4 个单位，即可得到
20、B点（a+4，a4），点 B在反比 例函数的图象上， （a+4） （a4） =5， 解得： a= 21（负数不合题意） ， 故 B 点坐标为： （21， 21）故答案为（21，21） 点睛：此题主要考查了反比例函数综合以及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示 出 B点坐标是解题关键 3. 如图的O 中， AB 为直径， OCAB， 弦 CD 与 OB 交于点 F， 过点 D、 A 分别作O 的切线交于点 G， 并与 AB 延长线交于点 E （1）求证：1=2 （2）已知：OF：OB=1：3，O 的半径为 3，求 AG 的长 【答案】（1）证明见解析（2）6 【解析】 试题分析：（1
21、）连接 OD，因为 DE 为O切线，所以 ODDE，又 OCOB，然后根据互余的关系可 证1=2；（2）由（1）中1=2 可得 EF=ED，设 DE=x，在 RtODE 中，由勾股定理求得 x =4， 然后证 RtEODRtEGA可求出 AG 的长 试题解析：（1）证明：如图，连接 OD， DE 为O 的切线，ODDEODE=90， 即2 ODC=90，OC=OD，C=ODC2 C=90OCOB， C 3=902=3,1=3，1=2 （2）OF：OB=1：3，O 的半径为 3，OF=11=2，EF=ED，在 RtODE 中，OD=3，设 DE=x，则 EF=x，OE=1+x，所以 222222
22、 ,3(1)ODDEOExx，解得 x =4DE=4，OE=5 AG 为O 的切线，AGAEGAE=90ODE=GAE，OED=GEA，RtEODRt EGA 34 , 35 ODDE AGAEAG 解得 AG=6 考点：1切线的性质；2等腰三角形的判定和性质；3勾股定理；4相 似三角形的判定和性质 二、巩固提高 1. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，以 D 为圆心 1 为半径作 D，P 为D 上的一个动点，连接 AP、OP，则AOP 面积的最大值为（ ） A. 4 B. 21 5 C. 35 8 D. 17 4 【答案】D 【解析】 【分析
23、】 【详解】解：当P点移动到平行于OA且与D相切时，AOP面积的最大，如图， P是D的切线，DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DMAC， 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，AC= 22 ABBC =5，OA= 5 2 ， AMD=ADC=90，DAM=CAD，ADMACD， DMAD CDAC ， AD=4，CD=3，AC=5，DM= 12 5 ，PM=PD+DM=1+ 12 5 = 17 5 ， AOP的最大面积= 1 2 OAPM= 1517 225 = 17 4 ，故选 D 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相 似的判定和性质，本
24、题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大 2. 如图，等腰ABC 三个顶点在O 上，直径 AB=12，P 为弧 BC 上任意一点（不与 B，C 重合），直 线 CP 交 AB 延长线与点 Q，2PAB+PDA=90，下列结论：若PAB=30，则弧 BP 的长为； 若 PD/BC，则 AP 平分CAB；若 PB=BD，则6 3PD ，无论点 P 在弧BC上的位置如何变 化，CPCQ 为定值. 正确的是_. 【答案】. 【解析】 试题解析：如图，连接 OP， AO=OP，PAB=30，POB=60，AB=12，OB=6， 弧BP的长为 606 180 =2，故错误；PD 是O 的切线，OPPD，P
25、DBC，OPBC， CP=BP，PAC=PAB，AP 平分CAB，故正确；若 PB=BD，则BPD=BDP， OPPD，BPD+BPO=BDP+BOP，BOP=BPO，BP=BO=PO=6，即BOP 是等边三角形， PD=3OP=63，故正确；AC=BC，BAC=ABC，又ABC=APC， APC=BAC，又ACP=QCA，ACPQCA， CPCA CACQ ，即 CPCQ=CA 2（定值），故 正确；故答案为 3. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于 A（3，0），B（1，0）两 点，与 y 轴交于点 C （1）求这个二次函数的解析式； （2）点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点
26、，是否存在点 P，使ACP 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）点 Q 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，过点 Q 作 QE 垂直于轴，垂足为 E是否存在点 Q， 使以点 B、Q、E 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理 由； 【答案】（1）（2）存在点，使ACP 的面积最大 （3）存在点 Q，坐标为：， 【解析】 【分析】 【详解】 3解：（1）由抛物线过点 A（3，0），B（1，0）， 则 解得 二次函数的关系解析式 （2）连接 PO，作 PMx 轴于 M，PNy 轴于 N 设点 P 坐标为（m，n），则PM =，
27、AO=3 当时，OC=2 0，当时，函数有最大值 此时 存在点，使ACP 的 面积最大 （3）存在点 Q，坐标：， 分BQEAOC，EBQAOC，QEBAOC 三种情况讨论可得出 考点：二次函数的运用 点评：此题难度比较适中，把二次函数的性质与图形的面积的求法相似结合，此题是区别学生程度 的题目，成绩较好学生可以在平时练习中加强 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（1212） 一、例题分析 1. 二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象如图，下列四个结论： 4a+c0；m（am+b）+ba（m1）；关于 x 的一元二次方程 ax 2+（b1）x+c=0 没有实数 根；ak 4+b
28、k2a（k2+1）2+b（k2+1）（k 为常数）其中正确结论的个数是（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 【答案】D 【解析】 因为二次函数的对称轴是直线 x=1，由图象可得左交点的横坐标大于3，小于2，所以 2 b a =1，可得 b=2a，当 x=3 时，y0，即 9a3b+c0，9a6a+c0，3a+c0，a0，4a+c 0，所以选项结论正确；抛物线的对称轴是直线 x=1，y=ab+c 的值最大， 即把 x=m（m1）代入得：y=am 2+bm+cab+c，am2+bmab，m（am+b）+ba，所以此选项 结论不正确； ax 2+（b1）x+c=0，=（b1
29、）24ac，a0，c0，ac0，4ac0，（b1）2 0， 0，关于 x 的一元二次方程 ax 2+（b1）x+c=0 有实数根； 由图象得：当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，当 k 为常数时，0k 2k2+1， 当 x=k 2的值大于 x=k2+1 的函数值，即 ak4+bk2+ca（k2+1）2+b（k2+1）+c，ak4+bk2a（k2+1）2+b （k 2+1），所以此选项结论不正确；所以正确结论的个数是 1 个，故选 D 2. 如图，已知反比例函数(0) k yx x 的图象经过点3,4A，在该图象上年找一点P，使 45POA，则点P的坐标为_ 【答案】 2 21 2 21,
30、7 【解析】 分析：作 AEy 轴于 E，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 90得到 OA，作 AFx 轴于 F，则AOE AOF，可得 OF=OE=4，AF=AE=3，即 A（4，-3），求出线段 AA的中垂线的解析式，利用 方程组确定交点坐标即可 详解：作 AEy 轴于 E，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 90得到 OA，作 AFx 轴于 F，则AOE AOF，可得 OF=OE=4，AF=AE=3，即 A（4，-3） 反比例函数 y= k x （x0）的图象经过点 A（3，4），所以由勾股定理可知：OA=5，4= 3 k ，OA=5， k=12，y= 12 x ，AA的中点 K（ 7
31、 2 ， 1 2 ），直线 OK 的解析式为 y= 1 7 x， 由 1 7 12 yx y x ，解得 2 21 2 21 7 x y 或 2 21 2 21 7 x y ，点 P 在第一象限，P（2 21， 2 21 7 ）， 故答案为（2 21， 2 21 7 ） 点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构造 全等三角形解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 34yaxaxa的图象经过点0,2C，交x轴于点A、 (B A点在B点左侧)，顶点为D 1求抛物线解析式及点A、B的坐标； 2将ABC
32、沿直线BC对折，点A的对称点为A，试求A的坐标； 3抛物线的对称轴上是否存在点P，使BPCBAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由 【答案】 1 1,0A ， 4,02B A（1，4）； 3 P的坐标为 35 , 22 或 321 ,2. 22 【解析】 分析：（1）将（0，2）代入抛物线解析式求得 a值，从而得出抛物线的解析式，再令 y=0，得出 x 的值，即可求得点 A、B 的坐标； （2） 如图 2， 作 AHx 轴于 H， 可证明AOCCOB， 得出ACO=CBO， 由 AHOC， 即可得出 A H 的长，即可求得 A的坐标； （3）分两种情况：如图 3，以 AB 为直径
33、作M，M 交抛物线的对称轴于 P（BC 的下方），由圆 周角定理得出点 P 坐标；如图 4，类比第（2）小题的背景将ABC 沿直线 BC 对折，点 A 的对称点 为 A，以 AB 为直径作M，M交抛物线的对称轴于 P（BC 的上方），作 MEAH 于 E，交对 称轴于 F，求得 MF，在 RtMPF 中，由勾股定理得出 PF 得的长，从而得出点 P 的坐标即可 详解：（1）把 C（0，2）代入 y=ax 2-3ax-4a 得-4a=2， 解得a 1 2 所以抛物线的解析式为y 1 2 x 2+3 2 x+2令 1 2 x 2+3 2 x+20，可得：x1=-1，x2=4 所以 A（-1，0），
34、B（4，0） （2）如图 2，作 AHx 轴于 H， 因为 1 2 OAOC OCOB ，且AOC=COB=90，所以AOCCOB，所以ACO=CBO，可得ACB= OBC+BCO=90， 由 AHOC，AC=AC 得 OH=OA=1，AH=2OC=4；所以 A（1，4）； （3）分两种情况： 如图 3，以 AB 为直径作M，M 交抛物线的对称轴于 P（BC 的下方），由圆周角定理得CPB= CAB，易得：MP= 1 2 AB所以 P（ 3 2 ， 5 2 ） 如图 4，类比第（2）小题的背景将ABC 沿直线 BC 对折， 点 A 的对称点为 A，以 AB 为直径作M，M交抛物线的对称轴于 P
35、（BC 的上方）， 则CP2B=CAB=CAB作 MEAH 于 E，交对称轴于 F则 ME= 1 2 BH= 3 2 ，EF= 3 2 1= 1 2 所以 MF= 3 2 1 2 =1在 RtMPF 中，PF= 22 5 ( )1 2 = 21 2 ，所以 PM=2+ 21 2 所以 P（ 3 2 ，2+ 21 2 ）综上所述，P 的坐标为（ 3 2 ， 5 2 ）或（ 3 2 ，2+ 21 2 ） 点睛：本题考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程的解法以及二次根式 的运算、勾股定理等本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高的 要求 二、巩固提高 1
36、. 如图，过点 A（4，5）分别 作 x 轴、y 轴的平行线，交直线 y=x+6 于 B、C 两点，若函数 y= k x （x0）的图象ABC 的边有公共点，则 k 的取值范围是（ ） A. 5k20 B. 8k20 C. 5k8 D. 9k20 【答案】A 【解析】若反比例函数与三角形交于 A(4，5)，则 k=20； 若反比例函数与三角形交于 C(4，2)，则 k=8；若反比例函数与三角形交于 B(1，5)，则 k=5.故 520k. 故选 A. 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 匀速运动，到达 点 B 时停止，设点
37、P 所走的路程为 x，线段 OP 的长为 y，若 y 与 x 之间的函数图象如图所示，则 矩形 ABCD 的周长为_ 【答案】28 【解析】 分析： 根据点 P 的移动规律， 当 OPBC 时取最小值 3， 根据矩形的性质求得矩形的长与宽， 易得该矩形的周长 详解：当 OPAB 时，OP 最小，且此时 AP=4，OP=3，AB=2AP=8，AD=2OP=6， C矩形 ABCD=2（AB+AD）=2（8+6）=28故答案为 28 点睛： 本题考查了动点问题的函数图象， 关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出AP=4， OP=3 3. 如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，AB=8，点
38、 P 从点 A 出发，沿折线 ABBC 向终点 C 运动，在 AB 上以每秒 8 个单位长度的速度运动，在 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度运动，点 Q 从 点 C 出发，沿 CA 方向以每秒3个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点 P 停止时，点 Q 也随 之停止设点 P 运动的时间为 t 秒 （1）求线段 AQ 的长；（用含 t 的代数式表示） （2）当点 P 在 AB 边上运动时，求 PQ 与ABC 的一边垂直时 t 的值； （3）设APQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （4）当APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，直接写出 t 的值 【答案】（1）433t；（2
39、）当点 P 在 AB 边上运动时，PQ 与ABC 的一边垂直时 t 的值是 t=0 或 12 19 或 4 5 ；（3）S 与 t 的函数关系式为：S= 2 2 2 38 3 (01) 37 312 3(13) ttt ttt ；（4）t 的值为 4 9 或 3 【解析】 分析：（1）根据勾股定理求出 AC 的长，然后由 AQ=AC-CQ 求解即可； （2）当点 P 在 AB 边上运动时，PQ 与ABC 的一边垂直，有三种情况：当 Q 在 C 处，P 在 A 处时， PQBC；当 PQAB 时；当 PQAC 时；分别求解即可； （3）当 P 在 AB 边上时，即 0t1，作 PGAC 于 G，
40、或当 P 在边 BC 上时，即 1t3，分别根据 三角形的面积求函数的解析式即可； （4）当APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，有两种情况：当 P 在边 AB 上时，作 PGAC 于 G，则 AG=GQ，列方程求解；当 P 在边 AC 上时， AQ=PQ，根据勾股定理求解. 详解：（1）如图 1， RtABC 中，A=30，AB=8，BC= 1 2 AB=4，AC= 22 8464 164 3 ， 由题意得：CQ=3t，AQ=433t； （2）当点 P 在 AB 边上运动时，PQ 与ABC 的一边垂直，有三种情况： 当 Q 在 C 处，P 在 A 处时，PQBC，此时 t=0； 当 PQA
41、B 时，如图 2， AQ=433t，AP=8t，A=30，cos30= 3 2 AP AQ ， 83 24 33 t t ，t=12 19 ； 当 PQAC 时，如图 3， AQ=433t，AP=8t，A=30，cos30= 3 2 AQ AP ， 4 333 82 t t t= 4 5 ； 综上所述，当点 P 在 AB 边上运动时，PQ 与ABC 的一边垂直时 t 的值是 t=0 或 12 19 或 4 5 ； （3）分两种情况： 当 P 在 AB 边上时，即 0t1，如图 4，作 PGAC 于 G， A=30， AP=8t， AGP=90， PG=4t， SAPQ= 1 2 AQPG= 1
42、 2（4 33t） 4t=23t 2+8 3 t； 当 P 在边 BC 上时，即 1t3，如图 5， 由题意得：PB=2（t1），PC=42（t1）=2t+6， SAPQ= 1 2 AQPC= 1 2 （433t）（2t+6）=3t 2 7 312 3t ； 综上所述，S 与 t 的函数关系式为：S= 2 2 2 38 3 01 37 312 3(13) ttt ttt ； （4）当APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，有两种情况： 当 P 在边 AB 上时，如图 6， AP=PQ，作 PGAC 于 G，则 AG=GQ，A=30，AP=8t，AGP=90，PG=4t，AG=43t， 由 AQ
43、=2AG 得：433t=83t，t= 4 9 ， 当 P 在边 AC 上时，如图 7，AQ=PQ， RtPCQ 中，由勾股定理得：CQ 2+CP2=PQ2， 22 2 3264 33ttt ， t=3或3（舍），综上所述，t 的值为 4 9 或3 点睛：此题主要考查了三角形中的动点问题，用到勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性 质，二次函数等知识，是一道比较困难的综合题，关键是合理添加辅助线，构造合适的方程求解. 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（1313） 一、例题分析 1. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长 2400m道路为了尽量减少施工对城市交通所造成 的影响，实际
44、工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 小时完成任务求原计划每小时修路的长 度若设原计划每小时修路 xm，则根据题意可得方程( ) A. 24002400 8 (120%)xx B. 24002400 8 (120%)xx C. 24002400 8 (1 20%)xx D. 24002400 8 (1 20%)xx 【答案】A 【解析】 求的是原计划的工效，工作总量为 2400，根据工作时间来列等量关系本题的关键描述语是：“提 前 8 小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8 【详解】原计划用的时间为： 2400 x ，实际用的时间为： 2400 1 20%x 所列
45、方程为： 2400 x - 2400 1 20%x =8 故选 A 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键本题应用 的等量关系为：工作时间=工作总量工效 2. 如图，矩形 ABCD 中，由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图放置，则矩形 ABCD 的周 长为_ 【答案】8 【解析】【分析】 根据 AAS 可以证明ABEECF，得 AB=CE，BE=CF；根据两角对应相等，可以证明ECFFDG， 则 DF：CE=FG：EF=1：2设 BE=x，则 AB=2x，根据勾股定理求得 x 的值，进而求得矩形的面积 【详解】根据等角的余角相等，得 B
46、AE=CEF=DFG又B=C=D=90，AE=EF=4，FG=2，ABEECF，ECFFDG AB=CE，BE=CF，DF：CE=FG：EF=1：2设 BE=x，则 AB=2x，根据勾股定理，得 x 2+4x2=16，x=4 5 5 则矩形 ABCD 的面积为：2x3x=6x 2=96 5 【点睛】1勾股定理；2全等三角形的判定与性质；3矩形的性质 3. 如图 1，抛物线 2 yaxc与 x 轴，y 轴的正半轴分别交于点4,0B和点0,4C，与 x 轴负半 轴交于点 A， 动点 M 从点 A 出发沿折线A CB向终点 B 匀速运动， 将线段OM绕点 O 顺时针旋转 60得到线段ON，连接MN.
47、 （1）求抛物线 2 yaxc的函数表达式； （2）如图 2，当点 N 在线段AC上时，求证：AMCN； （3）当点 N 在线段BC上时，直接写出此时直线MN与抛物线交点的纵坐标； （4）设BN的长度为 n，直接写出在点 M 移动的过程中， 2 n的取值范围. 【答案】（1） 2 1 4 4 yx ；（2）略；（3）0 或 4 或6 2 3 ；（4） 2 84 348n 【解析】 【分析】 （1）运用待定系数法，把4,00,4BC、代入解析式，求出 a 和 c，即可得出函数解析式. （2）易知MON 是等边三角形，当点 N 在 AC 上时，证AMOCNO 即可得到 AM=CN. (3)当 N 在 BC 上时，易得 MNOC,由 30 度角的直角三角形的性质，运用勾股定理列方程求解即可. （4）求最值问题，先找出点 M、N 的运动轨迹，确定其在什么位置时有最值.再利用数形结合求解. 【详解】（1）将 B(4,0),C(0