1、第第 1212 讲讲 圆综合压轴题圆综合压轴题 【方法梳理】 1.先添辅助线：圆中辅助线多建立在五大性质定理的基础上； 2.思考分析一定要建立在平面几何题型的基础上； 3.注意题中或图中出现的“四个典型” ； 【强化巩固练习】 1如图，已知ABC 内接于O，直径 AD 交 BC 于点 E，连接 OC，过点 C 作 CFAD，垂足为 F过点 D 作O 的切 线，交 AB 的延长线于点 G （1）若G50，求ACB 的度数； （2）若 ABAE，求证：BADCOF； （3）在（2）的条件下，连接 OB，设AOB 的面积为 S1，ACF 的面积为 S2，若S1 S2 = 8 9，求 tanCAF 的
2、值 2如图，在O 中，弦 AB 与直径 CD 垂直，垂足为 M，CD 的延长线上有一点 P，满足PBDDAB过点 P 作 PN CD，交 OA 的延长线于点 N，连接 DN 交 AP 于点 H （1）求证：BP 是O 的切线； （2）如果 OA5，AM4，求 PN 的值； （3）如果 PDPH，求证：AHOPHPAP 3如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，连接 AD，过点 D 作 DMAC，垂足为 M，AB、MD 的延长线交于点 N （1）求证：MN 是O 的切线； （2）求证：DN 2BN （BN+AC） ； （3）若 BC6，cosC3 5，求 DN 的
3、长 4如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A、D 的O 分别交 AB、 AC 于点 E、F （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 BE8，sinB 5 13，求O 的半径； （3）求证：AD 2ABAF 5如图，ABC 内接于O，AD 平分BAC 交 BC 边于点 E，交O 于点 D，过点 A 作 AFBC 于点 F，设O 的半径 为 R，AFh （1）过点 D 作直线 MNBC，求证：MN 是O 的切线； （2）求证：ABAC2Rh； （3）设BAC2，求AB:AC AD 的值（用含 的代数式表示） 6.如图，AB 为O
4、 的直径，C 为O 上一点，CAB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 DEAE，垂足为点 E，交 AB 的延长线于点 F。 (1)求证：DE 是O 的切线； (2)若O 的直径为 AB=8，DE=23，求 AC 的长； (3)在(2)的条件下，点 Q 是线段 DF 上的一动点（不与 D,F 重合） ，点 M 为 OQ 的中点，过点 Q 作 QGOF，垂足为点 G，连接 MD、MG。请问当点 Q 在线段 DF 上运动时，DMG 大小是否变化？若不变，则求出DMG 的度数；请说明理 由。 7如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A
5、，D 的O 分别交 AB， AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G （1）求证：BC 是O 的切线； （2）设 ABx，AFy，试用含 x，y 的代数式表示线段 AD 的长； （3）若 BE8，sinB= 5 13，求 DG 的长， 8如图，AB 是半 O的直径，半径 COAO,点 M 是AB 上的动点，且不与点 A、C、B 重合，直线 AM 交直线 OC 于点 D,连接 OM 与 CM. （1）若半圆的半径 为 10. 当AOM=60时，求 DM 的长； 当 AM=12 时，求 DM 的长； （2）探究：在点 M 运动的过程中，DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，
6、请说明理由。 Q FG M D E C BO A 9已知，如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，OFBC 于点 F，交O 于点 E，AE 与 BC 交于点 H，点 D 为 OE 的延长线上一点，且ODB=AEC （1）求证：BD 是O 的切线； （2）求证：CE 2=EHEA； （3）若O 的半径为 5，sinA=3 5，求 BH 的长 10如图，O 为等边ABC 的外接圆，半径为 2，点 D 在劣弧AB 上运动（不与点 A，B 重合） ，连接 DA，DB，DC （1）求证：DC 是ADB 的平分线； （2）四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数吗？如果是，求出
7、函数解析式；如果不是，请说明理由； （3）若点 M，N 分别在线段 CA，CB 上运动（不含端点） ，经过探究发现，点 D 运动到每一个确定的位置，DMN 的周长有最小值 t，随着点 D 的运动，t 的值会发生变化，求所有 t 值中的最大值 【答案详解】【答案详解】 1如图，已知ABC 内接于O，直径 AD 交 BC 于点 E，连接 OC，过点 C 作 CFAD，垂足为 F过点 D 作O 的切 线，交 AB 的延长线于点 G （1）若G50，求ACB 的度数； （2）若 ABAE，求证：BADCOF； （3）在（2）的条件下，连接 OB，设AOB 的面积为 S1，ACF 的面积为 S2，若S1
8、 S2 = 8 9，求 tanCAF 的值 【解析】先练习添辅助线，由 AD 是直径，则此题大概率需连接 BD、CD， （1） “拉一拉已知条件与未知条件的图形位置”即可解决。G 在圆外，ACB 是圆周角，故先把G 往圆内拉，由 DBAG，便可“拉”到BDG=40,由 ADDG，进一步“拉”得圆周角BDA=50，由AB = AB便可得ACB= BDA=50； 解：连接 BD，如图， DG 为切线， ADDG， ADG90， AD 为直径， ABD90， 而GDBG90，ADBGDB90， ADBG50， ACBADB50； (2) “拉一拉已知条件与未知条件的图形位置”即可解决。BAD 是圆周
9、角，COF 是圆心角，故先把COF 往圆周 角位置“拉” ，由DC = DC便可得COF=2CAD, 由CD= CD便可得CAD=DBC,则COF=2DBC,再往等腰三 角形 ABE 内部拉，DBC=90-ABE,而ABE=(180-BAE)2,这样BAD 与COF“拉”到一起了，把上 面的式子恒等变形，即可得两者的等量关系 证明：连接 CD，如图， 则COF=2CAD=2DBC, ABD=90, DBC=90-ABE， ABAE， ABEAEB， ABE=(180-BAE)2, DBC=90-(180-BAE)2=1 2BAE， BADDOC； （3） 看到 “面积比” 就应联想到相似， 而
10、AOB与ACF不相似， 故中间一定存在图形转换， 由图易知SABD= 2SAOB， 而 ABD 与ACF 分处直径 AD 的两侧，则中间一定存在图形位置转换。由解题思路的延续性，从第（2）小题找 思路“突破口” ，由（2）结论BADCOF 及ABD=OFC=90,可得ABDOFC，这样ABD 的图形位置 由直径左侧就 “拉” 到直径右侧了， 由相似比与面积关系可得SABD= 4SOFC， 而OFC 与ACF 同一条高 （CF） ， SACF:SOFC=AF:OF，而 tanCAF=CF:AF，由可用勾股定理即可解答。 解：BADFOC，ABDOFC， ABDOFC， SABD SOFC = (
11、AD OC) 2 = 4， S1 S2 = 8 9， 设 S18x，S29x， 则 SABD2S116x， SOFC1 416x4x， SACF SOFC = AD OF = 9 4 ， 设 AD=9a， 则 OF=4a，OA=OC=5a， 在 RtOFC 中，CF=OC2 OF2= (5a)2 (4a)2=3a, 则 tanCAF=CF:AF=1：3. 2如图，在O 中，弦 AB 与直径 CD 垂直，垂足为 M，CD 的延长线上有一点 P，满足PBDDAB过点 P 作 PN CD，交 OA 的延长线于点 N，连接 DN 交 AP 于点 H （1）求证：BP 是O 的切线； （2）如果 OA5
12、，AM4，求 PN 的值； （3）如果 PDPH，求证：AHOPHPAP 【解析】先添辅助线，证切线必连 OB，由 CD 是直径可能需连 CB、CA. （1）已知条件中“PBDDAB”是“弦切角定理” ，利用该条件及等量代换，即可证明 BP 是切线； 证明：如图，连接 BC，OB CD 是直径， CBD90， OCOB， CCBO， CBAD，PBDDAB， CBOPBD， OBPCBD90， PBOB， PB 是O 的切线 （2）数学典型题型“求线段长问题” ，由于 PN 不是弦，故排除垂径定理，首选相似知识来解答。在已知线段 OA=5,AM=4 的图形位置附近去寻找图中的相似典型图形即可，
13、 不难发现： OPN 内由 AM/PN 而形成的相似典型图 形“A 字模型”及OAP 内的 “双垂模型” ，组合它们的相似性质，即可求解 PN 的长度。 解：CDAB， PAPB， OAOB，OPOP， PAOPBO（SSS） ， OAPOBP90， AMO90， 由勾股定理可得 OM3， AOMAOP，OAPAMO， AOMPOA， OA:OP=OM:OA， 即 5：OP=3:5， OP25 3 ， PNPC， NPCAMO90，AM/PN， AM:PN=OM:OP， 即 4：PN=3: 25 3 ， PN100 9 （3）相似数学典型题型“乘积式” ，解题方法是转化成比例式，利用相似知识论
14、证。此题在把“AHOPHPAP” ， 转化成比例式：AH HP = AP OP，AH 与 HP 不能组成一个三角形，即便利用 PD=PH，转化成“ AH DP = AP OP”AH 与 DP 也不能组 成一个三角形，故需转换思维，发现AP OP中 AP、OP 在AOP 中，且AOP 在相似典型图形“双垂模型”中，即 Rt OPN 中，由OPAPNA 可得AP OP = AN PN，则 AN PN一定与 AH、HP、PD 有关联，AH 与 AN 处于 RtAHN 中，PN 与 PD 处于 RtDPN 中，由 PD=PH 可得PDH=PHD=AHN,HAN=DPN=90可得 RtAHNRtPDN，
15、便有AN PN = AH PD， 这样一条完整的思路分析线就形成了。 证明：PDPH， PDNPHDAHN， HAN=DPN=90 NAHNPD， AH:PD=NA:NP， APNPOA，PANPAO90， PANOAP， PN:OP=AN:AP， AN:NP=AP:OP， AH:PD=AH:PH=AP:OP， AHOPHPAP 3如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，连接 AD，过点 D 作 DMAC，垂足为 M，AB、MD 的延长线交于点 N （1）求证：MN 是O 的切线； （2）求证：DN 2BN （BN+AC） ； （3）若 BC6，cosC3 5，
16、求 DN 的长 【解析】 （1）证切线，连 OD，需证 ODMN，由数学典型模型“角平分线（AD 平分BAC）+等腰（ODA）=平行 线（OD/AC） ”可证明； 证明：如图，连接 OD， AB 是直径， ADB90， 又ABAC， BDCD，BADCAD， AOBO，BDCD， ODAC， DMAC， ODMN， 又OD 是半径， MN 是O 的切线； （2）由 AB=AC 可转化结论为“DN 2BNAN”,相似典型题型“乘积式” ，转化成比例式“DN BN = AN DN” ，需证BDN DAN，相似典型图形“共角模型” ，共角为N，只需证BDN=NAD，恰好是“弦切角定理” ，利用等量代
17、换及 相应性质即可证明。 ABAC， ABCACB， ABC+BAD90，ACB+CDM90， BADCDM， BDNCDM， BADBDN， 又NN， BDNDAN， BN:DN=DN:AN， DN 2BNANBN （BN+AB）BN （BN+AC） ； （3） 先选挖挖条件， 由 BC=6 可得 BD=DC=3， 由 cosC=3 5可得 AC=5=AB,AD=4,CM= 9 5,DM= 12 5 ,即已知条件全集中在ABC 这块，而所求结论 DN 在圆外，必须用相似性质把 DN 的图形位置往ABC 的位置“拉” ，由（2）中的BDN DAN 恰好包含有“DN” ，则有 BN:DN=DN:
18、AN=BD:DA=3:4,即 BN=3 4DN,AN= 4 3DN，由 AB=AN-BN= 4 3DN- 3 4DN= 7 12DN=5,则 DN= 60 7 解：BC6，BDCD， BDCD3， cosC3 5 CD AC， AC5， AB5， ADAB2 BD2= 25 94， BDNDAN， BN:DN=DN:AN=BD:DA=3:4,， BN=3 4DN,AN= 4 3DN， ， AB=AN-BN=4 3DN- 3 4DN= 7 12DN=5， DN=60 7 4如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A、D 的O 分别交
19、AB、 AC 于点 E、F （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 BE8，sinB 5 13，求O 的半径； （3）求证：AD 2ABAF 【解析】证切线，则连 OD，AE 是直径，必连 DE 或 EF； （1） 证切线， 连 OD， 需证 ODBC， 由数学典型模型 “角平分线 （AD 平分CAB） +等腰 （ODA） =平行线 （OD/CA） ” 可证明； 解：如图，连接 OD， 则 OAOD， ODAOAD， AD 是BAC 的平分线， OADCAD， ODACAD， ODAC， ODBC90， 点 D 在O 上， BC 是O 的切线； （2）在 RtBDO 中，由 sinB 即可
20、求出半径长； 解：BDO90， sinBOD OB = OD BE:OD = 5 13， OD5， O 的半径为 5； （3）相似典型题型“乘积式” ，转化成比例式“AD AB = AF AD”,需证DABFAD，已有一组等角“DAB=FAD” ， 只需证B=FDA，由 EF/BC 可得B=FEA，由同弧所对的圆周角相等可得FEA=FDA，问题就解决了 证明：连接 EF， AE 是直径， AFE90ACB， EFBC， AEFB， 又AEFADF， BADF， 又OADCAD， DABFAD， AD:AB=AF:AD， AD 2ABAF 5如图，ABC 内接于O，AD 平分BAC 交 BC 边
21、于点 E，交O 于点 D，过点 A 作 AFBC 于点 F，设O 的半径 为 R，AFh （1）过点 D 作直线 MNBC，求证：MN 是O 的切线； （2）求证：ABAC2Rh； （3）设BAC2，求AB:AC AD 的值（用含 的代数式表示） 【解析】解： （1）如图 1，连接 OD， AD 平分BAC， BADCAD， BD = CD， 又OD 是半径， ODBC， MNBC， ODMN， MN 是O 的切线； （2）如图 2，连接 AO 并延长交O 于 H，连接 BH， AH 是直径， ABH90AFC， 又AHBACF， ACFAHB， AC:AH=AF:AB， ABACAFAH2R
22、h； （3）如图 3，过点 D 作 DQAB 于 Q，DPAC，交 AC 延长线于 P，连接 CD， BAC2，AD 平分BAC， BADCAD， BD = CD， BDCD， BADCAD，DQAB，DPAC， DQDP， RtDQBRtDPC（HL） ， BQCP， DQDP，ADAD， RtDQARtDPA（HL） ， AQAP， AB+ACAQ+BQ+AC2AQ， cosBADAQ:AD， AD AQ cos， AB:AC AD = 2AQ AQ cos 2cos 6.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，CAB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 DEAE，垂足为点 E，交
23、AB 的延长线于点 F。 (1)求证：DE 是O 的切线； (2)若O 的直径为 AB=8，DE=23，求 AC 的长； (3)在(2)的条件下，点 Q 是线段 DF 上的一动点（不与 D,F 重合） ，点 M 为 OQ 的中点，过点 Q 作 QGOF，垂足为点 G，连接 MD、MG。请问当点 Q 在线段 DF 上运动时，DMG 大小是否变化？若不变，则求出DMG 的度数；请说明理 由。 【解析】 （1）连 OD，出现数学典型数学“角平分线+等腰三角形=平行线” ，由 AD 是角平分线，OAD 是等腰三角形，可得 OD/AE，可得 ODEF，可论证结论； 证明：连接 OD，则 OA=OD, 2
24、=3, AD 是EAB 的角平分线， 1=2， 1=3， AE/OD, AEEF, ODEF, DE 是O 的切线； （2）解决几何题，看图有一条基本要求：找出已知条件、未知条件的图形位置；审图也有一条基本要求：想办法 拉近已知条件与未知条件的图形位置，这其实是几何推理思路在图形上的表现，如此题，已知条件 DE、AB 与未知 条件 AC 所处位置如图 2，其中 AC 与 AB 在同一个 RtACB 内，暂时可不理，而 DE 的位置却远离这个图形，所以， 要想办法把 DE 的图形位置往下“挪”-通过几何性质或等量代换进行线段转移，这样一个矩形型的图形 DECN 就 呈现在我们的注意中，易证四边形
25、 DECN 是矩形，即 CN=DE=23,这样已知条件“DE=23”的位置与其余条件的位 置更近了，但还不够，CN、AC、AB 没组成一个完整的三角形，还需要进一步转化，这时你的注意力就集中在ACB 这块位置，这样一个“圆的垂径定理”就会呈现在你的思路中，OD 垂直平分 BC，这样由 CN 的长就可得出 BC 的长， 这时，即可利用勾股定理求出 AC 的长；一条完整的解题思路线就通过“拉近已知条件与未知条件的图形位置”一 步步串联在一起，问题也就解决了。 Q FG M D E C BO A 3 2 1 图1 F D E C B O A ？ 8 2 3 A O B C E D F 图2 N 4
26、8 A OB C 图3 D M G Q 解：由题可知ACB=90, OD/AE, ONC=90, ODE=90, E=90, 四边形 DECN 是矩形， CN=DE=23, ODBC, CB=2CN=43, 在 RtACB 中， AB=8,由勾股定理可得 AC=4； （3）我们仍按上面的审图思路来展开对第（3）小题的分析推导，如图 3，已知条件集中在图形的左侧的ACB 中， 而未知条件DMG 却在这个图形之外，故我们要想办法拉近它们之间的图形位置，将DMG 的位置往左“挪” ，通过 外角定理可做到这点，由图易知 M 分别是 RtDOQ、RtOQG 斜边上的中点，故 DM=OM=MG，则MDO=
27、DOM,MOG= MGO,利用外角定理可得： DMG=DMQ+QMG=2DOM+2MOG=2DOG， 这样未知条件 “DMG” 的图形位置就 “挪” 到了DOG 的位置，这时我们的思路注意点就集中在ABC 中，不难发现由于 AB=2AC，可得出CBA=30、CAB=60 ,进而得出DAB=30,它与DOB 是外角与内角的关系，这样一条完整的解题思路线就清晰了。 解：不变，DMG=120.理由是： 在 RtACB 中，AB=8, AC=4， CBA=30， CAB=60, DAB=30, DOG=2DAO=60, ODQ=OGQ=90,M 是 OQ 的中点， DM=OM=MG, MDO=DOM,
28、MOG=MGO, DMG=DMQ+QMG=2DOM+2MOG=2DOG=120. 7如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的O 分别交 AB， AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G （1）求证：BC 是O 的切线； （2）设 ABx，AFy，试用含 x，y 的代数式表示线段 AD 的长； （3）若 BE8，sinB= 5 13，求 DG 的长， 【解析】 （1）连接 OD，由 AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错 角相等，进而得到 OD 与 AC 平行，得到 OD 与
29、 BC 垂直，即可得证； 证明：如图，连接 OD， AD 为BAC 的角平分线， BADCAD， OAOD， ODAOAD， ODACAD， ODAC， C90， ODC90， ODBC， BC 为圆 O 的切线； （2）连接 DF，由（1）得到 BC 为圆 O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形 ABD 与三角形 ADF 相似，由相似得比例，即可表示出 AD； 解：连接 DF，由（1）知 BC 为圆 O 的切线， FDCDAF， CDACFD， AFDADB， BADDAF， ABDADF， AB AD = AD AF，即 AD 2ABAFxy， 则 AD= xy； （3）
30、 连接 EF， 设圆的半径为 r， 由 sinB 的值， 利用锐角三角函数定义求出 r 的值， 由直径所对的圆周角为直角， 得到 EF 与 BC 平行，得到 sinAEFsinB，进而求出 DG 的长即可 解：连接 EF，在 RtBOD 中，sinB= OD OB = 5 13， 设圆的半径为 r，可得 r r:8 = 5 13， 解得：r5， AE10，AB18， AE 是直径， AFEC90， EFBC， AEFB， sinAEF= AF AE = 5 13， AFAEsinAEF10 5 13 = 50 13， AFOD， AG DG = AF OD = 50 13 5 = 10 13，
31、即 DG= 13 23AD， AD= AB AF = 18 50 13 = 3013 13 ， 则 DG= 13 23 3013 13 = 3013 23 8如图，AB 是半 O的直径，半径 COAO,点 M 是AB 上的动点，且不与点 A、C、B 重合，直线 AM 交直线 OC 于点 D,连接 OM 与 CM. （1）若半圆的半径 为 10. 当AOM=60时，求 DM 的长； 当 AM=12 时，求 DM 的长； （2）探究：在点 M 运动的过程中，DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。 【解析】 （1）当AOM=60时， OM=OA, AMO 是等边三角形， A
32、=MOA=60， COAO， MOD=30,D=30, DM=OM=10. 如图 1，过点 M 作 MFOA 于点 F， 设 AF=x，则 OF=10-x， AM=12,OA=OM=10, 由勾股定理得122 x2= 102 (10 x)2， 解得 x=36 5 ， MFOA,COOA, MF/OD， AM:AD=AF:OA， 即 12：AD=36 5 :10, AD=50 3 , DM=AD-AM=14 3 . (2)当点 M 位于AC 之间时，如图 1，连接 BC， C 是AB 的中点， B=45， 四边形 AMCB 是圆内接四边形， 此时CMD=B=45； 当点 M 位于BC 之间时，如
33、图 2，连接 BC， 由圆周角定理可知：CMD=1 2AOC=45。 综上所述，CMD=45，是定值。 9已知，如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，OFBC 于点 F，交O 于点 E，AE 与 BC 交于点 H，点 D 为 OE 的延长线上一点，且ODB=AEC （1）求证：BD 是O 的切线； （2）求证：CE 2=EHEA； （3）若O 的半径为 5，sinA=3 5，求 BH 的长 【解析】 （1）由圆周角定理和已知条件证出ODB=ABC，再证出ABC+DBF=90，即OBD=90，即可得出 BD 是O 的切线； 证明：ODB=AEC，AEC=ABC， ODB=ABC， OF
34、BC， BFD=90， ODB+DBF=90， ABC+DBF=90， 即OBD=90， BDOB， BD 是O 的切线； （2）连接 AC，由垂径定理得出BE = CE，得出CAE=ECB，再由公共角CEA=HEC，证明CEHAEC，得出 对应边成比例 CE:EH=EA:CE，即可得出结论； 证明：连接 AC，如图 1 所示： OFBC， BE = CE， CAE=ECB， CEA=HEC， CEHAEC， CE:EH=EA:CE， CE 2=EHEA； （3） 连接 BE， 由圆周角定理得出AEB=90， 由三角函数求出 BE， 再根据勾股定理求出 EA， 得出 BE=CE=6， 由 （2
35、） 的结论求出 EH，然后根据勾股定理求出 BH 即可 解：连接 BE，如图 2 所示： AB 是O 的直径， AEB=90， O 的半径为 5，sinBAE=3 5， AB=10，BE=ABsinBAE=103 5=6， EA=AB2 BE2=102 62=8， BE = CE， BE=CE=6， CE 2=EHEA， EH=6 2 8 =9 2， 在 RtBEH 中，BH=BE2+ EH2=62+ ( 9 2) 2=15 2 10如图，O 为等边ABC 的外接圆，半径为 2，点 D 在劣弧AB 上运动（不与点 A，B 重合） ，连接 DA，DB，DC （1）求证：DC 是ADB 的平分线；
36、 （2）四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； （3）若点 M，N 分别在线段 CA，CB 上运动（不含端点） ，经过探究发现，点 D 运动到每一个确定的位置，DMN 的周长有最小值 t，随着点 D 的运动，t 的值会发生变化，求所有 t 值中的最大值 【解答】 （1）证明：ABC 是等边三角形， ABCBACACB60， ADCABC60，BDCBAC60， ADCBDC， DC 是ADB 的平分线； （2）四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数， 理由如下： 如图 1，将ADC 绕点 C 逆时针旋
37、转 60，得到BHC， CDCH，DACHBC， 四边形 ACBD 是圆内接四边形， DAC+DBC180， DBC+HBC180， 点 D，点 B，点 H 三点共线， DCCH，CDH60， DCH 是等边三角形， 四边形 ADBC 的面积 SSADC+SBDCSCDH 3 4 CD 2， S 3 4 x 2； （3）如图 2，作点 D 关于直线 AC 的对称点 E，作点 D 关于直线 BC 的对称点 F， 点 D，点 E 关于直线 AC 对称， EMDM， 同理 DNNF， DMN 的周长DM+DN+MNFN+EM+MN， 当点 E，点 M，点 N，点 F 四点共线时，DMN 的周长有最小
38、值， 则连接 EF，交 AC 于 M，交 BC 于 N，连接 CE，CF，DE，DF，作 CPEF 于 P， DMN 的周长最小值为 EFt， 点 D，点 E 关于直线 AC 对称， CECD，ACEACD， 点 D，点 F 关于直线 BC 对称， CFCD，DCBFCB， CDCECF，ECFACE+ACD+DCB+FCB2ACB120， CPEF，CECF，ECF120， EPPF，CEP30， PC1 2EC，PE3PC 3 2 EC， EF2PE3EC3CDt， 当 CD 有最大值时，EF 有最大值，即 t 有最大值， CD 为O 的弦， CD 为直径时，CD 有最大值 4， t 的最大值为 43