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本文(第12讲 圆综合压轴题 重点题型针对训练(含答案)2021年北师大版中考数学二轮复习)为本站会员(争先)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

第12讲 圆综合压轴题 重点题型针对训练(含答案)2021年北师大版中考数学二轮复习

1、第第 1212 讲讲 圆综合压轴题圆综合压轴题 【方法梳理】 1.先添辅助线:圆中辅助线多建立在五大性质定理的基础上; 2.思考分析一定要建立在平面几何题型的基础上; 3.注意题中或图中出现的“四个典型” ; 【强化巩固练习】 1如图,已知ABC 内接于O,直径 AD 交 BC 于点 E,连接 OC,过点 C 作 CFAD,垂足为 F过点 D 作O 的切 线,交 AB 的延长线于点 G (1)若G50,求ACB 的度数; (2)若 ABAE,求证:BADCOF; (3)在(2)的条件下,连接 OB,设AOB 的面积为 S1,ACF 的面积为 S2,若S1 S2 = 8 9,求 tanCAF 的

2、值 2如图,在O 中,弦 AB 与直径 CD 垂直,垂足为 M,CD 的延长线上有一点 P,满足PBDDAB过点 P 作 PN CD,交 OA 的延长线于点 N,连接 DN 交 AP 于点 H (1)求证:BP 是O 的切线; (2)如果 OA5,AM4,求 PN 的值; (3)如果 PDPH,求证:AHOPHPAP 3如图,在ABC 中,ABAC,以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D,连接 AD,过点 D 作 DMAC,垂足为 M,AB、MD 的延长线交于点 N (1)求证:MN 是O 的切线; (2)求证:DN 2BN (BN+AC) ; (3)若 BC6,cosC3 5,求 DN 的

3、长 4如图,在 RtABC 中,C90,AD 平分BAC 交 BC 于点 D,O 为 AB 上一点,经过点 A、D 的O 分别交 AB、 AC 于点 E、F (1)求证:BC 是O 的切线; (2)若 BE8,sinB 5 13,求O 的半径; (3)求证:AD 2ABAF 5如图,ABC 内接于O,AD 平分BAC 交 BC 边于点 E,交O 于点 D,过点 A 作 AFBC 于点 F,设O 的半径 为 R,AFh (1)过点 D 作直线 MNBC,求证:MN 是O 的切线; (2)求证:ABAC2Rh; (3)设BAC2,求AB:AC AD 的值(用含 的代数式表示) 6.如图,AB 为O

4、 的直径,C 为O 上一点,CAB 的平分线交O 于点 D,过点 D 作 DEAE,垂足为点 E,交 AB 的延长线于点 F。 (1)求证:DE 是O 的切线; (2)若O 的直径为 AB=8,DE=23,求 AC 的长; (3)在(2)的条件下,点 Q 是线段 DF 上的一动点(不与 D,F 重合) ,点 M 为 OQ 的中点,过点 Q 作 QGOF,垂足为点 G,连接 MD、MG。请问当点 Q 在线段 DF 上运动时,DMG 大小是否变化?若不变,则求出DMG 的度数;请说明理 由。 7如图,在 RtABC 中,C90,AD 平分BAC 交 BC 于点 D,O 为 AB 上一点,经过点 A

5、,D 的O 分别交 AB, AC 于点 E,F,连接 OF 交 AD 于点 G (1)求证:BC 是O 的切线; (2)设 ABx,AFy,试用含 x,y 的代数式表示线段 AD 的长; (3)若 BE8,sinB= 5 13,求 DG 的长, 8如图,AB 是半 O的直径,半径 COAO,点 M 是AB 上的动点,且不与点 A、C、B 重合,直线 AM 交直线 OC 于点 D,连接 OM 与 CM. (1)若半圆的半径 为 10. 当AOM=60时,求 DM 的长; 当 AM=12 时,求 DM 的长; (2)探究:在点 M 运动的过程中,DMC 的大小是否为定值?若是,求出该定值;若不是,

6、请说明理由。 Q FG M D E C BO A 9已知,如图,AB 是O 的直径,点 C 为O 上一点,OFBC 于点 F,交O 于点 E,AE 与 BC 交于点 H,点 D 为 OE 的延长线上一点,且ODB=AEC (1)求证:BD 是O 的切线; (2)求证:CE 2=EHEA; (3)若O 的半径为 5,sinA=3 5,求 BH 的长 10如图,O 为等边ABC 的外接圆,半径为 2,点 D 在劣弧AB 上运动(不与点 A,B 重合) ,连接 DA,DB,DC (1)求证:DC 是ADB 的平分线; (2)四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数吗?如果是,求出

7、函数解析式;如果不是,请说明理由; (3)若点 M,N 分别在线段 CA,CB 上运动(不含端点) ,经过探究发现,点 D 运动到每一个确定的位置,DMN 的周长有最小值 t,随着点 D 的运动,t 的值会发生变化,求所有 t 值中的最大值 【答案详解】【答案详解】 1如图,已知ABC 内接于O,直径 AD 交 BC 于点 E,连接 OC,过点 C 作 CFAD,垂足为 F过点 D 作O 的切 线,交 AB 的延长线于点 G (1)若G50,求ACB 的度数; (2)若 ABAE,求证:BADCOF; (3)在(2)的条件下,连接 OB,设AOB 的面积为 S1,ACF 的面积为 S2,若S1

8、 S2 = 8 9,求 tanCAF 的值 【解析】先练习添辅助线,由 AD 是直径,则此题大概率需连接 BD、CD, (1) “拉一拉已知条件与未知条件的图形位置”即可解决。G 在圆外,ACB 是圆周角,故先把G 往圆内拉,由 DBAG,便可“拉”到BDG=40,由 ADDG,进一步“拉”得圆周角BDA=50,由AB = AB便可得ACB= BDA=50; 解:连接 BD,如图, DG 为切线, ADDG, ADG90, AD 为直径, ABD90, 而GDBG90,ADBGDB90, ADBG50, ACBADB50; (2) “拉一拉已知条件与未知条件的图形位置”即可解决。BAD 是圆周

9、角,COF 是圆心角,故先把COF 往圆周 角位置“拉” ,由DC = DC便可得COF=2CAD, 由CD= CD便可得CAD=DBC,则COF=2DBC,再往等腰三 角形 ABE 内部拉,DBC=90-ABE,而ABE=(180-BAE)2,这样BAD 与COF“拉”到一起了,把上 面的式子恒等变形,即可得两者的等量关系 证明:连接 CD,如图, 则COF=2CAD=2DBC, ABD=90, DBC=90-ABE, ABAE, ABEAEB, ABE=(180-BAE)2, DBC=90-(180-BAE)2=1 2BAE, BADDOC; (3) 看到 “面积比” 就应联想到相似, 而

10、AOB与ACF不相似, 故中间一定存在图形转换, 由图易知SABD= 2SAOB, 而 ABD 与ACF 分处直径 AD 的两侧,则中间一定存在图形位置转换。由解题思路的延续性,从第(2)小题找 思路“突破口” ,由(2)结论BADCOF 及ABD=OFC=90,可得ABDOFC,这样ABD 的图形位置 由直径左侧就 “拉” 到直径右侧了, 由相似比与面积关系可得SABD= 4SOFC, 而OFC 与ACF 同一条高 (CF) , SACF:SOFC=AF:OF,而 tanCAF=CF:AF,由可用勾股定理即可解答。 解:BADFOC,ABDOFC, ABDOFC, SABD SOFC = (

11、AD OC) 2 = 4, S1 S2 = 8 9, 设 S18x,S29x, 则 SABD2S116x, SOFC1 416x4x, SACF SOFC = AD OF = 9 4 , 设 AD=9a, 则 OF=4a,OA=OC=5a, 在 RtOFC 中,CF=OC2 OF2= (5a)2 (4a)2=3a, 则 tanCAF=CF:AF=1:3. 2如图,在O 中,弦 AB 与直径 CD 垂直,垂足为 M,CD 的延长线上有一点 P,满足PBDDAB过点 P 作 PN CD,交 OA 的延长线于点 N,连接 DN 交 AP 于点 H (1)求证:BP 是O 的切线; (2)如果 OA5

12、,AM4,求 PN 的值; (3)如果 PDPH,求证:AHOPHPAP 【解析】先添辅助线,证切线必连 OB,由 CD 是直径可能需连 CB、CA. (1)已知条件中“PBDDAB”是“弦切角定理” ,利用该条件及等量代换,即可证明 BP 是切线; 证明:如图,连接 BC,OB CD 是直径, CBD90, OCOB, CCBO, CBAD,PBDDAB, CBOPBD, OBPCBD90, PBOB, PB 是O 的切线 (2)数学典型题型“求线段长问题” ,由于 PN 不是弦,故排除垂径定理,首选相似知识来解答。在已知线段 OA=5,AM=4 的图形位置附近去寻找图中的相似典型图形即可,

13、 不难发现: OPN 内由 AM/PN 而形成的相似典型图 形“A 字模型”及OAP 内的 “双垂模型” ,组合它们的相似性质,即可求解 PN 的长度。 解:CDAB, PAPB, OAOB,OPOP, PAOPBO(SSS) , OAPOBP90, AMO90, 由勾股定理可得 OM3, AOMAOP,OAPAMO, AOMPOA, OA:OP=OM:OA, 即 5:OP=3:5, OP25 3 , PNPC, NPCAMO90,AM/PN, AM:PN=OM:OP, 即 4:PN=3: 25 3 , PN100 9 (3)相似数学典型题型“乘积式” ,解题方法是转化成比例式,利用相似知识论

14、证。此题在把“AHOPHPAP” , 转化成比例式:AH HP = AP OP,AH 与 HP 不能组成一个三角形,即便利用 PD=PH,转化成“ AH DP = AP OP”AH 与 DP 也不能组 成一个三角形,故需转换思维,发现AP OP中 AP、OP 在AOP 中,且AOP 在相似典型图形“双垂模型”中,即 Rt OPN 中,由OPAPNA 可得AP OP = AN PN,则 AN PN一定与 AH、HP、PD 有关联,AH 与 AN 处于 RtAHN 中,PN 与 PD 处于 RtDPN 中,由 PD=PH 可得PDH=PHD=AHN,HAN=DPN=90可得 RtAHNRtPDN,

15、便有AN PN = AH PD, 这样一条完整的思路分析线就形成了。 证明:PDPH, PDNPHDAHN, HAN=DPN=90 NAHNPD, AH:PD=NA:NP, APNPOA,PANPAO90, PANOAP, PN:OP=AN:AP, AN:NP=AP:OP, AH:PD=AH:PH=AP:OP, AHOPHPAP 3如图,在ABC 中,ABAC,以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D,连接 AD,过点 D 作 DMAC,垂足为 M,AB、MD 的延长线交于点 N (1)求证:MN 是O 的切线; (2)求证:DN 2BN (BN+AC) ; (3)若 BC6,cosC3 5,

16、求 DN 的长 【解析】 (1)证切线,连 OD,需证 ODMN,由数学典型模型“角平分线(AD 平分BAC)+等腰(ODA)=平行 线(OD/AC) ”可证明; 证明:如图,连接 OD, AB 是直径, ADB90, 又ABAC, BDCD,BADCAD, AOBO,BDCD, ODAC, DMAC, ODMN, 又OD 是半径, MN 是O 的切线; (2)由 AB=AC 可转化结论为“DN 2BNAN”,相似典型题型“乘积式” ,转化成比例式“DN BN = AN DN” ,需证BDN DAN,相似典型图形“共角模型” ,共角为N,只需证BDN=NAD,恰好是“弦切角定理” ,利用等量代

17、换及 相应性质即可证明。 ABAC, ABCACB, ABC+BAD90,ACB+CDM90, BADCDM, BDNCDM, BADBDN, 又NN, BDNDAN, BN:DN=DN:AN, DN 2BNANBN (BN+AB)BN (BN+AC) ; (3) 先选挖挖条件, 由 BC=6 可得 BD=DC=3, 由 cosC=3 5可得 AC=5=AB,AD=4,CM= 9 5,DM= 12 5 ,即已知条件全集中在ABC 这块,而所求结论 DN 在圆外,必须用相似性质把 DN 的图形位置往ABC 的位置“拉” ,由(2)中的BDN DAN 恰好包含有“DN” ,则有 BN:DN=DN:

18、AN=BD:DA=3:4,即 BN=3 4DN,AN= 4 3DN,由 AB=AN-BN= 4 3DN- 3 4DN= 7 12DN=5,则 DN= 60 7 解:BC6,BDCD, BDCD3, cosC3 5 CD AC, AC5, AB5, ADAB2 BD2= 25 94, BDNDAN, BN:DN=DN:AN=BD:DA=3:4,, BN=3 4DN,AN= 4 3DN, , AB=AN-BN=4 3DN- 3 4DN= 7 12DN=5, DN=60 7 4如图,在 RtABC 中,C90,AD 平分BAC 交 BC 于点 D,O 为 AB 上一点,经过点 A、D 的O 分别交

19、AB、 AC 于点 E、F (1)求证:BC 是O 的切线; (2)若 BE8,sinB 5 13,求O 的半径; (3)求证:AD 2ABAF 【解析】证切线,则连 OD,AE 是直径,必连 DE 或 EF; (1) 证切线, 连 OD, 需证 ODBC, 由数学典型模型 “角平分线 (AD 平分CAB) +等腰 (ODA) =平行线 (OD/CA) ” 可证明; 解:如图,连接 OD, 则 OAOD, ODAOAD, AD 是BAC 的平分线, OADCAD, ODACAD, ODAC, ODBC90, 点 D 在O 上, BC 是O 的切线; (2)在 RtBDO 中,由 sinB 即可

20、求出半径长; 解:BDO90, sinBOD OB = OD BE:OD = 5 13, OD5, O 的半径为 5; (3)相似典型题型“乘积式” ,转化成比例式“AD AB = AF AD”,需证DABFAD,已有一组等角“DAB=FAD” , 只需证B=FDA,由 EF/BC 可得B=FEA,由同弧所对的圆周角相等可得FEA=FDA,问题就解决了 证明:连接 EF, AE 是直径, AFE90ACB, EFBC, AEFB, 又AEFADF, BADF, 又OADCAD, DABFAD, AD:AB=AF:AD, AD 2ABAF 5如图,ABC 内接于O,AD 平分BAC 交 BC 边

21、于点 E,交O 于点 D,过点 A 作 AFBC 于点 F,设O 的半径 为 R,AFh (1)过点 D 作直线 MNBC,求证:MN 是O 的切线; (2)求证:ABAC2Rh; (3)设BAC2,求AB:AC AD 的值(用含 的代数式表示) 【解析】解: (1)如图 1,连接 OD, AD 平分BAC, BADCAD, BD = CD, 又OD 是半径, ODBC, MNBC, ODMN, MN 是O 的切线; (2)如图 2,连接 AO 并延长交O 于 H,连接 BH, AH 是直径, ABH90AFC, 又AHBACF, ACFAHB, AC:AH=AF:AB, ABACAFAH2R

22、h; (3)如图 3,过点 D 作 DQAB 于 Q,DPAC,交 AC 延长线于 P,连接 CD, BAC2,AD 平分BAC, BADCAD, BD = CD, BDCD, BADCAD,DQAB,DPAC, DQDP, RtDQBRtDPC(HL) , BQCP, DQDP,ADAD, RtDQARtDPA(HL) , AQAP, AB+ACAQ+BQ+AC2AQ, cosBADAQ:AD, AD AQ cos, AB:AC AD = 2AQ AQ cos 2cos 6.如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,CAB 的平分线交O 于点 D,过点 D 作 DEAE,垂足为点 E,交

23、AB 的延长线于点 F。 (1)求证:DE 是O 的切线; (2)若O 的直径为 AB=8,DE=23,求 AC 的长; (3)在(2)的条件下,点 Q 是线段 DF 上的一动点(不与 D,F 重合) ,点 M 为 OQ 的中点,过点 Q 作 QGOF,垂足为点 G,连接 MD、MG。请问当点 Q 在线段 DF 上运动时,DMG 大小是否变化?若不变,则求出DMG 的度数;请说明理 由。 【解析】 (1)连 OD,出现数学典型数学“角平分线+等腰三角形=平行线” ,由 AD 是角平分线,OAD 是等腰三角形,可得 OD/AE,可得 ODEF,可论证结论; 证明:连接 OD,则 OA=OD, 2

24、=3, AD 是EAB 的角平分线, 1=2, 1=3, AE/OD, AEEF, ODEF, DE 是O 的切线; (2)解决几何题,看图有一条基本要求:找出已知条件、未知条件的图形位置;审图也有一条基本要求:想办法 拉近已知条件与未知条件的图形位置,这其实是几何推理思路在图形上的表现,如此题,已知条件 DE、AB 与未知 条件 AC 所处位置如图 2,其中 AC 与 AB 在同一个 RtACB 内,暂时可不理,而 DE 的位置却远离这个图形,所以, 要想办法把 DE 的图形位置往下“挪”-通过几何性质或等量代换进行线段转移,这样一个矩形型的图形 DECN 就 呈现在我们的注意中,易证四边形

25、 DECN 是矩形,即 CN=DE=23,这样已知条件“DE=23”的位置与其余条件的位 置更近了,但还不够,CN、AC、AB 没组成一个完整的三角形,还需要进一步转化,这时你的注意力就集中在ACB 这块位置,这样一个“圆的垂径定理”就会呈现在你的思路中,OD 垂直平分 BC,这样由 CN 的长就可得出 BC 的长, 这时,即可利用勾股定理求出 AC 的长;一条完整的解题思路线就通过“拉近已知条件与未知条件的图形位置”一 步步串联在一起,问题也就解决了。 Q FG M D E C BO A 3 2 1 图1 F D E C B O A ? 8 2 3 A O B C E D F 图2 N 4

26、8 A OB C 图3 D M G Q 解:由题可知ACB=90, OD/AE, ONC=90, ODE=90, E=90, 四边形 DECN 是矩形, CN=DE=23, ODBC, CB=2CN=43, 在 RtACB 中, AB=8,由勾股定理可得 AC=4; (3)我们仍按上面的审图思路来展开对第(3)小题的分析推导,如图 3,已知条件集中在图形的左侧的ACB 中, 而未知条件DMG 却在这个图形之外,故我们要想办法拉近它们之间的图形位置,将DMG 的位置往左“挪” ,通过 外角定理可做到这点,由图易知 M 分别是 RtDOQ、RtOQG 斜边上的中点,故 DM=OM=MG,则MDO=

27、DOM,MOG= MGO,利用外角定理可得: DMG=DMQ+QMG=2DOM+2MOG=2DOG, 这样未知条件 “DMG” 的图形位置就 “挪” 到了DOG 的位置,这时我们的思路注意点就集中在ABC 中,不难发现由于 AB=2AC,可得出CBA=30、CAB=60 ,进而得出DAB=30,它与DOB 是外角与内角的关系,这样一条完整的解题思路线就清晰了。 解:不变,DMG=120.理由是: 在 RtACB 中,AB=8, AC=4, CBA=30, CAB=60, DAB=30, DOG=2DAO=60, ODQ=OGQ=90,M 是 OQ 的中点, DM=OM=MG, MDO=DOM,

28、MOG=MGO, DMG=DMQ+QMG=2DOM+2MOG=2DOG=120. 7如图,在 RtABC 中,C90,AD 平分BAC 交 BC 于点 D,O 为 AB 上一点,经过点 A,D 的O 分别交 AB, AC 于点 E,F,连接 OF 交 AD 于点 G (1)求证:BC 是O 的切线; (2)设 ABx,AFy,试用含 x,y 的代数式表示线段 AD 的长; (3)若 BE8,sinB= 5 13,求 DG 的长, 【解析】 (1)连接 OD,由 AD 为角平分线得到一对角相等,再由等边对等角得到一对角相等,等量代换得到内错 角相等,进而得到 OD 与 AC 平行,得到 OD 与

29、 BC 垂直,即可得证; 证明:如图,连接 OD, AD 为BAC 的角平分线, BADCAD, OAOD, ODAOAD, ODACAD, ODAC, C90, ODC90, ODBC, BC 为圆 O 的切线; (2)连接 DF,由(1)得到 BC 为圆 O 的切线,由弦切角等于夹弧所对的圆周角,进而得到三角形 ABD 与三角形 ADF 相似,由相似得比例,即可表示出 AD; 解:连接 DF,由(1)知 BC 为圆 O 的切线, FDCDAF, CDACFD, AFDADB, BADDAF, ABDADF, AB AD = AD AF,即 AD 2ABAFxy, 则 AD= xy; (3)

30、 连接 EF, 设圆的半径为 r, 由 sinB 的值, 利用锐角三角函数定义求出 r 的值, 由直径所对的圆周角为直角, 得到 EF 与 BC 平行,得到 sinAEFsinB,进而求出 DG 的长即可 解:连接 EF,在 RtBOD 中,sinB= OD OB = 5 13, 设圆的半径为 r,可得 r r:8 = 5 13, 解得:r5, AE10,AB18, AE 是直径, AFEC90, EFBC, AEFB, sinAEF= AF AE = 5 13, AFAEsinAEF10 5 13 = 50 13, AFOD, AG DG = AF OD = 50 13 5 = 10 13,

31、即 DG= 13 23AD, AD= AB AF = 18 50 13 = 3013 13 , 则 DG= 13 23 3013 13 = 3013 23 8如图,AB 是半 O的直径,半径 COAO,点 M 是AB 上的动点,且不与点 A、C、B 重合,直线 AM 交直线 OC 于点 D,连接 OM 与 CM. (1)若半圆的半径 为 10. 当AOM=60时,求 DM 的长; 当 AM=12 时,求 DM 的长; (2)探究:在点 M 运动的过程中,DMC 的大小是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由。 【解析】 (1)当AOM=60时, OM=OA, AMO 是等边三角形, A

32、=MOA=60, COAO, MOD=30,D=30, DM=OM=10. 如图 1,过点 M 作 MFOA 于点 F, 设 AF=x,则 OF=10-x, AM=12,OA=OM=10, 由勾股定理得122 x2= 102 (10 x)2, 解得 x=36 5 , MFOA,COOA, MF/OD, AM:AD=AF:OA, 即 12:AD=36 5 :10, AD=50 3 , DM=AD-AM=14 3 . (2)当点 M 位于AC 之间时,如图 1,连接 BC, C 是AB 的中点, B=45, 四边形 AMCB 是圆内接四边形, 此时CMD=B=45; 当点 M 位于BC 之间时,如

33、图 2,连接 BC, 由圆周角定理可知:CMD=1 2AOC=45。 综上所述,CMD=45,是定值。 9已知,如图,AB 是O 的直径,点 C 为O 上一点,OFBC 于点 F,交O 于点 E,AE 与 BC 交于点 H,点 D 为 OE 的延长线上一点,且ODB=AEC (1)求证:BD 是O 的切线; (2)求证:CE 2=EHEA; (3)若O 的半径为 5,sinA=3 5,求 BH 的长 【解析】 (1)由圆周角定理和已知条件证出ODB=ABC,再证出ABC+DBF=90,即OBD=90,即可得出 BD 是O 的切线; 证明:ODB=AEC,AEC=ABC, ODB=ABC, OF

34、BC, BFD=90, ODB+DBF=90, ABC+DBF=90, 即OBD=90, BDOB, BD 是O 的切线; (2)连接 AC,由垂径定理得出BE = CE,得出CAE=ECB,再由公共角CEA=HEC,证明CEHAEC,得出 对应边成比例 CE:EH=EA:CE,即可得出结论; 证明:连接 AC,如图 1 所示: OFBC, BE = CE, CAE=ECB, CEA=HEC, CEHAEC, CE:EH=EA:CE, CE 2=EHEA; (3) 连接 BE, 由圆周角定理得出AEB=90, 由三角函数求出 BE, 再根据勾股定理求出 EA, 得出 BE=CE=6, 由 (2

35、) 的结论求出 EH,然后根据勾股定理求出 BH 即可 解:连接 BE,如图 2 所示: AB 是O 的直径, AEB=90, O 的半径为 5,sinBAE=3 5, AB=10,BE=ABsinBAE=103 5=6, EA=AB2 BE2=102 62=8, BE = CE, BE=CE=6, CE 2=EHEA, EH=6 2 8 =9 2, 在 RtBEH 中,BH=BE2+ EH2=62+ ( 9 2) 2=15 2 10如图,O 为等边ABC 的外接圆,半径为 2,点 D 在劣弧AB 上运动(不与点 A,B 重合) ,连接 DA,DB,DC (1)求证:DC 是ADB 的平分线;

36、 (2)四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数吗?如果是,求出函数解析式;如果不是,请说明理由; (3)若点 M,N 分别在线段 CA,CB 上运动(不含端点) ,经过探究发现,点 D 运动到每一个确定的位置,DMN 的周长有最小值 t,随着点 D 的运动,t 的值会发生变化,求所有 t 值中的最大值 【解答】 (1)证明:ABC 是等边三角形, ABCBACACB60, ADCABC60,BDCBAC60, ADCBDC, DC 是ADB 的平分线; (2)四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数, 理由如下: 如图 1,将ADC 绕点 C 逆时针旋

37、转 60,得到BHC, CDCH,DACHBC, 四边形 ACBD 是圆内接四边形, DAC+DBC180, DBC+HBC180, 点 D,点 B,点 H 三点共线, DCCH,CDH60, DCH 是等边三角形, 四边形 ADBC 的面积 SSADC+SBDCSCDH 3 4 CD 2, S 3 4 x 2; (3)如图 2,作点 D 关于直线 AC 的对称点 E,作点 D 关于直线 BC 的对称点 F, 点 D,点 E 关于直线 AC 对称, EMDM, 同理 DNNF, DMN 的周长DM+DN+MNFN+EM+MN, 当点 E,点 M,点 N,点 F 四点共线时,DMN 的周长有最小

38、值, 则连接 EF,交 AC 于 M,交 BC 于 N,连接 CE,CF,DE,DF,作 CPEF 于 P, DMN 的周长最小值为 EFt, 点 D,点 E 关于直线 AC 对称, CECD,ACEACD, 点 D,点 F 关于直线 BC 对称, CFCD,DCBFCB, CDCECF,ECFACE+ACD+DCB+FCB2ACB120, CPEF,CECF,ECF120, EPPF,CEP30, PC1 2EC,PE3PC 3 2 EC, EF2PE3EC3CDt, 当 CD 有最大值时,EF 有最大值,即 t 有最大值, CD 为O 的弦, CD 为直径时,CD 有最大值 4, t 的最大值为 43