1、第第 7 7 讲讲 应用题应用题 【方法梳理】 1.初中解应用题的唯一方法审透等量关系式（用中文语言描述两个变量间的等量关系，直到不能用中文而只 能用数字或未知数回答为止） 2.列式的解题技巧：假设数字，只列式不计算，最后用未知数替换即可； 2.注意以下常用等量关系式 利润问题： 标价=成本+利润=成本(1+利润率)； 单个利润=标价标价折扣-成本=成本利润率； 总利润=单个利润销量； 销量=原销量每涨(降)1 元影响的销量涨(降)几元 行程问题：路程速度=时间 工程问题：工作总量=工作效率工作时间(单个)；工作总量=工作效率和合作时间=各自工作总量之和. 【强化巩固练习】 1.某种商品原价是
2、 100 元，经两次降价后的价格是 90 元，设平均每次降价的百分率是 x，可列方程为（ ） A. 100(1 2x) = 90 B. 100(1 x2) = 90 C. 100(1 x) = 90 D. 100(1 x)2= 90 2.某公司今年的产值 200 万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年 的总产值就达到了 1400 万元设这个百分数为 x，则可列方程为（ ） A200（1+x） 2=1400 B200+200（1+x）+200（1+x）2=1400 C1400（1x）2=200 D200（1+x） 3=1400 3.某班同学毕业时都将自己的
3、照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1035 张照片，如果全班有 x 名同 学，根据题意，列出方程为（ ） A. x(x + 1) = 1035 B. 1 2x(x 1) = 1035 C. 1 2x(x + 1) = 1035 D. x(x 1) = 1035 4有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A1 2x（x1）=45 B 1 2x（x+1）=45 Cx（x1）=45 Dx（x+1）=45 5.深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利 100 元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后， 每件盈利 81
4、 元，平均每天可售出 20 件. （1）求平均每次降价的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一“期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件 上衣每降价 1 元，每天可多售出 2 件，若商场每天要盈利 2940 元，则每件应降价多少元？ 6.某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个 30 元的价格进货，经过市场调查发现，当每个背包的 售价为 40 元时，月均销售量为 280 个，售价每增长 2 元，月均销量相应减少 20 个. （1）若使这种背包的月均销量不低于 130 个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当该种书包销售单价为多少元时，
5、销售利润是 3120 元？ （3）这种书包的销售利润有可能达到 3700 元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由； 7.暑假期间，某商场购进一批价格为 40 元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为 60 元时，每周可售出 150 件，售价每上涨 10 元，销售量将减少 5 件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进 价的 2 倍。该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为 5600 元，每件文化衫应定价多少元？ 8. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件
6、，而销售单价每降低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本 （1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，且每天的总成本不超过 7000 元，那么销售单价应控制在什 么范围内？（每天的总成本=每件的成本每天的销售量） 9为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动某公园想用一段长为 80 米的篱笆，围成一个 一边靠围墙的矩形花圃 ABCD，墙长 36 米 （1）当 AB 长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是
7、多少？ （2）当花圃的面积为 350 平方米时，AB 长为多少米？ 10. 在新冠肺炎抗疫期间，某药店决定销售一批口罩，经市场调研：某类型口罩进价每包为 20 元，当售价为每包 24 元时，周销售量为 160 包，若售价每提高 1 元，周销售量就会减少 10 包设该类型售价为 x 元（不低于进价） ， 周利润为 y 元请解答以下问题： （1）求 y 与 x 的函数关系式？（要求关系式化为一般式） （2）该药店为了获得周利润 750 元，且让利给顾客，售价应为多少元？ （3）物价局要求利润不得高于 45%，当售价定为多少时，该药店获得利润最大，最大利润是多少元？ 11.某公司经销一种绿茶，每千克
8、成本为 50 元，市场调查发现，在一段时间内，销售量 w（千克）随销售单价 x（元 /千克）的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 y(元)，解答下列问题： (1)求 y 与 x 的关系式； (2)当 x 取何值时，y 的值最大？ (3)若物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于 90 元/千克，公司想要在这段时间内获得 2250 元的销售利润，销 售单价应定为多少元？ 12在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用 28m 长的篱笆围成 一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB，BC 两边)，设 ABxm （1）若花园的面
9、积为 192m2，求 x 的值； （2）若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15m 和 6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的 粗细)，求花园面积 S 的最大值 【参考答案】【参考答案】 1.某种商品原价是 100 元，经两次降价后的价格是 90 元，设平均每次降价的百分率是 x，可列方程为（ ） A. 100(1 2x) = 90 B. 100(1 x2) = 90 C. 100(1 x) = 90 D. 100(1 x)2= 90 【解析】 解题方法：直接套用公式“a(1 x)2= b”,选 D 2.某公司今年的产值 200 万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都
10、比前一年增长一个相同的百分数，这样三年 的总产值就达到了 1400 万元设这个百分数为 x，则可列方程为（ ） A200（1+x） 2=1400 B200+200（1+x）+200（1+x）2=1400 C1400（1x）2=200 D200（1+x） 3=1400 【解析】 注意等量关系式：前年产值+去年产值+今年产值=1400，故选 B 3.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1035 张照片，如果全班有 x 名同 学，根据题意，列出方程为（ ） A. x(x + 1) = 1035 B. 1 2x(x 1) = 1035 C. 1 2x(x + 1) =
11、 1035 D. x(x 1) = 1035 【解析】 自己送别人与别人送自己的照片不同，不存在重复问题，不用2，选 D 4有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A1 2x（x1）=45 B 1 2x（x+1）=45 Cx（x1）=45 Dx（x+1）=45 【解析】 甲与乙比赛、乙与甲的比赛是同一场比赛，存在重复，要2，选 A 5.深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利 100 元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后， 每件盈利 81 元，平均每天可售出 20 件. （1）求平均每次降价的百分率； （2）为扩大销
12、售量，尽快减少库存，在“双十一“期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件 上衣每降价 1 元，每天可多售出 2 件，若商场每天要盈利 2940 元，则每件应降价多少元？ 【解析】 （1）设平均每次降价的百分率为 x，由题意可得： 100(1 x)2=81， 解得 x=0.1=10%或 x=1.9（舍去） (2)设每件应降价 y 元，由题意可得： (81-x)(20+2x)=2940， 解得 x=11 或 x=60， 为扩大销售量，尽快减少库存， x=60， 即每件应降价 60 元 6.某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个 30 元的价格进货，经过市场调查发现，当每个
13、背包的 售价为 40 元时，月均销售量为 280 个，售价每增长 2 元，月均销量相应减少 20 个. （1）若使这种背包的月均销量不低于 130 个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当该种书包销售单价为多少元时，销售利润是 3120 元？ （3）这种书包的销售利润有可能达到 3700 元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由； 【解析】 （1）设每个背包售价为 x 元，依不等关系式“原销量-因涨价减少的销量130”,可列不等式为： 280-20 2 （x-40）130， 解得 x55， 每个背包应不高于 55 元. （2）依等量关系式“(每个背包售价-成本)
14、销量=3120”可列方程为：(x-30)280- 20 2 （x-40）=3120， 化简为x2 98x + 2352 = 0， 解得 x=56 或 42， x55， x=42， 当该种书包销售单价为 42 元时，销售利润是 3120 元. （3）依（2）的等量关系式可列方程为：(x-30)280- 20 2 （x-40）=3700，化简为x2 98x + 2410 = 0， =982 4 2740 = 36 0，方程没有实数根，即这种书包的销售利润不可能达到 3700 元. 7.暑假期间，某商场购进一批价格为 40 元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为 60 元时，每周可售出 150
15、件，售价每上涨 10 元，销售量将减少 5 件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进 价的 2 倍。该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为 5600 元，每件文化衫应定价多少元？ 【解析】 设每件文化衫应定价 x 元，则每周的销售量为（150 5 0 10 ）件 由题意得：(x-40)( 150 5 0 10 )=5600 解得 x1=80，x2=320， 售价不能超过进价的 2 倍， x80, x=80. 该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为 5600 元，每件文化衫应定价 80 元. 8. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场
16、进行试销据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本 （1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，且每天的总成本不超过 7000 元，那么销售单价应控制在什 么范围内？（每天的总成本=每件的成本每天的销售量） 【解析】 （1） “审透等量关系式列解析式” “利润=（售价成本）销售量 y=（x50）50+5（100 x）=（x50） （5x+550）
17、=5x 2+800 x27500 y=5x 2+800 x27500（50 x100） ； （2） “配方求最值” y=5x 2+800 x27500=5（x80）2+4500,a=50，对称轴是直线 x=80， 当 x=80 时，y最大值=4500； （3） “与不等式结合” “先转化成一元二次方程求解：当 y=4000 时，5（x80） 2+4500=4000， 解得 x1=70，x2=90 “画二次函数草图确定 x 的取值范围” （如图） 当 70 x90 时，每天的销售利润不低于 4000 元 由每天的总成本不超过 7000 元，得 50（5x+550）7000，解得 x8282x90
18、，50 x100， 销售单价应该控制在 82 元至 90 元之间 9为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动某公园想用一段长为 80 米的篱笆，围成一个 一边靠围墙的矩形花圃 ABCD，墙长 36 米 （1）当 AB 长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ （2）当花圃的面积为 350 平方米时，AB 长为多少米？ 【解析】 (1)设 AB=x，花圃面积为 y，依等量关系式“花圃面积=长宽=（篱笆总长-两个宽）宽”列式为： y=x(80-2x)=2x2+ 80 x = 2(x 20)2+ 800 由不等关系式“长墙长”可列不等式为： 080-2x36, 解得 22x4
19、0， -20,y 随 x 的增大而减小， 当 x=22 时，y 有最大值， 且最大值为2(22 20)2+ 800=792 当 AB 长为 22 米时所围成的花圃面积最大,最大值是 792 平方米. (2)由题意可得：2x2+ 80 x = 350, 解得x1= 5,x2= 35. 22x40， x=35. 即当花圃的面积为 350 平方米时，AB 长为 35 米 10. 在新冠肺炎抗疫期间，某药店决定销售一批口罩，经市场调研：某类型口罩进价每包为 20 元，当售价为每包 24 元时，周销售量为 160 包，若售价每提高 1 元，周销售量就会减少 10 包设该类型售价为 x 元（不低于进价）
20、， 周利润为 y 元请解答以下问题： （1）求 y 与 x 的函数关系式？（要求关系式化为一般式） （2）该药店为了获得周利润 750 元，且让利给顾客，售价应为多少元？ （3）物价局要求利润不得高于 45%，当售价定为多少时，该药店获得利润最大，最大利润是多少元？ 【解析】 （1）根据周利润每包口罩的利润销售量，再结合“某类型口罩进价每包为 20 元，当售价为每包 24 元时，周销 售量为 160 包，若售价每提高 1 元，周销售量就会减少 10 包”代入数据即可； （2）将（1）中的 y 替换成 750，得到 750=-102+ 600 800，解一元二次方程，根据“让利给顾客”取舍 x
21、的 值，即可求解； （3）将（1）中的二次函数表达式化成顶点式，再根据物价局要求利润不得高于 45%，确定 x 的取值范围，根据二 次函数的性质得到当 x=29 时，函数有最大值，即可求解 （1）依题意得：y=(x-20)160-10(x-24)=(x-20)(400-10 x)= -102+ 600 800 （2）当 750=-102+ 600 800时， 化简为：2 60 + 875 = 0， 解得：1= 25,2= 35， 为了让利给顾客， 2= 35（舍去）, x=25, 答：售价应为 25 元 （3）y=-102+ 600 800 = 10( 30)2+ 1000, x-202045
22、%， 20 x29， 抛物线开口向下，当 x30 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x=29 时，y 有最大值，且最小值为10(29 30)2+ 1000 = 990 答：当售价定为 29 元时，该药店获得利润最大，获利最大为 990 元 11.某公司经销一种绿茶，每千克成本为 50 元，市场调查发现，在一段时间内，销售量 w（千克）随销售单价 x（元 /千克）的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 y(元)，解答下列问题： (1)求 y 与 x 的关系式； (2)当 x 取何值时，y 的值最大？ (3)若物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于 9
23、0 元/千克，公司想要在这段时间内获得 2250 元的销售利润，销 售单价应定为多少元？ 【解析】 (1)依等量关系式“利润=每千克利润销量”可列式为： y=(x-50)w=(x-50)(-2x+240)=2x2+ 340 x 12000 y 与 x 的关系式为y = 2x2+ 340 x 12000 (2)由（1）可知：y = 2x2+ 340 x 12000 = 2(x 85)2+ 2450, -20，y 随 x 的增大而减小， 当 x=85 元，y 有最大值，且最大值为 2450 元. (3)由（1）中的等量关系式可列方程为： 2x2+ 340 x 12000 = 2250， 化简为：x
24、2 170 x + 7125 = 0， 解得x1= 75,x2= 95， x90, x=75. 公司想要在这段时间内获得 2250 元的销售利润，销售单价应定为 75 元. 12在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用 28m 长的篱笆围成 一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB，BC 两边)，设 ABxm （1）若花园的面积为 192m2，求 x 的值； （2）若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15m 和 6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的 粗细)，求花园面积 S 的最大值 【解析】题目均与花园面积有关，等量关系式是“S=长宽” （1）由题可知 AB=x， 则 BC=28-x， 则 x(28-x)=192, 解得1= 12，2= 16 x 的值为 12 或 16； （2）由题可得：S=x(28-x)=2+ 28 = ( 14)2+ 196 在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是 15m 和 6m， AB 最短为 6m，BC 最短为 15m， AB 最长为 28-15=13m， 即 6x13 当 x=13m 时 S 有最大值，最大值为(13 14)2+ 196 = 1952