1、第第 9 9 讲讲 几何填选压轴题几何填选压轴题 【方法梳理】 这类题的核心是“几何构造” ，不会有统一固定的解题方法，但有一点一定是考查内容： “四个典型” （典型模型、 典型题型、典型解题方法、重点知识点的典型用法） ，抓住这点分析思考及添加辅助线。 【强化巩固练习】 1.如图，等腰ABC 中，BC=85,tanABC=1 2,D 为边 AC 上一动点（不与 C 点重合） ，作 DEBD 于点 D，使得 DE BD = 2 3, 连接 CE，则CDE 面积的最大值为_ 2如图，在直角坐标系中，点 A（1，1） ，B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点 C 的纵坐标为 1，且 CACB，
2、 在 y 轴上取一点 D，连接 AC，BC，AD，BD，使得四边形 ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为 3. 已知矩形 ABCD，AB=8,AD=6,E 是 BC 边上一点且 CE=2BE,F 是 CD 边的中点，连接 AF,BF,DE 相交于 M,N 两点，则 FMN 的面积是_ 3如图，在 RtABC 中，C90，点 E 在 AC 边上将A 沿直线 BE 翻折，点 A 落在点 A处，连接 AB，交 AC 于点 F若 AEAE，cosA= 4 5，则 AF BF = 4如图，矩形 ABCD 中，AE1 3AD，将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD 于 F 点，若
3、CFFD3，则 BC 的长为_ 5如图，矩形 ABCD 中，E 为边 AB 上一点，将ADE 沿 DE 折叠，使点 A 的对应点 F 恰好落在边 BC 上，连接 AF 交 DE 于点 N，连接 BN若 BFAD15，tanBNF= 5 2 ，则矩形 ABCD 的面积为 6.如图，直线 y=-x+4 与坐标轴分别交于 A，B 两点，OCAB 于点 C，P 是线段 OC 上一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45，得到线段 AP，连接 CP，则线段 CP的最小值为_ 7 如图， 点 P 是正方形 ABCD 内一点， 且点 P 到点 A、 B、 C 的距离分别为 23、 2、
4、4， 则正方形 ABCD 的面积为 8如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BC2，P 为线段 BC 上的一动点，且和 B、C 不重合，连接 PA，过点 P 作 PEPA 交 CD 于 E，将PEC 沿 PE 翻折到平面内，使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F，则 BP 长为_ G F E D C B A P P C B A o y x 9如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置，连接 EF，过点 A 作 EF 的垂线，垂足为点 H，与 BC 交于点 G若 BG3，CG2，则 CE 的长为（ ） A5 4 B15 4 C4 D9 2
5、 10如图， 在ABC 中， A90，D 是 AB 的中点， 过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E， 作 BC 的垂线交 BC 于点 F， 若 ABCE，且DFE 的面积为 1，则 BC 的长为（ ） A25 B5 C45 D10 11如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平后再次折叠，使点 A 落在 EF 上的点 A 处，得到折痕 BM，BM 与 EF 相交于点 N若直线 BA交直线 CD 于点 O，BC5，EN1，则 OD 的长为（ ） A1 2 3 B1 3 3 C1 4 3 D1 5 3 12如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，AE
6、CD 于点 E，BFCD 于点 F若 FBFE2，FC1，则 AC 的长是（ ） A52 2 B35 2 C45 3 D52 3 P F E D C B A 13如图，矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠，使点 A 落在 BD 上的点 M 处，点 C 落在 BD 上的点 N 处，连结 EF已知 AB3，BC4，则 EF 的长为（ ） A3 B5 C513 6 D13 【答案详解】【答案详解】 1.如图，等腰ABC 中，BC=85,tanABC=1 2,D 为边 AC 上一动点（不与 C 点重合） ，作 DEBD 于点 D，使得 DE BD = 2
7、3, 连接 CE，则CDE 面积的最大值为_ 【解析】代数方法求最值问题（即二次函数配方法） 作 AFBC 于点 F， 则 BF=FC=45, 由 tanABC=1 2 可得 AF=25,AB=AC=10, 由CAFCBQ， 可得CF CQ = CA CB = 10 85， 可得 CQ=16, 设 CD=x，则 QD=16-x， E D CB A 易证EDG=QBD， 则 sinEDG=sinQBD, 则GE QD = DE BD = 2 3， 可得 GE=2 3(16-x)， SCDE= 1 2x 2 3(16-x)= 1 3(x 8) 2 + 64 3 ， CDE 面积的最大值为64 3
8、2如图，在直角坐标系中，点 A（1，1） ，B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点 C 的纵坐标为 1，且 CACB， 在 y 轴上取一点 D，连接 AC，BC，AD，BD，使得四边形 ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为 【解析】根据平行线的性质得到BAC45，得到C90，求得 ACBC2，作 B 关于 y 轴的对称点 E，连 接 AE 交 y 轴于 D，则此时，四边形 ACBD 的周长最小，这个最小周长的值AC+BC+AE，过 E 作 EFAC 交 CA 的延 长线于 F，根据勾股定理即可得到结论 解：点 A（1，1） ，点 C 的纵坐标为 1， ACx 轴， BAC45， CAC
9、B， ABCBAC45， C90， B（3，3） C（3，1） ， ACBC2， 作 B 关于 y 轴的对称点 E， 连接 AE 交 y 轴于 D， 则此时，四边形 ACBD 的周长最小，这个最小周长的值AC+BC+AE， A BC D E Q F G 过 E 作 EFAC 交 CA 的延长线于 F， 则 EFBC2，AF624， AE= EF2+ AF2= 22+ 42=25， 最小周长的值AC+BC+AE4+25， 3. 已知矩形 ABCD，AB=8,AD=6,E 是 BC 边上一点且 CE=2BE,F 是 CD 边的中点，连接 AF,BF,DE 相交于 M,N 两点，则 FMN 的面积是
10、_ 【解析】 如图，过点 F 作 FG/BC，交 DE 于点 G，过点 M 作 MHFG，过点 N 作 PNFG，根据题意及中位线性质，解得 CE、BE 的长，再根据相似三角形的判定方法，可证明FNGBNE，ADMFGM，然后结合相似三角形对应边成比例， 分别解得 N 到 FG 的距离、M 到 FG 的距离，继而根据三角形面积公式解题即可 解：如图，过点 F 作 FG/BC，交 DE 于点 G，过点 M 作 MHFG，过点 N 作 PNFG， 在矩形 ABCD 中，AB=8,AD=6，CE=2BE, CE=2 3BC= 2 3AD=4 ,BE= 1 3BC= 1 3AD=2, FG/BC，F
11、是 CD 边的中点， FG=1 2EC= 1 24=2， 1=2,3=4, FNGBNE， FG:BE=1， N 到 FG 的距离h1= 1 2FC = 1 4DC = 1 4AB = 1 4 8 = 2， SFNG= 1 2FG h1 = 1 2 2 2 = 2， 同理可得， DAF=AFG,ADM=DGF, ADMFGM，FG:AD=2:6=1:3， M 到 FG 的距离h2= 1 4DF = 1 8AB = 1 8 8 = 1， SFMG= 1 2FG h2 = 1 2 2 1 = 1， SFMN= SFNG+ SFMG= 2 + 1 = 3， 3如图，在 RtABC 中，C90，点 E
12、 在 AC 边上将A 沿直线 BE 翻折，点 A 落在点 A处，连接 AB，交 AC 于点 F若 AEAE，cosA= 4 5，则 AF BF = 【解析】根据题意设 AC4x，AB5x，则 BC3x，再证明BCE 为等腰直角三角形，得到 EC3x，根据AEF BCF，得到AE BC = AF BF = 1 3 解：C90，cosA= 4 5， AC AB = 4 5，设 AC4x，AB5x，则 BC3x， AEAE，AEA90，AEBC， 由于折叠， AEBAEB（36090）2135，且AEFBCF， BEC45，即BCE 为等腰直角三角形， EC3x， AEACECxAE， AE BC
13、= AF BF = x 3x = 1 3， 4如图，矩形 ABCD 中，AE1 3AD，将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CFFD3，则 BC 的长为_ 【解析】数学典型题型：折叠问题. （一）代数方法（解方程） ：折叠性质+方程思路+勾股定理或相似. 由折叠性质及方程思路可表示出如图各边， 在 RtBCF 中，由勾股定理得：32+ (3a)2= (6 + 9 + 3a2)2. 方程看似复杂，其实很好解，过程如下： 去平方得：9+9a2=36+129 + 3a2+9+3a2， 化简得29 + 3a2=a2 6 两边平方得：36+12a2=a4 12a2
14、+ 36, 得a2=24， 得 a=26， 则 BC=66 （二）几何方法（相似）题目条件中出现“AE1 3AD”,即 AE:AD=1:3,相似典型题型： “线段比问题” ，构 造三角形相似，利用相似性质解题. 作 ENBC 于点 N，交 BF 于点 M， 由 MN/CF 可得BM BF = MN FC = BN BC = AE AD = 1 3, CF=3,MN=1， 由 BN=AE=EG，BMN=EMG,BNM=EGM 可得BNMEGM， 则 MG=MN=1， 则 BM=BG-MG=AB-MG=6-1=5， 由BM BF = 1 3 可得 FB=15， 在 RtBCF 中由勾股定理可得 B
15、C=66. G F E D C B A 9+3a2 9+4a2 a 3a 2a a 6 6 3 3 G F E D C B A N M G F E D C B A 5如图，矩形 ABCD 中，E 为边 AB 上一点，将ADE 沿 DE 折叠，使点 A 的对应点 F 恰好落在边 BC 上，连接 AF 交 DE 于点 N，连接 BN若 BFAD15，tanBNF= 5 2 ，则矩形 ABCD 的面积为 155 【解析】由折叠的性质得出BNFBEF，由条件得出 tanBEF= 5 2 ，设 BF= 5x，BE2x，由勾股定理得出 EF3x，得出 AB= 5BF，则可得出答案 解：将ADE 沿 DE
16、折叠，使点 A 的对应点 F 恰好落在边 BC 上， AFDE，AEEF， 矩形 ABCD 中，ABF90， B，E，N，F 四点共圆， BNFBEF， tanBEF= 5 2 ， 设 BF= 5x，BE2x， EF= BF2+ BE2=3x， AE3x， AB5x， AB= 5BF S矩形 ABCDABAD= 5BFAD= 5 15155 6.如图，直线 y=-x+4 与坐标轴分别交于 A，B 两点，OCAB 于点 C，P 是线段 OC 上一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45，得到线段 AP，连接 CP，则线段 CP的最小值为_ 【思路分析】 ：点 D 是定点，点
17、P是动点，抓住动点 P运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。 初始位置：当 P 与 B 重合时，点 P的初始位置就是在 AB 边上的位置P0； 任意位置： 题目给的原图即是点 P的任意位置； 结束 （特殊） 位置： 取 P 点与 D 点这个结束位置， 点 P位于点位置P1； 将P0P1连接， 可知 P点在直线 EF 上运动， ； 如图。 P P C B A o y x 结论： 设 EF 与 AC 交于点 G，作 DQEF， 当 P与 Q 重合时，DP有最小值，即 DQ 的长， 由AGP0是等腰直角三角形，且AGP0与DQP0构成“8 字模型” ， 可得DQP0也是等腰直角三角形， 由
18、BC=CA=4 可得 BA=42， 则 BD=22， 由 BC=BP0=4 可得 DP0=4-22， DQ=22 2， 即 DP的最小值为 22 2. 7 如图， 点 P 是正方形 ABCD 内一点， 且点 P 到点 A、 B、 C 的距离分别为 23、 2、 4， 则正方形 ABCD 的面积为 【解析】 “费马问题” ，如图，将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90得到CBM，连接 PM，过点 B 作 BHPM 于 H首先 证明PMC90，推出CMBAPB135，推出 A，P，M 共线，利用勾股定理求出 AB 2即可 解：如图，将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90得到CBM，连接 PM，过点 B
19、 作 BHPM 于 H BPBM= 2，PBM90， PM= 2PB2， PC4，PACM23， PC 2CM2+PM2， PMC90， BPMBMP45， CMBAPB135， P A P B C D F Q P0 D P C(P) B P A G E P1 APB+BPM180， A，P，M 共线， BHPM， PHHM， BHPHHM1， AH23 +1， AB 2AH2+BH2（23 +1）2+1214+43， 正方形 ABCD 的面积为 14+43 8如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BC2，P 为线段 BC 上的一动点，且和 B、C 不重合，连接 PA，过点 P 作 PEPA 交
20、 CD 于 E，将PEC 沿 PE 翻折到平面内，使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F，则 BP 长为_ 【解析】数学典型题型“折叠问题” ，解题方法：折叠性质+方程思想+勾股定理或相似 图中出现数学典型模型“一线三垂直模型” ，如图 1， 由ABPPCE， 设 BP=a，则 PC=2-a， 由相似性质可 得 CE=a(2-a), 由折叠性质可得 EF=CE=a(2-a)，PF=PC=2-a， 已知条件逐渐往上转移，在图形的上方，又出现数学典型模型“一线三垂直的二垂模型” ， 故作 PMAD 于点 M， 则ABPPCE， 由相似性质可得 DF=a， 在 RtPMF 中，PM=AB=1,PF=
21、2-a，MF=AD-AM-DF=2-2a， 由勾股定理可得： 12+ (2 a)2= (2 2a)2， P F E D C B A 解得 a=1 或1 3, 即 BP 的长为 1 或1 3 9如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置，连接 EF，过点 A 作 EF 的垂线，垂足为点 H，与 BC 交于点 G若 BG3，CG2，则 CE 的长为（ ） A5 4 B15 4 C4 D9 2 【解析】连接 EG，根据 AG 垂直平分 EF，即可得出 EGFG，设 CEx，则 DE5xBF，FGEG8x，再根 据 RtCEG 中，CE 2+
22、CG2EG2，即可得到 CE 的长 解：如图所示，连接 EG， 由旋转可得，ADEABF， AEAF，DEBF， 又AGEF， H 为 EF 的中点， AG 垂直平分 EF， EGFG， 设 CEx，则 DE5xBF，FG8x， EG8x， C90， RtCEG 中，CE 2+CG2EG2，即 x2+22（8x）2， 解得 x= 15 4 ， CE 的长为15 4 ， 故选：B 图3 P F E D C B A M 2-a 2-2a 1 a a a 1 a(2-a) 2-a a(2-a) 2-a a(2-a) 1 2-a a M A B C D E F P 图2图1 P F E D C B A
23、 10如图， 在ABC 中， A90，D 是 AB 的中点， 过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E， 作 BC 的垂线交 BC 于点 F， 若 ABCE，且DFE 的面积为 1，则 BC 的长为（ ） A25 B5 C45 D10 【解析】题目没有别的已知的线段长度，无法判断求 BC 的长，是用相似还是勾股定理，那就从唯一的数据条件 “DFE 的面积为 1”进行条件挖掘：由DFE 的面积为 1 可得 DEDF=2,由题易知 BC=2DE，由 DEBC=4,结合面积 公式， 由此我们联想到了数学典型模型 “双垂模型” 的等面积法， 故作 AHBC， 由 D 是中点 DF/AH 可知 A
24、H=2DF， 则 AHBC=8=ABAC，由 DE 是中位线可知 AE=EC，由条件 AB=CE 可得 AC=2AB，由 ACAC=16，可得 AC=4,AB=2,由勾 股定理可得 BC=25. 解：过 A 作 AHBC 于 H， D 是 AB 的中点， ADBD， DEBC， AECE， DE1 2BC， DFBC， DFAH，DFDE， BFHF， DF1 2AH， DFE 的面积为 1， 1 2DEDF1， DEDF2， BCAH2DE2DF428， ABAC8， ABCE， ABAECE1 2AC， ACAC16， AC4，AB=2 BCAB2+ AC225 故选：A 11如图，对折矩
25、形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平后再次折叠，使点 A 落在 EF 上的点 A 处，得到折痕 BM，BM 与 EF 相交于点 N若直线 BA交直线 CD 于点 O，BC5，EN1，则 OD 的长为（ ） A1 2 3 B1 3 3 C1 4 3 D1 5 3 【解析】根据中位线定理可得 AM2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得 AMAN2，过 M 点作 MG EF 于 G，可求 AG，根据勾股定理可求 MG，进一步得到 BE，再根据平行线分线段成比例可求 OF，从而得到 OD 解：EN1， 由中位线定理得 AM2， 由折叠的性质可得 AM2， ADEF，
26、 AMBANM， AMBAMB， ANMAMB， AN2， AE3，AF2 过 M 点作 MGEF 于 G， NGEN1， AG1， 由勾股定理得 MG= 22 12= 3， BEOFMG= 3， OF：BE2：3， 解得 OF= 23 3 ， OD= 3 23 3 = 3 3 故选：B 12如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，AECD 于点 E，BFCD 于点 F若 FBFE2，FC1，则 AC 的长是（ ） A52 2 B35 2 C45 3 D52 3 【解析】 由 AB 是直径由必连 BC， 求 AC 长， 即是求线段长， 由 CF=1,EF=2 可知 CE=3， 由 CF=1,BF
27、=2 可知 BC=5,Rt CFB 知三边长、RtACE 知一边长且含有 AC，故从相似角度思考解题； 解：连接 BC， AB 是O 的直径， ACB90， ACE+BCF90， BFCD， CFB90， CBF+BCF90， ACECBF， AECD， AECCFB90， ACECBF， AC:BC=CE:BF, FBFE2，FC1， CECF+EF3，BCCF2+ BF2= 5， ，AC: 5=3:2, AC35 2 ， 故选：B 13如图，矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠，使点 A 落在 BD 上的点 M 处，点 C 落在 BD 上的点
28、N 处，连结 EF已知 AB3，BC4，则 EF 的长为（ ） A3 B5 C513 6 D13 【解析】求出 BD5，AEEM，ABME90，证明EDMBDA，由相似三角形的性质得出ED BD = EM AB， 设 DEx，则 AEEM4x，得出x 5 = 4x 3 ，解得 x= 5 2，同理DNFDCB，得出 DF BD = NF BC，设 DFy，则 CF NF3y，则y 5 = 3y 4 ，解得 y= 5 3由勾股定理即可求出 EF 的长 解：四边形 ABCD 是矩形， ABCD3，ADBC4，ACEDF90， BD= AB2+ AD2= 32+ 42=5， 将矩形 ABCD 沿 BE 所在直线折叠，使点 A 落在 BD 上的点 M 处， AEEM，ABME90， EMD90， EDMADB， EDMBDA， ED BD = EM AB， 设 DEx，则 AEEM4x， x 5 = 4x 3 ， 解得 x= 5 2， DE= 5 2， 同理DNFDCB， DF BD = NF BC， 设 DFy，则 CFNF3y， y 5 = 3y 4 ， 解得 y= 5 3 DF= 5 3 EF= DE2+ DF2=(5 2) 2+ (5 3) 2 = 513 6 故选：C