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第3讲 二次函数图像性质题型 重点题型针对训练(含答案)2021年北师大版中考数学二轮复习

1、第第 3 3 讲讲 二次函数图像性质题型二次函数图像性质题型 【方法梳理】 1.看图第一步:补图(交点、对称点)-影响“ x 的特殊值的取值” 题目给的图形不完整的 题目没配图的 2.看图第二步:看图得性质 (1)直接看图得性质 a 的正负性-看开口方向:开口向上 a0、开口向下 a0、交 y 轴负半轴 c0、一个交点=0、无交点 0)的大小比较时 x 的取值范围-看一个图像在另一个图像上(或 下)方的那部分图像(即交点左侧或右侧那部分图像 x 的取值范围); 图2 x=1 x y o 2 -3 “a2+ bm + cab + c(m 1)” 表示: “m 取其它值时的 y 值都要比 m 取最

2、大值时的 y 值要小” “a2+ bx + c = m”表示的意思是: “抛物线 y= a2+ bx + c与直线 y=m 有无交点” 【强化巩固练习】 1.已知二次函数 yx 22ax+a22a4(a 为常数)的图象与 x 轴有交点,且当 x3 时,y 随 x 的增大而增大,则 a 的取值范围是( ) Aa2 Ba3 C2a3 D2a3 2.函数 yax 2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于点(2,0) ,顶点坐标为(1,n) ,其中 n0以下结论正确的是 ( ) abc0; 函数 yax 2+bx+c(a0)在 x1 和 x2 处的函数值相等; 函数 ykx+1 的图象与 yax 2+

3、bx+c(a0)的函数图象总有两个不同交点; 函数 yax 2+bx+c(a0)在3x3 内既有最大值又有最小值 A B C D 3.已知 yax 2+bx+c(a0)的图象如图所示,对称轴为直线 x2若 x 1,x2是一元二次方程 ax 2+bx+c0(a0) 的两个根,且 x1x2,1x10,则下列说法正确的是( ) Ax1+x20 B4x25 Cb 24ac0 Dab0 4.如图,抛物线 yax 2+bx+c(a0)与 x 轴交于点 A(1,0)和 B,与 y 轴交于点 C下列结论:abc0, 2a+b0,4a2b+c0,3a+c0,其中正确的结论个数为( ) A1 个 B2 个 C3

4、个 D4 个 5. 如图, 抛物线 yax 2bxc(a0)的图象经过点(1,2), 与 x 轴交点的横坐标分别为x 1,x2, 其中1 x1 0, 1 x2 2,,则下列结论中正确的是( ) A. a2 C. 2a+b0 D. k 为任意实数,关于 x 的方程ax2+ bx + c + k2= 0没有实数根 6二次函数 yax 2bxc 的图象如图所示,下列结论中正确的有( ) abc0;b 24ac0;2ab;(ac)2b2;a2b4c0 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 7.如图, 二次函数y = ax2+ bx + c的图像与 x 正半轴交于 A,B 两点, 与 y 轴交于点 C

5、, 对称轴为直线 x=2, 且 OA=OC, 则下列结论,其中正确的个数有( )个 abc0;9a+3b+c-1;关于 x 的一元二次方程ax2+ bx + c = 0有一根为 1 a. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8已知二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示,对称轴为直线 x1,则下列结论正确的是( ) Aac0 B当 x0 时,y 随 x 的增大而减小 C2ab0 D方程 ax 2+bx+c0 的两根是 x 11,x23 9.二次函数y = ax2+ bx + c的图像如右图所示,则下列说法中错误的是( ) A. abc0 B. 3a+c0,若 x=t-4,则 y0 1

6、0.如图,抛物线 yax 2+bx+c(a0)与 x 轴交于点 A、B,顶点为 C,对称轴为直线 x1,给出下列结论: abc0;若点 C 的坐标为(1,2) ,则ABC 的面积可以等于 2;M(x1,y1) ,N(x2,y2)是抛物线上两点(x1 x2) ,若 x1+x22,则 y1y2; 若抛物线经过点(3,1) ,则方程 ax 2+bx+c+10 的两根为1,3 其中正确结论的序号为 11.抛物线 yax 2+bx+c(a,b,c 为常数,a0)经过 A(2,0) ,B(4,0)两点,下列四个结论: 一元二次方程 ax 2+bx+c0 的根为 x 12,x24; 若点 C(5,y1) ,

7、D(,y2)在该抛物线上,则 y1y2; 对于任意实数 t,总有 at 2+btab; 对于 a 的每一个确定值,若一元二次方程 ax 2+bx+cp(p 为常数,p0)的根为整数,则 p 的值只有两个 其中正确的结论是 (填写序号) 【答案详解】【答案详解】 1.【解析】 二次函数 yx 22ax+a22a4(a 为常数)的图象与 x 轴有交点, (2a) 241(a22a4)0 解得:a2; 抛物线的对称轴为直线 x2a 2 a,抛物线开口向上,且当 x3 时,y 随 x 的增大而增大, a3,实数 a 的取值范围是2a3故选:D 2.【解析】 依照题意,画出图形如下: (1)函数 yax

8、 2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于点(2,0) ,顶点坐标为(1,n) ,其中 n0 a0,c0,对称轴为 x1, b2a0, abc0, 故正确, (2)对称轴为 x1, x1 与 x3 的函数值是相等的, 故错误; (3)顶点为(1,n) , 抛物线解析式为;ya(x+1) 2+nax2+2ax+a+n, 联立方程组可得:y = kx + 1 yax2+ bx + c, 可得 ax 2+(2ak)x+a+n10, (2ak) 24a(a+n1)k24ak+4a4an, 无法判断是否大于 0, 无法判断函数 ykx+1 的图象与 yax 2+bx+c(a0)的函数图象的交点个数, 故

9、错误; (4)当3x3 时,当 x1 时,y 有最大值为 n, 当 x3 时,y 有最小值为 16a+n, 故正确, 故选:C 3.【解析】 (1)x1,x2是一元二次方程 ax 2+bx+c0 的两个根, x1、x2是抛物线与 x 轴交点的横坐标, 抛物线的对称轴为直线 x2, x1+x2 2 2,即 x1+x240, 故选项 A 错误; (2)x1x2,1x10, 14x20, 解得:4x25, 故选项 B 正确; (3)抛物线与 x 轴有两个交点, b 24ac0, 故选项 C 错误; (4)抛物线开口向下, a0, 抛物线的对称轴为直线 x2, b 2a2, b4a0, ab0, 故选

10、项 D 错误; 故选:B 4.【解析】 (1)由抛物线的开口向上知 a0, 对称轴位于 y 轴的右侧, b0 抛物线与 y 轴交于负半轴, c0, abc0; 故错误; (2)对称轴为 x1, 得 2ab, 即 2a+b0, 故错误; (3)如图,当 x2 时,y0,4a2b+c0, 故正确; (4)当 x1 时,y0, 0ab+ca+2a+c3a+c, 即 3a+c0 故正确 综上所述,有 2 个结论正确故选:B 5. 【解析】 由抛物线的开口方向判断 a 的符号,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情 况进行推理,进而对所得结论进行判断 (1)图象

11、经过点(1,2), 当 x=1 时,a+b+c=2 当 x=-1 时,y0, a-b+c0, 当 x=2 时,y0,4a+2b+c0, 由+得到 2a+2c2, 由-2 得到 2a-c-4, 即 4a-2c-8, 上面两个相加得到 6a-6, a-1 即 A 选项是正确的; (2)抛物线 yax 2bxc(a0)经过点(1,2),代入则有 a+b+c=2, a+c=2-b, 当 x=-1 时,则 a-b+c0, 2-b-b1 即 B 选项错误; (3)对称轴 x=- b 2a 1(不管抛物线与 x 轴的交点横坐标处于哪个极端值,对称轴满足 0- b 2a 1) , 且 a2a, 即 2a+b0

12、, 所以 C 选项错误; (4)由方程ax2+ bx + c + k2= 0, 得ax2+ bx + c = k2, 令y1= ax2+ bx + c,y2= k2, 即方程ax2+ bx + c + k2= 0根的情况可转化为抛物线y1= ax2+ bx + c与直线y2= k2的交点情况 y2= k2 0 ,抛物线y1= ax2+ bx + c与直线y2= k2一定有两个交点, 即方程ax2+ bx + c + k2= 0有两个不相等的实数根 所以 D 选项错误 故选 A 6 【解析】 由开口方向可知 a0,由对称轴“左同右异”可知 b0 (1)则 abc0,正确; (2)图像与 x 轴有

13、两个交点,则b2 4ac 0,错误; (3)对称轴y = b 2a 1可得 b 2a 2a,错误; (4)原式可变形为(a + c)2 b2 0,即(a+b+c)(a-b+c)0; 由图可知当 x=1 时 a+b+c0,(a+b+c)(a-b+c)0, -a 0, 2c0, 2(a-b+c)-a+2c0, 正确 综上所述,正确结论是,选 C 7.【解析】 (1)由抛物线开口朝下可知 a0,抛物线与 y 负半轴相交可知 c0, 正确; (2)当 x=3 时 y=9a+3b+c0, 错误; (3)由0 OA 1,由 OA=OC,可得0 OC 1, -1c0, 正确; (4)假设正确, 把 x= 1

14、 a代入方程中可得 1 a b a + c = 0, 则 1-b+ac=0, 即ac2 bc + c = 0, 即 x=-c 也是方程的一个根, 由 OA=OC=-c, 假设成立, 正确; 综上所述,正确的有,故选 C 8 【解析】 (1)由抛物线开口向下可得 a0, ac0, 选项 A 错误; (2)0x1 时 y 随着 x 的增大而减小, 选项 B 错误; (3)由对称轴 x=- b 2a=1 可得 2a+b=0, 选项 C 错误; (4)由对称轴 x=1 可得抛物线于 x 轴的另一个交点为(-1,0), 选项 D 正确, 故选 D 9.【解析】 (1)由抛物线开口方程可得 a0, 抛物线

15、交 y 轴正半轴可得 c0, 则 abc0; (2)由抛物线的对称轴可知抛物线与 x 轴的另一个交点在 0 到-1 之间, 故当 x=-1 时 a-b+c0, 由对称轴 x=1 可得 b=-2a, 代入可得 3a+c0,结合图像可得 t 在抛物线与 x 轴的两交点之间, 则 t-4-1, 则 x=t-4 时 y0 可变形为 ax2+bxa+b, 可变形为 ax2+bx+ca+b+c, 由对称轴及抛物线最值可知 ax2+bx+ca+b+c, 故选 D 10.【解析】 抛物线的对称轴在 y 轴右侧, 则 ab0, 而 c0, 故 abc0, 正确,符合题意; ABC 的面积1 2AByC 1 2A

16、B22, 解得:AB2, 则点 A(0,0) ,即 c0 与图象不符, 故错误,不符合题意; 函数的对称轴为 x1, 若 x1+x22, 则1 2(x1+x2)1, 则点 N 离函数对称轴远, 故 y1y2, 故错误,不符合题意; 方程 ax 2+bx+c+10 的两根为1,3, 即 y=ax 2+bx+c 与 y=-1 的两个交点的横坐标为1,3 由题可知,其中一个交点为(3,1) , 由抛物线的对称性可知另一个交点为(1,-1) , 故方程 ax 2+bx+c+10 的两根为1,3, 故正确,符合题意; 故答案为: 11. 【解析】 抛物线 yax 2+bx+c(a,b,c 为常数,a0)

17、经过 A(2,0) ,B(4,0)两点, 当 y0 时,0ax 2+bx+c 的两个根为 x 12,x24, 故正确; 该抛物线的对称轴为直线 x2+(4) 2 1, 函数图象开口向下, 若点 C(5,y1) ,D(,y2)在该抛物线上, 则 y1y2, 故错误; 当 x1 时,函数取得最大值 yab+c, 故对于任意实数 t,总有 at 2+bt+cab+c, 即对于任意实数 t,总有 at 2+btab, 故正确; 对于 a 的每一个确定值,若一元二次方程 ax 2+bx+cp(p 为常数,p0)的根为整数, 则两个根为3 和 1 或2 和 0 或1 和1, 故 p 的值有三个, 故错误; 故答案为: