1、 专题 14 相似三角形 2021 届中考数学压轴大题专项训练（解析版） 1已知，如图， ABC中，AB2，BC4，D为 BC边上一点，BD1，AD+AC=8 （1）找出图中的一对相似三角形并证明； （2）求 AC长 【解析】解： （1） BADBCA，理由如下： AB2，BC4，BD1， 121 ,= 242 BDAB ABBC ， 1 = 2 BDAB ABBC ， 又B=B， BADBCA； （2）由（1）得： 1 = 2 AD AC ，即2ACAD， AD+AC=8， 28ADAD，解得： 8 3 AD ， 16 3 AC 2 如图， 在ABC中，6ABAC， 5BC ，D是AB上一点
2、，2BD ，E是BC上一动点， 连接DE， 作DEFB ，射线EF交线段AC于F. （1）求证：DBEECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长； 【解析】 （1）证明：ABAC， BC ； DEFB ， CEFDEFBBDE， BDECEF. DBEECF. （2）DBE ECF（已证）. :BD CEBE CF； F为AC的中点，6AC ， 3CF . 设BEx，则5CEx ；又2BD ， 2: 5:3xx，解得2x或 3. 故BE长为 2或 3. 3如图，是一个照相机成像的示意图 （1）如果像高 MN 是 35mm，焦距是 50mm，拍摄的景物高度 AB 是 4.9m，拍摄点离
3、景物有多远？ （2）如果要完整的拍摄高度是 2m 的景物，拍摄点离景物有 4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？ 【解析】解：根据物体成像原理知： LMNLBA， MNLC ABLD （1）像高 MN 是 35mm，焦距是 50mm，拍摄的景物高度 AB 是 4.9m， 3550 4.9LD ，解得：LD=7 拍摄点距离景物 7 m （2）拍摄高度 AB 是 2m 的景物，拍摄点离景物 LC=4m，像高 MN 不变，是 35mm， 35LC 24 ，解得：LC=70 相机的焦距应调整为 70mm 4如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFG都是矩形，C，F，G 三点在一直线上，连接 AF
4、并延长交边 CD于 点 M，若AFGACD （1）求证： MFCMCA； 若 AB5，AC8，求 CF BE 的值 （2）若 DMCM2，AD3，请直接写出 EF长 【解析】 （1）证明：AFGACD， FCA+FACFCA+MCF， FACMCF， FMCCMA， MFCMCA 解：四边形 AEFG，四边形 ABCD都是矩形， FGAE，CDAB， AFGFAE，ACDCAB， AFGACD， FAECAB， AEFABC90 ， AEFABC， AF AC AE AB ， AF AE AC AB ， FAECAB， FACEAB， FACEAB， FC EB AC AB 8 5 （2）解：
5、四边形 ABCD是矩形， D90 ，ADBC3， DMMC2，AD3， CD4，AM 22 ADDM 22 32 13，AC 22 ADCD 22 34 5， MFCMCA， CM AM FM CM ， FM 2 CM AM 4 13 13 ， AFAMFM 9 13 13 ， AEFABC， EF BC AF AC ， 3 EF 9 13 13 5 ， EF 27 13 65 5已知四边形 ABCD的一组对边 AD、BC 的延长线交于点 E （1）如图 1，若ABC=ADC=90 ，求证：ED EA=EC EB； （2）如图 2，若ABC=120 ，cosADC=35，CD=5，AB=12，
6、 CDE 的面积为 6，求四边形 ABCD 的面 积 【解析】解： （1）证明：ADC90 ， EDC90 ， ABECDE. 又AEBCED， EABECD， EBEA EDEC ， ED EAEC EB （2）过点 C作 CGAD于点 D，过点 A 作 AHBC于点 H， CD5，cosADC 3 5 ， DG3，CG4. S CED6， ED3， EG6. AB12，ABC120 ，则BAH30 ， BH6，AH6 3 ， 由（1）得 ECGEAH， EGCG EHAH ， EH9 3 ， S四边形ABCDS AEHS ECDS ABH 11 6 3 9 366 36 22 75 18
7、3 6如图，在ABC中，90ACB，CD是高，BE平分ABC ，BE分别与AC，CD相交于点E， F （1）求证：AEBCFB （2）求证： AEAB CECB （3）若5CE ， 2 5EF ，6BD ，求AD的长 【解析】证明： （1）90ACB 90ACDBCD CD为AB边上的高， 90ADC 90AACD ABCD ， BE是ABC的平分线， ABECBE AEBCFB； （2）ABECBE，ABCD ， CFEBCDCBEAABE CEFAABE ， CEFCFE CECF AEBCFB AEAB CFCB AEAB CECB ； （3）如图，作CHEF于H CECF，CHEF 5
8、EHFH ， 2222 5( 5)2 5CHECEH 由BFDCFH， DFBD HFCH ， 6 52 5 DF 3DF，8CDCFDF， 由ACDCBD ADCD CDBD 8 86 AD 32 3 AD 7 如图， 在平面直角坐标系 x0y中， 直线 BC和直线 OB 交于点 B， 直线 AC与直线 BC 交 x轴于点 C， OA=4， 1 1, 2 OCABABy轴，垂足为点 A，AC与 OB交于点 M (1)求直线 BC的解析式； (2)求阴影部分的面积 【解析】解： （1） 1 4,1 2 OAOCAB， 所以点 A 坐标为（0，4)，点 C 坐标为（1，0） ， 又ABy轴，点
9、B坐标为（2，4） ， 设直线 BC的表达式为 y=kx+b，将点 B，C 坐标代入表达式， 得 24 0 kb kb ，解得：k=4，b=4， 所以直线的表达式为44yx (2) ABy轴，ABx 轴， MOCMBA， 1 2 CMOC AMAB ， 1 2 2 AOCBOC SOCOAS， 12 33 MOCAOC SS， S阴影 210 22 33 OCAOCBOCM SSS 8在矩形 ABCD的 CD边上取一点 E，将 BCE沿 BE 翻折，使点 C恰好落在 AD边上点 F处 （1）如图 1，若 BC=2BA，求CBE 的度数； （2）如图 2，当 AB=5，且 AFFD=10 时，求
10、 BC 的长； （3） 如图 3， 延长 EF， 与ABF的角平分线交于点 M， BM 交 AD于点 N， 当 NF= 1 2 AD 时， 求 AB BC 的值 【解析】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， C=90 ， 将 BCE 沿 BE翻折，使点 C恰好落在 AD边上点 F处， BC=BF，FBE=EBC，C=BFE=90 ， BC=2AB， BF=2AB， AFB=30 ， 四边形 ABCD是矩形， AD/BC， AFB=CBF=30 ， CBE= 1 2 FBC=15 ； （2）将 BCE沿 BE翻折，使点 C恰好落在 AD边上点 F处， BFE=C=90 ，CE=EF， 又矩形
11、ABCD中，A=D=90 ， AFB+DFE=90 ，DEF+DFE=90 ， AFB=DEF， FABEDF， AFAB DEDF ， AFDF=ABDE， AFDF=10，AB=5， DE=2， CE=DC-DE=5-2=3， EF=3， DF= 2222 325EFDE ， AF= 10 2 5 5 ， BC=AD=AF+DF=2 5 53 5 （3）过点 N作 NGBF于点 G， NF= 1 2 AD NF= 1 2 BF， NFG=AFB，NGF=BAF=90 ， NFGBFA， 1 2 NGFGNF ABFABF ， 设 AN=x， BN平分ABF，ANAB，NGBF， AN=NG
12、=x，AB=BG=2x， 设 FG=y，则 AF=2y， AB2+AF2=BF2， (2x)2+(2y)2=(2x+y)2， 解得 y= 4 3 x， BF=BG+GF= 410 2 33 xxx 23 10 5 3 ABABx BCBF x 9如图，抛物线 y 1 2 （x+1） （xn）与 x 轴交于 A，B两点（点 A在点 B左侧） ，与 y轴交于点 C， ABC的面积为 5动点 P 从点 A出发沿 AB 方向以每秒 1个单位的速度向点 B 运动，过 P 作 PNx轴交 BC 于 M，交抛物线于 N （1）求抛物线的解析式； （2）当 MN最大时，求运动的时间； （3）经过多长时间，点
13、N到点 B、点 C 的距离相等？ 【解析】 （1）抛物线 y 1 1 2 xxn与 x 轴交于 A，B 两点（点 A在点 B左侧） ，与 y轴交于点 C A（1，0） ，B（n，0） ，C（0， 2 n ） ，n0 ABn+1，OC 1 2 n 由 S ABC 1 2 AB OC5 1 15 4 n n 120n n 取正根 n4 y 1 14 2 xx 1 2 x2+ 3 2 x+2； （2）由（1） ，B（4，0） ，C（0，2） 直线 BC为 2yx 设 M（m, 1 2 m+2） ，N（m, 1 2 m2+ 3 2 m+2） MN 2 131 22 222 mmm 2 1 2 2 mm
14、 21 22 2 m 当 m2时，MN最大 OP2 AP3，即经过 3s，MN最大； （3）如下图所示，作 BC的中垂线，与 BC 交于点 D，与 y轴交于点 E，与抛物线交于点 N， CDE COB 1 2 CDCO DEOB 由（2） ，得 BC2 5，D（2，1） DE2CD2 5 CE5 OE3 E（0，-3） 直线 DE为 y2x-3 由 1 2 x2+ 3 2 x+22x-3 移项整理得： 1 2 x2+ 1 2 x-50 x2+x-100 取正根 x 141 2 OP 141 2 AP1 41 2 即经过1 41 2 秒，点 N到点 B、点 C 的距离相等 10如图，四边形 AB
15、CD和四边形 AEFG 都是正方形，C，F，G 三点在一直线上，连接 AF 并延长交边 CD 于点 M （1）求证： MFCMCA； （2）求证 ACFABE； （3）若 DM=1，CM=2，求正方形 AEFG 的边长 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） 3 5 5 【解析】解： （1）四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形， 45ACDAFG ， CFMAFG ， CFMACM ， CMFAMC ， MFCMCA； （2）四边形ABCD是正方形， 90ABC，45BAC， 2ACAB ， 同理可得 2AFAE ， 2 AFAC AEAB ， 45EAFBAC ，
16、 CAFBAE， ACFABE； （3）1DM ，2CM ， 123ADCD ， 2222 3110AMADDM ， MFCMCA， CMFM AMCM ，即 2 210 FM ， 2 10 5 FM， 3 10 5 AFAMFM， 23 5 25 AGAF， 即正方形AEFG的边长为 3 5 5 11如图，函数 yx2+bx+c的图象经过点 A（m，0） ，B（0，n）两点，m，n 分别是方程 x22x30 的两个实数根，且 mn （）求 m，n的值以及函数的解析式； （）设抛物线 yx2+bx+c与 x轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D，连接 AB，BC，BD，CD求 证： BCDO
17、BA； （）对于（）中所求的函数 yx2+bx+c， （1）当 0 x3 时，求函数 y的最大值和最小值； （2）设函数 y在 txt+1内的最大值为 p，最小值为 q，若 pq3，求 t的值 【解析】 （I）m，n分别是方程 x22x30的两个实数根，且 mn， 用因式分解法解方程： （x+1） （x3）0， x11，x23， m1，n3， A（1，0） ，B（0，3） ， 把（1，0） ， （0，3）代入得， 10 3 bc c ， 解得 2 3 b c ， 函数解析式为 yx2+2x+3 （ II）证明：令 yx2+2x+30，即 x22x30， 解得 x11，x23， 抛物线 yx2+
18、2x+3 与 x 轴的交点为 A（1，0） ，C（3，0） ， OA1，OC3， 对称轴为 1 3 1 2 x ，顶点 D（1，1+2+3） ，即 D（1，4） ， 22 333 2BC ， 22 112BD ， 22 422 5CD =+= ， CD2DB2+CB2， BCD是直角三角形，且DBC90 ， AOBDBC， 在 Rt AOB 和 Rt DBC中， 12 22 AO BD ， 32 23 2 BO BC ， AOBO BDBC ， BCDOBA； （ III）抛物线 yx2+2x+3的对称轴为 x1，顶点为 D（1，4） ， （1）在 0 x3 范围内， 当 x1 时，y最大值4
19、；当 x3时，y最小值0； （2）当函数 y在 txt+1 内的抛物线完全在对称轴的左侧，当 xt时取得最小值 qt2+2t+3，最大值 p （t+1）2+2（t+1）+3， 令 pq（t+1）2+2（t+1）+3（t2+2t+3）3，即2t+13，解得 t1 当 t+11 时，此时 p4，q3，不合题意，舍去； 当函数 y 在 txt+1内的抛物线分别在对称轴的两侧， 此时 p4，令 pq4（t2+2t+3）3，即 t22t20 解得：t11+ 3（舍） ，t213（舍） ； 或者 pq4（t+1）2+2（t+1）+33，即3t （不合题意，舍去） ； 当 t1 时，此时 p4，q3，不合题
20、意，舍去； 当函数 y 在 txt+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当 xt时取得最大值 pt2+2t+3，最小值 q （t+1）2+2（t+1）+3， 令 pqt2+2t+3（t+1）2+2（t+1）+33，解得 t2 综上，t1 或 t2 12如图，在 ABC 中，ACB90 ，ACBC，以 C 为顶点作等腰直角三角形 CMN使CMN90 ， 连接 BN，射线 NM交 BC于点 D （1）如图 1，若点 A，M，N 在一条直线上， 求证：BN+CMAM； 若 AM4，BN 3 2 ，求 BD 的长； （2）如图 2，若 AB4，CN2，将 CMN绕点 C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线 N
21、M交 AB于点 H， 当三角形 DBH是直角三角形时，请你直接写出 CD的长 【解析】证明： （1）如图，过点 C作 CFCN，交 AN于点 F， CMN 是等腰直角三角形， CNM45 ，CMMN， CFCN，ACB90 ， FCNACB，CFNCNF45 ， ACFBCN，CFCN，且 ACBC， ACFBCN（SAS） ， AFBN， CFCN，CMMN， MFMNCM， AMAF+FMBN+CM AM4，BN 3 2 ，BN+CMAM， CMMN 5 2 ， ACFBCN， CAFCBN， CAF+ACFCFN45 ，BCN+MCDMCN45 CAFMCD，且CAFCBN， MCDCBN CMBN MCDNBD，CMDBND90 CMMD BNND 5 3 MD 5 3 ND MD+NDMN 5 2 ND 15 16 在 Rt DNB 中，BD 22 NBDN 3 89 16 （2）若BDH90 ，如图，此时点 M与点 D重合， CMN 是等腰直角三角形，CN2 CMMN 2 CD 2， 若BHD90 ，如图， BHD90 ，B45 ， BDH45 CDN45 N CDCN2