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2021届中考数学压轴大题专项训练专题11:开放探究(含答案解析)

1、 专题 11 开放探究 2021 届中考数学压轴大题专项训练(解析版) 1定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做三角形的“中垂心”如图 1,在 ABC中,PA=PB,则 点 P 叫做 ABC的“中垂心” (1)根据定义,中垂心可能在三角形顶点处的三角形有_(举一个例子即可) ; (2)应用:如图 2;在 ABC 中,请画出“中垂心”P,使 PA=PB=PC (保留作图痕迹,不写画法) (3)探究:如图 3,已知 ABC为直角三角形,C=90 ,ABC=60 ,AC=4 3,“中垂心”P 在 AC 边上,求 PA的长 如图 4,若 PA=PB且“中垂心”P 在 ABC内部,总有 AC+BC2

2、AP,请说明理由 【解析】解: (1)根据题意,若点 C为 ABC 的“中垂心” 可得 CA=CB ABC为等腰三角形 故答案为:等腰三角形(答案不唯一) ; (2)分别作出 BC和 AB的垂直平分线,交于点 P 根据垂直平分线的性质可得 PA=PB=PC 点 P 即为所求; (3)C=90 ,ABC=60 , A=90 ABC=30 AB=2BC 设 BC=x,则 AB=2x BC2AC2=AB2 x2(4 3)2=(2x)2 解得:x=4或-4(不符合实际,舍去) BC=4,AB=8 P 在 AC 边上,C=90 PBPC,即不存在“中垂心”P,使 PB=PC 若 PA=PB,如下图所示

3、设 PA=PB=a,则 PC=ACPA=4 3a PC2BC2=BP2 (4 3a)2 42=a2 解得:a= 8 3 3 即 PA= 8 3 3 ; 若 PA=PC,如下图所示 则点 P 为 AC的中点 PA= 1 2 AC=2 3 综上:PA= 8 3 3 或2 3; 理由如下 延长 AP 交 BC于 D 根据三角形的三边关系可得:ACCDAD,DPDBPB ACCDDPDBADPB AC(CDDB)DPPADPPB ACBCPAPB PA=PB AC+BC2AP 2如图,在ABC中,D为AC的中点,将ABD 绕点D顺时针旋转0360得到EFD,连 结BE、CF. (1)若ABC为等边三角

4、形,试探究BE与CF有何数量关系?证明你的结论; (2)若ABC为等边三角形,当的值为多少时,EEAB? (3) 当ABC不是等边三角形时, (1) 中结论是否仍然成立?若不成立, 请添加一个条件, 使得结论成立, 并说明理由. 【解析】解 (1)BECF,证明如下: BD为等边ABC的中线,BDAC,即90BDABDC,EDAFDB , EDABDAFDBBDC,即EDBCDF,由旋转的性质得到DEDADC, BDFD,EDBCDF,BECF. (2)60或 240. 当60时,由ABC为等边三角形,得到60A ,60AEDA ,EDAB; 当240时,60AEDC ,EDAB. (3)不成

5、立,添加的条件为BABC理由如下: BABC,DADC,BDAC,即90BDCBDA.EDAFDB , EDABDAFDBBDC, 即E D BC D F .由旋转的性质得到BDFD,DADCDE, EDBCDF,BECF. 3在 ABC 中,AB=AC, 点 D 与点 E 分别在 AB、 AC边上,DE/BC,且 DE=DB,点 F与点 G分别在 BC、 AC 边上,FDG 1 2 BDE (1)如图 1,若BDE=120 ,DFBC,点 G与点 C重合,BF=1,直接写出 BC= ; (2)如图 2,当 G 在线段 EC 上时,探究线段 BF、EG、FG的数量关系,并给予证明; (3)如图

6、 3,当 G 在线段 AE 上时,直接写出线段 BF、EG、FG的数量关系:_ 【解析】 (1)DEBC, BDE+ABC=180 , BDE=120 , ABC=60 , DFBF, BFD=90 , DF=BFtan60 133 , CDF 1 2 BDE=60 ,DFC=90 , CF=DFtan60 333 , BC=BF+CF=1+3=4; (2)如图 2中,结论:FG=BF+EG 理由:在 EA 上截取 EH,使得 EH=BF AB=AC, B=C, DEBC, ADE=B,AED=C, ADE=AED, DEH=B, 在 DBF和 DEH 中, BFEH BDEH BDDE ,

7、DBFDEH(SAS) , DF=DH,BDF=EDH, FDG 1 2 BDE, BDF+EDG=EDH+EDG=GDH 1 2 BDE, GDF=GDH, 在 DGF和 DGH中, DFDH GDFGDH DGDG , DGFDGH(SAS) , FG=HG, HG=EG+HE=EG+BF, FG=BF+EG; (3)如图 3中,结论:FG=BF-EG 理由:在射线 EA 上截取 EH,使得 EH=BF AB=AC, B=C, DEBC, ADE=B,AED=C, ADE=AED, DEH=B, 在 DBF和 DEH 中, BFEH BDEH BDDE , DBFDEH(SAS) , DF

8、=DH,BDF=EDH, BDE=FDH, FDG 1 2 BDE 1 2 FDH, GDF=GDH, 在 DGF和 DGH中, DFDH GDFGDH DGDG , DGFDGH(SAS) , FG=HG, HG=HE-GE=BF-EG, FG=BF=-EG 4如图,点A的坐标为16,0,点B的坐标为 0,12,将AOB沿直线CD对折,使点A与点B重合, 直线CD与x轴交于点C与AB交于点D (1)求出AB的长度; (2)求ADC的面积; (3)在平面上是否存在点P,使得 PAB 是等腰直角三角形?若存在,请求出点P的坐标,若不存在, 请说明理由 【解析】解: (1)点A的坐标为16,0,点

9、B的坐标为0,12, OA16,OB12, 在 RtAOB 中, 22 ABOAOB 22 1612 20, AB20; (2)如图,连接 BC, 折叠, ACBC,ADCBDC90 ,ADBD10, 设 ACBCx,则 OC16x, 在 RtBOC中, 222 OCOBBC, 222 (16)12xx, 解得 25 2 x , 25 2 AC , 在 RtACD中, 22 CDACAD 22 25 ()10 2 15 2 1 2 ADC SAD CD 115 10 22 75 2 , ADC的面积为 75 2 ; (3)如图 1,当点 P 在第一象限,PBAB且PBA90 时, 过点 P 作

10、 PEOB 交 y轴于点 E, 则PEBAOB90 , PBEBPE90 , PBA90 , PBEABO90 , BPEABO, PEBAOB,BPEABO,PBAB, PEBBOA, PEOB12,BEOA16, OEBEOB28, 点 P 的坐标为(12,28) , 如图 2,当点 P 在第三象限,PBAB且PBA90 时, 过点 P 作 PFOB交 y轴于点 F, 则PFBAOB90 , PBFBPF90 , PBA90 , PBFABO90 , BPFABO, PFBAOB,BPFABO,PBAB, PFBBOA, PFOB12,BFOA16, OFBFOB4, 点 P 的坐标为(1

11、2,4) , 如图 3,当点 P 在第一象限,PAAB且PAB90 时, 过点 P 作 PGOA交 x 轴于点 G, 则PGAAOB90 , PAGAPG90 , PAB90 , PAGBAO90 , APGBAO, PGAAOB,APGBAO,PAAB, PAGABO, PGOA16,AGOB12, OGOAAG28, 点 P 的坐标为(28,16) , 如图 4,当点 P 在第四象限,PAAB且PAB90 时, 过点 P 作 PHOA交 x 轴于点 H, 则PHAAOB90 , PAHAPG90 , PAB90 , PAHBAO90 , APHBAO, PHAAOB,APHBAO,PAAB

12、, PAHABO, PHOA16,AHOB12, OHOAAH4, 点 P 的坐标为(4,16) , 如图 5,当点 P 在第四象限,PAPB且APB90 时, 过点 P 作 PMOB交 y轴于点 M,过点 A作 ANPM,交 MP 的延长线于点 N, 则PNAPMB90 , PANAPN90 , APB90 , APNBPM90 , PANBPM, PNAPMB,PANBPM,PAPB, PANBPM, PMAN,BMPN, 设 PMANa, 则 PNBM12a, MNOA16, a12a16 解得 a2, PM2,OMAN2, 点 P 的坐标为(2,2) , 如图 6,当点 P 在第一象限

13、,PAPB且APB90 时, 过点 P 作 PIOB交 y轴于点 I,过点 A作 AJPI,交 IP 的延长线于点 J, 则PJAPIB90 , PAJAPJ90 , APB90 , APJBPI90 , PAJBPI, PJAPIB,PAJBPI,PAPB, PAJBPI, PIAJ,BIPJ, 设 PIAJb, 则 PJBIb12, IJOA16, bb1216, 解得 b14, PI14,OIAJ14, 点 P 的坐标为(14,14) , 综上所述,点 P 的坐标为(12,28) , (12,4) , (28,16) , (4,16) , (2,2) , (14,14) 5已知2n,且n

14、自然数,对 2 n进行如下“分裂”,可分裂成n个连续奇数的和,如图: 即如下规律: 2 2 =1+3, 2 3 =1+3+5 2 4 =1+3+5+7 ; (1)按上述分裂要求, 2 5 , 2 10可分裂的最大奇数为 (2)按上述分裂要求, 2 n可分裂成连续奇数和的形式是: 2 n ; (3)用上面的规律求: 2 2 1nn 【解析】解: (1)通过观察已知算式可得平方数的分裂规律有:平方数的底数是多少,分裂后的奇数加数 就有多少个;奇数加数是从 1 开始算起的连续奇数, 2 51 3579 , 又 2 101 3579 11 13 15 1719 , 所以 2 10可分裂的最大奇数为 1

15、9; 故答案为 2 5=1+3+5+7+9,19; (2)由(1)可以进一步得知,一个平方数分裂后的最大奇数等于平方数底数的 2 倍减去 1, 2 n可分裂的最大奇数为 2n-1, 2 1 3 5 ? 21nn , 故答案为 2 1 3 5 ? 21nn ; (3)由(2)得: 2 11 35 ? 2122 1nnn = 1 3 5 ? 2121nn , 2 1 3 5 ? 21nn , 2 2 11 3 5 ? 21211 3 5 ? 21nnnnn =2n+1 6如图, ABC和 CDE都是等边三角形,点 E在 BC上,AE的延长线交 BD 于点 F (1)求证: ACEBCD; (2)探

16、究CFD的度数; (3)探究 EF、DF、CF之间的关系 【解析】解: (1) ABC和 CDE 都为等边三角形, ACE=BCD=60 ,AC=BC,CE=CD, 在 ACE和 BCD 中 ACBC ACEBCD CECD , ACEBCD; (2)延长 AF到 Q,使 FQ=DF,连接 DQ, ACEBCD, CAE=CBD, 又AEC=BEF, AFB=ACB=60 DFQ=60 , DFQ 是等边三角形, FDQ=FQD=60 ,DF=DQ, CDF=EDQ, 在 CDF和 EDQ 中 CDDE CDFEDQ DFDQ , CDFEDQ, CFD=DQF=60 ; (3)CDFEDQ,

17、 CF=EQ, EQ=DF+FQ=EF+DF, CF=EF+DF 7 (1)问题发现:如图(1) ,在 OAB和 OCD 中,OAOB,OCOD,AOBCOD36 ,连接 AC, BD 交于点 M AC BD 的值为 ;AMB的度数为 ; (2) 类比探究 :如图 (2) , 在 OAB和 OCD 中, AOBCOD90 , OABOCD30 , 连接 AC, 交 BD的延长线于点 M请计算 AC BD 的值及AMB的度数 (3) 拓展延伸:在 (2) 的条件下, 将 OCD绕点 O在平面内旋转, AC, BD所在直线交于点 M 若 OD1, OB13,请直接写出当点 C与点 M 重合时 AC

18、 的长 【解析】解: (1)AOB=COD=36 , AOB+DOA=COD+DOA, COA=DOB, 又OA=OB,OC=OD, COADOB(SAS) , AC=BD, AC BD =1, 故答案为:1; 设 AO与 BD交于点 E, 由知, COADOB, CAO=DBO, AOB+DBO=DEO, AMB+CAO=DEO, AOB=AMB=36 , 故答案为:36 ; (2)在 OAB 和 OCD中, AOB=COD=90 ,OAB=OCD=30 , tan30 = 3 3 ODOB OCOA , AOB+DOA=COD+DOA, 即DOB=COA, DOBCOA, 3 ACOC B

19、DOD , DBO=CAO, DBO+OEB=90 ,OEB=MEA, CAO+MEA=90 , AMB=90 , AC BD = 3,AMB=90 ; (3)如图 3-1,当点 M在直线 OB左侧时, 在 Rt OCD中,OCD=30 ,OD=1, CD=2, 在 Rt OAB中,OAB=30 ,OB= 13, AB=2 13, 由(2)知,AMB=90 ,且 AC BD = 3, 设 BD=x,则 AC=AM= 3x, 在 Rt AMB中, AM2+MB2=AB2, (3x)2+(x+2) 2=(2 13) 2, 解得,x1=3,x2=-4(舍去) , AC=AM=3 3; 如图 3-2,

20、当点 M在直线 OB右侧时, 在 Rt AMB中, AM2+MB2=AB2, (3x)2+(x-2) 2=(2 13) 2, 解得,x1=4,x2=-3(舍去) , AC=AM=4 3, 综上所述,AC的长为 3 3或 43 8综合与实践 (1)观察理解:如图 1,ABC中,90ACB,ACBC,直线l过点C,点A,B在直线l同侧, BDl,AEl, 垂足分别为D,E, 由此可得:90AECCDB, 所以90CAEACE, 又因为90ACB,所以90BCDACE,所以CAEBCD,又因为ACBC,所以 AECCDB ( ) ; (请填写全等判定的方法) (2)理解应用:如图 2,AEAB,且A

21、EAB,BCCD,且BCCD,利用(1)中的结论,请按 照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S _; (3) 类比探究: 如图 3,Rt ABC中,90ACB,4AC , 将斜边AB绕点A逆时针旋转90至 AB , 连接BC,求ABC的面积 (4)拓展提升:如图 4,点B,C在MAN的边AM、AN上,点E,F在MAN内部的射线AD上, 1、2分别是ABE、CAF的外角已知ABAC,12BAC 求证:CFEFBE; 【解析】 (1)在AEC和CDB中, AECCDB CAEBCD ACBC AECCDB ()AAS, 故答案为:AAS; (2)AEABQ,90EAB,BCCD,90B

22、CD, 由(1)得:EFAAGB ,BGCCHD, 6AGEF,3AFBG,4CGDH,3CHBG, 111 22(46) 1626 324 380 18 1250 222 AEFCHDEFHD SSSS 梯形 . (3)如图 3,过 B 作B EAC于E, 由旋转得:ABAB, 90BAB,AEBBCA, 4ACBE, 11 4 48 22 AB C SAC B E ; (4)12BAC ,1BAEABE ,BACBAECAF,2FCACAF , ABECAF,BAEFCA, 在ABE和CAF中, ABECAF ABAC BAEACF ABECAF ()ASA; BEAF,CFAE CFEF

23、AEEFAFBE 9如图,在平面直角坐标系中,点M的坐标是5,4,M与y轴相切于点C,与x轴相交于A、B两 点. (1)点A、B、C的坐标分别是A( , ) ,B( , ) ,C( , ). (2)设经过A、B两点的抛物线的关系式为 21 5 4 yxk,它的顶点为F,抛物线的对称轴与x轴 相交于点D,求证:直线FA与M相切. (3)在抛物线的对称轴上,是否存在点P(点P在x轴的上方) ,使PBC是等腰三角形.如果存在,请求 出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 【解析】 (1)2,0A,8,0B,0,4C. 提示:连结MC,则MC垂直于y轴.点M的坐标是5,4,5MAMC,4MD .在Rt

24、 AMD 中, 22 3ADAMMD ,同理在Rt BMD中,3BD,2,0A,8,0B,0,4C. (2)把2,0A代入 21 5 4 yxk,解得 9 4 k , 219 5 44 yx, 9 5, 4 F .如图 2, 连结MA,则 925 4 44 MF , 22 15 4 AFADFD. 5MA, 222 625 16 FAMAMF,90MAF, 即MAAF,FA与M相切. (3) 8,0B, 0,4C, 4OC ,8OB.在Rt OBC中, 222 80BCOCOB.设5,Py, 0y , 如图 3. 当CPCB时,在 1 Rt CMP中, 2 2 1 254CPy, 2 2548

25、0y,455y ,0y , 455y , 1 5,455P ; 当BPBC时, 在 2 Rt BDP中, 22 2 9BPy, 2 980y,71y , 0y , 71y , 2 5,71P ; 当PBPC时,P和M重合, 3 5,4P. 综上当5,455P、5, 71或5,4时,PBC是等腰三角形. 10已知如图,四边形 ABCD,BE、DF 分别平分四边形的外角MBC 和NDC,若BAD,BCD (1)如图 1,若 +150 ,求MBC+NDC的度数; (2)如图 1,若 BE与 DF 相交于点 G,BGD45 ,请写出 、 所满足的等量关系式; (3)如图 2,若 ,判断 BE、DF 的

26、位置关系,并说明理由 【解析】解: (1)在四边形 ABCD 中,BAD+ABC+BCD+ADC360 , ABC+ADC360 (+) , MBC+ABC180 ,NDC+ADC180 MBC+NDC180 ABC+180 ADC360 (ABC+ADC) 360 360 (+) +, +150 , MBC+NDC150 , (2)90 理由:如图 1,连接 BD, 由(1)有,MBC+NDC+, BE、DF 分别平分四边形的外角MBC和NDC, CBG 1 2 MBC,CDG 1 2 NDC, CBG+CDG 1 2 MBC+ 1 2 NDC 1 2 (MBC+NDC) 1 2 (+) ,

27、 在 BCD中,在 BCD 中,BDC+DBC180 BCD180 , 在 BDG中,BGD45 , GBD+GDB+BGD180 , CBG+CBD+CDG+BDC+BGD180 , (CBG+CDG)+(BDC+CDB)+BGD180 , 1 2 (+)+180 +45180 , 90 , (3)平行, 理由:如图 2,延长 BC交 DF于 H, 由(1)有,MBC+NDC+, BE、DF 分别平分四边形的外角MBC和NDC, CBE 1 2 MBC,CDH 1 2 NDC, CBE+CDH 1 2 MBC+ 1 2 NDC 1 2 (MBC+NDC) 1 2 (+) , BCDCDH+D

28、HB, CDHBCDDHBDHB, CBE+DHB 1 2 (+) , , CBE+DHB 1 2 (+), CBEDHB, BEDF 11在平面直角坐标系xOy中,对于平面中的点P,Q和图形M,若图形M上存在一点C,使 90PQC,则称点Q为点P关于图形M的“折转点”,称PCQ为点P关于图形M的“折转三角形” (1)已知点4,0A,2,0B 在点 1 2,2Q, 2 1,3Q, 3 4, 1Q中,点O关于点A的“折转点”是_; 点D在直线y x 上,若点D是点O关于线段AB的“折转点”,求点D的横坐标 D x的取值范围; (2)Te的圆心为,0t,半径为 3,直线2yx与x,y轴分别交于E,

29、F两点,点P为Te上一点, 若线段EF上存在点P关于Te的“折转点”,且对应的“折转三角形”是底边长为 2的等腰三角形,直接写出 t的取值范围 【解析】 (1)根据“折转点”的定义,要使得90OQA的 Q 才是点 O关于点 A的“折转点”, 如图,根据各个点的坐标, 1 2 2OQ , 1 2 2AQ ,4OA,则 222 11 OQAQOA, 1 90OQ A, 1 Q是点 O 关于点 A的“折转点”, 2 2OQ , 2 2 3AQ ,4OA,则 222 22 OQAQOA, 2 90OQ A, 2 Q点 O 关于点 A的“折转点”, 3 90OAQ, 3 Q不是, 故答案是: 1 Q,

30、2 Q; 如图, 点D为点O关于线段AB的折转点, 则在线段AB上存在点C, 使得 90ODC, 即D在以OC 为直径的圆上(不含O,C点) ,因此,当点C在AB上运动时,所有可能的D点组成的图形为: 以1,0为圆心,半径为 1 的圆,和以2,0为圆心,半径为 2 的圆及其之间的部分, (不含x轴上的点) 直 线y x 与内圆交于E,与外圆交于F,线段EF即为直线上D点可能的位置, 过点E作EHx轴于H,连接BE,则90OEB,因为直线y x ,45AOE,因此OEB为 等腰直角三角形,OEBE,由三线合一,知OHHB,H为1,0,即E点横坐标为 1, 同理可得,F点横坐标为 2, 点D的横坐

31、标取值范围是1 2 D x; (2)根据题意,记线段 EF上的点是 Q,当Te上存在一点 C,使=90PQC的时候,则线段 EF上存在 点 P 关于Te的“折转点”, “折转三角形”是等腰直角三角形, Q 点一定在线段 PC的垂直平分线上, 点 P、C都是圆上的点,线段 PC是Te的弦, 圆心 T 也在线段 PC的垂直平分线上, T 和 Q是共线的,且它们之间的距离是固定的, 等腰直角三角形的底是 2, Q 到线段 PC的距离是 1, Te的半径是 3,弦长 PC是 2, 根据垂径定理可以算出圆心 T到线段 PC的距离是2 2, 12 2QT , 根据直线2yx求出2,0E 、0,2F, 如图

32、,当点 Q 在点 F的位置上的时候, 2OQ=, 1 1 2 2QT ,根据勾股定理求得 1 54 2OT ,则 54 2t ; 同上 3 54 2OT ,则 54 2t ; 当点 Q在点 E的位置上的时候, 2 1 2 2ET ,则 1 2 222 2 1t ; 4 1 2 2ET ,则1 2 2232 2t , 综上,t的范围是: 2 2354 2t 或2 2 154 2t 12如图,在矩形ABCD中,6ABcm,8ADcm,点P从点A出发沿AD向点D匀速运动,速度是 1/cm s, 过点P作PEAC交DC于点E, 同时, 点Q从点C出发沿CB方向, 在射线CB上匀速运动, 速度是2/cm

33、 s,连接PQ、QE,PQ与AC交与点F,设运动时间为( )(08) t st (1)当t为何值时,四边形PFCE是平行四边形; (2)设PQEV的面积为 2 ()s cm,求s与t的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t,使得PQEV的面积为矩形ABCD面积的 9 32 ; (4)是否存在某一时刻t,使得点E在线段PQ的垂直平分线上 【解析】 (1)当四边形PFCE是平行四边形时,PFCE, 又PD QCP , 四边形CDPQ为平行四边形, PDCQ, 即82tt , 8 3 t (2)PEAC, DPDE DADC , 即 8 86 tDE , 3 6 4 DEt, 33 66 44 CE

34、tt, 2 1133 (8) 6624 2248 PDE SPD DEtttt, 2 1133 2 2244 CEQ SCE CQttt, S梯形 11 ()(28) 6324 22 CDPQ QCPDCDttt, SS 梯形 2 9 9 (08) 8 CDPQ PDECEQ SSttt (3)由题意, 2 99 986 832 tt 解得 1 2t , 2 6t 所以当2ts或6s时,PQEV的面积为矩形ABCD面积的 9 32 (4)当点E在线段PQ的垂直平分线上时,EQPE, 22 EQPE, 在Rt CEQ中, 222 CECQEQ, 在RtPDE中, 222 PDDEPE , 2222 CECQPDDE, 即 22 22 33 (2 )(8)6 44 tttt 解得 1 5 7325 6 t, 2 5 7325 6 t(舍) 所以当 5 7325 6 t时,点E在线段PQ的垂直平分线上