1、 专题 11 开放探究 2021 届中考数学压轴大题专项训练（解析版） 1定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的“中垂心”如图 1，在 ABC中，PA=PB，则 点 P 叫做 ABC的“中垂心” （1）根据定义，中垂心可能在三角形顶点处的三角形有_（举一个例子即可） ； （2）应用：如图 2；在 ABC 中，请画出“中垂心”P，使 PA=PB=PC （保留作图痕迹，不写画法） （3）探究：如图 3，已知 ABC为直角三角形，C=90 ，ABC=60 ，AC=4 3，“中垂心”P 在 AC 边上，求 PA的长 如图 4，若 PA=PB且“中垂心”P 在 ABC内部，总有 AC+BC2
2、AP，请说明理由 【解析】解： （1）根据题意，若点 C为 ABC 的“中垂心” 可得 CA=CB ABC为等腰三角形 故答案为：等腰三角形（答案不唯一） ； （2）分别作出 BC和 AB的垂直平分线，交于点 P 根据垂直平分线的性质可得 PA=PB=PC 点 P 即为所求； （3）C=90 ，ABC=60 ， A=90 ABC=30 AB=2BC 设 BC=x，则 AB=2x BC2AC2=AB2 x2（4 3）2=（2x）2 解得：x=4或-4（不符合实际，舍去） BC=4，AB=8 P 在 AC 边上，C=90 PBPC，即不存在“中垂心”P，使 PB=PC 若 PA=PB，如下图所示
3、设 PA=PB=a，则 PC=ACPA=4 3a PC2BC2=BP2 （4 3a）2 42=a2 解得：a= 8 3 3 即 PA= 8 3 3 ； 若 PA=PC，如下图所示 则点 P 为 AC的中点 PA= 1 2 AC=2 3 综上：PA= 8 3 3 或2 3； 理由如下 延长 AP 交 BC于 D 根据三角形的三边关系可得：ACCDAD，DPDBPB ACCDDPDBADPB AC（CDDB）DPPADPPB ACBCPAPB PA=PB AC+BC2AP 2如图，在ABC中，D为AC的中点，将ABD 绕点D顺时针旋转0360得到EFD，连 结BE、CF. （1）若ABC为等边三角
4、形，试探究BE与CF有何数量关系？证明你的结论； （2）若ABC为等边三角形，当的值为多少时，EEAB？ （3） 当ABC不是等边三角形时， （1） 中结论是否仍然成立？若不成立， 请添加一个条件， 使得结论成立， 并说明理由. 【解析】解 （1）BECF，证明如下： BD为等边ABC的中线，BDAC，即90BDABDC，EDAFDB ， EDABDAFDBBDC，即EDBCDF，由旋转的性质得到DEDADC， BDFD，EDBCDF，BECF. （2）60或 240. 当60时，由ABC为等边三角形，得到60A ，60AEDA ，EDAB； 当240时，60AEDC ，EDAB. （3）不成
5、立，添加的条件为BABC理由如下： BABC，DADC，BDAC，即90BDCBDA.EDAFDB ， EDABDAFDBBDC， 即E D BC D F .由旋转的性质得到BDFD，DADCDE， EDBCDF，BECF. 3在 ABC 中，AB=AC， 点 D 与点 E 分别在 AB、 AC边上，DE/BC，且 DE=DB，点 F与点 G分别在 BC、 AC 边上，FDG 1 2 BDE （1）如图 1，若BDE=120 ，DFBC，点 G与点 C重合，BF=1，直接写出 BC= ； （2）如图 2，当 G 在线段 EC 上时，探究线段 BF、EG、FG的数量关系，并给予证明； （3）如图
6、 3，当 G 在线段 AE 上时，直接写出线段 BF、EG、FG的数量关系：_ 【解析】 （1）DEBC， BDE+ABC=180 ， BDE=120 ， ABC=60 ， DFBF， BFD=90 ， DF=BFtan60 133 ， CDF 1 2 BDE=60 ，DFC=90 ， CF=DFtan60 333 ， BC=BF+CF=1+3=4； （2）如图 2中，结论：FG=BF+EG 理由：在 EA 上截取 EH，使得 EH=BF AB=AC， B=C， DEBC， ADE=B，AED=C， ADE=AED， DEH=B， 在 DBF和 DEH 中， BFEH BDEH BDDE ，
7、DBFDEH（SAS） ， DF=DH，BDF=EDH， FDG 1 2 BDE， BDF+EDG=EDH+EDG=GDH 1 2 BDE， GDF=GDH， 在 DGF和 DGH中， DFDH GDFGDH DGDG ， DGFDGH（SAS） ， FG=HG， HG=EG+HE=EG+BF， FG=BF+EG； （3）如图 3中，结论：FG=BF-EG 理由：在射线 EA 上截取 EH，使得 EH=BF AB=AC， B=C， DEBC， ADE=B，AED=C， ADE=AED， DEH=B， 在 DBF和 DEH 中， BFEH BDEH BDDE ， DBFDEH（SAS） ， DF
8、=DH，BDF=EDH， BDE=FDH， FDG 1 2 BDE 1 2 FDH， GDF=GDH， 在 DGF和 DGH中， DFDH GDFGDH DGDG ， DGFDGH（SAS） ， FG=HG， HG=HE-GE=BF-EG， FG=BF=-EG 4如图，点A的坐标为16,0，点B的坐标为 0,12，将AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合， 直线CD与x轴交于点C与AB交于点D （1）求出AB的长度； （2）求ADC的面积； （3）在平面上是否存在点P，使得 PAB 是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在， 请说明理由 【解析】解： （1）点A的坐标为16,0，点
9、B的坐标为0,12， OA16，OB12， 在 RtAOB 中， 22 ABOAOB 22 1612 20， AB20； （2）如图，连接 BC， 折叠， ACBC，ADCBDC90 ，ADBD10， 设 ACBCx，则 OC16x， 在 RtBOC中， 222 OCOBBC， 222 (16)12xx， 解得 25 2 x ， 25 2 AC ， 在 RtACD中， 22 CDACAD 22 25 ()10 2 15 2 1 2 ADC SAD CD 115 10 22 75 2 ， ADC的面积为 75 2 ； （3）如图 1，当点 P 在第一象限，PBAB且PBA90 时， 过点 P 作
10、 PEOB 交 y轴于点 E， 则PEBAOB90 ， PBEBPE90 ， PBA90 ， PBEABO90 ， BPEABO， PEBAOB，BPEABO，PBAB， PEBBOA， PEOB12，BEOA16， OEBEOB28， 点 P 的坐标为（12，28） ， 如图 2，当点 P 在第三象限，PBAB且PBA90 时， 过点 P 作 PFOB交 y轴于点 F， 则PFBAOB90 ， PBFBPF90 ， PBA90 ， PBFABO90 ， BPFABO， PFBAOB，BPFABO，PBAB， PFBBOA， PFOB12，BFOA16， OFBFOB4， 点 P 的坐标为（1
11、2，4） ， 如图 3，当点 P 在第一象限，PAAB且PAB90 时， 过点 P 作 PGOA交 x 轴于点 G， 则PGAAOB90 ， PAGAPG90 ， PAB90 ， PAGBAO90 ， APGBAO， PGAAOB，APGBAO，PAAB， PAGABO， PGOA16，AGOB12， OGOAAG28， 点 P 的坐标为（28，16） ， 如图 4，当点 P 在第四象限，PAAB且PAB90 时， 过点 P 作 PHOA交 x 轴于点 H， 则PHAAOB90 ， PAHAPG90 ， PAB90 ， PAHBAO90 ， APHBAO， PHAAOB，APHBAO，PAAB
12、， PAHABO， PHOA16，AHOB12， OHOAAH4， 点 P 的坐标为（4，16） ， 如图 5，当点 P 在第四象限，PAPB且APB90 时， 过点 P 作 PMOB交 y轴于点 M，过点 A作 ANPM，交 MP 的延长线于点 N， 则PNAPMB90 ， PANAPN90 ， APB90 ， APNBPM90 ， PANBPM， PNAPMB，PANBPM，PAPB， PANBPM， PMAN，BMPN， 设 PMANa， 则 PNBM12a， MNOA16， a12a16 解得 a2， PM2，OMAN2， 点 P 的坐标为（2，2） ， 如图 6，当点 P 在第一象限
13、，PAPB且APB90 时， 过点 P 作 PIOB交 y轴于点 I，过点 A作 AJPI，交 IP 的延长线于点 J， 则PJAPIB90 ， PAJAPJ90 ， APB90 ， APJBPI90 ， PAJBPI， PJAPIB，PAJBPI，PAPB， PAJBPI， PIAJ，BIPJ， 设 PIAJb， 则 PJBIb12， IJOA16， bb1216， 解得 b14， PI14，OIAJ14， 点 P 的坐标为（14，14） ， 综上所述，点 P 的坐标为（12，28） ， （12，4） ， （28，16） ， （4，16） ， （2，2） ， （14，14） 5已知2n，且n
14、自然数，对 2 n进行如下“分裂”，可分裂成n个连续奇数的和，如图： 即如下规律： 2 2 =1+3, 2 3 =1+3+5 2 4 =1+3+5+7 ； （1）按上述分裂要求， 2 5 ， 2 10可分裂的最大奇数为 （2）按上述分裂要求， 2 n可分裂成连续奇数和的形式是： 2 n ； （3）用上面的规律求： 2 2 1nn 【解析】解： （1）通过观察已知算式可得平方数的分裂规律有：平方数的底数是多少，分裂后的奇数加数 就有多少个；奇数加数是从 1 开始算起的连续奇数， 2 51 3579 ， 又 2 101 3579 11 13 15 1719 ， 所以 2 10可分裂的最大奇数为 1
15、9； 故答案为 2 5=1+3+5+7+9，19； （2）由（1）可以进一步得知，一个平方数分裂后的最大奇数等于平方数底数的 2 倍减去 1， 2 n可分裂的最大奇数为 2n-1， 2 1 3 5 ? 21nn ， 故答案为 2 1 3 5 ? 21nn ； （3）由（2）得： 2 11 35 ? 2122 1nnn = 1 3 5 ? 2121nn ， 2 1 3 5 ? 21nn ， 2 2 11 3 5 ? 21211 3 5 ? 21nnnnn =2n+1 6如图， ABC和 CDE都是等边三角形，点 E在 BC上，AE的延长线交 BD 于点 F （1）求证： ACEBCD； （2）探
16、究CFD的度数； （3）探究 EF、DF、CF之间的关系 【解析】解： （1） ABC和 CDE 都为等边三角形， ACE=BCD=60 ，AC=BC，CE=CD， 在 ACE和 BCD 中 ACBC ACEBCD CECD ， ACEBCD； （2）延长 AF到 Q，使 FQ=DF，连接 DQ， ACEBCD， CAE=CBD， 又AEC=BEF， AFB=ACB=60 DFQ=60 ， DFQ 是等边三角形， FDQ=FQD=60 ，DF=DQ， CDF=EDQ， 在 CDF和 EDQ 中 CDDE CDFEDQ DFDQ ， CDFEDQ， CFD=DQF=60 ； （3）CDFEDQ，
17、 CF=EQ， EQ=DF+FQ=EF+DF， CF=EF+DF 7 （1）问题发现:如图（1） ，在 OAB和 OCD 中，OAOB，OCOD，AOBCOD36 ，连接 AC， BD 交于点 M AC BD 的值为 ；AMB的度数为 ； （2） 类比探究 :如图 （2） ， 在 OAB和 OCD 中， AOBCOD90 ， OABOCD30 ， 连接 AC， 交 BD的延长线于点 M请计算 AC BD 的值及AMB的度数 （3） 拓展延伸:在 （2） 的条件下， 将 OCD绕点 O在平面内旋转， AC， BD所在直线交于点 M 若 OD1， OB13，请直接写出当点 C与点 M 重合时 AC
18、 的长 【解析】解： （1）AOB=COD=36 ， AOB+DOA=COD+DOA， COA=DOB， 又OA=OB，OC=OD， COADOB（SAS） ， AC=BD， AC BD =1， 故答案为：1； 设 AO与 BD交于点 E， 由知， COADOB， CAO=DBO， AOB+DBO=DEO， AMB+CAO=DEO， AOB=AMB=36 ， 故答案为：36 ； （2）在 OAB 和 OCD中， AOB=COD=90 ，OAB=OCD=30 ， tan30 = 3 3 ODOB OCOA ， AOB+DOA=COD+DOA， 即DOB=COA， DOBCOA， 3 ACOC B
19、DOD ， DBO=CAO， DBO+OEB=90 ，OEB=MEA， CAO+MEA=90 ， AMB=90 ， AC BD = 3，AMB=90 ； （3）如图 3-1，当点 M在直线 OB左侧时， 在 Rt OCD中，OCD=30 ，OD=1， CD=2， 在 Rt OAB中，OAB=30 ，OB= 13， AB=2 13， 由（2）知，AMB=90 ，且 AC BD = 3， 设 BD=x，则 AC=AM= 3x， 在 Rt AMB中， AM2+MB2=AB2， （3x）2+（x+2） 2=（2 13） 2， 解得，x1=3，x2=-4（舍去） ， AC=AM=3 3； 如图 3-2，
20、当点 M在直线 OB右侧时， 在 Rt AMB中， AM2+MB2=AB2， （3x）2+（x-2） 2=（2 13） 2， 解得，x1=4，x2=-3（舍去） ， AC=AM=4 3， 综上所述，AC的长为 3 3或 43 8综合与实践 （1）观察理解：如图 1，ABC中，90ACB，ACBC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧， BDl，AEl， 垂足分别为D，E， 由此可得：90AECCDB， 所以90CAEACE， 又因为90ACB，所以90BCDACE，所以CAEBCD，又因为ACBC，所以 AECCDB （ ） ； （请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图 2，AEAB，且A
21、EAB，BCCD，且BCCD，利用（1）中的结论，请按 照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S _； （3） 类比探究： 如图 3，Rt ABC中，90ACB，4AC ， 将斜边AB绕点A逆时针旋转90至 AB ， 连接BC，求ABC的面积 （4）拓展提升：如图 4，点B，C在MAN的边AM、AN上，点E，F在MAN内部的射线AD上， 1、2分别是ABE、CAF的外角已知ABAC，12BAC 求证：CFEFBE； 【解析】 （1）在AEC和CDB中， AECCDB CAEBCD ACBC AECCDB ()AAS， 故答案为：AAS； （2）AEABQ，90EAB，BCCD，90B
22、CD， 由（1）得：EFAAGB ，BGCCHD， 6AGEF，3AFBG，4CGDH，3CHBG， 111 22(46) 1626 324 380 18 1250 222 AEFCHDEFHD SSSS 梯形 . （3）如图 3，过 B 作B EAC于E， 由旋转得：ABAB， 90BAB，AEBBCA， 4ACBE， 11 4 48 22 AB C SAC B E ； （4）12BAC ，1BAEABE ，BACBAECAF，2FCACAF ， ABECAF，BAEFCA， 在ABE和CAF中， ABECAF ABAC BAEACF ABECAF ()ASA； BEAF，CFAE CFEF
23、AEEFAFBE 9如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是5,4，M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两 点. （1）点A、B、C的坐标分别是A（ ， ） ，B（ ， ） ，C（ ， ）. （2）设经过A、B两点的抛物线的关系式为 21 5 4 yxk，它的顶点为F，抛物线的对称轴与x轴 相交于点D，求证：直线FA与M相切. （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P（点P在x轴的上方） ，使PBC是等腰三角形.如果存在，请求 出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 【解析】 （1）2,0A，8,0B，0,4C. 提示：连结MC，则MC垂直于y轴.点M的坐标是5,4，5MAMC，4MD .在Rt
24、 AMD 中， 22 3ADAMMD ，同理在Rt BMD中，3BD，2,0A，8,0B，0,4C. （2）把2,0A代入 21 5 4 yxk，解得 9 4 k ， 219 5 44 yx， 9 5, 4 F .如图 2， 连结MA，则 925 4 44 MF ， 22 15 4 AFADFD. 5MA， 222 625 16 FAMAMF，90MAF， 即MAAF，FA与M相切. （3） 8,0B， 0,4C， 4OC ，8OB.在Rt OBC中， 222 80BCOCOB.设5,Py， 0y ， 如图 3. 当CPCB时，在 1 Rt CMP中， 2 2 1 254CPy， 2 2548
25、0y，455y ，0y ， 455y ， 1 5,455P ； 当BPBC时， 在 2 Rt BDP中， 22 2 9BPy， 2 980y，71y ， 0y ， 71y ， 2 5,71P ； 当PBPC时，P和M重合， 3 5,4P. 综上当5,455P、5, 71或5,4时，PBC是等腰三角形. 10已知如图，四边形 ABCD，BE、DF 分别平分四边形的外角MBC 和NDC，若BAD，BCD （1）如图 1，若 +150 ，求MBC+NDC的度数； （2）如图 1，若 BE与 DF 相交于点 G，BGD45 ，请写出 、 所满足的等量关系式； （3）如图 2，若 ，判断 BE、DF 的
26、位置关系，并说明理由 【解析】解： （1）在四边形 ABCD 中，BAD+ABC+BCD+ADC360 ， ABC+ADC360 （+） ， MBC+ABC180 ，NDC+ADC180 MBC+NDC180 ABC+180 ADC360 （ABC+ADC） 360 360 （+） +， +150 ， MBC+NDC150 ， （2）90 理由：如图 1，连接 BD， 由（1）有，MBC+NDC+， BE、DF 分别平分四边形的外角MBC和NDC， CBG 1 2 MBC，CDG 1 2 NDC， CBG+CDG 1 2 MBC+ 1 2 NDC 1 2 （MBC+NDC） 1 2 （+） ，
27、 在 BCD中，在 BCD 中，BDC+DBC180 BCD180 ， 在 BDG中，BGD45 ， GBD+GDB+BGD180 ， CBG+CBD+CDG+BDC+BGD180 ， （CBG+CDG）+（BDC+CDB）+BGD180 ， 1 2 （+）+180 +45180 ， 90 ， （3）平行， 理由：如图 2，延长 BC交 DF于 H， 由（1）有，MBC+NDC+， BE、DF 分别平分四边形的外角MBC和NDC， CBE 1 2 MBC，CDH 1 2 NDC， CBE+CDH 1 2 MBC+ 1 2 NDC 1 2 （MBC+NDC） 1 2 （+） ， BCDCDH+D
28、HB， CDHBCDDHBDHB， CBE+DHB 1 2 （+） ， ， CBE+DHB 1 2 （+）， CBEDHB， BEDF 11在平面直角坐标系xOy中，对于平面中的点P，Q和图形M，若图形M上存在一点C，使 90PQC，则称点Q为点P关于图形M的“折转点”，称PCQ为点P关于图形M的“折转三角形” （1）已知点4,0A，2,0B 在点 1 2,2Q， 2 1,3Q， 3 4, 1Q中，点O关于点A的“折转点”是_； 点D在直线y x 上，若点D是点O关于线段AB的“折转点”，求点D的横坐标 D x的取值范围； （2）Te的圆心为,0t，半径为 3，直线2yx与x，y轴分别交于E，
29、F两点，点P为Te上一点， 若线段EF上存在点P关于Te的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为 2的等腰三角形，直接写出 t的取值范围 【解析】 （1）根据“折转点”的定义，要使得90OQA的 Q 才是点 O关于点 A的“折转点”， 如图，根据各个点的坐标， 1 2 2OQ ， 1 2 2AQ ，4OA，则 222 11 OQAQOA， 1 90OQ A， 1 Q是点 O 关于点 A的“折转点”， 2 2OQ ， 2 2 3AQ ，4OA，则 222 22 OQAQOA， 2 90OQ A， 2 Q点 O 关于点 A的“折转点”， 3 90OAQ， 3 Q不是， 故答案是： 1 Q，
30、2 Q； 如图， 点D为点O关于线段AB的折转点， 则在线段AB上存在点C， 使得 90ODC， 即D在以OC 为直径的圆上（不含O，C点） ，因此，当点C在AB上运动时，所有可能的D点组成的图形为： 以1,0为圆心，半径为 1 的圆，和以2,0为圆心，半径为 2 的圆及其之间的部分， （不含x轴上的点） 直 线y x 与内圆交于E，与外圆交于F，线段EF即为直线上D点可能的位置， 过点E作EHx轴于H，连接BE，则90OEB，因为直线y x ，45AOE，因此OEB为 等腰直角三角形，OEBE，由三线合一，知OHHB，H为1,0，即E点横坐标为 1， 同理可得，F点横坐标为 2， 点D的横坐
31、标取值范围是1 2 D x； （2）根据题意，记线段 EF上的点是 Q，当Te上存在一点 C，使=90PQC的时候，则线段 EF上存在 点 P 关于Te的“折转点”， “折转三角形”是等腰直角三角形， Q 点一定在线段 PC的垂直平分线上， 点 P、C都是圆上的点，线段 PC是Te的弦， 圆心 T 也在线段 PC的垂直平分线上， T 和 Q是共线的，且它们之间的距离是固定的， 等腰直角三角形的底是 2， Q 到线段 PC的距离是 1， Te的半径是 3，弦长 PC是 2， 根据垂径定理可以算出圆心 T到线段 PC的距离是2 2， 12 2QT ， 根据直线2yx求出2,0E 、0,2F， 如图
32、，当点 Q 在点 F的位置上的时候， 2OQ=， 1 1 2 2QT ，根据勾股定理求得 1 54 2OT ，则 54 2t ； 同上 3 54 2OT ，则 54 2t ； 当点 Q在点 E的位置上的时候， 2 1 2 2ET ，则 1 2 222 2 1t ； 4 1 2 2ET ，则1 2 2232 2t ， 综上，t的范围是： 2 2354 2t 或2 2 154 2t 12如图，在矩形ABCD中，6ABcm，8ADcm，点P从点A出发沿AD向点D匀速运动，速度是 1/cm s， 过点P作PEAC交DC于点E， 同时， 点Q从点C出发沿CB方向， 在射线CB上匀速运动， 速度是2/cm
33、 s，连接PQ、QE，PQ与AC交与点F，设运动时间为( )(08) t st （1）当t为何值时，四边形PFCE是平行四边形； （2）设PQEV的面积为 2 ()s cm，求s与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使得PQEV的面积为矩形ABCD面积的 9 32 ； （4）是否存在某一时刻t，使得点E在线段PQ的垂直平分线上 【解析】 （1）当四边形PFCE是平行四边形时，PFCE， 又PD QCP ， 四边形CDPQ为平行四边形， PDCQ， 即82tt ， 8 3 t （2）PEAC， DPDE DADC ， 即 8 86 tDE ， 3 6 4 DEt， 33 66 44 CE
34、tt， 2 1133 (8) 6624 2248 PDE SPD DEtttt， 2 1133 2 2244 CEQ SCE CQttt， S梯形 11 ()(28) 6324 22 CDPQ QCPDCDttt， SS 梯形 2 9 9 (08) 8 CDPQ PDECEQ SSttt （3）由题意， 2 99 986 832 tt 解得 1 2t ， 2 6t 所以当2ts或6s时，PQEV的面积为矩形ABCD面积的 9 32 （4）当点E在线段PQ的垂直平分线上时，EQPE， 22 EQPE， 在Rt CEQ中， 222 CECQEQ， 在RtPDE中， 222 PDDEPE ， 2222 CECQPDDE， 即 22 22 33 (2 )(8)6 44 tttt 解得 1 5 7325 6 t， 2 5 7325 6 t（舍） 所以当 5 7325 6 t时，点E在线段PQ的垂直平分线上