1、 专题 07 综合探究类 2021 届中考数学压轴大题专项训练（解析版） 1综合与实践 问题背景： 综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究 下面是创新 小组在操作过程中研究的问题， 如图一，ABCDEF， 其中ACB=90 ，BC=2，A=30 操作与发现： （1） 如图二， 创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置， 四边形 ACBF的形状是 ， CF= ； （2） 创新小组在图二的基础上， 将DEF 纸片沿 AB方向平移至图三的位置， 其中点 E与 AB的中点重合 连 接 CE，BF四边形 BCEF 的形状是 ，CF= 操作与探究 ： （3）创新
2、小组在图三的基础上又进行了探究，将DEF纸片绕点 E逆时针旋转至 DE 与 BC平行的位置， 如图四所示，连接 AF， BF 经过观察和推理后发现四边形 ACBF 也是矩形，请你证明这个结论 【解析】 （1）如图所示： ABCDEF， 其中ACB=90 ，BC=2，A=30 ， 60 ,2ABCFEDBCEF ， 90CFFAC，四边形 ACBF是矩形，AB=4， AB=CF=4； 故答案为：矩形，4 ； （2）如图所示： ABCDEF， 其中ACB=90 ，BC=2，A=30 ， 60 ,2ABCFEDBCEF ， /BC EF，四边形 ECBF是平行四边形， 点 E 与 AB 的中点重合，
3、CE=BE，CBE是等边三角形， EC=BC，四边形 ECBF是菱形，CF与 EB互相垂直且平分， 3 3 2 OCEC，2 3CF ， 故答案为：菱形，2 3； （3）证明：如图所示： 90 ,3060CAABC /,DE BCDEFABC 60DEBDEFABC 60AEF 24,2ABBCAE 2EFBCAEEF AEF为等边三角形 60FAEABC /BCAF AEEFBC 四边形 ACBF为平行四边形 90C 四边形 ACBF为矩形 2如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，B，C为格点，D为小正方形边的中点. （1）AC的长等于_； （2）点P，Q分别为线段BC，AC上的动
4、点，当PDPQ取得最小值时，请在如图所示的网格中，用 无刻度 的直尺，画出线段PD，PQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（不要求证明）. 【解析】解： （1）由图可得： AC= 22 345 ， 故答案为：5； （2）如图，BC与网格线相交，得点P；取格点E，F，连接EF，与网格线相交，得点G，取格点M， N，连接MN，与网格线相交，得点H，连接GH，与AC相交，得点Q.连接PD，PQ.线段PD，PQ 即为所求. 如图，延长 DP，交网格线于点 T，连接 AB，GH与 DP 交于点 S， 由计算可得：AB= 20，BC=5，AC=5， ABC为直角三角形，ABC=90 ， tanACB
5、=2， tanBCT=PT：TC=2， ACB=BCT，即 BC平分ACT， 根据画图可知：GHBC， ACB=CQH，BCT=GHC， BCT=BCA， CQH=GHC， CQ=CH， 由题意可得：BS=CH， BS=CQ， 又BP=CP，PBS=PCQ， BPSCPQ， PSB=PHC=90 ，即 PQAC， PD+PQ 的最小值即为 PD+PT， 所画图形符合要求. 3数学实验室： 制作 4张全等的直角三角形纸片 （如图 1） ， 把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图” （如图2） ， 古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理 探索研究： （1）小明将“弦图”中的 2个三角形进行
6、了运动变换，得到图 3，请利用图 3证明勾股定理； 数学思考： （2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理请你想一种方法支持 她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明） 【解析】 （1）解：如图 3所示， 图形的面积表示为： 2222 1 2 2 abababab ， 图形的面积也可表示： 22 1 2 2 cabcab ， a2 b 2abc2ab， a2 b 2 c 2 （2）解：如图 4所示， 大正方形的面积表示为：ab2， 大正方形的面积也可以表示为： 22 1 42 2 cabcab ， 22 ()2abcab， a2 b 22abc22ab， a
7、2 b 2 c 2； 4综合与探究 （实践操作）三角尺中的数学 数学实践活动课上， “奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起， 如图 1， 使直角顶点重合于点 C （问题发现） （1）填空：如图 1，若ACB145 ，则ACE的度数是 ，DCB的度数 ，ECD的度 数是 如图 1，你发现ACE与DCB 的大小有何关系？ACB与ECD的大小又有何关系？请直接写出你发 现的结论 （类比探究） （2）如图 2，当 ACD与 BCE 没有重合部分时，上述中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由 【解析】解： （1）145 90 55ACEDCB =， 90 5535ECDBCEBCD=； 结论
8、：ACEDCB，180ACBECD= ； 证明： 90ACEACBBCEACB，90DCBACBACDACB ACEDCB 9090180ACBACDBCEECDECDECD 180ACBECD= （2）结论：当ACD与BCE没有重合部分时，上述中发现的结论依然成立 理由： 90ACDECB， ACDDCEECBDCE， ACEDCB， 90ACDECB， 180ACDECB=， 360ACDECDECBACB=， 180ACBECD=， ACEDCB，180ACBECD= 上述中发现的结论依然成立 故答案为： （1）55 ， 55 ， 35 ；ACEDCB，ACB+ECD180 ； （2）当
9、 ACD与 BCE没 有重合部分时，上述中发现的结论依然成立，理由详见解析 5操作：将一把三角尺放在如图的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的 一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究： (1)如图，当点Q在DC上时，求证：PQ PB. (2)如图，当点Q在DC延长线上时，中的结论还成立吗？简要说明理由. 【解析】(1)证明：过点P作/BCMN，分别交AB于点M，交CD于点N， 则四边形 AMND和四边形 BCNM都是矩形， AMP 和 CNP 都是等腰直角三角形 NP=NC=MB BPQ=90 QPN+BPM=90 ，而BPM+PBM=90 ， QPN=PB
10、M，又QNP=PMB=90 ， 在 QNP 和 BMP 中， QNP=PMB，MB=NP，QPN=PBM QNPPMB（ASA） ， PQ=BP (2)成立. 过点P作PNAB于N,PN交CD于点M 在正方形ABCD中/ABCD,45ACD 90PMQPNBCBN CBNM是矩形， CMBN， CMP是等腰直角三角形， PMCMBN， 90PBNBPN，90BPNMPQ MPQPBN ， 在PMQ和BNP中， 90 MPQPBN PNBPMQ BNPM ， PMQBNP AAS ， BPQP； 6实践操作：第一步：如图 1，将矩形纸片ABCD沿过点 D的直线折叠，使点 A落在CD上的点 A 处
11、， 得到折痕DE，然后把纸片展平第二步：如图 2，将图 1中的矩形纸片ABCD沿过点 E 的直线折叠，点 C恰好落在AD上的点 C 处，点 B 落在点 B 处，得到折痕EF，BC 交 AB于点 M， CF 交DE于点 N， 再把纸片展平 问题解决： （1）如图 1，填空：四边形AEA D的形状是_； （2）如图 2，线段MC与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； （3）如图 2，若2cm,4cmACDC ，求:DNEN的值 【解析】 （1）解：ABCD是平行四边形， /AD BC EA， /AE DA 四边形 AEAD是平行四边形 矩形纸片ABCD沿过点 D的直线折叠，使点
12、A落在CD上的点 A 处 AEDAED AEAE 90A 四边形AEA D的形状是正方形 故最后答案为：四边形AEA D的形状是正方形； （2）MCME 理由如下：如图，连接 EC ，由（1）知：ADAE 四边形ABCD是矩形， 90ADBCEACB ， 由折叠知：BCBCBB ， 90AEBCEACB ， 又ECCE， Rt ECA Rt CEB CEAECB MCME （3）Rt ECA Rt CEB ，AC BE 由折叠知：B EBE，ACBE 2(cm)4(cm)ACDC ， 2428 cmABCD 设cmDFx，则8cmFCFCx 在Rt DCF 中，由勾股定理得： 222 4(8)
13、xx 解得：3x ，即3 cmDF 如图，延长BA FC，交于点 G，则ACGDCF 3 tantan 4 AGDF ACGDCF ACDC 3 (cm) 2 AG 315 6(cm) 22 EG /DF EG，DNFENG 152 :3: 25 DN ENDF EG 7综合与实践 在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能例如教材八年级下册的数学活动 折纸，就引起了许多同学的兴趣在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数 学活动经验 实践发现： 对折矩形纸片 ABCD，使 AD与 BC重合，得到折痕 EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点 A落在 EF上
14、的点 N处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，把纸片展平，连接 AN，如图 （1）折痕 BM （填“是”或“不是”）线段 AN 的垂直平分线；请判断图中 ABN 是什么特殊三角形？ 答： ；进一步计算出MNE ； （2）继续折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的点 H 处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BG，把纸片展平，如图 ，则GBN ； 拓展延伸： （3）如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 A落在 BC边上的点 A处，并且折痕交 BC边于点 T，交 AD 边于 点 S，把纸片展平，连接 AA交 ST 于点 O，连接 AT 求证：四边形 SATA是菱形 解决问题： （4）如图，矩形纸片 A
15、BCD 中，AB10，AD26，折叠纸片，使点 A落在 BC边上的点 A处，并且折 痕交 AB 边于点 T，交 AD边于点 S，把纸片展平同学们小组讨论后，得出线段 AT的长度有 4，5，7，9请 写出以上 4 个数值中你认为正确的数值 【解析】解： （1）如图对折矩形纸片 ABCD，使 AD与 BC 重合， EF 垂直平分 AB， ANBN，AEBE，NEA90 ， 再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 N处， BM 垂直平分 AN，BAMBNM90 ， ABBN， ABANBN， ABN是等边三角形， EBN60 ， ENB30 ， MNE60 ， 故答案为：是，等边三角形，60；
16、 （2）折叠纸片，使点 A落在 BC 边上的点 H处， ABGHBG45 ， GBNABNABG15 ， 故答案为：15 ； （3）折叠矩形纸片 ABCD，使点 A落在 BC边上的点 A处， ST垂直平分 AA， AOAO，AAST， ADBC， SAOTAO，ASOATO， ASOATO（AAS） SOTO， 四边形 ASAT 是平行四边形， 又AAST， 边形 SATA是菱形； （4）折叠纸片，使点 A落在 BC 边上的点 A处， ATAT， 在 Rt ATB 中，ATBT， AT10AT， AT5， 点 T 在 AB 上， 当点 T与点 B重合时，AT 有最大值为 10， 5AT10，
17、正确的数值为 7，9， 故答案为：7，9 8综合与实践 问题情境 数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，ACD和BCE是两个等边三 角形纸片，其中，52ACcm BCcm, 解决问题 （1）勤奋小组将ACD和BCE按图 1所示的方式摆放(点,A C B在同一条直线上) ，连接,AE BD发 现AEDB，请你给予证明； （2）如图 2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落 在CD边上时，求ABC的面积； 拓展延伸 （3） 如图3， 缜密小组在创新小组的基础上， 提出一个问题： “将BCE沿CD方向平移acm得到,B C E
18、 连接ABB C,，当AB C恰好是以AB为斜边的直角三角形时，求a的值请你直接写出a的值 【解析】 （1）ACD和BCE是两个等边三角形， AC=CD，BC=CE，ACD=ECB=60 ， ACD+DCE=ECB+DCE, 即ACE=DCB， ACEDCB， AE=BD； （2）由题意得ACD=ECB=60 ， 过点 B作 BFAC，交 AC的延长线于 F， BCF=180 -ACD-ECB=60 ，F=90 ， CBF=30 ， CF= 1 2 BC=1cm， BF= 22 3BCCF cm， 11 53 22 ABC SAC BF = 5 3 2 ； （3）由题意得ACD=ECB =60
19、 ， ACB=90 ， 30C CB , CCBCBCECB , 30C B C , CCCB =2cm， a=2. 9动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利 用其中 7块恰好拼成一个矩形（如图 1） ，后来又用它们拼出了 XYZ等字母模型（如图 2、图 3、图 4） ，每 个塑料板保持图 1的标号不变，请你参与： （1）将图 2中每块塑料板对应的标号填上去； （2）图 3 中，点画出了标号 7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他 6块塑料板， 并填上标号； （3）在图 4中，找出 7 块塑料板，并填上标号 【解析】 （1）如下图 （2）如下
20、图 （3）如下图 10已知：如图 1，在O中，弦2AB ，1CD，ADBD直线 ,AD BC相交于点E （1）求E的度数； （2）如果点,C D在O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么，直线,AD BC相交所成锐角的大小是否 改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全） 如图 2，弦AB与弦CD交于点F ； 如图 3，弦AB与弦CD不相交： 如图 4，点B与点C重合 【解析】解： （1）连接OC、OD，如图： ADBD AB是直径 1OCODCD OCD是等边三角形 60COD 30DBE 60E （2）结论：直线AD 、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是6
21、0 证明：连接OD、OC、AC，如图： 1ODOCCD OCD为等边三角形 60COD 30DAC 30EBD 90ADB 903060E 结论：直线AD 、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60 证明：连接OC、OD，如图： ADBD AB是直径 1OCODCD OCD是等边三角形 60COD 30DBE 903060BED 结论：直线AD 、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60 证明：如图： 当点B与点C重合时，则直线BE与 O只有一个公共点 EB恰为O的切线 90ABE 90ADB，1CD，2AD 30A 60E 故答案是： （1）60E （2）结论：直线AD 、BC相交所成锐
22、角的大小不发生改变，依然是60； 证明过程见详解结论：直线AD 、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60；证明过程见详 解结论：直线AD 、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60；证明过程见详解 11综合与实践：折纸中的数学 问题背景 在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片 ABCD按如图所示方式折叠，使点 C 与点 A 重合，点 D落 到 D处，折痕为 EF这时同学们很快证得： AEF是等腰三角形接下来各学习小组也动手操作起来，请 你解决他们提出的问题 操作发现 (1) “争先”小组将矩形纸片 ABCD 按上述方式折叠，如图，发现重叠部分 AEF 恰好是等边三角形，求矩 形 A
23、BCD的长、宽之比是多少？ 实践探究 (2)“励志”小组将矩形纸片 ABCD 沿 EF折叠，如图，使 B 点落在 AD 边上的 B处；沿 BG 折叠，使 D点落 在 D处，且 BD过 F 点试探究四边形 EFGB是什么特殊四边形？ (3)再探究：在图中连接 BB，试判断并证明 BBG的形状 【解析】解： （1）矩形ABCD的长、宽之比应是 3 证明：设BEa， AEF等边三角形， 60EAF， 四边形ABCD为矩形， 90BADABE ，30BAEBADEAF 在Rt ABE中，90ABE，30BAE，BEa， 2 sin BE AEa BAE ，3 tan BE ABa BAE ， AEEC
24、， 3BCBEECa， 3 3 3 BCa ABa （2）四边形B EFG是平行四边形 证明：四边形ABCD为矩形， /ADBC， B EFBFE ，EB FGFB ，DB GFGB 由翻折的特性可知：BFEB FE ，DB GFB G ， B EFB FE ，FB GFGB ， 又EB FGFB ， B FEFB G ， / /EFB G， 又/ /B EFG， 四边形B EFG 是平行四边形 （3）BB G为直角三角形 证明：连接BB交EF于点M，如图所示 /ADBC， EB BFBB， BFB F， FBBFB B， EB BFB B B EFB FE ， B EF 为等腰三角形， B
25、MEF ， 90BMF / /EFB G， 90BB GBMF ， BB G 为直角三角形 12综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动如图 1，在 ABC中，AB AC10cm，BC16cm将 ABC 沿 BC 边上的中线 AD 剪开，得到 ABD和 ACD 操作发现： （1）乐学小组将图 1中的 ACD 以点 D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得 ACAD，得到图 2，AC 与 AB交于点 E，则四边形 BECD 的形状是 （2）缜密小组将图 1中的 ACD 沿 DB方向平移，AD与 AB 交于点 M，AC与 AD交于点 N，得到图 3
26、， 判断四边形 MNDD的形状，并说明理由 实践探究： （3）缜密小组又发现，当（2）中线段 DD的长为 acm时，图 3 中的四边形 MNDD会成为正方形，求 a 的 值 （4）创新小组又把图 1 中的 ACD放到如图 4所示的位置，点 A 的对应点 A与点 D 重合，点 D的对应点 D在 BD的延长线上，再将 ACD绕点 D 逆时针旋转到如图 5 所示的位置，DD交 AB于点 P，DC交 AB于 点 Q，DPDQ，此时线段 AP的长是 cm 【解析】解：操作发现： （1）如图 1：ABAC10cm，BC16cm BC，BDCD8cm，BADCAD， ACD以点 D 为旋转中心，按逆时针方向
27、旋转， CDBD， ADBD，ACAD， ACBD，ADC90 C， ADC90 B，且BAD90 B， ADCBAD， ABCD， 四边形 BDCE 是平行四边形， BDCD， 四边形 BECD 是菱形， 故答案为：菱形； （2）如图 3，四边形 MNDD是矩形， 理由如下： BDCD， BDCD，且BC，MDBNDC MDBNDC（ASA） MDND， ACD沿 DB 方向平移， MDDN， 四边形 MNDD是平行四边形， BDM90 ， 四边形 MNDD是矩形； （3）由图形（1）可得 AB10cm，BD8cm， AD 22 ABBD 100 64 6cm， 四边形 MNDD为正方形， DMDN，DMDDacm， BDMBDA， BDMD BDAD ， 8 86 aa ， a 24 7 ； （4）如图 5，过点 D作 DGAB 于点 G， DPDQ， DQPDPQ，QGPG， 又APDQ， DQPAQD， ADQDPQ， ADQAQD， AQAD6， AA，DGABDA， DGABDA， AGAD ADAB ， 6 610 AG ， AG18 5 ， GQAQAG6 18 5 12 5 ， PGQG12 5 ， APAGPG 18 5 12 5 6 5 ， 故答案为： 6 5