1、 专题 08 猜想与证明 2021 届中考数学压轴大题专项训练（解析版） 1已知ABC在平面直角坐标系内的位置如图， ACB90，ACBC5，OA、OC的长满足关 系式 2 OA4OC30 （1）求OA、OC的长； （2）求点B的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使ACP是以AC为腰的等腰三角形若存在，请直接写出点P的坐标，若 不存在，请说明理由 【解析】解：由 2 OA4)OC 30（.可知， OA4030OC ， OA43OC，. 作BDx轴与点 D， 180OCAACBBCD 90ACOBCD 90CBDBCD ACOCBD ACBC ()AOCCDB AAS 3BDOC 4CDOA
2、3 47ODOCCD (7 3)B， 存在. 当点 P 在 x轴的负半轴时，使 AP=AC，则ACP为等腰三角形，P 的坐标为( 3 0) ，； 当点P在x轴的负半轴时， 使CP=AC， 由勾股定理得， CP=AC=5， 则A C P为等腰三角形， P的坐标为( 2 0) ， ； 当点 P 在 x轴的正半轴时，使 AC=CP，则ACP为等腰三角形，5CPAC 3 58OPOCCP ， (8 0)P， ； 所以存在，点 P( 3 0) ，或( 2 0) ，或(8 )0， 2在平面坐标系xoy中，已知线段AB，且AB、的坐标分别为 (1,2),(4,2)AB ，点C为线段AB的中点. （1）线段A
3、B与x轴的位置关系是 （2）求点C的坐标。 （3）在y轴上是否存在点P，使得三角形PAC面积为 3.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理 由. 【解析】解： （1）因为 A、B 点的纵坐标相同，所以线段AB与x轴平行； （2）1242AB（， ），（ ， ），C 是线段 AB的中点，C点坐标为： 5 ,2 2 （3）在y轴上存在点P，使得三角形PAC的面积为 3.其理由如下： 由（2）知： 5 (1,2),C,2 2 A ， 53 1 22 AC 1 3 2 PACPA SACyy 即： 13 3 22 PA yy 24 P y 6 P y 或2 P y ， P 点坐标为：0 6（ ，
4、）或02（， ）时，三角形PAC的面积为 3. 3探索与证明： （1）如图，直线m经过正三角形ABC的顶点A，在直线m上取点D，E，使得60ADB， 60AEC通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明； （2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图的位置，120ADB， 120AEC通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明 【解析】解： （1）DE=BDCE，证明如下 ABC为等边三角形 AB=CA，BAC=60 60ADB，60AEC ADBCEA ABDBAD=180 ADB=120 CAEBAD=180 BAC=
5、120 ABD=CAE 在 ABD和 CAE中 ADBCEA ABDCAE ABCA ABDCAE BD=AE，AD= CE DE=AEAD= BDCE； （2）CE =BDDE，证明如下 ABC为等边三角形 AB=CA，BAC=60 120ADB，120AEC ADBCEA ABDBAD=180 ADB=60 CAEBAD=BAC=60 ABD=CAE 在 ABD和 CAE中 ADBCEA ABDCAE ABCA ABDCAE BD=AE，AD= CE AD= AEDE CE= BDDE 4如图，钝角ABC中，ABAC，D为上AC一点， 60ADB，E为BD上一点，30BCE （1）作AFB
6、C于F，BGCE交CE的延长线于G 判断BF与BG的大小关系，并说明理由 求证BFABGE ； （2）若7BE ，1DE ，求CE的长 【解析】解： （1）BFBG,理由是： ABAC，AFBC于F， 1 2 BFBC， 作BGCE于G， 30BCE， 1 2 BGBC， BFBG ABAC， AABCCB， 19029030603ABCACB ， 1434 ，即ABFEBG， 由知，BFBG， ABFEBG（ASA） （2）作BHDA交射线DA于H，CMBD交BD的延长线于M 7BE ，1DE ， 8BD，由（1）ABFEBG可知，7ACABBE， 60ADB， 30DBH， 1 4 2 D
7、HBD， 由勾股定理，得 222 48BHBDDH， 22 1AHBABH ， 4 1 3ADDHAH ，7 34CDACAD ， 1 2 2 DMCD， 2 3CM ，3EM ， 22 21CECMEM ， CE的长为 21 5如图，在ABC中，45ABC，点P为边BC上的一点，3BC BP，且15PAB，点C关 于直线PA的对称点为D，连接BD，又APC的PC边上的高为AH （1）求BPD的大小； （2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由； （3）证明：BAPCAH 【解析】 （1）15PAB， 45ABC， 154560APC， 点C关于直线PA的对称点为D ， PDPC，ADAC，
8、 ADPACP， 60APCAPD， 18012060BPD； （2）直线BD，AH平行理由： 3BCBP， 11 22 BPPCPD， 如图，取PD中点E，连接BE，则BEP为等边三角形，BDE为等腰三角形， 60BEP， 1 30 2 BDEBEP， 90DBP，即BDBC 又APC的PC边上的高为AH ， AHBC，/BD AH； （3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F APCAPD，即点A在DPC的平分线上， AAF 90CBD，45ABC， 45GBACBA， 即点A在GBC的平分线上， AGAH，AGAF， 点A在GDP的平分线上 又 30BDP，150GDP， 1
9、 15075 2 ADP ， 75CADP， Rt ACH中，15CAH，BAPCAH 6 如图， 边长为2 2的正方形ABCD中， P 是对角线AC上的一个动点 （点 P与 A、 C 不重合） ， 连接BP， 将BP绕点 B 顺时针旋转 90 到BQ， 连接QP，QP与BC交于点 E，QP延长线与AD（或AD延长线） 交于点 F （1）连接CQ，证明：CQAP； （2）设,APx CEy，试写出 y关于 x的函数关系式，并求当 x为何值时， 3 8 CEBC； （3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论 【解析】 （1）证明： 线段 BP 绕点 B顺时针旋转90得到线段 BQ， BP=B
10、Q， 90PBQ， 四边形 ABCD是正方形， BA=BC，90ABC ， =ABCPBQ， ABCPBCPBQPBC ，即ABPCBQ ， 在 BAP 和 BCQ中， BABC ABPCBQ BPBQ ， BAPBCQ（SAS） ， CQ=AP （2）如图， 四边形 ABCD是正方形， 1 45 2 BACBAD， 1 45 2 BCABCD， +=180 -45 =135APBABP， DC=AD=2 2， 由勾股定理可得： 22 2 2+ 2 2=4AC ， AP=x， PC=4-x， PBQ是等腰直角三角形， 45BPQ， 18045135APBCPQ ， CPQABP ， 45BAC
11、ACB， APBCEP， APAB CECP ， 2 2 4 x yx ， 2 12 420 4 4 2 2 yxxxxx ， 由 333 2 2 2 884 CEBC ， 2 23 2 2 44 yxx ， 得到 2 430 xx， 310 xx， 得 x=3或 x=1 当 x=3或 1 时， 3 8 CEBC （3）结论：PF=EQ，理由是： 如图，当 F在边 AD上时，过 P 作PGFQ，交 AB于 G，则90GPF， 45BPQ， 45GPB， 45GPBPQB ， PB=BQ，ABP CBQ ， PGBQEB（SAS） ， EQ=PG， 90BAD， F、A、G、P 四点共圆， 连接
12、 FG， 45FGPFAP， FPG 是等腰直角三角形， PF=PG， PF=EQ 当 F在 AD的延长线上时，如图所示，同理可得：PF=PG=EQ 7问题提出： （1）同一平面内的两条线段AB和BC，已知3AB ，2BC ，则线段AC最大值是_；最小值是 _ 问题探究： （2）如图，四边形ABCD中，4AB ，2AD ，CBCD，且60BCD，问AC是否存在最大 值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 问题解决： （自行作图并解决） （3）在ABE中， 3AE ， 6BE ，以AB为一边作正方形ABCD，连接CE，问CE是否存在最 大值或者最小值?若存在，求出相应最值；若不存在，请说明
13、理由 【解析】 （1）由题意，分以下两种情况： 当点 , ,A B C不在同一条直线上时， 由三角形的三边关系定理得：ABBCACABBC， 3 23 2AC ，即15AC； 当点 , ,A B C在同一直线上时， 点 B 在点,A C的中间时，则3 25ACABBC ， 点 C 在点,A B的中间时，则3 2 1ACABBC ， 综上，线段 AC的取值范围为15AC， 则线段AC最大值是 5，最小值是 1， 故答案为：5，1； （2）存在，求解过程如下： 如图，连接 AC，将ACD绕点 C逆时针旋转60，点 A 的对应点为点 E，连接 AE、BE、CE， ,60CBCDBCD， 旋转后点 D
14、的对应点为点 B， 由旋转的性质得：2,60BEADACECACE， ACE是等边三角形， AEAC， 当点, ,A B E不在同一条直线上时， ABBEAEABBE，即4242AE， 26AC ； 当点, ,A B E在同一条直线上时， 4 26AEABBE ， 6AC， 综上，当点, ,A B E在同一条直线上时，AC有最大值，最大值为 6； （3）如图，将ABE绕点 B逆时针旋转90，点 E 的对应点为点 F，连接 EF、BF、CF， 四边形 ABCD 是正方形， ,90ABBCABC， 旋转后点 A的对应点为点 C， 由旋转的性质得：6,3,90BFBECFAEEBF， 在RtBEF中
15、， 22 2 3EFBEBF ， 当点, ,C F E不在同一条直线上时， EFCFCEEFCF， 2 332 33CE ，即 33 3CE ； 当点, ,C F E在同一条直线上时， 2 333 3CEEFCF ， 综上，当点, ,C F E在同一条直线上时，CE有最大值，最大值为3 3 8 如图， 在直角ABC中，90ACB，4AC ，60BAC ，CD是边AB上的中线， 直线/BMAC， E是边CA延长线上一点， 连接ED并延长交直线BM于点F， 将E D C沿CD翻折得EDC， 射线 DE 交直线BM于点G （1）如图 1，当CDEF时，求BF的长 （2）如图 2，当点G在点F的上方时
16、，求证：BDFBGD （3）如果DFG的面积为6 3，求AE的长 【解析】解：(1)90ACB， 60BAC 90906030ABCBAC， 在Rt ACB 中：28ABAC， CD是边AB上的中线， 1 4 2 CDBDADAB， ADC是等边三角形，4ACADCD，60ECD CDEF， 90906030CEDECD， 在Rt EDC 中：28CECD，8 44AECEAC ， /BMAC，FBDEAD ， 在 FBD和EAD中， FBDEAD BDAD BDFADE ， 4BFAE， 故答案为：4 (2)由(1)可知：ADC为等边三角形，60ACDADC 180120BDCADC， ED
17、C沿CD翻折得EDC， 60ECDECDACD，AEDCED， 60120180ECDBDC， /CEBD CEDBDG， AEDBDG， /BMAC，AEDBFD BDGBFD， 又FBDDBG， BDFBGD (3)过点D作DMGB于点M，过点D作DN BC于点N，如下图所示： 。 90CDE ASAEADFBD 四边形BMDN是一个矩形，DMBN ， DBDC，DNBC N为BC的中点， 1 2 DMBNBC=， 由(1)知：4AC ，8AB，得到 22 4 3BCABAC=-= ， 1 2 3 2 DMBNBC=， 1 6 3 2 DFG SGF DM D =?， 12 312 3 6
18、 2 3 GF DM =， 设BFx，则 6BGBFFGx， 由(2)知：BDFBGD， BDBF BGBD =， 4 64 x x = + ，代入数据： (6)16xx+=，即 2 6160 xx，解得：2x或 8(舍去)， BF的长度为2， 由(1)知：2AEBF AE的长度为2， 故答案为：2 9如图，在ABC中，ABC60 ，点 D，E 分别为 AB，BC上一点，BDBE，连接 DE，DC，AC CD （1）如图 1，若 AC3 10，DE23，求 EC 的长； （2）如图 2，连接 AE交 DC于点 F，点 M 为 EC上一点，连接 AM交 DC于点 N，若 AEAM，求证：2DE
19、MC； （3）在（2）的条件下，若ACB45 ，直接写出线段 AD，MC，AC的等量关系 【解析】解： （1）如图 1，过点 C 作 CGAB于 G， AGCAGB90 ， ACCD， AGDG， 设 DGa， BDBE，ABC60 ， BDE是等边三角形， BDDE2 3， BGBD+DG2 3+a， 在 Rt BGC 中，BCG90 ABC30 ， BC2BG=4 3+2a，CG3BG6+3a， 在 Rt DGC中，CDAC3 10， 根据勾股定理得，CG2+DG2CD2， (6+ 3a) 2+a290， a 3 39 2 或 a 3 39 2 （舍） ， BCEC+BEEC+BD， EC
20、+BD2(BD+DG)， ECBD+2DG2 3+2a23+2 3 39 2 9 3； （2）如图 2，在 MC 上取一点 P，使 MPDE，连接 AP， BDE是等边三角形， BED60 ，BEDE， DEC120 ，BEPM， AEAM， AEMAME， AEBAMP， ABEAPM（SAS） ， APMABC60 ， APC120 DEC， 过点 M 作 AC的平行线交 AP 的延长线于 Q， MPQAPC120 DEC， ACCD， ADCDAC， CDE180 BDEADC180 60 DAC120 DAC， 在 ABC中，ACB180 ABCDAC120 DACCDE， MQ/AC
21、， PMQACB， PMQEDC， MPQDEC（ASA） ， MQCD， ACMQ， APCQPM（AAS） ， CPMP， CMMP+CP2DE； （3）MC+AD 63 2 6 AC 如备用图，在 MC上取一点 P，使 PMDE， 由（2）知，MC2CP2DE， ABEAPM， ABAP， ABC60 ， ABP 是等边三角形， BPAB， BEBD， PEAD， BCBE+PE+CPDE+PE+DE2DE+ADMC+AD， 过点 A作 AHBC 于 H，设 BHm， 在 Rt ABH中，AH 3BH3m， 在 Rt ACH中，ACB45 ， CAH90 ACB45 ACB， CHAH3
22、m，AC 2AH6m， MC+ADBCBH+CHm+ 3m(1+3)m， MC+AD 63 2 6 AC 10 如图， 已知直线 y=kx+8 的与 x 轴正半轴交于点 A， 与 y轴交于点 B， 点 C 在 x轴负半轴上， 直线 y=x+b 经过点 C，直线 y=x+b与直线 AB交于点 E，线段 OA，OC的长满足450OAOC （1）求 OA，OC 的长； （2）求点 E的坐标； （3）若点 P 在 x 轴上，在平面内是否存在点 Q，使以 C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接 写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 【解析】解： （1）450OAOC， 40OA ，50OC
23、40OA ，50OC OA=4，OC=5 （2）OA=4，OC=5 A（4，0） ，C（-5，0） 将 C（-5，0）代入 y=x+b中，得到 0=-5+b b=5，y=x+5 将 A（4，0）代入 y=kx+8，得到 0=4k+8 k=-2，y=-2x+8 联立得 5 28 yx yx 解得 1 6 x y E 点坐标为（1，6） （3）取 CE 的中点 D，过 D 作 CE的垂线，交 x轴于点 P，连接 PE C（-5，0） ，E（1，6） 设 D 点的坐标为（a，b） D 为 CE中点 a= 5 1 2 =-2，b= 06 2 =3 D（-2，3） 设直线 PD的的解析式为 y=kx+b
24、 CEPD k 1=-1 k=-1 再代入 D（-2，3） ，得到 3=-（-2）+b b=1，y=-x+1 在 y=-x+1 中，令 y=0 得到 0=-x+1，x=1 直线与 x 轴交点 P 为（1，0） E 点坐标为（1，6） PEPC 要构造的菱形 CEPQ为正方形 Q 点坐标为（-5，6） 以 C为圆心 CE长为半径作圆，交 x正半轴于点 P，作 EQ/CP 且 EQ=CE，连接 AQ 同一个圆所有半径相等 AC=CE 又EQ 平行且等于 CP 四边形 PQCE 为菱形 C（-5，0） ，E（1，6） CE= 22 5 1066 2 EQ =CE=6 2 Q（1+6 2，6） 以 C
25、为圆心 CE长为半径作圆，交 x负半轴于点 P，作 EQ/AC 且 EQ=CE，连接 AQ 同一个圆所有半径相等 PC=CE 又EQ 平行且等于 CP 四边形 PQCE 为菱形 由知 CE=6 2，E（1，6） Q（1-6 2，6） 以 E为圆心 CE长为半径作圆， 交 x 轴正半轴于点 P， 连接 EP， 作 E关于 x轴的对称点 Q， 连接 CQ、 PQ 同圆半径相等 CE=EP 又Q点与 E点关于 x 轴对称 CE=CQ，PE=PQ CE=EP=PQ=QC 四边形 CEPQ 为菱形 又Q点与 E点关于 x 轴对称，E（1，6） Q（1，-6） 综上所述，存在 Q 点，Q点坐标为（1，-6
26、）或（-5，6）或（1-6 2，6）或（1+62，6） 11如图，已知抛物线 2 yxbxc 经过点 A(-3，0)，C(0，3)，交 x轴于另一点 B，其顶点为 D （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线上一点，直线 CP 交 x轴于点 E，若 CAE与 OCD相似，求 P 点坐标； （3）如果点 F在 y轴上，点 M在直线 AC 上，那么在抛物线上是否存在点 N，使得以 C，F，M，N为顶点 的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由 【解析】 （1）抛物线 2 yxbxc 经过点()3 0A ， (0 3)C， 930 3 bc c ，解得 2 3 b c
27、此抛物线解析式为： 2 23yxx ； （2） 22 23(1)4yxxx=-+ =-+ 顶点( 14)D ， ()3 0A ，(0 3)C，( 14)D ， 3 2AC ，3OAOC， 2CD ，135OCDCAE 点 E只能在 A 点左边 如下图，若CAEDCO 则 2 3 CADC AECO 9AE 9 3 12OEAEOA ( 12 0)E ， (0 3)C， 1 3 4 CE yx 联立 2 23 1 3 4 CE yxx yx 1 1 9 4 39 16 x y ， 2 2 0 3 x y （舍去） 9 39 (,) 4 16 P ； 若CAEOCD 则 3 2 CAOC AECD
28、 AE=2 3 25OEOAAE ( 5 0)E ， (0 3)C， 3 3 5 CE yx 联立 2 23 3 3 5 CE yxx yx 1 1 13 5 36 25 x y ， 2 2 0 3 x y （舍去） 得 13 36 (,) 525 P 因此， 9 39 (,) 4 16 P 或 13 36 (,) 525 ； （3）在抛物线上存在点 N，使得以 C，F，M，N 为顶点的四边形是菱形 若 CF 为对角线，则 CF与 NM 互相垂直平分时，四边形 CNFM 为菱形 45NCFFCMACO 90NCM CNCM，四边形 CNFM 为正方形 N 点与顶点 D 重合 ( 14)D ，
29、( 14)N ， 2CN 菱形 CNFM 的周长为4 2； 若 CF 为菱形的一边，则 /MN CF， /CM FN，NM=NF 时，四边形 CNFM 为菱形 过 F 作 FHNM于 H，设直线 NM交 x轴于 G， 2 ( ,23)N mmm 则( ,3)M m m, (0)G m， NM= 2 323mmm = 2 3mm=NF /CM FN，45ACO 45NFHFNH NF= 2FH 又 FH=OG=m 2 3mm=2 m 32m 或32 m NF=3 2 2 或 NF=3 2 2 菱形周长为12 2 8 或12 2 8 因此，存在菱形，其周长为4 2，8 12 2 或12 2 8 .
30、 12如图，在平面直角坐标系中，点 A(1，4)，点 B(3，2)，连接 OA，OB （1）求直线 OB 与 AB 的解析式； （2）求 AOB 的面积 （3）下面两道小题，任选一道作答作答时，请注明题号，若多做，则按首做题计入总分 在 y 轴上是否存在一点 P，使 PAB周长最小若存在，请直接写出 点 P 坐标；若不存在，请说明理由 在平面内是否存在一点 C，使以 A，O，C，B 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出 点 C 坐标；若不存在，请说明理由 【解析】解： （1）设直线 OB 的解析式为 y=mx， 点 B(3，2)， 22 23 , 33 m myx ， 直线 OB的解析
31、式为 2 3 yx， 设直线 AB的解析式为 y=kx+b， 根据题意可得： 4 32 kb kb 解之得 1 5 k b 直线 AB的解析式为 y= -x+5 故答案为：直线 OB的解析式为 2 3 yx，直线 AB 的解析式为 y= -x+5； （2）如图，延长线段 AB交 x轴于点 D， 当 y=0时，-x+5=0，x=5， 点 D横坐标为 5，OD=5， 11 5 410 22 AODA SODy ， 11 5 25, 22 BODB SODy 5 AOBAODBOD SSS ， 故答案为：5 （3）存在，(0， 7 2 )； 过点 A作 y轴的对称点 A ，连接 A B，交 y轴与点
32、 P，则点 P 即为使 PAB 周长最小的点， 由作图可知，点 A 坐标为( 1,4)，又点 B（3，2） 则直线 A B的解析式为： 17 22 yx ， 点 P 坐标为 7 (0, ) 2 ， 故答案为： 7 (0, ) 2 ； 存在 ( 2,2) 或(4,6)或(2, 2) 有三种情况，如图所示：设点 C坐标为( , ) x y， 当平行四边形以 AO为对角线时， 由中点坐标公式可知，AO的中点坐标和 BC 中点坐标相同， 31 0 240 x y 解得 2 2 x y 点 1 C坐标为( 2,2)， 当平行四边形以 AB为对角线时，AB 的中点坐标和 OC的中点坐标相同，则 03 1 024 x y 4 6 x y 点 2 C的坐标为(4,6)， 当平行四边形以 BO为对角线时，BO 的中点坐标和 AC的中点坐标相同，则 130 420 x y 解得 2 2 x y 点 3 C坐标为(2, 2)， 故答案为：存在，( 2,2) 或(4,6)或(2, 2)