1、 专题 01 全等三角形中的辅助线做法及常见题型 2021 届中考数学压轴大 题专项训练(解析版) 1如图，在ABC中，90ACB，ACBC D是AB的中点，且90EDF，点E在AC上， 点F在BC上 （1）求证：DEDF； （2）若2ACBC，求四边形ECFD的面积 【详解】 （1）证明：ACBC，90ACB， ABC是等腰直角三角形，45AB ， DQ为AB中点， BDAD，CD平分BCA，CDAB 45DCF 90EDF， 90ADEEDC， 90CDFEDC， ， CDF ADE 在ADE和CFD中， ADECDF ADCD ADCF ， ADECFD ASA， DEDF （2）ADE
2、CFD， AEDCFD SS ， S四边形CEDF ADC S ， DQ是AB的中点， 111 2 21 222 ACDACB SS S四边形CEDF=1 2如图，ABC中，点 D在AC边上，且 1 90 2 BDCABD （1）求证：DBAB； （2）点 E 在BC边上，连接AE交BD于点 F，且AFDABC，BECD，求ACB的度数 （3）在（2）的条件下，若16BC ，ABF的周长等于 30，求AF的长 【详解】 （1）证明：BDC90 1 2 ABD，BDC=ABD+A， A90 1 2 ABD BDCBDA180 ， BDA180 BDC90 1 2 ABD ABDA90 1 2 A
3、BD DBAB 解： （2）如图 1，作 CHBE，连接 DH， AFDABC，AFDABDBAE，ABCABDDBC， BAEDBC 由（1）知，BADBDA， 又EACBADBAE，CADBDBC， CAEC AECE BECH， BEEHCHEH 即 BHCEAE ABBD， BDH ABE BEDH BECD， CHDHCD DCH 为等边三角形 ACB 60 （3）如图 2，过点 A作 AOCE，垂足为 O DHAE， CAECDH60 ，AECDHC60 ACE是等边三角形 设 ACCEAEx，则 BE16x， DHAE， BFE BDH 16BFBEEFx BDBHDHx 161
4、6xx BFBDAB xx ， 2 1616xx EFDH xx ABF的周长等于 30， 即 ABBFAFAB 16x AB x x 2 16x x =30， 解得 AB16 8 x 在 Rt ACO中，AC 2 x ，AO 3 2 x ， BO16 2 x 在 Rt ABO中，AO2BO2AB2， 即 22 2 1616 428 xxx x 解得 1 0 x （舍去） 2 256 21 x AC 256 21 AF11 3已知：在AOB和COD中，OAOB，OCOD （1）如图，若60AOBCOD 求证：ACBD 求证：APB的度数 图 （2）如图，若AOBCOD，APD的大小为_（直接写
5、出结果，不证明） 图 【详解】 解:（1） 60AOBCOD， AOBBOCCODBOC， AOCBOD， 在AOC和BOD中， AOBO AOCBOD OCOD ， AOCBOD SAS ， ACBD AOCBOD， OACOBD， OACAOBOBDAPB， 60OACOBDAPB， 60APB； （2）如图，同理可得：()AOCBOD SAS ， ACBD AOCBOD， OACBOD， OACAOBOBDAPB， OACOBDAPB APB 故答案为：ACBD，APB 4如图，在ABC中，ADBC于点D，ADBD ，点E是线段AD上一点，且EDCD，连接BE 交AC于点F （1）求证：
6、CBFDAC； （2）若3BD， 14BF ，求BAF的周长 【详解】 解： （1）证明：ADBC， ADC=ADB=90 ， 在 ACD 和 BED 中， ADBD ADCBDE CDED ACDBED（SAS） ， DAC=CBF； （2）ADBC，AD=BD=3， 22 3 2,ABADBD DAC=CBF， DAC+C=CBF+C=90 ， AFB=90 ， 22 2AFABBF ， BAF的周长为：AB+BF+AF=3 2 142 5在 ABC中，BAC=90 ，AC=AB，点 D 为直线 BC上的一动点，以 AD为边作 ADE（顶点 ADE 按逆时针方向排列） ，且DAE=90 ，
7、AD=AE，连接 CE （1）如图 1，若点 D在 BC边上（点 D与 BC不重合） ， 求证： ABDACE； 求证： 222 DEBDCD （2）如图 2，若点 D在 CB的延长线上，若 DB=5，BC=7，则 ADE的面积为_ （3）如图 3，若点 D在 BC的延长线上，以 AD为边作等腰 Rt ADE，DAE=90 ，连结 BE，若 BE=10， BC=6，则 AE的长为_ 【详解】 （1）BAC=DAE， BAD=CAE， 又AB=AC，AD=AE， ABDACE， ABDACE， ABD=ACE，BD=CE， ABD+ACB=ACE+ACB=DCE=90 ， 22222 DECDC
8、ECDBD； （2）过点 A作 AFDE于点 F ADAE， 点 F是 DE的中点， DAE90 ， AF 1 2 DE， 同理可证 ABDACE， ADBAEC，DBEC， DB5，BC7， EC5，DC12， DAE90 ， ADEAED90 ， ADCCDEAED90 ， AECAEDCDE90 ， 即CEDCDE90 ， ECD90 ， DE2CE2CD225144169， DE0， DE13， AF 13 2 ， ADE 的面积为 1 2 DEAF 1 2 1313 2 169 4 ； （3）由（1）可知： ABDACE， BDCE，ABDACE， BCE=ACB+ACE=ACB+A
9、BD=90 ， Rt BCE 中，BE10，BC6， CE 22 10 -6 8， BDCE8， CD862， Rt DCE 中，DE 22 28 = 68， ADE 是等腰直角三角形， AE 2 DE 68 2 = 34 6如图在RtABC中，ABAC，90BAC，O为BC的中点 （1）写出点O到ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系 （2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持ANBM，请判断OMN的形状，并 证明你的结论 （3）当点M、N分别在AB、AC上运动时，四边形AMON的面积是否发生变化？说明理由 【详解】 （1）连接 OA， RtABC中，O为BC的中点， 1
10、2 OABC，OCOB， 1 2 2 OAOBOB ， OA OBOC （2）OMN是等腰直角三角形，证明如下： ABAC，O为BC的中点， AO BC， 90AOB， OAOBOC， 45CAOB ， 在OAN与OBM中， OAOB CAOB ANBM ， OANOBM， OM ON，NOAMOB， 90NOMAOB， OMN是等腰直角三角形 （3）四边形AMON的面积保持不变，理由如下： 由（2）可得： OAN S= OBM S， OANAOMOBMAOMAOBAMON SSSSSS 四边形 AOB的面积保持不变 四边形AMON的面积保持不变 7如图，直线 22yx 与x轴、y轴分别交于A
11、、B两点，直线 1 1 2 yx与x轴、y轴分别交于D、 C两点，与直线AB交于点M （1）填空：点B的坐标是（_，_） ，点D的坐标是（_，_） ； （2）直线AB与直线CD的位置关系_； （3）线段DM的长为_； （4）在第一象限是否存在点P，使得ABP是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标 _ 【详解】 （1）令0 x，222yx ，令0y ，则220yx ，解得1x ， ,1,0,20AB； 令0 x， 1 11 2 yx ，令0y ，则 1 10 2 yx ，解得2x， 0,1 ,2,0CD ； （2）直线AB与直线CD垂直，理由如下： 1,0 ,0,2 ,AB0,1
12、,2,0CD ， 1,2OAOCOBOD 在AOB和COD中，90 OAOC AOBCOD OBOD ()AOBCOD SASVV ， ABOCDO ,90DCOBCMCDODCO ， 90ABOBCM， 90BMC， ABDM， 直线AB与直线CD垂直； （3） 22 1 1 2 yx yx 解得 2 5 6 5 x y ， 点 M 的坐标为 2 6 , 5 5 ， 线段DM的长为 22 266 5 2 555 ； （4）假设存在点 P，使得ABP是等腰直角三角形， 若 AB为斜边，过点 P 分别作 x 轴和 y轴的垂线，分别交 x轴于点 E，y轴于点 F， ABP 是等腰直角三角形， ,9
13、0BPAPBPA 90,90BPFFPAAPEFPA ， BPFAPE 在BFP和PEA中， 90BFPAEP BPFAPE BPAP ()BFPPEA AASVV ， FPPE 设点 P 的坐标为, x y， 则x y APBP 22 22 12xyxy， 解得 3 2 3 2 x y 此时点 P 的坐标为 3 3 , 2 2 P ； 若 AB边为直角边， 过点 P 作PGx轴交 x 轴于点 G， ABP 是等腰直角三角形， ,90ABAPBAP 90 ,90OBAOABOABPAG ， OBAPAG 在AOB和PGA中， 90AOBPGA OBAPAG ABAP ()AOBPGA AASV
14、V ， ,OAPG OBAG 1,2OAOB ， 1,2PGAG ， 3OGOAAG， 此时 P 的坐标为3,1 ， 过点 P 作PH y 轴交 y 轴于点 H， ABP 是等腰直角三角形， ,90ABBPABP 90 ,90OBAOABOBAPBH ， OABPBH 在AOB和PHB中， 90AOBPHB OABPBH ABBP ()AOBPHB AASVV， ,OABH OBPH 1,2OAOB ， 1,2BHPH， 3OHOBBH， 此时 P 的坐标为2,3 ， 综上所述，点 P 的坐标为 3 3 , 2 2 P 或3,1或2,3 8如图 1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放
15、在一起，并且有公共的直角顶点O 1将图 1 中的OAB绕点O顺时针旋转90，在图 2 中作出旋转后的 OAB(保留作图痕迹，不写作法， 不证明)； 2在图1中， 你发现线段 ,AC BD的数量关系是_， 直线 ,AC BD相交成 角(填“锐”、 “钝”或“直”)； 3将图 1中的OAB绕点O顺时针旋转一个锐角， 得到图3， 这时(2)中的两个结论是否仍成立?作出判 断并说明理由； 若将OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由 【详解】 解： （1）如图所示 （2）等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，如图 1， OC=OD，OA=OB AC=BD，ACBD 故答
16、案为：ACBD；直 （3）将图 1 中的OAB绕点O顺时针旋转一个锐角， 1的两个结论成立； 理由如下： 旋转一个锐角后，90 ,90COAAODBODAOD ， COABOD， 在COA和DOB中， OCOD COABOD OAOB COADOB SAS ACBD 延长CA交OD于 E，交BD于E， ,COADOB OCABDO，又 ,DEFCEO 90CFDCOD ACBD 将OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立理由同上 9 问题背景： 我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质： 在直角三角形中， 如果一个锐角等于30， 那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图（1） ，在Rt
17、 ABC中，90ACB ，30ABC ，则 1 2 ACAB 探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究 （1）如图（1） ，作AB边上的中线CE，得到结论：ACE为等边三角形；BE与CE之间的数量关 系为_ （2） 如图 （2） ，CE是ABC的中线， 点 D 是边CB上任意一点， 连接AD， 作等边ADP， 且点 P 在ACB 的内部，连接BP试探究线段BP与DP之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明 （3）当点 D为边CB延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段BP与DP之间存在怎样的数量 关系？直接写出答案即可 【详解】 （1）BECE， 90 ,30ACBB ， 60A ，
18、CE为AB边上的中线， 1 2 ACABAEEB， ACE是等边三角形， ECAEEB （2）PDPB 证明：如图，连接PE， ACEADP，都是等边三角形， ,60ACAE ADAPCAEDAP ， CADEAP， CADEAP， 90ACDAEP ， PEAB EAEB， PAPB DPAP， PDPB； （3）当点 D为边CB延长线上任意一点时，同（2）中的方法可证PDPB 10如图 1，在 Rt ABC中，A90 ，ABAC，点 D，E分别在边 AB，AC上，ADAE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC的中点 （1）观察猜想：图 1中，线段 PM与 PN的数量关系是
19、，位置关系是 ； （2）探究证明：把 ADE绕点 A逆时针方向旋转到图 2的位置，连接 MN，BD，CE，判断 PMN 的形状， 并说明理由； （3）拓展延伸：把 ADE绕点 A在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出 PMN面积的最大 值 【详解】 解： （1）点P，N是BC，CD的中点， / /PNBD， 1 2 PNBD， 点P，M是CD，DE的中点， / /PMCE， 1 2 PMCE， ABAC，ADAE， BDCE， PMPN， /PNBD， DPNADC， /PMCE， DPMDCA， 90BAC， 90ADCACD， 90MPNDPMDPNDCAADC， PMPN，
20、故答案为：PMPN，PMPN； （2）PMN是等腰直角三角形 由旋转知，BADCAE， ABAC，ADAE， ()ABDACE SAS ， ABDACE，BDCE， 利用三角形的中位线得， 1 2 PNBD， 1 2 PMCE， PMPN， PMN是等腰三角形， 同（1）的方法得，/PMCE， DPMDCE， 同（1）的方法得，/PNBD， PNCDBC， DPNDCBPNCDCBDBC， MPNDPMDPNDCEDCBDBC BCEDBCACBACEDBC ACBABDDBCACBABC， 90BAC， 90ACBABC， 90MPN， PMN是等腰直角三角形； （3）方法 1：如图 2，同
21、（2）的方法得，PMN是等腰直角三角形， MN最大时，PMN的面积最大， /DEBC且DE在顶点A上面， MN最大AMAN， 连接AM，AN， 在ADE中，4ADAE，90DAE， 2 2AM ， 在Rt ABC中，10ABAC， 5 2AN ， 2 25 27 2MN 最大 ， 222 111149 (7 2) 22242 PMN SPMMN 最大 方法 2：由（2）知，PMN是等腰直角三角形， 1 2 PMPNBD， PM最大时，PMN面积最大， 点D在BA的延长线上， 14BDABAD， 7PM， 22 1149 7 222 PMN SPM 最大 11在 ABC 中，ACB=90 ，AC
22、=BC，直线 MN经过点 C，且 ADMN于 D，BEMN于 E (1)当直线 MN绕点 C旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE； (2)当直线 MN绕点 C旋转到图 2 的位置时，直接写出 DE、AD、BE的关系为：_； (3)当直线 MN绕点 C旋转到图 3 的位置时， 试问 DE、 AD、 BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系， 并加以证明 【详解】 （1）证明：如下图： ACB=90 ， ACD+BCE=90 ， 而 ADMN于 D，BEMN于 E， ADC=CEB=90 ，BCE+CBE=90 ， ACD=CBE 在 ADC 和 CEB 中， ADCC
23、EB ACDCBE ACCB ， ADCCEB， AD=CE，DC=BE， DE=DC+CE=BE+AD； （2）证明：在 ADC和 CEB 中， 90ADCCEB ACDCBE ACCB ， ADCCEB， AD=CE，DC=BE， DE=CE- -CD=AD- -BE； （3）DE=BE- -AD 易证得 ADCCEB， AD=CE，DC=BE， DE=CD- -CE=BE- -AD 12 （1） （方法探索）如图1，在等边ABC中，点P在ABC内，且6PA，8PC ，120APB ， 求PB的长 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把APC绕着点A顺时针旋转60得到APB，连
24、接 PP ，分别证明 APP 和 BPP 是特殊三角形，从而得解请在此思路提示下，求出 PB的长 解：把APC绕着点A顺时针旋转60得到APB，连接 PP，请接着写下去： （2） （方法应用）请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题 如图2，点P在等边ABC外，且 4PA，3PB，120APB，若2 10AB ，求APB度数； 如图3，在ABC中，90BAC ， 10ABAC ，P是ABC外一点，连接PA、PB、PC已 知45APB，2PB 请直接写出PC的长 【详解】 解： （1）如图 1 中，把APC绕着点A顺时针旋转60得到AP B，连接PP， 由旋转不变性可知，6APAP ，8BPP
25、C ，150APCAP B ，P ABPAC ， 60P APBAC ， AP P 为等边三角形， 6P PPA ，60AP P， 1506090PP B 在BP P中， 6P P，8BP ， 2222 6810PBPPP B （2）如图 2 中，把APB绕着点B顺时针旋转60得到BCD，连接PD， ABC是等边三角形， 2 10ABBC，60ABC， 由旋转不变性可知，4APCD，3BPBD，120APBBDC ，PBADBC， 60PBDABC ， PBD为等边三角形， 60BDP， 180BDPBDC， P，D，C共线， 2 10ABBC，3PB， 347PC ， 222 PBBCPC， 90PBC， 60ABC， 906030ABP 如图 3中，过点A作ADAP，使得ADAP，连接PD，BD PAD，ABC都是等腰直角三角形， ADAP，ABAC，PADBAC， ()DABPAC SAS ， DBPC， 45APDAPB ， 90DPB， 过点B作BHPA于H， 2PBQ，45BPH， 2BHPH， 在Rt ABH中，90AHB，10AB =， 2BH ， 22 1022 2AHABBH ， 3 2APAD， 26PDPA， 在Rt DPB中， 2222 622 10BDPDPB ， 2 10PCBD