1、2020 年湖南省株洲市荷塘区中考数学模拟试卷（年湖南省株洲市荷塘区中考数学模拟试卷（7 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1计算13的结果是（ ） A1 B1 C3 D3 2截止 2020 年 5 月 3 日，我国新冠疫情得到有效控制，但世界累计确诊 3395978 人，将 3395978 人用科 学记数法（保留三个有效数字）表示应为（ ） A3.395106 B3.395107 C3.40106 D3.40107 3下列计算错误的是 ） Ax7xx6 Bx3x32x6 C （3x2）29x4 D （
2、x3）2x6 4实数 m，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ） Amn Bn|m| Cm|n| D|m|n| 5数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边 的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示） ”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理 复原了海岛算经九题古证，下列说法不一定成立的是（ ） ASABCSADC BS矩形NFGDS矩形EFMB CSANFS矩形NFGD DSAEFSANF 6 如图， 在 54 的正方形网格中， 每个小正方形的边长都是 1， ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上， 则 sinBAC
3、 的值为（ ） A B C D 7估计的值应在（ ） A5 和 6 之间 B6 和 7 之间 C7 和 8 之间 D8 和 9 之间 8如图，AD 是O 的直径，若AOB36，则圆周角BPC 的度数是 ） A36 B45 C54 D72 9如图，正方形 ABCD 的面积为 144，菱形 BCEF 的面积为 108，则 S阴影（ ） A18 B36 C D 10如图，抛物线 y2x2+8x6 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1向 右平移得 C2，C2与 x 轴交于点 B，D若直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围 是（
4、 ） A2m B3m C3m2 D3m 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 32 分）分） 11若整式 x2+my2（m 为常数，且 m0）能在有理数范围内分解因式，则 m 的值可以是 （写一个 即可） 12据 4 月 13 日新华社报道，我国由陈薇院士组织的腺病毒载体重组新冠病毒疫苗率先进入第二期临床试 验我们从中选取甲、乙、丙三组各有 7 名志愿者，测得三组志愿者的体重数据的平均数都是 58，方差 分别为 S甲 236，S 乙 225，S 丙 216，则数据波动最小的一组是 13甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植树
5、5 棵，甲班植 80 棵树所用天数与乙班植 70 棵树所用天数相等若设甲班每天植树 x 棵，则根据题意列出的方程是 14 若随机掷一枚均匀的骰子， 骰子的6个面上分别刻有1， 2， 3， 4， 5， 6点， 则点数不小于3的概率是 15如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽 BC6 厘米，长 CD16 厘米的矩形当水面触到杯口边缘时，边 CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘米 16如图，M、N 分别是O 的内接正五边形 ABCDE 的边 AB、BC 上的点，且 BMCN，连接 OM、ON， 则MON 的度数是 17如图，一次函数 y1（k5）x+b 的图象
6、在第一象限与反比例函数 y2的图象相交于 A，B 两点，当 y1y2时，x 的取值范围是 1x4，则 k 18在ABC 中，若其内部的点 P 满足APBBPCCPA120，则称 P 为ABC 的费马点如图 所示，在ABC 中，已知BAC45，设 P 为ABC 的费马点，且满足PBA45，PA4，则 PAC 的面积为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 78 分，需要必要的推理与解答过程）分，需要必要的推理与解答过程） 19计算：+（） 22cos60+（2）0 20先化简，再求值：，其中 2x+4y10 21如图，在某街道路边有相距 10m、高度相同的两盏路灯（
7、灯杆垂直地面） ，小明为了测量路灯的高度， 在地面 A 处测得路灯 PQ 的顶端仰角为 14， 向前行走 25m 到达 B 处， 在地面测得路灯 MN 的顶端仰角 为 24.3，已知点 A，B，Q，N 在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度 （结果 精确到 0.1m参考数据：sin140.24，cos140.97，tan140.25，sin24.30.41，cos24.3 0.91，tan24.30.45） 22某校为了解七、八年级学生对“新冠”传播与防治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学 生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析部分信息如下： a七年
8、级成绩频数分布直方图： b七年级成绩在 70 x80 这一组的是： 70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79 c七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 a 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在 80 分以上的有 人； （2）表中 a 的值为 （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的排 名谁更靠前，并说明理由； （4） 该校七年级学生有 1600 人， 假设全部参加此次测试， 请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数 23如图，点 P
9、 是菱形 ABCD 对角线 BD 上一点，连接 CP 并延长，交 AD 于 E，交 BA 的延长线于 F， （1）求证：BCPBAP； （2）若 AB3，DP：PB1：3，且 PABF，求 PA 和 BD 的长 24如图，已知ABC，以 AC 为直径的O 交边 AB 于点 E，BC 与O 相切 （1）若ABC45，求证：AEBE； （2）点 D 是O 上一点，点 D，E 两点在 AC 的异侧若EAC2ACD，AE6，CD4，求O 半径的长 25如图，直线 yax+b（a0）与双曲线（k0）交于一、三象限内的 A，B 两点与 x 轴交于点 C， 点 A 的坐标为（2，m） ，点 B 的坐标为（1
10、，n） ，cosAOC （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）点 Q 为 y 轴上一点，ABQ 是以 AB 为直角边的直角三角形，求点 Q 的坐标； （3）点 P（s，t） （s2）在直线 AB 上运动，PMx 轴交双曲线于 M，PNy 轴交双曲线于 N，直线 MN 分别交 x 轴，y 轴于 E，D，求的值 26如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，其中 A（3，0） ，B（1，0） ，与 y 轴交于点 C， 抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，直线 ykx+b1经过点 A，C，连接 CD （1）求抛物线和直线 AC 的解析式： （2）若抛物线上存在一点 P，使
11、ACP 的面积是ACD 面积的 2 倍，求点 P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 Q，使线段 AQ 绕 Q 点顺时针旋转 90得到线段 QA1，且 A1好 落在抛物线上？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2020 年湖南省株洲市荷塘区中考数学模拟试卷（年湖南省株洲市荷塘区中考数学模拟试卷（7 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1计算13的结果是（ ） A1 B1 C3 D3 【分析】利用乘方的意义进行判断 【解答】解：131 故选：A 2截止 2020 年 5 月 3 日，我国新冠疫情得到有效控制，
12、但世界累计确诊 3395978 人，将 3395978 人用科 学记数法（保留三个有效数字）表示应为（ ） A3.395106 B3.395107 C3.40106 D3.40107 【分析】用科学记数法保留有效数字，要在标准形式 a10n中 a 的部分保留，从左边第一个不为 0 的数 字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍 【解答】解：33959783.40106 故选：C 3下列计算错误的是 ） Ax7xx6 Bx3x32x6 C （3x2）29x4 D （x3）2x6 【分析】分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法 则逐一
13、判断即可 【解答】解：A、x7xx6，故本选项不合题意； B、x3x3x6，故本选项符合题意； C、 （3x2）29x4，故本选项不合题意； D、 （x3）2x6，故本选项不合题意； 故选：B 4实数 m，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ） Amn Bn|m| Cm|n| D|m|n| 【分析】从数轴上可以看出 m、n 都是负数，且 mn，由此逐项分析得出结论即可 【解答】解：因为 m、n 都是负数，且 mn，|m|n|， A、mn 是错误的； B、n|m|是错误的； C、m|n|是正确的； D、|m|n|是错误的 故选：C 5数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的
14、“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边 的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示） ”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理 复原了海岛算经九题古证，下列说法不一定成立的是（ ） ASABCSADC BS矩形NFGDS矩形EFMB CSANFS矩形NFGD DSAEFSANF 【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论 【解答】解：ADEGBC，MNABCD 四边形 AEFN 是平行四边形，四边形 FMCG 是平行四边形 SAEFSAFN，SFMCSCGF，SABCSACD， S矩形BEFMS矩形NFGD， 选项 A、B、D 是正确的，
15、当 AN2ND 时，SANFS矩形NFGD，所以此式子不一定成立， 故选：C 6 如图， 在 54 的正方形网格中， 每个小正方形的边长都是 1， ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上， 则 sinBAC 的值为（ ） A B C D 【分析】过 C 作 CDAB 于 D，首先根据勾股定理求出 AC，然后在 RtACD 中即可求出 sinBAC 的 值 【解答】解：如图，过 C 作 CDAB 于 D，则ADC90， AC5 sinBAC 故选：D 7估计的值应在（ ） A5 和 6 之间 B6 和 7 之间 C7 和 8 之间 D8 和 9 之间 【分析】化简原式等于 3，因为 3，所以，即
16、可求解； 【解答】解：+23， 3， 67， 故选：B 8如图，AD 是O 的直径，若AOB36，则圆周角BPC 的度数是 ） A36 B45 C54 D72 【分析】求出BOC，利用圆周角定理即可解决问题 【解答】解：， AOBCOD36， BOC1803636108， BPCBOC54， 故选：C 9如图，正方形 ABCD 的面积为 144，菱形 BCEF 的面积为 108，则 S阴影（ ） A18 B36 C D 【分析】 先根据正方形和菱形的面积公式可得正方形的边长为 12， CG9， 根据勾股定理可得 EG 的长， 从而根据三角形面积公式可得结论 【解答】解：如图，由题意，正方形边长
17、为 12， 四边形 BCEF 是菱形， EFBC， BCD90， CGE90， 菱形 BCEF 的面积为 108， BCCG108， 12CG108， CG108129， CEBC12， RtCGE 中，由勾股定理得：EG3， 阴影部分三角形 AB 边上的高 故选：C 10如图，抛物线 y2x2+8x6 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1向 右平移得 C2，C2与 x 轴交于点 B，D若直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围 是（ ） A2m B3m C3m2 D3m 【分析】首先求出点 A 和点 B 的坐标，然后求
18、出 C2解析式，分别求出直线 yx+m 与抛物线 C2相切时 m 的值以及直线 yx+m 过点 B 时 m 的值，结合图形即可得到答案 【解答】解：令 y2x2+8x60， 即 x24x+30， 解得 x1 或 3， 则点 A（1，0） ，B（3，0） ， 由于将 C1向右平移 2 个长度单位得 C2， 则 C2解析式为 y2（x4）2+2（3x5） ， 当 yx+m1与 C2相切时， 令 yx+m1y2（x4）2+2， 即 2x215x+30+m10， 8m1150， 解得 m1， 当 yx+m2过点 B 时， 即 03+m2， m23， 当3m时直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不
19、同的交点， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11若整式 x2+my2（m 为常数，且 m0）能在有理数范围内分解因式，则 m 的值可以是 1 （写一个 即可） 【分析】令 m1，使其能利用平方差公式分解即可 【解答】解：令 m1，整式为 x2y2（x+y） （xy） 故答案为：1（答案不唯一） 12据 4 月 13 日新华社报道，我国由陈薇院士组织的腺病毒载体重组新冠病毒疫苗率先进入第二期临床试 验我们从中选取甲、乙、丙三组各有 7 名志愿者，测得三组志愿者的体重数据的平均数都是 58，方差 分别为 S甲 236，S 乙 225，S 丙 216，则数据波动最小的一组是 丙
20、 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案 【解答】解：S甲 236，S 乙 225，S 丙 216， S甲 2S 乙 2S 丙 2， 数据波动最小的一组是丙； 故答案为：丙 13甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植树 5 棵，甲班植 80 棵树所用天数与乙班植 70 棵树所用天数相等若设甲班每天植树 x 棵，则根据题意列出的方程是 【分析】设甲班每天植树 x 棵，根据甲班每天比乙班多植树 5 棵，甲班植 80 棵树所用天数与乙班植 70 棵树所用天数相等列出方程 【解答】解：设甲班每天植树 x 棵， 故答案为： 14若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的 6 个面上分别
21、刻有 1，2，3，4，5，6 点，则点数不小于 3 的概率是 【分析】骰子六个面出现的机会相同，求出骰子向上的一面点数不小于 3 的情况有几种，直接应用求概 率的公式求解即可 【解答】解：随机掷一枚均匀的骰子有 6 种等可能结果，其中点数不小于 3 的有 4 种结果， 所以点数不小于 3 的概率为， 故答案为： 15如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽 BC6 厘米，长 CD16 厘米的矩形当水面触到杯口边缘时，边 CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 9.6 厘米 【分析】直接利用勾股定理得出 BF 的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案 【解答】解：
22、如图所示：作 BEAE 于点 E， 由题意可得，BC6cm，CFDC8cm， 故 BF10（cm） ， 可得：CFBBAE，CAEB， 故BFCBAE， ， ， 解得：BE9.6 故答案为：9.6 16如图，M、N 分别是O 的内接正五边形 ABCDE 的边 AB、BC 上的点，且 BMCN，连接 OM、ON， 则MON 的度数是 72 【分析】OBMOCN 就可以证明MOBNOC，从而得到MONBOC 即可求解 【解答】解：连接 OB、OC 五边形形 ABCD 是O 的内接五边形， OBOC，BOC72， OBCOCB54， MBONCO54， 在BOM 与CON 中， ， OBMOCN（S
23、AS） ， MOBNOC， MONBOC72； 故答案为：72 17如图，一次函数 y1（k5）x+b 的图象在第一象限与反比例函数 y2的图象相交于 A，B 两点，当 y1y2时，x 的取值范围是 1x4，则 k 4 【分析】根据题意知，将反比例函数和一次函数联立，A、B 的横坐标分别为 1、4，代入方程求解得到 k 的值 【解答】解：由已知得 A、B 的横坐标分别为 1，4， 所以有 解得 k4， 故答案为 4 18在ABC 中，若其内部的点 P 满足APBBPCCPA120，则称 P 为ABC 的费马点如图 所示，在ABC 中，已知BAC45，设 P 为ABC 的费马点，且满足PBA45
24、，PA4，则 PAC 的面积为 4 【分析】如图，延长 BP 交 AC 于 D，先说明ABD 是等腰直角三角形，ADP 是 30的直角三角形， 可得 PD 和 AD 的长，根据费马点的定义可得APC120，从而可知PDC 也是 30的直角三角形， 可得 CD 的长，根据三角形的面积公式可得结论 【解答】解：如图，延长 BP 交 AC 于 D， BACPBA45， ADB90，ADBD， P 为ABC 的费马点， APBCPA120， BAP1801204515， PAC451530， APD60， RtPAD 中，PA4， PD2，AD2， APC120， CPD1206060， RtPDC
25、中，PCD30， CD2， ACAD+CD2+24， PAC 的面积为4 故答案为：4 三解答题三解答题 19计算：+（） 22cos60+（2）0 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、立方根、零指数幂的性质分别化简得出答 案 【解答】解：原式2+42+1 2+41+1 6 20先化简，再求值：，其中 2x+4y10 【分析】先把分式按照运算顺序计算化简，进一步整理 2x+4y10，整体代入求得答案即可 【解答】解：原式 ， 2x+4y10， x+2y， 原式2 21如图，在某街道路边有相距 10m、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面） ，小明为了测量路灯的高度， 在地面 A
26、处测得路灯 PQ 的顶端仰角为 14， 向前行走 25m 到达 B 处， 在地面测得路灯 MN 的顶端仰角 为 24.3，已知点 A，B，Q，N 在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度 （结果 精确到 0.1m参考数据：sin140.24，cos140.97，tan140.25，sin24.30.41，cos24.3 0.91，tan24.30.45） 【分析】设 PQMNxm，根据正切的定义分别用 x 表示出 AQ、BN，根据题意列式计算即可 【解答】解：设 PQMNxm， 在 RtAPQ 中，tanA， 则 AQ4x， 在 RtMBN 中，tanMBN， 则 BNx， AQ
27、+QNAB+BN， 4x+1025+x， 解得，x8.4， 答：路灯的高度约为 8.4m 22某校为了解七、八年级学生对“新冠”传播与防治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学 生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析部分信息如下： a七年级成绩频数分布直方图： b七年级成绩在 70 x80 这一组的是： 70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79 c七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 a 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在 80 分以上的有 23 人； （2）表中
28、 a 的值为 77.5 （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的排 名谁更靠前，并说明理由； （4） 该校七年级学生有 1600 人， 假设全部参加此次测试， 请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数 【分析】 （1）根据频数分布表中的数据可以得到在这次测试中，七年级在 80 分以上的人数； （2）根据统计图和统计表中的数据和七年级成绩在 70 x80 这一组的数据，可以求得 a 的值； （3）根据统计表中的数据可以得到两位学生在各自年级的排名谁更靠前； （4）根据统计图中的数据和题目中的数据可以计算出七年级成绩超过平均数 76.9
29、分的人数 【解答】解： （1）在这次测试中，七年级在 80 分以上的有 15+823（人） ， 故答案为：23； （2）50 x70 的有 6+1016（人） ，七年级成绩在 70 x80 这一组的是：70，72，74，75，76， 76，77，77，77，78，79，七年级抽查了 50 名学生， a（77+78）277.5， 故答案为：77.5； （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，七年级学生甲在本年级的排名谁 更靠前， 理由：七年级的中位数是 77.5，八年级的中位数是 79.5， 7877.5，7879.5， 在这次测试中， 七年级学生甲与八年级学生乙的成
30、绩都是 78 分，七年级学生甲在本年级的排名谁更靠 前； （4）1600896（人） ， 答：七年级成绩超过平均数 76.9 分的有 896 人 23如图，点 P 是菱形 ABCD 对角线 BD 上一点，连接 CP 并延长，交 AD 于 E，交 BA 的延长线于 F， （1）求证：BCPBAP； （2）若 AB3，DP：PB1：3，且 PABF，求 PA 和 BD 的长 【分析】 （1）直接利用菱形的性质结合全等三角形的判定方法得出：BCPBAP； （2）直接利用已知得出CDPFBP，可得 BF 的长，再利用勾股定理得出答案 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形， CBDABD，BC
31、AB， 在CBD 和ABD 中， ， CBDABD（SAS） ， BCPBAP； （2）解：AB3， CD3， DCAB， CDPFBP， ， BF3CD9， AF6， PABF， BCCF， RtBCF 中， CF6， PFCF， RtPAF 中，PA3， RtABP 中，BP3， BDBP32 24如图，已知ABC，以 AC 为直径的O 交边 AB 于点 E，BC 与O 相切 （1）若ABC45，求证：AEBE； （2）点 D 是O 上一点，点 D，E 两点在 AC 的异侧若EAC2ACD，AE6，CD4，求O 半径的长 【分析】 （1）连接 CE，根据切线的性质和圆周角定理得到ACBAE
32、C90，得到ABCBAC 45，根据等腰直角三角形的性质得到结论； （3）连接 DO 并延长交 CE 于 F，根据圆周角定理得到EACAOD，根据平行线的性质得到DFC AEC90， 求得 EFCF， 根据三角形中位线定理得到 OFAE63， 设O 的半径为 r， 根据勾股定理即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 CE， AC 为O 的直径，BC 与O 相切， ACBAEC90， ABC45， ABCBAC45， ACBC， AEBE； （3）连接 DO 并延长交 CE 于 F， EAC2ACD，AOD2ACD， EACAOD， DFAE， DFCAEC90， EFCF， OAOC， OF
33、AE63， 设O 的半径为 r， 在 RtOCF 中，CF2r232， 在 RtDCF 中，CF2（4）2（r+3）2， r232（4）2（r+3）2， 解得：r5（负值舍去） ， O 半径的长为 5 25如图，直线 yax+b（a0）与双曲线（k0）交于一、三象限内的 A，B 两点与 x 轴交于点 C， 点 A 的坐标为（2，m） ，点 B 的坐标为（1，n） ，cosAOC （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）点 Q 为 y 轴上一点，ABQ 是以 AB 为直角边的直角三角形，求点 Q 的坐标； （3）点 P（s，t） （s2）在直线 AB 上运动，PMx 轴交双曲线于 M，P
34、Ny 轴交双曲线于 N，直线 MN 分别交 x 轴，y 轴于 E，D，求的值 【分析】 （1）如图，连接 OA，作 AHOE 于 H解直角三角形求出 OA，AH，可得点 A 的坐标，再构 建方程组求出点 B 的坐标，利用待定系数法即可解决问题 （2）分两种情形QAB90，QBA90，利用相似三角形的性质求出 OQ 或 OQ即可解 决问题 （3） 证明MNPODE， 可得 tanCDEtanMNP， 推出推出 1 【解答】解： （1）如图，连接 OA，作 AHOE 于 H cosAOC， OA， AH3， A（2，3） ， 点 A 在 y上， k6， ， B（1，6） ， 设直线 AB 的解析式
35、为 yax+b，则有， 解得 直线 AB 的解析式为：y3x3 （2）如图，过点 A 作 AQAB 交 OD 于 Q，连接 BQ，设 PB 交 y 轴于 T 由题意 T（0，3） ，C（1，0） ，CT，AT2， OTCATQ，TOCTAQ90， TOCTAQ， ， ， TQ， OQQTOT3， Q（0，） ， 当 BQAB 时，同法可得 Q（0，） 综上所述，满足条件的点 Q 坐标为（0，）或（0，） （3）P（s，t） ，PMx 轴，PNy 轴， M（，t） ，N（s，） ， PMsPNt， PNOD， MNPODE， tanCDEtanMNP， ， 点 P 在直线 y3x3 上， t3s
36、3， 1 26如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，其中 A（3，0） ，B（1，0） ，与 y 轴交于点 C， 抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，直线 ykx+b1经过点 A，C，连接 CD （1）求抛物线和直线 AC 的解析式： （2）若抛物线上存在一点 P，使ACP 的面积是ACD 面积的 2 倍，求点 P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 Q，使线段 AQ 绕 Q 点顺时针旋转 90得到线段 QA1，且 A1好 落在抛物线上？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将点 A，B 坐标代入抛物线解析式中，求出 b，c 得出抛
37、物线的解析式，进而求出点 C 的坐 标，再将点 A，C 坐标代入直线 AC 的解析式中，即可得出结论； （2）当点 P 在 AC 下方时，利用抛物线的对称性得出 BDAD，进而判断出ABC 的面积和ACP 的面 积相等， 当点 P 在 AC 下方时， 利用三角形面积公式建立方程，判断出此方程无实数根，即可得出结论； （3）分点 Q 在 x 轴上方和在 x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论 【解答】解： （1）把 A（3，0） ，B（1，0）代入 yx2+bc+c 中，得， ， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3； 当 x0 时，y3， 点 C 的坐标是（0，3） ， 把 A（3，0）和 C（
38、0，3）代入 ykx+b1中，得 直线 AC 的解析式为 yx+3； （2）当点 P 在直线 AC 下方时，如图 1，连接 BC， 点 D 是抛物线与 x 轴的交点， ADBD， SABC2SACD， SACP2SACD， SACPSABC，此时，点 P 与点 B 重合， 即：P（1，0） ， 过 B 点作 PBAC 交抛物线于点 P，则直线 BP 的解析式为 yx1， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3， 联立解得，（是点 B 的纵横坐标）或 P（4，5） ， 当点 P 在 AC 上方时，如备用图， 过点 P 作 PHy 轴交 AC 于 H， 设点 P（m，m2+2m+3） ， H（m，m+
39、3） ， PHm2+2m+3（m+3）m2+3m， SACDADyC（31）33， （m2+3m）236， m23m+120， 此方程无实数根，此种情况不存在， 即点 P 的坐标为（1，0）或（4，5） ； （3）如图 2，当点 Q 在 x 轴上方时，设 AC 与对称轴交点为 Q， 由（1）知，直线 AC 的解析式为 yx+3， 当 x1 时，y2， Q坐标为（1，2） ， QDADBD2， QABQBA45， AQB90， 点 Q为所求， 当点 Q 在 x 轴下方时，设点 Q（1，m） ， 过点 A1作 A1EDQ 于 E， A1EQQDA90， DAQ+AQD90， 由旋转知，AQA1Q，AQA190， AQD+A1QE90， DAQA1QE， ADQQEA1（AAS） ， ADQE2，DQA1Em， 点 A1的坐标为（m+1，m2） ， 代入 yx2+2x+3 中， 解得，m3 或 m2（舍） ， Q 的坐标为（1，3） ， 点 Q 的坐标为（1，2）和（1，3）