1、2021 年中考数学一轮复习年中考数学一轮复习矩形的判定与性质培优提升训练矩形的判定与性质培优提升训练 1如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点 D 在 y 轴的正半轴上，矩形的边 ABa，BCb，DAOx，则点 C 到 x 轴的距离等于（ ） Aacosx+bsinx Bacosx+bcosx Casinx+bcosx Dasinx+bsinx 2如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AB6，BC8，过点 O 作 OEAC，交 AD 于点 E， 过点 E 作 EFBD，垂足为 F，则 OE+EF 的值为（ ）
2、A B C D 3如图，矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，过点 B 作 BFAC 交 CD 于点 F，交 AC 于点 M，过点 D 作 DEBF 交 AB 于点 E，交 AC 于点 N，连接 FN，EM则下列结论： DNBM； EMFN； AEFC； 当 AOAD 时，四边形 DEBF 是菱形 其中，正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4如图，将矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的 A处若DBC24，则AEB 等 于（ ） A66 B60 C57 D48 5如图，BOD45，BODO，点 A 在 OB 上，四边形 ABCD
3、 是矩形，连接 AC、BD 交于点 E，连接 OE 交 AD 于点 F下列 4 个判断：OE 平分BOD；OFBD；DFAF；若点 G 是线段 OF 的中点，则AEG 为等腰直角三角形正确判断的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 6在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，M 是对角线 BD 上的动点，过点 M 作 MEBC 于点 E，连接 AM， 当ADM 是等腰三角形时，ME 的长为（ ） A B C或 D或 7如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AB：BC3：2，过点 B 作 BEAC，过点 C 作 CE DB，BE、CE 交于点 E，连接 DE，则 tanEDC（
4、） A B C D 8如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若 BE3，AF5，则 AC 的长为（ ） A4 B4 C10 D8 9如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AB：BC2：1，且 BEAC，CEDB，连接 DE， 则 tanEDC（ ） A B C D 10如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，过对角线交点 O 作 EFAC 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F， 则 DE 的长是（ ） A1 B C2 D 11下列说法正确的是（ ） A有两边和一角分别相等的两个三角形全等 B有一组对边平行，且对角
5、线相等的四边形是矩形 C如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于 45 D点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度 12顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边中点得到的图形是（ ） A等腰梯形 B正方形 C菱形 D矩形 13将两条邻边长分别为，1 的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片） ，各种剪法剪出的等腰三 角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 （填序号） ，1，1， 14在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（6，0） ，点 B 在 y 轴的正半轴上，ABO30，矩形 CODE 的顶点 D，E，C 分别在 OA，AB，OB 上，OD2将矩形
6、 CODE 沿 x 轴向右平移，当矩形 CODE 与ABO 重叠部分的面积为 6时，则矩形 CODE 向右平移的距离为 15如图，矩形 ABCD 中，AB5，AD12，点 P 在对角线 BD 上，且 BPBA，连接 AP 并延长，交 DC 的延长线于点 Q，连接 BQ，则 BQ 的长为 16如图，在矩形 ABCD 中，BD 是对角线，AEBD，垂足为 E，连接 CE若ADB30，则 tanDEC 的值为 17如图，四边形 ABCD 是矩形，延长 DA 到点 E，使 AEDA，连接 EB，点 F1是 CD 的中点，连接 EF1， BF1，得到EF1B；点 F2是 CF1的中点，连接 EF2，BF
7、2，得到EF2B；点 F3是 CF2的中点，连接 EF3， BF3，得到EF3B；按照此规律继续进行下去，若矩形 ABCD 的面积等于 2，则EFnB 的面积 为 （用含正整数 n 的式子表示） 18如图，在四边形 ABCD 中，已知 ABDC，ABDC在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成 为矩形，只需再加上的一个条件是 （填上你认为正确的一个答案即可） 19如图，在 34 的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个 20对角线相等且互相平分的四边形是 21如图，在 RtABC 中，BAC90，且 BA3，AC4，点 D 是斜边 BC 上的一个动点，过点 D 分 别作 DMAB 于点
8、 M，DNAC 于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 22如图，ABCD 中，ABAD，AE，BE，CM，DM 分别为DAB，ABC，BCD，CDA 的平分线， AE 与 DM 相交于点 F，BE 与 CM 相交于点 N，连接 EM若ABCD 的周长为 42cm，FM3cm，EF 4cm，则 EM cm，AB cm 23如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与边 AB 和边 CD 的延长线交于点 M，N，与边 AD 交于点 E，垂足为点 O （1）求证：AOMCON； （2）若 AB3，AD6，请直接写出 AE 的长为 24如图，在矩形 ABCD 中，过对角线 B
9、D 的中点 O 作 BD 的垂线 EF，分别交 AD，BC 于点 E，F （1）求证：DOEBOF； （2）若 AB6，AD8，连接 BE，DF，求四边形 BFDE 的周长 25如图，在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点，过点 O 作直线分别与矩形的边 AD，BC 交于 M，N 两点，连接 CM，AN （1）求证：四边形 ANCM 为平行四边形； （2）若 AD4，AB2，且 MNAC，求 DM 的长 26如图，在ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接 BF，AC，若 AD AF，求证：四边形 ABFC 是矩形 27如图，在ABC 中
10、，ABAC，点 D、E 分别是线段 BC、AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的 延长线于点 F，连接 CF （1）求证：BDEFAE； （2）求证：四边形 ADCF 为矩形 28如图，在ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 ED 并延长至点 F，使 DFDE，连接 AF， BF，BE （1）求证：ADEBDF （2）若ABECBE，求证：四边形 AFBE 是矩形 29如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，点 F，G 在 AB 上，EFAB，OG EF （1）求证：四边形 OEFG 是矩形； （2）若 AD10，EF
11、4，求 OE 和 BG 的长 30如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOOC，BOOD，且AOB2OAD （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若AOB：ODC4：3，求ADO 的度数 参考答案参考答案 1解：作 CEy 轴于 E，如图： 四边形 ABCD 是矩形， CDABa，ADBCb，ADC90， CDE+ADO90， AOD90， DAO+ADO90， CDEDAOx， sinDAO，cosCDE， ODADsinDAObsinx，DECDcosCDEacosx， OEDE+ODacosx+bsinx， 点 C 到 x 轴的距离等于 acosx+bs
12、inx； 故选：A 2解：AB6，BC8， 矩形 ABCD 的面积为 48，AC10， AODOAC5， 对角线 AC，BD 交于点 O， AOD 的面积为 12， EOAO，EFDO， SAODSAOE+SDOE，即 12AOEO+DOEF， 125EO+5EF， 5（EO+EF）24， EO+EF， 故选：C 3解：四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ABCD，DAEBCF90，ODOBOAOC，ADBC，ADBC， DANBCM， BFAC，DEBF， DEAC， DNABMC90， 在DNA 和BMC 中， DNABMC（AAS） ， DNBM，ADECBF，故正确； 在ADE 和C
13、BF 中， ADECBF（ASA） ， AEFC，DEBF，故正确； DEDNBFBM，即 NEMF， DEBF， 四边形 NEMF 是平行四边形， EMFN，故正确； ABCD，AECF， BEDF， BEDF， 四边形 DEBF 是平行四边形， AOAD， AOADOD， AOD 是等边三角形， ADODAN60， ABD90ADO30， DEAC， ADNODN30， ODNABD， DEBE， 四边形 DEBF 是菱形；故正确； 正确结论的个数是 4 个， 故选：D 4解：四边形 ABCD 是矩形， AABC90， 由折叠的性质得：BAEA90，ABEABE， ABEABE（90DBC
14、）（9024）33， AEB90ABE903357； 故选：C 5解：四边形 ABCD 是矩形， EBED， BODO， OE 平分BOD， 故正确； 四边形 ABCD 是矩形， OADBAD90， ABD+ADB90， OBOD，BEDE， OEBD， BOE+OBE90， BOEBDA， BOD45，OAD90， ADO45， AOAD， AOFABD（ASA） ， OFBD， 故正确； AOFABD， AFAB， 连接 BF，如图 1， BF， BEDE，OEBD， DFBF， DF， 故正确； 根据题意作出图形，如图 2， G 是 OF 的中点，OAF90， AGOG， AOGOAG，
15、 AOD45，OE 平分AOD， AOGOAG22.5， FAG67.5，ADBAOF22.5， 四边形 ABCD 是矩形， EAED， EADEDA22.5， EAG90， AGEAOG+OAG45， AEG45， AEAG， AEG 为等腰直角三角形， 故正确； 故选：A 6解：当 ADDM 时 四边形 ABCD 是矩形， C90，CDAB3，ADBC4， BD5， BMBDDM541， MEBC，DCBC， MECD， ， ， ME 当 MAMD 时，易证 ME是BDC 的中位线， MECD， 故选：C 7解：矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AB：BC3：2， 设 A
16、B3x，BC2x 如图，过点 E 作 EF直线 DC 交线段 DC 延长线于点 F，连接 OE 交 BC 于点 G BEAC，CEBD， 四边形 BOCE 是平行四边形， 四边形 ABCD 是矩形， OBOC， 四边形 BOCE 是菱形 OE 与 BC 垂直平分， EFADx，OEAB， 四边形 AOEB 是平行四边形， OEAB， CFOEABx tanEDC 故选：A 8解：连接 AE，如图： EF 是 AC 的垂直平分线， OAOC，AECE， 四边形 ABCD 是矩形， B90，ADBC， OAFOCE， 在AOF 和COE 中， AOFCOE（ASA） ， AFCE5， AECE5，
17、BCBE+CE3+58， AB4， AC4； 故选：A 9解：矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AB：BC2：1， BCAD， 设 AB2x，则 BCx 如图，过点 E 作 EF直线 DC 交线段 DC 延长线于点 F，连接 OE 交 BC 于点 G BEAC，CEBD， 四边形 BOCE 是平行四边形， 四边形 ABCD 是矩形， OBOC， 四边形 BOCE 是菱形 OE 与 BC 垂直平分， EFADx，OEAB， 四边形 AOEB 是平行四边形， OEAB2x， CFOEx tanEDC 故选：B 10解：连接 CE，如图所示： 四边形 ABCD 是矩形， ADC90
18、，CDAB6，ADBC8，OAOC， EFAC， AECE， 设 DEx，则 CEAE8x， 在 RtCDE 中，由勾股定理得：x2+62（8x）2， 解得：x， 即 DE； 故选：B 11解：A有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确； B有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确； C如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于 45；不正确； D点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确； 故选：D 12解：等腰梯形的两条对角线相等， 顺次连接等腰梯形四边中点得到的四边形是菱形， 菱形的对角线互相垂直， 再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是矩形 故选：D 13解：
19、如图所示： 则其中一个等腰三角形的腰长可以是，1，1，不可以是 故答案为： 14解：点 A（6，0） ， OA6， OD2， ADOAOD624， 四边形 CODE 是矩形， DEOC， AEDABO30， 在 RtAED 中，AE2AD8，ED4， OD2， 点 E 的坐标为（2，4） ； 矩形 CODE 的面积为 428， 将矩形 CODE 沿 x 轴向右平移，矩形 CODE 与ABO 重叠部分的面积为 6 矩形 CODE 与ABO 不重叠部分的面积为 2， 如图，设 MEx，则 FEx，依题意有 xx22， 解得 x2（负值舍去） 故矩形 CODE 向右平移的距离为 2 故答案为：2 1
20、5解：矩形 ABCD 中，AB5，AD12，BADBCD90， BD13， BPBA5， PDBDBP8， BABP， BAPBPADPQ， ABCD， BAPDQP， DPQDQP， DQDP8， CQDQCDDQAB853， 在 RtBCQ 中，根据勾股定理，得 BQ3 故答案为：3 16解：如图，过点 C 作 CFBD 于点 F，设 CD2a， 在ABE 与CDF 中， ， ABECDF（AAS） ， AECF，BEFD， AEBD， ADBBAE30， AECFa，BEFDa， BAD90，ADB30，AEBD， BAEADB30， BD2AB4a， EF4a2a2a， tanDEC，
21、 故答案为： 17解：AEDA，点 F1是 CD 的中点，矩形 ABCD 的面积等于 2， EF1D 和EAB 的面积都等于 1， 点 F2是 CF1的中点， EF1F2的面积等于， 同理可得EFn1Fn的面积为， BCFn的面积为 22， EFnB 的面积为 2+112（1） 故答案为： 18解：添加的条件是A90， 理由是：ABDC，ABDC， 四边形 ABCD 是平行四边形， A90， 平行四边形 ABCD 是矩形， 故答案为：A90 19解：第一行有 1 个矩形，第二行有 1 个矩形，第三行有 6 个， 第一列有 3 个，第二列有 1 个，第四列有 3 个， 那么共有 1+1+6+3+
22、1+315 个， 图中还有 11 个正方形，因为正方形也是矩形的一种， 因此共有 26 个矩形 故答案为 26 20解： OAOC，OBOD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ACBD， 平行四边形 ABCD 是矩形， 故答案为：矩形 21解：BAC90，且 BA3，AC4， BC5， DMAB，DNAC， DMADNABAC90， 四边形 DMAN 是矩形， MNAD， 当 ADBC 时，AD 的值最小， 此时，ABC 的面积ABACBCAD， AD， MN 的最小值为； 故答案为： 22解：AE 为DAB 的平分线， DAEEABDAB， 同理：ABECBEABC， BCMDCMBCD，
23、 CDMADMADC 四边形 ABCD 是平行四边形， DABBCD，ABCADC，ADBC DAFBCN，ADFCBN 在ADF 和CBN 中， ADFCBN（ASA） DFBN 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DAB+ABC180 EAB+EBA90 AEB90 同理可得：AFDDMC90 EFM90 FM3，EF4， ME5（cm） EFMFMNFEN90 四边形 EFMN 是矩形 ENFM3 DAFEAB，AFDAEB， AFDAEB 4DF3AF 设 DF3k，则 AF4k AFD90， AD5k AEB90，AE4（k+1） ，BE3（k+1） ， AB5（k+1）
24、2（AB+AD）42， AB+AD21 5（k+1）+5k21 k1.6 AB13（cm） 故答案为：5；13 23解： （1）MN 是 AC 的垂直平分线， AOCO，AOMCON90， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD， MN， 在AOM 和CON 中， ， AOMCON（AAS） ； （2）如图所示，连接 CE， MN 是 AC 的垂直平分线， CEAE， 设 AECEx，则 DE6x， 四边形 ABCD 是矩形， CDE90，CDAB3， RtCDE 中，CD2+DE2CE2， 即 32+（6x）2x2， 解得 x， 即 AE 的长为 故答案为： 24 （1）证明：四边形 ABCD
25、 是矩形， ADBC，DOBO， EDOFBO， 又EFBD， EODFOB90， 在DOE 和BOF 中， ， DOEBOF（ASA） ； （2）解：由（1）可得，EDBF，EDBF， 四边形 BFDE 是平行四边形， EFBD， 四边形 BFDE 是菱形， 根据 AB6，AD8，设 AEx，可得 BEED8x， 在 RtABE 中，根据勾股定理可得：BE2AB2+AE2， 即（8x）2x2+62， 解得：， ， 四边形 BFDE 的周长 25 （1）证明：在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点， ADBC，AOCO， OAMOCN，OMAONC， 在AOM 和CON 中， ， A
26、OMCON（AAS） ， AMCN， AMCN， 四边形 ANCM 为平行四边形； （2）解：在矩形 ABCD 中，ADBC， 由（1）知：AMCN， DMBN， 四边形 ANCM 为平行四边形，MNAC， 平行四边形 ANCM 为菱形， AMANNCADDM， 在 RtABN 中，根据勾股定理，得 AN2AB2+BN2， （4DM）222+DM2， 解得 DM 26证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， BAECFE，ABEFCE， E 为 BC 的中点， EBEC， ABEFCE（AAS） ， ABCF ABCF， 四边形 ABFC 是平行四边形， ADBC，ADAF， BCA
27、F， 四边形 ABFC 是矩形 27证明： （1）AFBC， AFEDBE， E 是线段 AD 的中点， AEDE， AEFDEB， BDEFAE（AAS） ； （2）BDEFAE， AFBD， D 是线段 BC 的中点， BDCD， AFCD， AFCD， 四边形 ADCF 是平行四边形， ABAC， ADBC， ADC90， 四边形 ADCF 为矩形 28证明： （1）点 D 是 AB 的中点， ADBD， 在ADE 和BDF 中， ， ADEBDF（SAS） ； （2）ADBD，DFDE， 四边形 AFBE 是平行四边形， 点 D，E 分别是 AB，AC 的中点， DE 是ABC 的中位
28、线， DEBC， DEBCBE， ABECBE， DEBABE， DBDE， ABEF， 平行四边形 AFBE 是矩形 29解： （1）四边形 ABCD 是菱形， OBOD， E 是 AD 的中点， OE 是ABD 的中位线， OEFG， OGEF， 四边形 OEFG 是平行四边形， EFAB， EFG90， 平行四边形 OEFG 是矩形； （2）四边形 ABCD 是菱形， BDAC，ABAD10， AOD90， E 是 AD 的中点， OEAEAD5； 由（1）知，四边形 OEFG 是矩形， FGOE5， AE5，EF4， AF3， BGABAFFG10352 30 （1）证明：AOOC，BOOD， 四边形 ABCD 是平行四边形， AOBDAO+ADO2OAD， DAOADO， AODO， ACBD， 四边形 ABCD 是矩形； （2）解：四边形 ABCD 是矩形， ABCD， ABOCDO， AOB：ODC4：3， AOB：ABO4：3， BAO：AOB：ABO3：4：3， ABO54， BAD90， ADO905436