1、2021 年中考数学一轮复习年中考数学一轮复习角平分线性质的应用培优提升训练角平分线性质的应用培优提升训练 1如图，三角形 ABC 中，A 的平分线交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC，DFAB，垂足分别为 E，F， 下面四个结论： AFEAEF；AD 垂直平分 EF；EF 一定平行 BC 其中正确的是（ ） A B C D 2在ABC 中，BAC90，AB3，AC4，AD 平分BAC 交 BC 于 D，则 BD 的长为（ ） A B C D 3如图：将一张矩形纸片 ABCD 的角 C 沿着 GF 折叠（F 在 BC 边上，不与 B、C 重合）使得 C 点落在矩 形 ABCD 内部的 E
2、 处，FH 平分BFE，则GFH 的度数 满足（ ） A90180 B90 C090 D 随着折痕位置的变化而变化 4如图，在MON 中，以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交射线 OM 于点 A，交射线 ON 于点 B，再分 别以 A，B 为圆心，OA 的长为半径作弧，两弧在MON 的内部交于点 C，作射线 OC若 OA5，AB 6，则点 B 到 AC 的距离为（ ） A5 B C4 D 5 如图， AD 是ABC 中BAC 的角平分线， DEAB 于点 E， SABC10， DE2， AB6， 则 AC 长是 （ ） A3 B4 C6 D5 6如图，OC 为AOB 的平分线，CMOB，OC
3、5，OM4，则点 C 到射线 OA 的距离为 7如图，AOEBOE15，EFOB，ECOB 于 C，若 EC1，则 OF 8如图，在ABC 中，ACB90，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，已知 AC3，AD2，则点 D 到 AB 边的距离为 9 如图， 在ABC中， C90， AB5， AD是ABC的角平分线， 若CD， 则ABD的面积为 10如图，OP 平分AOB，AOP15，PCOA，PDOA 于点 D，PC4，则 PD 11 在直角ABC中， C90， AD平分BAC交BC于点D， 若CD4， 则点D到斜边AB的距离为 12如图，AOB30，OP 平分AOB，PCOB，PDO
4、B，如果 PC6，那么 PD 等于 13如图，在ABC 中，C90，AD 平分CAB，BC8cm，BD5cm，那么点 D 到线段 AB 的距离 是 cm 14证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等” ，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和 求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证 已知：如图，AOCBOC，点 P 在 OC 上， 求证： 请你补全已知和求证，并写出证明过程 15如图，在 RtABC 中，C90，BD 是ABC 的一条角平分线点 O、E、F 分别在 BD、BC、AC 上，且四边形 OECF 是正方形 （1）求证：点 O 在BAC
5、 的平分线上； （2）若 AC5，BC12，求 OE 的长 16如图，四边形 ABCD 中，AC 为BAD 的角平分线，ABAD，E、F 两点分别在 AB、AD 上，且 AE DF请完整说明为何四边形 AECF 的面积为四边形 ABCD 的一半 17 如图， 一个直角三角形纸片的顶点 A 在MON 的边 OM 上移动， 移动过程中始终保持 ABON 于点 B， ACOM 于点 AMON 的角平分线 OP 分别交 AB、AC 于 D、E 两点 （1）点 A 在移动的过程中，线段 AD 和 AE 有怎样的数量关系，并说明理由 （2）点 A 在移动的过程中，若射线 ON 上始终存在一点 F 与点 A
6、 关于 OP 所在的直线对称，判断并说明 以 A、D、F、E 为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？ （3）若MON45，猜想线段 AC、AD、OC 之间有怎样的数量关系，只写出结果即可不用证明 18 （1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示） 设计了如下方案： （）AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的 刻度与 M、N 重合，即 PMPN，过角尺顶点 P 的射线 OP 就是AOB 的平分线 （）AOB 是一个任意角，在边 OA、OB 上分别取 OMON，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同
7、的刻度与 M、N 重合，即 PMPN，过角尺顶点 P 的射线 OP 就是AOB 的平分线 （1）方案（） 、方案（）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由； （2）在方案（）PMPN 的情况下，继续移动角尺，同时使 PMOA，PNOB此方案是否可行？ 请说明理由 19如图，P 是BAC 内的一点，PEAB，PFAC，垂足分别为点 E，F，AEAF 求证： （1）PEPF； （2）点 P 在BAC 的角平分线上 20如图，ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，且 BDCD，DE，DF 分别垂直于 AB，AC，垂足为 E， F请你结合条件认真研究，然后写出三个正确的结论 结论（1） ：
8、结论（2） ： 结论（3） ： 参考答案参考答案 1解：三角形 ABC 中，A 的平分线交 BC 于点 D，DEAC，DFAB， ADEADF，DFDE， AFAE， AFEAEF，故正确； DFDE，AFAE， 点 D 在 EF 的垂直平分线上，点 A 在 EF 的垂直平分线上， AD 垂直平分 EF，故正确； SBFDBFDF，SCDECEDE，DFDE， ；故正确； EFD 不一定等于BDF， EF 不一定平行 BC故错误 故选：A 2解：BAC90，AB3，AC4， BC5， BC 边上的高345， AD 平分BAC， 点 D 到 AB、AC 上的距离相等，设为 h， 则 SABC3h
9、+4h5， 解得 h， SABD3BD， 解得 BD 故选：A 3解：由题意可得，CFGEFG 又有EFHBFH GFE+EFH90 即GFH 的 度数是 90 故选：B 4解：由题意可得， OC 为MON 的角平分线， OAOB，OC 平分AOB， OCAB， 设 OC 与 AB 交于点 D，作 BEAC 于点 E， AB6，OA5，ACOA，OCAB， AC5，ADC90，AD3， CD4， ， ， 解得，BE， 故选：B 5解：如图，过点 D 作 DFAC 于 F， AD 是ABC 中BAC 的角平分线，DEAB， DEDF， 由图可知，SABCSABD+SACD， 62+AC210，
10、解得 AC4 故选：B 6解：过 C 作 CFAO， OC 为AOB 的平分线，CMOB， CMCF， OC5，OM4， CM3， CF3， 故答案为：3 7解：作 EHOA 于 H， AOEBOE15，ECOB，EHOA， EHEC1，AOB30， EFOB， EFHAOB30，FEOBOE， EF2EH2，FEOFOE， OFEF2， 故答案为：2 8解： 如图，过 D 作 DEAB 于点 E， ACB90， DCBC， BD 平分ABC， DEDC， AC3，AD2， CD321， DE1， 故答案为：1 9解：作 DEAB 于 E AD 平分BAC，DEAB，DCAC， DECD AB
11、D 的面积为 5 故答案是： 10解：作 PEOB 于 E， BOPAOP，PDOA，PEOB， PEPD（角平分线上的点到角两边的距离相等） ， BOPAOP15， AOB30， PCOA， BCPAOB30， 在 RtPCE 中，PEPC42（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半） ， PDPE2， 故答案是：2 11解：如右图，过 D 点作 DEAB 于点 E，则 DE 即为所求， C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D， CDDE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） ， CD4， DE4 故答案为：4 12解：过 P 作 PEOA 于点 E，则 PDPE， PCO
12、B，AOB30 ECPAOB30 在 RtECP 中，PEPC3 PDPE3 13解：CDBCBD， 8cm5cm3cm， C90， D 到 AC 的距离为 CD3cm， AD 平分CAB， D 点到线段 AB 的距离为 3cm 故答案为：3 14解：已知：PDOA，PEOB，垂足分别为 D、E；求证：PDPE 故答案为：PDPE PDOA，PEOB， PDOPEO90， 在PDO 和PEO 中， ， PDOPEO（AAS） ， PDPE 15 （1）证明：过点 O 作 OMAB， BD 是ABC 的一条角平分线， OEOM， 四边形 OECF 是正方形， OEOF， OFOM， AO 是BA
13、C 的角平分线，即点 O 在BAC 的平分线上； （2）解：在 RtABC 中，AC5，BC12， AB13， 设 CECFx，BEBMy，AMAFz， ， 解得：， CE2， OE2 16解：分别作 CGAB 与 G，CHAD 与 H， AC 为BAD 的角平分线， CGCH， ABAD， ABC 面积ACD 面积， 又AEDF， AEC 面积CDF 面积， BCE 面积ABC 面积AEC 面积， BCE 面积ACD 面积CDF 面积， BCE 面积ACF 面积， 四边形 AECF 面积AEC 面积+ACF 面积， 四边形 AECF 面积AEC 面积+BCE 面积， 四边形 AECF 面积A
14、BC 面积， 又四边形 ABCD 面积ABC 面积+ACD 面积， 又四边形 ABCD 面积2ABC 面积， 四边形 AECF 面积为四边形 ABCD 面积的一半 17解： （1）AEAD 理由如下： ABON，ACOM， AED90MOP，ADEODB90PON， 而MOPNOP， AEDADE ADAE （2）菱形 理由：连接 DF、EF， 点 F 与点 A 关于直线 OP 对称，E、D 在 OP 上， AEFE，ADFD 由（1）得 AEAD， AEFEADFD 四边形 ADFE 是菱形； （3）OCAC+AD 理由：四边形 ADFE 是菱形， AEOFEO， AOEFOE， EFOEA
15、O， ACOM，OP 平分MON，AEEF， EFOC， EFO90， AEEFAD，OAOF， MON45， ACOAOC45， OAAC，FECFCE， EFCF， CFAE， OCOF+FCOA+AEAC+AD 18解： （1）方案（）不可行缺少证明三角形全等的条件， 只有 OPOP，PMPN 不能判断OPMOPN； 就不能判定 OP 就是AOB 的平分线； 方案（）可行 证明：在OPM 和OPN 中， ， OPMOPN（SSS） ， AOPBOP（全等三角形对应角相等） ； OP 就是AOB 的平分线 （2）当AOB 是直角时，此方案可行； 四边形内角和为 360，OMPONP90，M
16、PN90， AOB90， PMPN， OP 为AOB 的平分线 （到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上） ， 当AOB 不为直角时，此方案不可行； 因为AOB 必为 90，如果不是 90，则不能找到同时使 PMOA，PNOB 的点 P 的位置 19证明： （1）如图，连接 AP 并延长， PEAB，PFAC AEPAFP90 又 AEAF，APAP， 在 RtAFP 和 RtAEP 中 RtAEPRtAFP（HL） ， PEPF （2）RtAEPRtAFP， EAPFAP， AP 是BAC 的角平分线， 故点 P 在BAC 的角平分线上 20解：结论（1）BDEDCF 结论（2）BECF 结论（3）BC 证明：AD 是BAC 的平分线，DEAB，DFAC， DEDF， 又BDCD， RtBDERtDCF， BECF，BC