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二次函数最值简单

1、1. 函数 y = ax2+ bx + c ( a 0 )图象与 x 轴交于点 (2,0) ,顶点坐标为 ( 1,n) , 其中 n 0 ,以下结论正确的是() 。 abc 0 ; 函数 y = ax2+ bx + c ( a 0 )在 x = 1 , x = 2 处的函数值相等; 函数 y = kx + 1 的图象与 y = ax2+ bx + c ( a 0 )的函数图象总有两个不同的交点; 函数 y = ax2+ bx + c ( a 0 )在 3x3 内既有最大值又有最小值。 A. B. C. D. 2. 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 y = 1 2 x2+ bx + 3 2

2、与 x 轴正半轴交于点 A , 且点 A 的坐标为 (3,0) ,过点 A 作垂直于 x 轴的直线 l , P 是该抛物线上的任意一点,其横坐 标为 m ,过点 P 作 PQ l 于点 Q , M 是直线 l 上的一点,其纵坐标为 m + 3 2 , 以 PQ , QM 为边作矩形 PQMN 。 (1)求 b 的值。 (2)当点 Q 与点 M 重合时,求 m 的值。 (3)当矩形 PQMN 是正方形,且抛物线的顶点在该正方形内部时,求 m 的值。 (4)当抛物线在矩形 PQMN 内的部分所对应的函数值 y 随 x 的增大而减小时,直接写 出 m 的取值范围。 3. 如图,在平面直角坐标系中,抛

3、物线 y = x2+ bx + c 与 x 轴交于点 A , B ,与 y 轴 交于点 C , 且直线 y = x 6 过点 B , 与 y 轴交于点 D , 点 C 与点 D 关于 x 轴对称。 点 P 是线段 OB 上一动点,过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M ,交直线 BD 于点 N 。 (1)求抛物线的函数解析式。 (2)当 MDB 的面积最大时,求点 P 的坐标。 (3)在(2)的条件下,在 y 轴上是否存在点 Q ,使得以 Q , M , N 三点为顶点的 三角形是直角三角形,若存在,直接写出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由。 4. 已知抛物线 y = ax2+ bx +

4、 c ( a 、 b 、 c 是常数, a 0 )的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表: (1)根据以上信息,可知抛物线开口向_,对称轴为_。 (2)求抛物线的表达式以及 m 、 n 的值。 (3)请在图 1 中画出所求的抛物线,设点 P 为抛物线上的动点, OP 的中点为 P,描 出相应的点 P,再把相应的点 P用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线。 (4)设直线 y = m ( m 2 )与抛物线及(3)中的点 P所在的曲线都有两个交点, 交点从左到右依次为 A1、 A2、 A3、 A4,请根据图象直接写出线段 A1、 A2、 A3、 A4之间的数量关系_。 5. 抛物线

5、y = 3(x + 1)2+ 2 的顶点坐标是() 。 A.(1,2) B.(1, 2) C.( 1,2) D.( 1, 2) 6. 已知 y 是以 x 为自变量的二次函数,且当 x = 0 时, y 的最小值为 1 ,写出一个 满足上述条件的二次函数表达式_。 7. 抛物线 y = 3x2 2 的顶点坐标是() 。 A.(3, 2) B.( 3,2) C.(0, 2) D.(3,0) 8. 二次函数 y = x2 ax + b 的图象如图所示,对称轴为直线 x = 2 ,下列结论不正确的是 ( ) 。 A.a = 4 B. 当 b = 4 时,顶点的坐标为 (2, 8) C. 当 x = 1

6、 时, b 5 D. 当 x 3 时, y 随 x 的增大而增大 9. 某灯饰商店销售一种进价为每件 20 元的护眼灯。 销售过程中发现, 每月销售量 y (件) 与销售单价 x (元)之间的关系可近似地看作一次函数 y = 10 x + 500 ,物价部门规定该 品牌的护眼灯售价不能超过 36 元。 (1)如果该商店想要每月获得 2000 元的利润,那么销售单价应定为多少元? (2) 设该商店每月获得利润为 w (元) , 当销售单价定为多少元时, 每月可获得最大利润? 最大利润为多少元? 【参考答案】 1. 【考点】二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值;二次函数图象与系

7、数符号的 关系;二次函数的图象与性质 【答案】C 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质。 如图所示,根据题意可判断 a 0 , 所以 b 0 。故正确。 ,函数 y = ax2+ bx + c ( a 0 )的对称轴为 x = 1 ,故该函数在 x = 0 , x = 2 处 的函数值相等。故错误。 ,函数 y = kx + 1 的图象与 y = ax2+ bx + c ( a 0 )的函数图象可能无交点。故错 误。 ,函数 y = ax2+ bx + c ( a 0 )在 x = 3 出取到最小值,在 x = 1 处取到最大值。 故正确。 故正确的有。 故本题正确答案为 C。 2. 【考

8、点】二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值;利用正方形性质进行几何证 明;矩形、菱形、正方形;二次函数的图象与性质 【答案】 (1)将点 A(3,0) 代入 y = 1 2 x2+ bx + 3 2 , 则可列方程 0 = 1 2 32+ 3b + 3 2 , 解得 b = 1 。 (2)由(1)可得函数的解析式为 y = 1 2x 2 + x + 3 2 , 所以 P(m, 1 2 m2+ m + 3 2 ) 。 因为 PQ l 于点 Q , 所以 Q(3, 1 2m 2 + m + 3 2 ) 。 因为 M 是直线 l 上的一点,其纵坐标为 m + 3 2 , 所以 M(

9、3, m + 3 2 ) 。 若点 Q 与点 M 重合, 则可列方程 1 2 m2+ m + 3 2 = m + 3 2 , 解得 m1= 0 , m2= 4 。 (3)由(2)可得 PQ = |3 m| , MQ = |( m + 3 2 ) ( 1 2 m2+ m + 3 2 )| = | 1 2 m2 2m| , 当矩形 PQMN 是正方形时, PQ = MQ , 即 | 1 2m 2 2m| = |3 m| , 即 1 2 m2 2m = 3 m 或 1 2 m2 2m = m 3 , 解 1 2 m2 2m = 3 m 得 m1=7 + 1 , m2=7 + 1 , 解 1 2 m2

10、 2m = m 3 得 m3= 3 +3 , m4= 3 3 。 又因为 y = 1 2x 2 + x + 3 2 = 1 2 (x 1) + 2 , 所以抛物线的顶点为 (1,2) 。 因为抛物线的顶点在该正方形内部, 所以 P 点在抛物线对称轴左侧,即 m 2 。 解得 m 1 2 , 故 m 的值为 7 + 1 。 (4)如图 1 : 当 m1 时, 若抛物线在矩形 PQMN 内的部分所对应的函数值 y 随 x 的增大而减小, 则 M 点的纵坐标应该小于 P 点纵坐标,且 P 点应该在 x 轴上侧, 即 m + 3 2 0 , 解 m + 3 2 1 2 m2+ m + 3 2 得 0

11、m 0 得 1 m 3 , 所以。 如下图 2 : 当 1 m 3 时, 若抛物线在矩形 PQMN 内的部分所对应的函数值 y 随 x 的增大而减小, 则 M 点的纵坐标应该小于 P 点纵坐标, 即 m + 3 2 1 2 m2+ m + 3 2 , 解得 0 m 4 , 所以 1 m 3 时, 若抛物线在矩形 PQMN 内的部分所对应的函数值 y 随 x 的增大而减小, 则 M 点的纵坐标应该大于 P 点纵坐标, 即 m + 3 2 1 2 m2+ m + 3 2 , 解得 m 4 , 故 m 4 。 综上所述 0 m 4 。 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质和正方形。 (1)将 A

12、 点坐标代入函数解析式即可求得 b 的值。 (2)分别表示出 P 、 Q 、 M 的坐标,根据 Q 、 M 的横坐标相同,它们重合时纵坐 标也相同,列出方程求解即可。 (3)分别表示出 PQ 和 MQ 的长度,根据矩形 PQMN 是正方形时, PQ = MQ ,即可 求得 m 的值,再根据顶点在正方形内部,排除不符合条件的 m 的值。 (4)分 m1 , 1 m 3 四种情况讨论,结合图形分析即可。 3. 【考点】直角三角形;二次函数的解析式;综合利用相似三角形的判定;待定系数法求二次 函数解析式;二次函数的图象与性质;二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值; 利用直角三角形

13、性质进行的相关计算;相似三角形的判定与性质 【答案】 (1)因为直线 y = x 6 过点 B ,点 B 在 x 轴上, 令 y = 0 ,解得 x = 6 ;令 x = 0 ,解得 y = 6 。 所以 B(6,0) , D(0, 6) 。 因为点 C 与点 D 关于 x 轴对称, 所以 C(0,6) 。 因为抛物线 y = x2+ bx + c 与 x 轴交于点 B , C ,代入可得: 36 + 6b + c = 0 c = 6 ,解得 b = 5 c = 6 。 所以抛物线为 y = x2+ 5x + 6 。 (2)设点 P 坐标 (m,0) , 则点 M 坐标为 (m, m2+ 5m

14、 + 6) ,点 N 坐标为 (m,m 6) 。 所以 MN = m2+ 5m + 6 m + 6 = m2+ 4m + 12 , 所以 SBMD= SMNB+ SMND = 1 2 ( m2+ 4m + 12) 6 = 3m2+ 12m + 36 = 3(m 2)2+ 48 。 当 m = 2 时, SBMDmax= 48 。 此时点 P 的坐标为 (2,0) 。 (3)存在。点 Q 坐标为 (0,12) 或 (0, 4) 或 (0,4 + 2 15) 或 (0,4 2 15) 。 【解析】本题主要考查二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、直角三角形以及二次 函数的图象与性质。 (1)根

15、据直线 y = x 6 求出点 B 和点 D 坐标,再根据 C 和 D 之间的关系求出点 C 坐标,最后运用待定系数法求出抛物线表达式。 (2)设点 P 坐标 (m,0) ,表示出 M 和 N 的坐标,再利用三角形面积求法得出 SBMD, 再求最值即可。 (3)由(2)可得: M(2,12) , N(2, 4) 。 设点 Q 的坐标为 (0,n) , 当 QMN = 90 时,即 QM MN ,如图 1 。 可得,此时点 Q 和点 M 的纵坐标相等,即 Q(0,12) 。 当 QNM = 90 时,即 QN MN ,如图 2 , 可得,此时点 Q 和点 N 的纵坐标相等,即 Q(0, 4) 。

16、 当 MQN = 90 时, MQ NQ ,如图 3 。 分别过点 M 和 N 作 y 轴的垂线,垂足为 E 和 F 。 因为 MQN = 90 , 所以 MQE + NQF = 90 ,又 MQE + QME = 90 , 所以 NQF = QME 。 所以 MEQ QFN 。 所以 ME QF = EQ FN ,即 2 n+4 = 12n 2 。 解得 n = 4 + 2 15 或 4 2 15 。 所以点 Q(0,4 + 2 15) 或 (0,4 2 15) 。 综上所述,点 Q 坐标为 (0,12) 或 (0, 4) 或 (0,4 + 2 15) 或 (0,4 2 15) 。 4. 【

17、考点】二次函数的应用;二次函数的解析式;待定系数法求二次函数解析式;二次函数的 图象与性质;二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值;二次函数与一次函数问 题综合;二次函数图象与系数符号的关系 【答案】 (1)上;直线 x = 1 (2)由表格可知抛物线过点 (0, 3) , 所以 y = ax2+ bx 3 , 将点 ( 1,0)(2, 3) 代入抛物线可得: a b 3 = 0 4a + 2b 3 = 3 ,解得, 所以 y = x2 2x 3 。 当 x = 2 时, m = ( 2)2 2 ( 2) 3 = 5 ; 当 x = 1 时, n = 12 2 1 3 = 4

18、 。 (3)如图,点 P所在曲线是抛物线。 (4) A3A4 A1A2= 1 。 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数的解析式以及二次函数的应用。 (1)根据表格中的信息,可知抛物线开口向上,且关于直线 x = 1 对称。 (2)由表格可知抛物线过点 (0, 3) , ( 1,0) , (2, 3) ,将坐标代入抛物线可得解析 式为 y = x2 2x 3 ,并且,令 x = 2 , x = 1 ,分别求出 m 、 n 的值。 (3)根据题意将曲线画出,可知点 P所在曲线是抛物线。 (4)根据画出的图象,可知 A3A4 A1A2= 1 。 5. 【考点】二次函数 y=ax2+bx

19、+c 的对称轴、顶点坐标、最值;二次函数的图象与性质 【答案】C 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质。 抛物线 y = 3(x + 1)2+ 2 的顶点坐标是 ( 1,2) 。 故本题正确答案为 C。 6. 【考点】二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值;二次函数的图象与性质 【答案】 y = x2 1 (答案不唯一) 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质。 因为 y 是以 x 为自变量的二次函数,且当 x = 0 时, y 的最小值为 1 , 所以二次函数的对称轴是 y 轴,且二次项系数是正数,其顶点坐标为 (0, 1) , 所以满足上述条件的二次函数表达式可以为

20、: y = x2 1 。 故本题正确答案为 y = x2 1 (答案不唯一) 。 7. 【考点】二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值;二次函数的图象与性质 【答案】C 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质。 抛物线 y = 3x2 2 的顶点坐标为 (0, 2) 。 故本题正确答案为 C。 8. 【考点】二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值;二次函数的图象与性质 【答案】C 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质。 A 项,函数对称轴为 x = a 2 = 2 ,解得 a = 4 ,故 A 项结论正确; B项, 已得出 a = 4 , 当 b =

21、4 时, 函数为 y = x2 4x 4= (x 2)2 8 , 则顶点为 (2, 8) ,故 B 项结论正确; C 项,当 x = 1 时, y = 1 + 4 + b 0 ,解得 b 3 时, y 随 x 的增大而增 大,故 D 项结论正确。 因为是选择结论不正确的一项, 故本题正确答案为 C。 9. 【考点】二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标、最值;二次函数图象上的点;二次 函数的图象与性质 【答案】 (1)设该商店每月获得 2000 元的利润时,销售单价是 x 元。 根据题意可得: (x 20)( 10 x + 500) = 2000 , 解得 x1= 30 , 因为物价部门规定该品牌的护眼灯售价不能超过 36 元, 所以(舍) , x1= 30 , 答:如果该商店想要每月获得 2000 元的利润,那么销售单价应定为 30 元。 (2)由题得, w = (x 20)( 10 x + 500) , , 因为 20 x36 , 所以当时, w 取得最大值,此时 w = 2250 , 即当销售单价定为 35 元时,每月可获得最大利润,最大利润为 2250 元。 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质。 (1)根据题意可以得到关于 x 的一元二次方程,从而可以解答本题。 (2)根据题意可以写出 w 关于 x 的函数关系式,从而求得函数的最大值,本题得以解决。