1、第一章 整式的乘除 章末复习 第一章 整式的乘除 章末复习 知识框架 归纳整合 素养提升 中考链接 章末复习 知识框架 幂的幂的 运算运算 整式的乘除整式的乘除 整式的乘法整式的乘法 整式的除法整式的除法 乘法公式乘法公式 章末复习 幂的乘方幂的乘方 积的乘方积的乘方 同底数幂的除法同底数幂的除法 同底数幂的乘法同底数幂的乘法 幂的幂的 运算运算 (am)n=amn (m, n都是正整数都是正整数) (ab)m=am bm (m是正整数是正整数) aman=am-n (a0, m, n都是正整都是正整 数数)；a0 =1(a0)；a-p= (a0, p是正整数是正整数)；小于；小于1的正数用科
2、的正数用科 学记数法可表示为学记数法可表示为a10n , 其中其中 1a10, n是负整数是负整数 am an=am+n (m, n都是正整数都是正整数) 章末复习 单项式乘单项式单项式乘单项式 单项式乘多项式单项式乘多项式 多项式乘多项式多项式乘多项式 整式的乘法整式的乘法 章末复习 乘法公式乘法公式 平方差公式：平方差公式：(a+b) (a-b)=a2-b2 完完 全全 平平 方方 公公 式式 ： (ab)2=a2 2ab+b2 章末复习 整式的除法整式的除法 单项式除以单项式单项式除以单项式 多项式除以单项式多项式除以单项式 章末复习 【要点指导要点指导】幂的运算包括同底数幂的乘法、幂的
3、乘方、积的乘幂的运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘 方、同底数幂的除法以及零指数幂、负整数指数幂的运算方、同底数幂的除法以及零指数幂、负整数指数幂的运算, 计算时计算时, 要熟练掌握各自的运算法则要熟练掌握各自的运算法则, 并能灵活运用这些运算法则进行计算并能灵活运用这些运算法则进行计算. 幂的运算法则还可以逆用幂的运算法则还可以逆用. 归纳整合 专题一 幂的运算 章末复习 例例1 下列运算正确的是下列运算正确的是( ). A2x2+3x2=5x4 B2x2 3x3=6x5 C(2x3 )2=4x5 D3x24x2 = x2 B 1幂的运算法则的正用 章末复习 分析分析 章末复习 相关题
4、相关题1-1 孝感孝南区一模孝感孝南区一模下列运算正确的是下列运算正确的是( ). Ax5 x2=x10 B(-x5 )2=x25 Cx 5+x2=x7 Dx5x2=x3 D 章末复习 相关题相关题1-2 计算：计算： (1)30-2-3+(-3)2 - ( )-1； (2)(-2a2 b3 )4 +(-a)8 (2b4 )3 . 解：解：(1)原式原式11 8 9447 8 . (2)原式原式16a8b128a8b1224a8b12. 章末复习 例例2 已知已知am =4, an =6, 求求a3m-2n 的值的值. 2幂的运算法则的逆用 分析分析 指数如果是减法，对于幂来说就是同底数幂的除
5、法，然后逆用指数如果是减法，对于幂来说就是同底数幂的除法，然后逆用 幂的乘方法则可解幂的乘方法则可解. 解：解：a3m-2n=a3ma2n=(am )3(an )2=4362 = . 章末复习 相关题相关题2 已知已知|a-3|+(3b-1)2=0, 求求a2020 b2019 的值的值. 解析解析 根据绝对值、平方的非负性，求得根据绝对值、平方的非负性，求得a, b的值，然后逆用积的乘方的值，然后逆用积的乘方 法则求值法则求值 解：解：因为因为|a3|(3b1)20, |a3|0，(3b1)20， 所以所以 a30，3b10，所以，所以 a3，b1 3. a2020 b2019a a2019
6、 b2019a (ab)20193 3 1 3 2019 3. 章末复习 【要点指导要点指导】整式的运算包括整式的加、减、乘、除、乘方五种整式的运算包括整式的加、减、乘、除、乘方五种 运算运算, 其中整式的加减实际上是合并同类项其中整式的加减实际上是合并同类项, 而整式的乘除则以幂而整式的乘除则以幂 的运算为基础的运算为基础. 如果遇到整式的混合运算如果遇到整式的混合运算, 那么计算时应先算乘方那么计算时应先算乘方, 再算乘除再算乘除, 最后算加减最后算加减, 如果有括号如果有括号, 就先算括号里面的就先算括号里面的. 专题二 整式的运算 章末复习 例例3 计算：计算：(36x4 y3 -24
7、x3 y2+3x2 y2 )(-2xy)2. 分析分析 先计算积的乘方先计算积的乘方, 再按多项式除以单项式的运算法则逐一运算再按多项式除以单项式的运算法则逐一运算. 解：解：(36x4 y3 -24x3 y2+3x2 y2 ) (-2xy) 2 =(36x 4 y 3 -24x 3 y 2+ 3x2 y2 ) 4x2 y2 =36x4 y34x2 y2 -24x3 y24x2 y2+3x2 y24x2 y2 =9x2 y -6x+ . 章末复习 相关题相关题3-1 计算：计算：(-a)2 (-a)3 -2(a3 )3 (-a2 )2. 解析解析 综合运用幂的运算法则进行计算综合运用幂的运算法
8、则进行计算 解：解： (a)2(a)32(a3)3(a2)2 (a)52(a9a4) (a)52a5 a52a5 3a5. 章末复习 相关题相关题3-2 计算：计算：(2x+5y)(3x-2y)-2x(x-3y). 解：解： 原式原式6x211xy10y22x26xy 4x217xy10y2. 章末复习 【要点指导要点指导】学习乘法公式的关键在于理解公式的结构特征学习乘法公式的关键在于理解公式的结构特征, 善于善于 正向运用、逆向运用、变形运用正向运用、逆向运用、变形运用, 把握公式的内在联系把握公式的内在联系. 整式的化整式的化 简是幂的运算和整式的运算的综合运用简是幂的运算和整式的运算的综
9、合运用, 一定要先化简一定要先化简, 再代入求再代入求 值值, 否则计算量太大否则计算量太大, 容易发生错误容易发生错误. 整体思想是解决这种题型的重整体思想是解决这种题型的重 要思想方法要思想方法. 专题三 乘法公式的灵活应用 章末复习 例例4 已知已知(x+y)2 =49, (x-y)2 =1, 求下列各式的值：求下列各式的值： (1)x2+y2 ；(2)xy. 分析分析 根据“完全平方公式的常见变形”易求得根据“完全平方公式的常见变形”易求得x2+y2 , xy的值的值. 解：解：(1)x 2+y2 = (x+y)2 +(x-y)2= (49+1)=25. (2)xy= (x+y)2 -
10、(x-y)2= (49-1)=12 章末复习 相关题相关题4 德州庆云县期末德州庆云县期末已知已知a2+b2 =5, ab=2, 则则a-b= . 解析解析 (ab)2a2b22ab5221， 则则ab1. 1 章末复习 例例5 计算：计算：5002 -499501. 分析分析 将将499501转化为转化为(500-1)(500+1), 再利用平方差公式进行计算再利用平方差公式进行计算. 解：解：原式原式=5002 -(500-1)(500+1)=5002 -(5002 -1)=1. 章末复习 相关题相关题5 计算：计算：1012 -210199+992 . 解：解：1012210199992
11、 (10199)2 224. 章末复习 【要点指导要点指导】对于规律探究题对于规律探究题, 解答的基本思路是先部分解答的基本思路是先部分, 后整体后整体, 即研究等式中各个部分中存在的规律即研究等式中各个部分中存在的规律, 得出一般性的结论得出一般性的结论. 专题四 利用整式乘法探索规律 章末复习 例例6 观察下列算式：观察下列算式： 13-22 =3-4=-1； 24-32 =8-9=-1； 35-42 =15-16=-1； ； (1)请你按以上规律写出第请你按以上规律写出第4个算式；个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；把这个规律用含字母的式子表示出来； (3)你认为你认为(2
12、)中所写出的式子一定成立吗？请说明理由中所写出的式子一定成立吗？请说明理由 章末复习 分析分析 观察所给的观察所给的3个算式个算式, 不难得出算式与算式序数之间的关系不难得出算式与算式序数之间的关系, 如下表：如下表： 由上表可得出第由上表可得出第4个算式及其存在的规律个算式及其存在的规律, 然后利用乘法公式验证所得的规然后利用乘法公式验证所得的规 律即可律即可. 章末复习 解：解：(1)46-52 =24-25=-1 (2)n(n+2)-(n+1)2 =-1(n为正整数为正整数). (3)一定成立一定成立. 理由：理由： n(n+2)-(n+1)2=n2 +2n-(n2 +2n+1)=n2
13、+2n-n2 -2n-1=-1. 章末复习 相关题相关题6 (1)计算下列各题：计算下列各题： (x+7)(x+9)；(x-10)(x+20)；(x-3)(x-2). (2)由由(1)的结果猜想的结果猜想(x+a)(x+b)的结果的结果, 并用多项式乘多项式的法则并用多项式乘多项式的法则 进行检验进行检验. (3)请直接写出请直接写出 (t+ )(t- ) 的结果的结果. (4)已知已知a, b, m均为整数均为整数, 且且(x+a)(x+b)=x2 +mx+36, 请探讨请探讨m的值的值. 章末复习 解：解：(1)原式原式x27x9x63x216x63； 原式原式x210 x20 x200
14、x210 x200； 原式原式x23x2x6x25x6. (2)猜想：猜想：(xa)(xb)x2(ab)xab. 根据多项式乘多项式的法则可得：根据多项式乘多项式的法则可得： 原式原式x2axbxabx2(ab)xab. (3)原式原式t2 1 6 1 7 t1 6 1 7 t2 1 42t 1 42. 章末复习 (4)因为因为a，b是整数，且根据题意知是整数，且根据题意知ab36， 又因为又因为361361(36)2182(18)312 3(12)494(9)666(6)， 结合结合(2)的结论可知的结论可知mab37，20，15，13，12， 共共10个值个值 章末复习 【要点指导要点指导
15、】通过图形面积的两种计算方式验证乘法公式是初中通过图形面积的两种计算方式验证乘法公式是初中 数学阶段的一个重要手段数学阶段的一个重要手段, 其思想内涵就是数形结合其思想内涵就是数形结合, 将数转化为将数转化为 图形的边长或者与图形有关的量图形的边长或者与图形有关的量, 最后根据几何图形间的关系建最后根据几何图形间的关系建 立等式进行验证立等式进行验证.解此类问题的关键在于图形变换前后一定存在解此类问题的关键在于图形变换前后一定存在 等量关系等量关系, 进而才能推导出相应的乘法公式进而才能推导出相应的乘法公式. 素养提升 专题一 数形结合思想 章末复习 例例1 将图将图1-Z-1中阴影部分的小长
16、方形变换到图的位置中阴影部分的小长方形变换到图的位置, 根据根据 两个图形的面积关系得到的数学公式是两个图形的面积关系得到的数学公式是( ). A(a+b)2=a2 +2ab+b2 B(a-b)2=a2 -2ab+b2 Ca2-b2 =(a+b)(a-b) D(a+2b)(a-b)=a2 +ab-2b2 图图1-Z-1 C 章末复习 分析分析 甲图形的面积为甲图形的面积为a2-b2 , 乙图形的面积为乙图形的面积为(a+b)(a-b), 根据两个图形的面积相等根据两个图形的面积相等, 可知可知a2-b2 =(a+b)(a-b). 章末复习 相关题相关题1 如图如图1-Z-2, 根据正方形根据正
17、方形ABCD的面积的面积, 可以说明下列哪可以说明下列哪 个等式成立个等式成立( ). A(a+b)2=a2 +2ab+b2 B(a-b)2=a2 -2ab+b2 C(a+b)(a-b)= a2-b2 Da(a-b)=a2-ab 图图1-Z-2 A 章末复习 解析解析 根据正方形根据正方形ABCD的面积边长为的面积边长为a的正方形的面积两个长为的正方形的面积两个长为a、 宽为宽为b的长方形的面积边长为的长方形的面积边长为b的正方形的面积，可得的正方形的面积，可得(ab)2a22abb2. 章末复习 【要点指导要点指导】在求某个式子的值时在求某个式子的值时, 若由已知条件无法直接求出若由已知条件
18、无法直接求出 其所含字母的值其所含字母的值, 可将所求的式子进行适当的变形后可将所求的式子进行适当的变形后, 将已知条将已知条 件作为一个整体代入求值件作为一个整体代入求值, 进而使解题过程变得简捷、快速进而使解题过程变得简捷、快速.此外此外, 整体思想在乘法公式的应用中体现得较为明显整体思想在乘法公式的应用中体现得较为明显. 专题二 整体思想 章末复习 例例2 徐州中考徐州中考 当当m+n=3时时, 代数式代数式m2 +2mn+n2 = . 9 分析分析 将代数式化为完全平方式的形式将代数式化为完全平方式的形式, 即即m2 +2mn+n2 =(m+n)2 , 再将再将 m+n=3代入即可得出
19、答案代入即可得出答案. 章末复习 相关题相关题2 若若a+b=0, ab=11, 则则a2 -ab+b2 的值为的值为( ). A11 B-11 C-33 D33 解析解析 本题主要利用完全平方公式的变式本题主要利用完全平方公式的变式a2b2(ab)22ab来计算，来计算， 即即a2abb2(ab)23ab031133. C 章末复习 例例3 计算：计算：(1)(x+y+1)(x+y-1)；(2)(x-2y-3)2 解：解：(1)原式原式=(x+y)+1(x+y)-1=(x+y)2-12=x2 +2xy+y2-1. (2)原式原式=(x-2y)-32=x2 -4xy+4y2 -6(x-2y)+
20、9=x2 -4xy+4y2 -6x+12y+9. 章末复习 相关题相关题3 计算：计算：(a2 -ab+b2 )(a2 +ab+b2 ). 解：解：原式原式(a2b2)2(ab)2a4a2b2b4. 章末复习 中考链接 母题母题1 1 (教材教材P6习题习题1.第第3题题) 下面的计算是否正确？如有错误请改正下面的计算是否正确？如有错误请改正. (1)(x3 )3=x6 ； (2)a6 a4=a24 . 章末复习 考点：考点：幂的运算幂的运算. 考情：考情：主要考查幂的各种运算法则主要考查幂的各种运算法则 策略：策略：牢记幂的运算法则及合并同类项法则牢记幂的运算法则及合并同类项法则, 同时也要
21、牢记幂的运同时也要牢记幂的运 算法则的逆用算法则的逆用, 如由如由aman =am-n , 得得am-n=aman ；由；由(am )n=amn , 得得amn=(am )n=(an )m(a0, m, n为整数为整数). 章末复习 链接链接1 绵阳中考绵阳中考下列运算正确的是下列运算正确的是( ). Aa2 a3=a6 Ba3+a2=a5 C(a2 )4=a8 Da3-a2=a C 章末复习 章末复习 链接链接2 河南中考河南中考下列运算正确的是下列运算正确的是( ). A(-x2 )3=-x5 Bx2+x3=x5 Cx3 x4=x7 D2x3-x3=1 C 分析分析 A(-x2 )3=-x
22、6 , 此选项错误；此选项错误； Bx2 , x3不是同类项不是同类项, 不能合并不能合并, 此选项错误；此选项错误； Cx3 x4=x7 ,此选项正确；此选项正确； D2x3-x3=x3 , 此选项错误此选项错误. 故选故选C. 章末复习 链接链接3 湘潭中考湘潭中考下列计算正确的是下列计算正确的是( ). Ax2+x3=x5 Bx2 x3=x5 C(-x2 )3=x8 Dx6x2=x3 B 分析分析 Ax2 与与x3 不是同类项不是同类项, 不能合并不能合并, 故此选项错误；故此选项错误； Bx2 x3=x5 , 正确；正确； C(-x )3=-x6 , 故此选项错误；故此选项错误； Dx
23、6x2=x4 , 故此选项错误故此选项错误. 故选故选B. 章末复习 母题母题2 2 (教材教材P19习题习题1.8第第1题题) 计算：计算： (1)(x+y)(a+2b)； (2)(2a+3) ( b+5 ) ； (3)(2x+3)(-x-1)； (4)(-2m-1)(3m-2)； (5)(x-y)2 ； (6)(-2x+3)2 . 章末复习 考点：考点：整式的乘法整式的乘法. 考情：考情：主要考查单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘主要考查单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘 多项式的计算以及化简求值多项式的计算以及化简求值. 章末复习 策略：策略：根据整式的乘法法则根据整式的
24、乘法法则, 单项式乘单项式单项式乘单项式,系数和同底数幂分系数和同底数幂分 别相乘别相乘, 其余字母连同它的指数不变作为积的因式；单项式乘多其余字母连同它的指数不变作为积的因式；单项式乘多 项式项式, 可以按照分配律进行运算可以按照分配律进行运算, 最后再把所得的积相加；多项式最后再把所得的积相加；多项式 乘多项式乘多项式, 用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加再把所得的积相加. 章末复习 链接链接4 柳州中考柳州中考计算：计算：2a ab=( ). A2ab B2a2 b C3ab D3a2 b B 分析分析 2a
25、ab=2a2 b. 故选故选B. 章末复习 链接链接5 武汉中考武汉中考计算计算(a-2)(a+3)的结果是的结果是( ). Aa2-6 Ba2 +a-6 Ca2+6 Da2 -a-6 B 分析分析 (a-2)(a+3)=a2 +a-6. 故选故选B. 章末复习 链接链接6 重庆中考重庆中考计算：计算：x(x-2y)-(x+y)2 . 分析分析 (分别根据单项式乘多项式的法则及完全平方公式计算分别根据单项式乘多项式的法则及完全平方公式计算x(x-2y)与与 (x+y)2 , 再把所得结果合并同类项求和再把所得结果合并同类项求和. 解：解：原式原式=x2 -2xy-(x2 +2xy+y2 )=x
26、2 -2xy-x2 -2xy-y2 =-4xy-y2 . 章末复习 母题母题3 3 (教材教材P34复习题第复习题第7(3)题题) 求下列式子的值：求下列式子的值： x(x+2y)-(x+1)2 +2x, 其中其中x= , y=-25. 考点：考点：乘法公式乘法公式. 考情：考情：主要考查平方差公式以及完全平方公式主要考查平方差公式以及完全平方公式,常以化简求值的常以化简求值的 考查方式出现考查方式出现. 策略：策略：牢记公式：牢记公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 , (ab)2 =a2 2ab+b2 . 章末复习 链接链接7 枣庄中考枣庄中考若若m- =3, 则则m2 + = . 11
27、 分析分析 因为因为m- =3, 所以所以 (m- )2=m2 -2+ =9, 所以所以m2 + =11. 故答案为故答案为11. 章末复习 链接链接8 兰州中考兰州中考化简：化简：a(1-2a)+2(a+1)(a-1). 解：解：原式原式=a-2a2 +2(a2 -1) =a-2a2 +2a2-2 =a-2. 章末复习 母题母题4 4 (教材教材P34复习题第复习题第4(6)题题) 计算：计算：(4a3 b-6a2 b2 +12ab3 )2ab. 考点：考点：整式的除法整式的除法. 考情：考情：主要考查多项式除以单项式的运算主要考查多项式除以单项式的运算, 要注意多项式中每一要注意多项式中每
28、一 项的符号项的符号. 策略：策略：根据多项式除以单项式的法则根据多项式除以单项式的法则, 将多项式中的每一项都除将多项式中的每一项都除 以单项式以单项式, 特别注意在运算过程中每一项的符号特别注意在运算过程中每一项的符号, 同时还要注意当同时还要注意当 同底数幂相除同底数幂相除,指数相减为零时指数相减为零时, 该项为常数该项为常数1, 切勿以为是切勿以为是0. 章末复习 链接链接9 青岛中考青岛中考计算计算6m6 (-2m2 )3 的结果为的结果为( ). A-m B-1 C D- D 分析分析 原式原式=6m6 (-8m6 )=- . 故选故选D. 章末复习 链接链接10 咸宁中考咸宁中考
29、化简：化简：(a2 b-2ab2-b3 )b-(a-b)2 . 分析分析 多项式除以单项式多项式除以单项式, 先把这个多项式的每一项分别除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式, 再再 把所得的商相加把所得的商相加. 解：解：原式原式= a2 -2ab-b2-a2 +2ab-b2 =-2b2 . 章末复习 母题母题5 5 (教材教材P34复习题第复习题第7(2)题题) 求下列式子的值：求下列式子的值： (xy+2)(xy-2)-2x2 y2 +4xy, 其中其中x=10,y=- . 章末复习 考点：考点：整式的化简求值整式的化简求值. 考情：考情：主要考查整式的加、减、乘、除、乘方的混合
30、运算主要考查整式的加、减、乘、除、乘方的混合运算, 涉及涉及 的知识点包含：平方差公式及完全平方公式的运用、多项式与多的知识点包含：平方差公式及完全平方公式的运用、多项式与多 项式的乘除运算、合并同类项等项式的乘除运算、合并同类项等. 先进行化简先进行化简, 再根据所给字母的再根据所给字母的 数值代入计算数值代入计算. 策略：策略：牢记整式乘法公式以及整式加、减、乘、除、乘方的运算牢记整式乘法公式以及整式加、减、乘、除、乘方的运算 法则法则. 章末复习 分析分析 先根据平方差公式化简第一项先根据平方差公式化简第一项, 然后利用单项式乘多项式的法则计然后利用单项式乘多项式的法则计 算第二项算第二项, 再根据幂的运算法则计算第三项再根据幂的运算法则计算第三项, 最后合并同类项得出最简结最后合并同类项得出最简结 果果, 把把ab的值代入即可的值代入即可. 链接链接11 随州中考随州中考先化简先化简, 再求值：再求值：(2+a)(2-a)+a(a-5b)+3a5 b3 (-a2 b)2 , 其中其中ab= . 解：解：原式原式=4-a 2+a2 -5ab+3ab=4-2ab. 当当ab= 时时, 原式原式=4-2 ( )=5. 谢 谢 观 看！