1、专题四专题四 数列数列 第二编 讲专题 规范答题系列三规范答题系列三 数列类解答题 (12 分)已知各项均不为零的数列an的前 n 项和为 Sn，且对任 意的 nN*，满足 Sn1 3a1(an1). (1)求数列an的通项公式； 解 (1)当 n1 时，a1S11 3a1(a11) 1 3a 2 11 3a1， a10，a14.(2 分) Sn4 3(an1)，当 n2 时，Sn1 4 3(an11)， 两式相减得 an4an1(n2)，(4 分) 数列an是首项为 4，公比为 4 的等比数列，an4n.(6 分) (2)设数列bn满足 anbnlog2an， 数列bn的前 n 项和为 Tn
2、， 求证： Tn8 9. 解题思路 (1)根据SnSn1an(n2)及递推关系式化简得an和an1的 关系式，从而求出 an；(2)采用错位相减法求 Tn，从而证明结论 解 (2)证明：anbnlog2an2n，bn2n 4n ，(7 分) Tn 2 41 4 42 6 43 2n 4n ， 1 4Tn 2 42 4 43 6 44 2n 4n1，(8 分) 两 式 相 减 得 3 4 Tn 2 4 2 42 2 43 2 44 2 4n 2n 4n1 2 1 4 1 42 1 43 1 44 1 4n 2n 4n1 2 1 4 1 1 4n 11 4 2n 4n1 2 3 2 34n 2n
3、4n1 2 3 6n8 34n1.(10 分) Tn8 9 6n8 94n 8 9.(12 分) 1正确求出 a1的值给 2 分 2利用 an与 Sn的关系构造等比数列给 2 分 3写出数列an的通项公式给 2 分 4求出数列bn的通项公式给 1 分 5采取错位相减法给 1 分 6两式相减后的正确化简计算给 2 分 7放缩法证明不等式给 2 分 1由 an与 Sn的关系求通项公式，易忽略条件 n2 而出错 2错位相减法中两式相减后，一定成等比数列的有 n1 项，整个式子 共有 n1 项 3放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放的过大或过小都不能达 到证明的目的 跟踪训练 (2020 山东省临沂
4、市二模)(12 分)在3Sn1Sn1，a21 9，2Sn1 3an1三个条件中选择恰当的两个，补充在下面问题中，并给出解答 已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足_，_；又知正项等 差数列bn满足 b12，且 b1，b21，b3成等比数列 (1)求an和bn的通项公式； 解 (1)方案一：选择， 当 n2 时，由 3Sn1Sn1 得 3SnSn11，(1 分) 两式相减，得 3an1an，即a n1 an 1 3(n2)，(2 分) 由得 3S2S11，即 3(a1a2)a11， 2a113a211 3 2 3，得 a1 1 3，(3 分) a2 a1 1 3，an为 a1 1 3，公比为
5、1 3的等比数列， an1 3 1 3 n1 1 3 n.(4 分) 设等差数列bn的公差为 d，d0，且 b1，b21，b3成等比数列 b1b3(b21)2，即 2(22d)(1d)2，(5 分) 解得 d3 或 d1(舍去)， bn23(n1)3n1.(6 分) 方案二：选择， 当 n2 时，由2Sn13an1， 得 2Sn113an，(1 分) 两式相减，得 2an3an3an1，a n1 an 1 3(n2)，(2 分) 由 2S113a2，得 a11 3，(3 分) a2 a1 1 3，an为 a1 1 3，公比为 1 3的等比数列， ana1qn11 3 1 3 n1 1 3 n.(4 分) 以下同方案一(6 分) (2)证明：ab1ab2abn 3 26. 解 (2)证明：由(1)得 abna3n1 1 3 3n1，(7 分) 则 ab1ab2abn 1 3 2 1 3 5 1 3 3n1(8 分) 1 3 2 1 1 3 3n 1 1 3 3 (10 分) 3 26 1 1 3 3n (11 分) 3 26.(12 分) 本课结束本课结束