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2021年高考数学大二轮专题复习:解析几何之椭圆、双曲线、抛物线

1、专题六专题六 解析几何解析几何 第二编 讲专题 第第2 2讲讲 椭圆、双曲线、抛物线椭圆、双曲线、抛物线 考情研析 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质,特别是椭圆、 双曲线的离心率和双曲线的渐近线 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲 线的位置关系(弦长、中点等). 1 核心知识回顾核心知识回顾 PART ONE 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 1.圆锥曲线的定义式 (1)椭圆:|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|); (2)双曲线:|PF1|PF2|2a(2a0,b0)的渐近线方程为 ;焦点坐标 F1 ,F2 ; 双曲线y 2

2、 a2 x2 b21(a0,b0)的渐近线方程为 ,焦点坐标 F1 ,F2 03y b ax 04(c,0) 05(c,0) 06y a bx 07(0,c) 08(0,c) 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线 y2 2px(p0)的焦点坐标为 , 准线方程为 ; 抛物线 x2 2py(p0)的焦点坐标为 ,准线方程为 09 p 2,0 10 xp 2 11 0,p 2 12yp 2 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 3弦长问题 (1)弦长

3、公式 设直线的斜率为 k,直线与圆锥曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)时,则|AB| 1k2|x1x2| 1k2 (x1x2)24x1x2或 |AB| 1 1 k 2|y 1y2| 1 1 k 2 (y1y2)24y1y2. (2)过抛物线焦点的弦长 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的弦 AB,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2p 2 4 ,y1y2p2,弦长|AB| 01x1x2p 2 热点考向探究热点考向探究 PART TWO 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 考向 1 圆锥曲线的定义和标准方程

4、例 1 (1)(2020 河南一模)已知 P 为圆 C:(x5)2y236 上任意一点, A(5,0),若线段 PA 的垂直平分线交直线 PC 于点 Q,则 Q 点的轨迹方程 为( ) Ax 2 9 y2 161 B x2 9 y2 161 Cx 2 9 y2 161(x0) 答案 B 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 点 Q 是线段 AP 垂直平分线上的点,|AQ|PQ|,又|QA| |QC|PC|60)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于 点 A,B,C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则抛物线的方程为( ) Ay23

5、2x By23x Cy29 2x Dy29x 答案 B 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 如图,分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D, 设准线与 x 轴的交点为 G, |BF|a, 则由已知得|BC|2a, 由定义得|BD|a, 故BCD30.在 RtACE 中, |AE|AF|3, |AC|33a, 2|AE|AC|, 33a6,从而得 a1.BDFG,1 p 2 3,解得 p 3 2,抛物线的方 程为 y23x. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (3

6、)(2020 山东省青岛市高三三模)若方程x 2 m y2 1m1 表示焦点在 y轴上 的椭圆,则实数 m 的取值范围为 答案 0,1 2 解析 由题可知,方程x 2 m y2 1m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,可得 1 mm0,解得 0m1 2,所以实数 m 的取值范围为 0,1 2 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 圆锥曲线的定义、标准方程的关注点 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质, 注意焦点在 不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式 (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草

7、图确定 (3)焦点三角形的作用: 借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的 边角关系式构建方程组,便于解决问题. (4)圆锥曲线基本问题考查的另一个重点是定义的应用, 根据圆锥曲线的 定义分析判断一些问题,在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点 的连线,则要把另一个焦点也考虑进去 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 1(2020 山东省淄博市二模)当 3, 5 6 时,方程 x2cos y2sin 1 表示的轨迹不可能是( ) A两条直线 B圆 C椭圆 D双曲线 答案 B 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真

8、题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 当 3, 2 时,0cos sin 1,方程 x2cos y2sin 1 表示 的曲线为椭圆;当 2时,方程为 y 21,即 y 1,方程 x2cos y2sin 1 表示两条直线;当 2, 5 6 时,cos 0b0)的左、右焦点,点 P 是椭 圆上位于第二象限内的点,延长 PF1交椭圆于点 Q,若 PF2PQ,且|PF2| |PQ|,则椭圆的离心率为( ) A 6 3 B 21 C 3 2 D2 2 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 由 PF2PQ 且|PF2|PQ|,可得PQ

9、F2为等腰直角三角形,设 |PF2|t,则|QF2| 2t,由椭圆的定义可得|PF1|2at,2t 2t4a,则 t 2 2 2a,在直角三角形 PF1F2中,可得 t2(2at)24c2,4(64 2)a2 (128 2)a24c2,化为 c2(96 2)a2,可得 ec a 6 3.故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 3P 是双曲线 C:x 2 2 y21 右支上一点,直线 l 是双曲线 C 的一条渐 近线,P 在 l 上的射影为 Q,F1是双曲线 C 的左焦点,则|PF1|PQ|的最小 值为( ) A1 B2 15 5

10、C4 15 5 D2 21 答案 D 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 如图所示,设双曲线的右焦点为 F2,则|PF1|PQ|2a|PF2| |PQ|,即当|PQ|PF2|最小时,|PF1|PQ|取最小值,由图知当 F2,P,Q 三点共线时|PQ|PF2|取得最小值,即 F2到直线 l 的距离 d1,故所求最小 值为 2a12 21.故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 考向 2 圆锥曲线的几何性质 例 2 (1)(2020 山东省潍坊市二模)以抛物线 E:x24y

11、 的焦点为圆心, 且与 E 的准线相切的圆的方程为( ) A(x1)2y24 Bx2(y1)24 C(x1)2y24 Dx2(y1)24 答案 D 解析 抛物线 E:x24y 的焦点为(0,1),准线方程为 y1,圆与 E 的准线相切,则圆的半径 r2,故圆的方程为 x2(y1)24.故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)已知双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,直线 PO 交双曲线 C 左支于点 M,直线 PF2交双曲线 C 右支

12、于点 N,若|PF1|2|PF2|,且MF2N60, 则双曲线 C 的渐近线方程为( ) Ay 2x By 2 2 x Cy 2x Dy 2 2x 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 由题意得,|PF1|2|PF2|,|PF1|PF2|2a,|PF1|4a,|PF2| 2a,由于 P,M 关于原点对称,F1,F2关于原点对称,线段 PM,F1F2 互相平分,四边形 PF1MF2为平行四边形,PF1MF2, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 MF2N60,F1PF26

13、0,由余弦定理可得 4c216a24a2 24a 2a cos 60,c 3a,b c2a2 2a.b a 2,双曲线 C 的渐近线方程为 y 2x.故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (3)(多选)(2020 山东省潍坊市三模)已知椭圆 C:x 2 a y 2 b 1(ab0)的左、 右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|2,点 P(1,1)在椭圆内部,点 Q 在椭圆上, 则以下说法正确的是( ) A|QF1|QP|的最小值为 2 a1 B椭圆 C 的短轴长可能为 2 C椭圆 C 的离心率的取值范围为 0, 51 2 D若

14、PF1 F1Q ,则椭圆 C 的长轴长为 5 17 答案 ACD 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 因为|F1F2|2, 所以 F2(1, 0), |PF2|1, 所以|QF1|QP|2 a |QF2|QP|2 a|PF2|2 a1,当 Q,F2,P 三点共线时,取等号,故 A 正确;若椭圆 C 的短轴长为 2,则 b1,a2,所以椭圆方程为x 2 2 y 2 1 1,1 2 1 11,则点 P 在椭圆外,故 B 错误;因为点 P(1,1)在椭圆内部,所 以1 a 1 b1,又 ab1,所以 ba1,所以 1 a 1 a10, 解

15、得 a3 5 2 62 5 4 (1 5) 2 4 , 所以 a1 5 2 , 所以 e 1 a0,b0)渐近线 的斜率 k 与离心率 e 之间满足关系式 e21k2. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 1设 F1,F2分别是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点,过 F1 的 直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,l 在 y 轴上的截距为 1,若|AF1|2|F1B|,且 AF2x 轴,则此椭圆的短轴的长为( ) A5 B2 5 C10 D 5 答案 B 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真

16、题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 AF2x 轴,直线 l 在 y 轴上的截距为 1,A(c,2),又|AF1| 2|F1B|, B(2c, 1), 则 c2 a2 4 b21, 4c2 a2 1 b21, 16 b2 1 b23, 即 b 25, b 5, 故选 B. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 2已知 F 是双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左焦点,过点 F 作垂直 于 x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点 M,若|FM|2a,记该双曲线的 离心率为 e,则 e2( ) A1 17 2 B1 17 4

17、 C2 5 2 D2 5 4 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 由题意,得 F(c,0),该双曲线的一条渐近线为 yb ax,将 x c 代入 yb ax 得 y bc a ,bc a 2a,即 bc2a2,4a4b2c2c2(c2 a2),e4e240,解得 e21 17 2 ,故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 考向 3 直线与圆锥曲线 角度 1 弦中点、弦分点问题 例 3 (1)已知椭圆 E: x2 9 y 2 4 1,直线 l 交椭圆于 A,B

18、两点,若 AB 的 中点坐标为 1 2,1 ,则 l 的方程为( ) A2x9y100 B2x9y100 C2x9y100 D2x9y100 答案 D 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则x 2 1 9 y 2 1 4 1, x2 2 9 y 2 2 4 1,两式作差并化 简整理得y 2y1 x2x1 4 9 x1x2 y1y2,而 x1x21,y1y22,所以 y2y1 x2x1 4 9 x 1x2 y1y2 2 9,所以直线 l 的方程为 y1 2 9 x1 2 ,即 2x9y100.经

19、验证 可知符合题意故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)(2020 河北省保定市一模)抛物线 y22px(p0)焦点为 F, 点 P 满足OP OF (O 为坐标原点),若过点 O 作互相垂直的两弦 OA,OB,则当弦 AB 过点 P 时, 的所有可能取值的集合为( ) A4 B3 C 1 4,4,3 D 1 3,3,4 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 由已知得 F p 2,0 ,因为OP OF ,所以OP p 2,0 p 2 ,0 , 所以 P

20、p 2 ,0 ,由题意知,弦 AB 所在直线的斜率不为 0,可设直线 AB 的方 程为 xmyp 2 ,A(x1,y1),B(x2,y2),由 xmyp 2 , y22px, 得 y22pmyp2 0,所以 y1y22pm,y1y2p2,所以 x1x2 my1p 2 my2p 2 m2y1y2 pm 2 (y1y2) 2p2 4 m2(p2)pm 2 2pm 2p2 4 2p2 4 .因为 OAOB, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 所以OA OB 0,又OA (x1,y1),OB (x2,y2),所以 x1x2y1y20,即 2p2

21、 4 p20,又 p0,所以 2 4 0,解得 4 或 0(不符合题意,舍去), 当 4 时, 满足 4p2m24p20, 所以 的所有可能取值的集合为4 故 选 A. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (1)弦中点问题: 在涉及圆锥曲线弦中点的问题中, 基本的处理方法有两 个: 一是设出弦的端点坐标, 使用“点差法”; 二是设出弦所在的直线方程, 利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程, 根据根与系数的 关系建立弦的端点坐标与中点坐标间的关系后解决问题. (2)弦分点问题: 解决与弦分点有关的向量关系、 位置关系等问题的一

22、般 方法,就是将其转化为弦端点及弦分点的坐标关系,再根据联立消元后的一 元二次方程根与系数的关系,构建方程(组)求解 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 1(2020 汉中市重点中学高三联考)已知抛物线 C:y26x,直线 l 过点 P(2,2),且与抛物线 C 交于 M,N 两点,若线段 MN 的中点恰好为点 P, 则直线 l 的斜率为( ) A1 3 B5 4 C3 2 D1 4 答案 C 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 设 M(x1, y1), N(x2, y2),

23、代入抛物线 C: y26x, 得 y2 16x1, y2 26x2, 得(y1y2)(y1y2)6(x1x2).因为线段 MN 的中点恰好为点 P, 所以 x1x24, y1y24,从而 4(y1y2)6(x1x2), 即直线 l 的斜率为 y1y2 x1x2 3 2.故选 C. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 2 (2020 湖南省雅礼中学高三 5 月质检)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0, b0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,以 F1F2为直径的圆与一条渐近线交于点 P(P 在第一象限),PF1交双曲线的左支于点 Q

24、,若PQ 2QF1 ,则双曲线的离心 率为( ) A1 10 2 B 101 2 C 10 2 D 10 2 1 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 以 F1F2为直径的圆 x2y2c2与渐近线 yb ax 联立得 P(a,b).设 Q(x0,y0),由PQ 2QF1 得 x0a2c 3 ,y0b 3,代入 x2 a2 y2 b21 整理,得 4e 2 4e90,解得 e1 10 2 .故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 角度 2 弦长问题 例 4 (20

25、20 广东省汕头市三模)已知抛物线 E:y22px 上一点(m,2) 到其准线的距离为 2. (1)求抛物线 E 的方程; 解 (1)由已知可得 42mp, mp 22, 消去 m 得 p24p40,解得 p2, 抛物线 E 的方程为 y24x. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)如图,A,B,C 为抛物线 E 上三个点,D(8,0),若四边形 ABCD 为 菱形,求四边形 ABCD 的面积 解 (2)设 A(x1,y1),C(x2,y2),菱形 ABCD 的中心 M(x0,y0). 当 ACx 轴,则 B 在原点,M(4,0),

26、|AC|8,|BD|8,菱形 ABCD 的 面积 S1 2|AC| |BD|32. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解法一:当 AC 与 x 轴不垂直时, 设直线 AC 的方程为 xtym(t0),则直线 BD 的斜率为t. 联立 y24x, xtym消去 x,得 y 24ty4m0, y1y24t, y1y24m, x1x2y 2 1y 2 2 4 (y 1y2) 22y 1y2 4 4t22m, x02t2m,y02t,M 为 BD 的中点, B(4t22m8,4t),又点 B 在抛物线上, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究

27、热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 且直线 BD 的斜率为t, 16t24(4t22m8), 2t 2t2m8t (t0), 解得 m4,t 1,满足 16t216m0, B(4,4),|BD|4 2, |AC|1t2|y1y2| 1t216t216m 2 16644 10. 菱形 ABCD 的面积 S1 2|AC| |BD|16 5. 综上,菱形 ABCD 的面积 S32 或 16 5. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解法二:设 B(a2,2a),直线 BD 的斜率为 k(k0), 则 k 2a a28,M a2

28、8 2 ,a,直线 AC 的斜率为1 k, 直线 AC 的方程为 xa 28 2 k(ya), xa 28 2 k(ya), y24x, 消去 x, 得 y24ky4ka2a2160, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 y1y22y02a,4k2a,ka 2. 解方程a 2 2a a28(a0), 得 a 2, k 1, 满足16k 241(4ka 2a216)16k216ka8a2640,接下去同解法一 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 (1)涉

29、及弦长的问题, 应熟练地利用根与系数的关系, 设而不求计算弦长; 涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解 (2)弦长计算公式:直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则弦长|AB|1k2 (x1x2)24x1x2, 其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 已知点 M 到定点 F(4,0)的距离和它到直线 l:x25 4 的距离的比是常数 4 5. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; 解 (1)设 M(x,y),由题意得 (x4)2y2 x25 4 4 5, x

30、2 25 y2 9 1 为点 M 的轨迹 C 的方程 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)若直线 l:ykxm 与圆 x2y29 相切,切点 N 在第四象限,直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求证:FAB 的周长为定值 解 (2)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题知 k0,m0,x1x2 50km 25k29,x1x2 25m2225 25k29 , |AB| k21|x1x2| k21 50km 25k29 2425m 2225 25k29 120k k 21 25k29 , 核心知识回顾核心知识回顾 热点

31、考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 |FA|FB|54 5x15 4 5x210 4 5(x1x2) 10 40km 25k2910 120k k21 25k29 , |FA|FB|AB|10, FAB 的周长为定值 10. 3 真题真题VSVS押题押题 PART THREE 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 真题检验 1(2020 全国卷)已知 A 为抛物线 C:y22px(p0)上一点,点 A 到 C 的焦点的距离为 12,到 y 轴的距离为 9,则 p( ) A2 B3 C6 D9 答案 C 解析 设抛物

32、线的焦点为 F,由抛物线的定义知|AF|xAp 212,即 9 p 212,解得 p6.故选 C. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 2(2020 全国卷)设双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点分 别为 F1,F2,离心率为 5.P 是 C 上一点,且 F1PF2P.若PF1F2的面积为 4,则 a( ) A1 B2 C4 D8 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 c a 5,c 5a,根据双曲线的定义可得|F1P|F2P|2a, SPF

33、1F21 2|F1P|F2P|4,|F1P| |F2P|8.F1PF2P,|F1P| 2|F 2P| 2 (2c)2,(|F1P|F2P|)22|F1P|F2P|4c2,即(2a)2284( 5a)2,解 得 a1,故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 3(多选)(2020 新高考卷)已知曲线 C:mx2ny21,( ) A若 mn0,则 C 是椭圆,其焦点在 y 轴上 B若 mn0,则 C 是圆,其半径为 n C若 mn0,则 C 是两条直线 答案 ACD 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押

34、题 专题作业专题作业 解析 对于A, 若mn0, 则mx2ny21可化为x 2 1 m y 2 1 n 1, 因为mn0, 所以 0 1 m0,则 mx2ny21 可化为 x2y21 n,此时曲线 C 表示圆心在原点, 半径为 n n 的圆,故 B 不正确;对于 C,若 mn0,则 mx2ny21 可化为 y21 n,y n n ,此 时曲线 C 表示平行于 x 轴的两条直线,故 D 正确故选 ACD. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 4(2020 全国卷)设双曲线 C: x2 a2 y2 b21(a0,b0)的一条渐近线为 y 2x

35、,则 C 的离心率为 答案 3 解析 由双曲线方程x 2 a2 y2 b21 可得其焦点在 x 轴上,因为双曲线的一 条渐近线方程为 y 2x,所以b a 2,所以 e c a 1b 2 a2 3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 5(2020 新高考卷)斜率为 3的直线过抛物线 C:y24x 的焦点,且 与 C 交于 A,B 两点,则|AB| 答案 16 3 解析 抛物线的方程为 y24x,抛物线的焦点为 F(1,0),又直线 AB 过焦点 F 且斜率为 3,直线 AB 的方程为 y 3(x1),代入抛物线方 程消去 y 并化简得

36、3x210 x30, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解法一: 解得 x11 3, x23, |AB| 1k2|x1x2| 13 1 33 16 3 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解法二:10036640, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x210 3 ,过 A,B 分别作准线 x1 的 垂线,设垂足分别为 C,D,如图所示,则|AB|AF|BF|AC|BD|x1 1x21x1x2216 3 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真

37、题VS押题押题 专题作业专题作业 6(2020 全国卷)已知椭圆 C1:x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点 F 与抛物 线 C2的焦点重合,C1的中心与 C2的顶点重合过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A,B 两点,交 C2于 C,D 两点,且|CD|4 3|AB|. (1)求 C1的离心率; 解 (1)F(c,0),ABx 轴且与椭圆 C1相交于 A,B 两点, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 则直线 AB 的方程为 xc, 联立 xc, x2 a2 y2 b21, a2b2c2, 解得 xc, y b2 a ,

38、则|AB|2b 2 a . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 抛物线 C2的方程为 y24cx,把 xc 代入 y24cx,得 y 2c,|CD| 4c. |CD|4 3|AB|,即 4c 8b2 3a ,2b23ac. 又 b2a2c2,2c23ac2a20, 即 2e23e20,解得 e1 2或 e2, 0e1,e1 2,椭圆 C1 的离心率为1 2. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)设 M 是 C1与 C2的公共点,若|MF|5,求 C1与 C2的标准方程 解 (2

39、)由(1)知 a2c,b 3c,椭圆 C1的方程为 x2 4c2 y2 3c21, 联立 y24cx, x2 4c2 y2 3c21, 消去 y 并整理得 3x216cx12c20, 解得 x2 3c 或 x6c(舍去), 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 由抛物线的定义可得|MF|2 3cc 5c 3 5, 解得 c3. 曲线 C1的标准方程为 x2 36 y2 271, 曲线 C2的标准方程为 y212x. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 金版押题 7已知 A,B 是过抛物

40、线 y22px(p0)焦点 F 的直线与抛物线的交点, O 是坐标原点,且满足AF 2FB ,SOAB 2 3 |AB|,则抛物线的标准方程为 ( ) Ay24x By21 4x Cy28x Dy21 8x 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为AF 2FB ,所以 y12y2,又由抛 物线焦点弦的性质,得 y1y2p2,所以2y2 2p 2,解得|y 2| 2 2 p,|y1| 2p,所以 1 |AF| 1 |BF| 3 2|BF| 2 p,解得|BF| 3 4p,|AF| 3

41、2p,|AB| 9 4p,SOAB 1 2 p 2 (|y1|y2|) 3 2 8 p2 2 3 9 4p,解得 p2,所以抛物线的标准方程为 y 2 4x,故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 8已知双曲线 x2y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1,F2,圆 x2y21 上 的点到直线 x 3y60 的距离的最小值为 m,若双曲线上一点 P,使 sin PF2F1 sin PF1F2m,则F2P F2F1 的值为( ) A3 B2 C3 D2 答案 B 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押

42、题 专题作业专题作业 解析 由双曲线 x2y 2 3 1,得 a1,b 3,c2,圆 x2y21 的圆 心(0,0)到直线 x 3y60 的距离为 d 6 133,所以圆上的点到直 线 x 3y60 的距离的最小值为 m312,设|PF1|s,|PF2|t,且 P 在双曲线的右支上,可得 st2at2,又sin PF 2F1 sin PF1F2m2,由正弦 定理可得s t |PF1| |PF2| sin PF2F1 sin PF1F22, 解得 s4, t2, 由余弦定理可得 cos PF2F12 24242 224 1 4,则F2P F2F1 241 42.故选 B. 4 专题作业专题作业

43、PART FOUR 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 一、 选择题: 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1若圆锥曲线 C:x2my21 的离心率为 2,则 m( ) A 3 3 B 3 3 C1 3 D1 3 答案 C 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 因为圆锥曲线 C 的离心率为 2,故为双曲线,所以 m0)的左焦点的直线交双曲线的左支于 A,B 两 点,且|AB|6,这样的直线可以作 2 条,则 b 的取值范围是( ) A(0,2 B(0,2) C(

44、0, 6 D(0, 6) 答案 D 解析 因为双曲线过焦点的弦中与轴垂直的弦是最短的弦, 且过一个焦 点只能作一条,所以过左焦点的直线与双曲线的左支交于 A,B 两点,|AB| 6,且可作两条,则要求2b 2 a 6,又 a2,即 b20,故 b 的取值范 围为(0, 6),故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 3已知抛物线 C:y1 4x 2 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,直线 PF 与抛物线交于 A,B 两点,若PA 2AF ,则|AB|为( ) A40 9 B40 C16 D16 3 答案 D 核心知识回顾

45、核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 抛物线 C 的方程为 x24y,焦点 F(0,1),准线方程为 y1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线的定义可知,|AB|AF|BF|y1y2 2.PA 2AF ,直线 AB 的斜率为 3 3 ,直线 AB 的方程为 y 3 3 x 1,联立方程 y 3 3 x1, x24y, 消去 x 得 3y210y30,y1y210 3 , |AB|AF|BF|y1y2216 3 ,故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 4(2020

46、河北省衡水中学高三一模)已知椭圆 C1: x2 m2y 21(m1)与双 曲线 C2: x2 n2y 21(n0)的焦点重合, e 1, e2分别为 C1, C2的离心率, 则( ) Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Cm1 Dmn 且 e1e20,m1,n0,mn. e1 m21 m 1 1 m2,e2 n21 n 1 1 n2, e1e2 1 1 m2 1 1 n2 1 1 n2 1 m2 1 m2n2 1m 2n21 m2n2 1 1 m2n21,故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 5已知双曲线x 2 3 y21 的右焦点是抛物线 y22px(p0)的焦点,直线 ykxm 与抛物线相交于 A,B 两个不同的点,点 M(2,2)是 AB 的中点, 则AOB(O 为坐标原点)的面积是( ) A4 3 B3 13 C 1