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2021年高考数学大二轮专题复习:解析几何之圆锥曲线的综合问题

1、专题六专题六 解析几何解析几何 第二编 讲专题 第第3 3讲讲 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 考情研析 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关 系为载体,以参数处理为核心,考查范围、最值问题,定点、定值问题,探 索性问题 2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论 等多种思想方法,对计算能力也有较高要求,难度较大 1 核心知识回顾核心知识回顾 PART ONE 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 1.最值问题 求解最值问题的基本思路是选择变量,建立求解目标的函数解析式,然 后利用函数的性质、基本不等式等知

2、识求解其最值 2范围问题 求参数范围的问题,牢记“先找不等式,有时需要找出两个量之间的关 系,然后消去另一个量,保留要求的量”不等式的来源可以是 0 或圆锥 曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 3定点问题 在解析几何中, 有些含有参数的直线或曲线的方程, 不论参数如何变化, 其都过某定点,这类问题称为定点问题. 4定值问题 在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动 点坐标或动线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题 5存在性问题的解题步骤 (1)先假设存在,引入参变量,根据题

3、目条件列出关于参变量的方程(组) 或不等式(组). (2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在,若无解则不存在 2 热点考向探究热点考向探究 PART TWO 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 考向 1 最值与范围问题 角度 1 最值问题 例 1 (2020 山东省烟台市高考适应性练习)已知 O 为坐标原点,F 为抛 物线 C: y22px(p0)的焦点, 过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A, B 两点, AOB 的面积为 8 2. (1)求抛物线 C 的方程; 解 (1)由已知,得直线 AB 的方程为 yxp 2, 设

4、A(xA,yA),B(xB,yB), 联立 y22px, yxp 2, 可得 y22pyp20,显然 0, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 则 yAyB2p,yAyBp2. 于是|yAyB| (yAyB)24yAyB4p24p22 2p. SAOB1 2 p 2|yAyB| 2 2 p28 2, 所以 p4. 故抛物线 C 的方程为 y28x. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)若 P 为 C 上位于第一象限的任一点,直线 l 与 C 相切于点 P,连接 PF 并延长交

5、C 于点 M,过 P 点作 l 的垂线交 C 于另一点 N,求PMN 面积 S 的最小值 解 (2)设 P(x0,y0)(y00),M y2 1 8 ,y1,N y2 2 8 ,y2,切线 l 的方程为 xx0 t(yy0), 则有FM y2 1 8 2,y1,FP y2 0 8 2,y0, 由 M,F,P 三点共线,可知FM FP , 即 y2 1 8 2 y0 y2 0 8 2 y10, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 因为 y0y1,化简可得 y0y116. 由 xx0t(yy0), y28x, 可得 y28ty8ty08x00

6、, 因为直线 l 与抛物线相切,故 64t232ty04y2 00,故 ty 0 4 . 所以直线 PN 的方程为 yy0y0 4 (xx0),即 y0 x4y4y0y 3 0 8 0, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 点 M 到直线 PN 的距离为 d y2 1y0 8 4y14y0y 3 0 8 y2 016 , 将 y116 y0 代入可得, d 32 y0 4y0y 3 0 8 y2 016 (y2 016) 2 8|y0| y2 016. 联立 y 0 x4y4y0y 3 0 8 0, y28x, 消去 x 可得, 核心知识

7、回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 y0y232yy3 032y00, 所以 y0y232 y0 ,y232 y0 y0. |PN|116 y2 0 |y0y2|116 y2 0 2y032 y0 2(y 2 016) y2 016 y2 0 , 故 S1 2d|PN| 1 2 (y2 016) 2 8|y0|y2 016 2(y2 016) y2 016 y2 0 1 8 y2 016 y0 31 8 y016 y0 31 8 2y016 y0 364, 当且仅当 y 04 时, “”成立, 此时, PMN 面积 S 的最小值为 64. 核心知

8、识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法 几何法是根据已知 的几何量之间的相互关系,结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛 物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建 立求解目标关于某个(或两个)变量的函数, 通过求解函数的最值(利用普通方 法、基本不等式法或导数法等)解决的 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2020 山东省日照市高三 6 月校际联合联考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y22px(p

9、0)的焦点为 F,A 为抛物线上异于原点的任意 一点,以 AO 为直径作圆 ,当直线 OA 的斜率为 1 时,|OA|4 2. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (1)求抛物线 C 的标准方程; 解 (1)当 kOA1 时,可得 A(2p,2p), |OA|4 2 4p24p22 2p,p2, 抛物线 C 的标准方程为 y24x. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)过焦点 F 作 OA 的垂线 l 与圆 的一个交点为 M,l 交抛物线于 P, Q 两点(点 M 在 P,Q

10、之间),记OAM 的面积为 S,求 S23 2|PQ|的最小值 解 (2)设 A(x1,y1),M(x0,y0),P(x2,y2),Q(x3,y3), 根据题意有 OA FM 0 x1x0y1y0 x10, OM AM 0 x2 0 x1x0y 2 0y1y00, 即 x2 0y 2 0 x1, 又|AM|2|OA|2|OM|2x2 1y 2 1(x 2 0y 2 0)x 2 1y 2 1x1x 2 13x1, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 S1 2|AM| |OM| 1 2 x2 13x1 x2 0y 2 0 S21 4x1(x

11、2 13x1), 由题意可知,直线 PQ 的斜率一定存在且不为 0, 设 lPQ:xny1, xny1, y24x y24ny40, y2y34n,y2y34, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 |PQ|1n2|y2y3| 1n2 (y2y3)24y2y34(1n2), PQOA,kPQy1 x11n y1 x1|PQ|4(1n 2)4 1 4 x1 , S23 2|PQ| 1 4x1(x 2 13x1)6 1 4 x1 , 令 f(x)1 4x(x 23x)6 14 x f(x)3 4 x42x332 x2 , 令 g(x)x42x3

12、32,则 g(x)在 x0 时单调递增, 又 g(2)0,当 x(0,2)时,g(x)0, 即当 x(0,2)时,f(x)单调递减, 当 x(2,)时,f(x)单调递增 当 x2 时,f(x)min23. 即 S23 2|PQ|的最小值为 23. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 角度 2 范围问题 例 2 (2020 河北省衡水中学第九次调研考试)如图,椭圆 C1:x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 3 2 ,过抛物线 C2:x24by 的焦点 F 的直线交抛物线于 M, N 两点, 当|M

13、F|7 4时, M 点在 x 轴上的射影为 F1.连接 NO,MO 并延长分别 交 C1于 A,B 两点,连接 AB,OMN 与OAB 的面 积分别记为 SOMN和 SOAB,设 S OMN SOAB . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (1)求椭圆 C1和抛物线 C2的方程; 解 (1)由抛物线定义可得 M c,7 4b , 点 M 在抛物线 x24by 上, c24b 7 4b ,即 c 27b4b2, 又由c a 3 2 ,得 c23b2,将上式代入, 得 7b27b,解得 b1,c 3,a2, 椭圆 C1的方程为x 2 4 y

14、21,抛物线 C2的方程为 x24y. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)求 的取值范围 解 (2)设直线 MN 的方程为 ykx1, 由 ykx1, x24y, 消去 y 整理,得 x24kx40, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1x24, 设 kONm,kOMm, 则 mmy2 x2 y1 x1 1 16x1x2 1 4, m 1 4m, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 设直线 ON 的方程为 ymx(m0), 由 ymx, x24y,解得 x24m,

15、 |ON|1m2|x2|4m 1m2, 由可知,用 1 4m代替 m,可得 x1 1 m, |OM| 1 1 4m 2|x 1| 1 m 1 1 16m2. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 设 A(xA,yA),B(xB,yB),由 ymx, x2 4 y21, 解得 xA 2 4m21, 所以|OA|1m2|xA|2 1m 2 4m21, 用 1 4m代替 m,可得 xB 2 1 4m21 , |OB|1 1 16m2|xB| 21 1 16m2 1 4m21 , 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题

16、押题 专题作业专题作业 S OMN SOAB 1 2|ON| |OM|sin MON 1 2|OA|OB|sin AOB |ON| |OM| |OA| |OB| 4m 1m2 1 m 1 1 16m2 2 1m2 4m21 21 1 16m2 1 4m21 4m21 1 4m21 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 4m22 1 4m22m 1 2m2, 当且仅当 m1 2时等号成立 的取值范围为2,). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 (

17、1)数形结合法: 利用待求量的几何意义, 确定出临界位置后数形结合求 解 (2)构建不等式法: 利用已知或隐含的不等关系, 构建以待求量为元的不 等式求解 (3)构建函数法:先引入变量,构建以待求量为因变量的函数,再求其值 域 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2020 山东省潍坊市三模)设抛物线 E:x22py(p0)的焦点为 F,点 A 是 E 上一点,且线段 AF 的中点坐标为(1,1). (1)求抛物线 E 的标准方程; 解 (1)依题意,得 F 0,p 2 ,设 A(x0,y0), 由 AF 的中点坐标为(1,1), 得 1

18、x0 2 , 1 y0p 2 2 , 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 即 x02,y02p 2, 所以 42p 2p 2 ,得 p24p40,即 p2, 所以抛物线 E 的标准方程为 x24y. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)若 B,C 为抛物线 E 上的两个动点(异于点 A),且 BABC,求点 C 的横坐标的取值范围 解 (2)由题意知 A(2,1),设 B x1,x 2 1 4 ,C x,x 2 4 , 则 kBA x2 1 4 1 x12 1 4(x12),

19、因为 x12,所以 kBC 4 x12, 故 BC 所在直线方程为 yx 2 1 4 4 x12(xx1). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 联立 yx 2 1 4 4 x12(xx1), x24y, 因为 xx1,得(xx1)(x12)160, 即 x2 1(x2)x12x160, 因为 (x2)24(2x16)0, 即 x24x600, 故 x10 或 x6. 经检验,当 x6 时,不满足题意 所以点 C 的横坐标的取值范围是 x10 或 xb0), 四 点 P1(1,1),P2(0,1),P3 1, 3 2 ,P4 1, 3 2

20、 中恰有三点在椭圆 C 上 (1)求 C 的方程; 解 (1)由于 P3,P4两点关于 y 轴对称, 故由题意知 C 经过 P3,P4两点 又由 1 a2 1 b2 1 a2 3 4b2知,C 不经过点 P1,所以点 P2 在 C 上 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 因此 1 b21, 1 a2 3 4b21, 解得 a24, b21. 故 C 的方程为x 2 4 y21. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B 两点若直线

21、P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1,证明:l 过定点 解 (2)证明:设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2,如果 l 与 x 轴垂直,设 l:xt,由题意知 t0,且|t|0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1x2 8km 4k21,x1x2 4m24 4k21 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 而 k1k2y 11 x1 y 21 x2 kx 1m1 x1 kx 2m1 x2 2kx 1x2(m1)(x1x2) x1x2 . 由题意 k1k21,故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.

22、 即(2k1) 4m24 4k21 (m1) 8km 4k210. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解得 km1 2 . 当且仅当 m1 时,0, 故 l:ym1 2 xm,即 y1m1 2 (x2), 所以 l 过定点(2,1). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法: 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量, 再 研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点 (2)特殊到一般法: 根据动点或动线的特殊情况探索出定点, 再证明该定

23、 点与变量无关 提醒:(1)直线过定点,常令参数的系数等于 0 即可如直线 ykxb, 若 b 为常量,则直线恒过点(0,b);若b k为常量,则直线恒过点 b k,0 . (2)一般曲线过定点,把曲线方程变为 f1(x,y)f2(x,y)0( 为参数). 解方程组 f1(x,y)0, f2(x,y)0,即得定点坐标 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2020 河北省保定市二模)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2, 且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为 2 3. (1)求椭圆 C

24、的方程; 解 (1)由题意得 c a 1 2, 1 22ab2 3, a2b2c2, 解得 a2,b 3. 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)经过定点 Q(m,0)(m2)的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 M,N,点 M 关于 x 轴的对称点为 M,试证明:直线 MN 与 x 轴的交点 S 为一个定点, 且|OQ| |OS|4(O 为原点). 解 (2)证明:由题意知直线 l 的斜率一定存在,设为 k, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 M(x1,y1),设 S(n

25、,0), 联立 yk(xm), x2 4 y 2 3 1, 消去 y 得 (34k2)x28k2mx4k2m2120, 由 0 得(4m2)k230,即 k2b0)的左顶点 和下顶点分别为 A,B,|AB|2 5,过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为 2. (1)求椭圆 C 的方程; 解 (1)由题意可知 a2b220, 2b2 a 2, 解得 a4, b2, 所以椭圆 C 的方程为 x2 16 y2 4 1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)已知 M 为椭圆 C 上一动点(M 不与 A,B 重合),直线 AM 与 y 轴交于 点

26、P,直线 BM 与 x 轴交于点 Q,证明:|AQ| |BP|为定值 解 (2)证明:A(4,0),B(0,2),设 M(x0,y0),P(0,yP),Q(xQ,0), 因为 M(x0,y0)在椭圆 C 上,所以 x2 04y 2 016, 由 A,P,M 三点共线得yP 4 y0 x04,即 yP 4y0 x04, 同理可得 xQ 2x0 y02. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 所以|AQ| |BP|xQ4| |yP2| 2x04y08 y02 2x04y08 x04 4(x2 04y 2 0164x0y08x016y0) (x0

27、4)(y02) 16. 所以|AQ| |BP|为定值 16. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 圆锥曲线中定值问题的两种解法 (1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值:即将问题 转化为证明待证式与参数(某些变量)无关 (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示, 再利用其满足的约束条件 使其绝对值相等的正负项相抵消或分子、分母约分得定值 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ,点 A(2, 2)在

28、椭圆上, O 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的方程; 解 (1)由题有 c a 2 2 , 4 a2 2 b21, c2b2a2, a28,b24, 椭圆 C 的方程为x 2 8 y 2 4 1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)已知点 P,M,N 为椭圆 C 上的三点,若四边形 OPMN 为平行四边 形,证明四边形 OPMN 的面积 S 为定值,并求出该定值 解 (2)当直线 PN 的斜率 k 不存在时,直线 PN 的方程为 x 2或 x 2, 从而有|PN|2 3, 所以四边形 OPMN 的面积 S1 2|PN| |OM|

29、1 22 32 22 6. 当直线 PN 的斜率 k 存在时, 设直线 PN 的方程为 ykxm(m0), P(x1, y1),N(x2,y2), 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 将直线 PN 的方程代入椭圆 C 的方程, 整理得(12k2)x24kmx2m280, 当 64k28m2320 时, 有 x1x2 4km 12k2,x1x2 2m28 12k2 ,y1y2k(x1x2)2m 2m 12k2, 由OM OP ON ,得 M 4km 12k2, 2m 12k2 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题

30、VS押题押题 专题作业专题作业 将 M 点的坐标代入椭圆 C 的方程得 m212k2, 该关系式满足 0, 又点 O 到直线 PN 的距离为 d |m| 1k2, |PN|(x1x2)2(y1y2)21k2|x1x2|, 四边形 OPMN 的面积 Sd |PN| |m| |x1x2| 12k2(x1x2)24x1x2 48k224 2k21 2 6. 综上,平行四边形 OPMN 的面积 S 为定值 2 6. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 考向 3 探索性问题 例 5 (2020 湖北省黄冈市模拟)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b

31、21(ab0)的左、 右焦点分别为点 F1,F2,左、右顶点分别为 A,B,长轴长为 4,椭圆上任 意一点 P(不与 A,B 重合)与 A,B 连线的斜率乘积均为3 4. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (1)求椭圆 C 的标准方程; 解 (1)由题意,知 a2,则 A(2,0),B(2,0), 设 P(x0,y0)(x2 04),则点 P 与点 A 连线的斜率为 kAP y0 x02,点 P 与点 B 连线的斜率为 kBP y0 x02,故 y2 0 x2 04 3 4, 又因为点 P 在椭圆 C 上,故有x 2 0 4 y 2 0

32、 b21, 联立,解得 b23,则椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)如图,过点 F1的直线 l1与椭圆 C 交于 M,N 两点,过点 F2的直线 l2 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且 l1l2,试问:四边形 MNPQ 可否为菱形?并 请说明理由 解 (2)由于点 F1,F2关于原点对称且 l1l2,故 l1,l2关于原点对称,又 椭圆关于原点对称,所以四边形 MNPQ 为平行四边形 由(1),知 F1(1,0),易知直线 MN 不能平行于 x 轴所以令直线 MN 的方程为 xmy

33、1,设 M(x1,y1),N(x2,y2). 联立方程 3x24y2120, xmy1, 得(3m24)y26my90,显然 0, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 所以 y1y2 6m 3m24,y1y2 9 3m24. 若四边形 MNPQ 是菱形,则 OMON, 即OM ON 0, 于是有 x1x2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)10, 整理得12m 25 3m24 0,即 12m250, 上述关于 m 的方程显然没有实数解,故四边形 MNPQ 不可能是菱形 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押

34、题押题 专题作业专题作业 解析几何中的探索性问题,从类型上看,主要是存在类型的相关题型, 解决这类问题通常采用“肯定顺推法”, 将不确定性问题明确化 其步骤为: 假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列 出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或 参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2020 广东省韶关市二模)在直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(2, 2), B(2, 2),直线 AD,BD 交于 D,且它们的斜率满足 kADk

35、BD2. (1)求点 D 的轨迹 C 的方程; 解 (1)设 D(x,y),由 A(2,2),B(2,2),得 kADy2 x2(x2),kBD y2 x2(x2), kADkBD2,y2 x2 y2 x22, 整理得 x22y(x 2). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)设过点(0,2)的直线 l 交曲线 C 于 P,Q 两点,直线 OP 与 OQ 分别 交直线 y1 于点 M,N,是否存在常数 ,使 SOPQSOMN?若存在, 求出 的值;若不存在,说明理由 解 (2)存在常数 4,使 SOPQSOMN. 证明如下: 由题意

36、,知直线 l 的斜率存在,设直线 l:ykx2,P(x1,y1),Q(x2, y2). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 联立 ykx2, x22y, 得 x22kx40,显然 0, 则 x1x22k,x1x24. |x1x2| (x1x2)24x1x2 4k2162k24, 则 SOPQ1 2 2 |x1x2|2 k 24. 直线 OP:yy1 x1x,取 y1,得 xM x1 y1, 直线 OQ:yy2 x2x,取 y1,得 xN x2 y2. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作

37、业 |xMxN| x2 y2 x1 y1 x2y1x1y2 y1y2 |x 2(kx12)x1(kx22)| |(kx12)(kx22)| |2(x2x1)| |k2x1x22k(x1x2)4| 4k24 4 k24. SOMN1 2 1 |xMxN| k24 2 . SOPQ4SOMN. 故存在常数 4,使 SOPQSOMN. 3 真题真题VSVS押题押题 PART THREE 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 真题检验 1(2020 全国卷)已知 A,B 分别为椭圆 E:x 2 a2y 21(a1)的左、右 顶点,G 为 E 的上顶

38、点,AG GB 8,P 为直线 x6 上的动点,PA 与 E 的 另一交点为 C,PB 与 E 的另一交点为 D. (1)求 E 的方程; 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解 (1)依据题意作出如下图象: 由椭圆方程 E:x 2 a2y 21(a1)可得 A(a,0),B(a,0),G(0,1), AG (a,1),GB (a,1). AG GB a218,a29. 椭圆 E 的方程为x 2 9 y21. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)证明:直线 CD 过定点 解 (

39、2)证明:由(1)得 A(3,0),B(3,0),设 P(6,y0), 则直线 AP 的方程为 y y00 6(3)(x3), 即 yy0 9 (x3), 直线 BP 的方程为 yy 00 63 (x3),即 yy0 3 (x3). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 联立直线 AP 的方程与椭圆的方程可得 x2 9 y21, yy0 9 (x3), 整理得(y2 09)x 26y2 0 x9y 2 0810, 解得 x3 或 x3y 2 027 y2 09 . 将 x3y 2 027 y2 09 代入 yy0 9 (x3)可得 y 6y

40、0 y2 09, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 点 C 的坐标为 3y2 027 y2 09 , 6y0 y2 09 . 同理可得,点 D 的坐标为 3y2 03 y2 01 ,2y 0 y2 01 . 直线 CD 的方程为 y 2y0 y2 01 6y0 y2 09 2y0 y2 01 3y2 027 y2 09 3y 2 03 y2 01 x3y 2 03 y2 01 , 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 整理可得 y 2y0 y2 01 4y0 3(3y2 0) x3y

41、 2 03 y2 01 , y 4y0 3(3y2 0) x3y 2 03 y2 01 2y0 y2 01 4y0 3(3y2 0) x3 2 . 故直线 CD 过定点 3 2,0 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 2(2020 新高考卷)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 M(2,3),点 A 为其左顶点,且 AM 的斜率为1 2. (1)求 C 的方程; 解 (1)由题意可知直线 AM 的方程为 y31 2(x2),即 x2y4. 当 y0 时,解得 x4,所以 a4, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究

42、热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 由椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 M(2,3), 可得 4 16 9 b21,解得 b 212. 所以 C 的方程为 x2 16 y2 121. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)点 N 为椭圆上任意一点,求AMN 的面积的最大值. 解 (2)设与直线 AM 平行的直线方程为 x2ym, 如图所示,当直线与椭圆相切时,与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切 点为 N,此时AMN 的面积取得最大值. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题V

43、S押题押题 专题作业专题作业 联立直线方程 x2ym 与椭圆方程 x2 16 y2 121, 可得 3(m2y)24y248, 化简可得 16y212my3m2480, 所以 144m2416(3m248)0, 即 m264,解得 m 8, 与 AM 距离比较远的直线方程为 x2y8, 直线 AM 的方程为 x2y4, 点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 利用两平行线之间的距离公式可得点 N 到直线 AM 的距离 d 84 14 12 5 5 , 由两点之间的距离公式可得|AM| (24

44、)2323 5. 所以AMN 的面积的最大值为1 23 5 12 5 5 18. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 3(2020 新高考卷)已知椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ,且 过点 A(2,1). (1)求 C 的方程; 解 (1)由题意可得 c a 2 2 , 4 a2 1 b21, a2b2c2, 解得 a26,b2c23, 故椭圆 C 的方程为x 2 6 y 2 3 1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)点 M,N 在 C 上

45、,且 AMAN,ADMN,D 为垂足证明:存在定 点 Q,使得|DQ|为定值 解 (2)证明:设点 M(x1,y1),N(x2,y2). 因为 AMAN,所以AM AN 0, 即(x12)(x22)(y11)(y21)0. 当直线 MN 的斜率存在时, 设其方程为 ykxm,如图 1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 代入椭圆方程消去 y 并整理,得(12k2)x24kmx2m260, x1x2 4km 12k2,x1x2 2m26 12k2 , 根据 y1kx1m,y2kx2m,代入整理,可得 (k21)x1x2(kmk2)(x1x

46、2)(m1)240, 将代入上式,得(k21)2m 26 12k2 (kmk2) 4km 12k2 (m1)24 0, 整理化简得(2k3m1)(2km1)0, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 因为 A(2,1)不在直线 MN 上,所以 2km10, 所以 2k3m10,k1, 于是 MN 的方程为 yk x2 3 1 3, 所以直线过定点 E 2 3, 1 3 . 当直线 MN 的斜率不存在时,可得 N(x1,y1),如图 2. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 代入(x12)(x22)(y11)(y21)0 得(x12)21y2 10,