2021年高考数学大二轮专题复习：解析几何之圆锥曲线的综合问题

1、专题六专题六 解析几何解析几何 第二编 讲专题 第第3 3讲讲 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 考情研析 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关 系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探 索性问题 2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论 等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大 1 核心知识回顾核心知识回顾 PART ONE 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 1.最值问题 求解最值问题的基本思路是选择变量，建立求解目标的函数解析式，然 后利用函数的性质、基本不等式等知

2、识求解其最值 2范围问题 求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关 系，然后消去另一个量，保留要求的量”不等式的来源可以是 0 或圆锥 曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 3定点问题 在解析几何中， 有些含有参数的直线或曲线的方程， 不论参数如何变化， 其都过某定点，这类问题称为定点问题. 4定值问题 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动 点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题 5存在性问题的解题步骤 (1)先假设存在，引入参变量，根据题

3、目条件列出关于参变量的方程(组) 或不等式(组). (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在 2 热点考向探究热点考向探究 PART TWO 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 考向 1 最值与范围问题 角度 1 最值问题 例 1 (2020 山东省烟台市高考适应性练习)已知 O 为坐标原点，F 为抛 物线 C： y22px(p0)的焦点， 过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A， B 两点， AOB 的面积为 8 2. (1)求抛物线 C 的方程； 解 (1)由已知，得直线 AB 的方程为 yxp 2， 设

4、A(xA，yA)，B(xB，yB)， 联立 y22px， yxp 2， 可得 y22pyp20，显然 0， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 则 yAyB2p，yAyBp2. 于是|yAyB| （yAyB）24yAyB4p24p22 2p. SAOB1 2 p 2|yAyB| 2 2 p28 2， 所以 p4. 故抛物线 C 的方程为 y28x. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)若 P 为 C 上位于第一象限的任一点，直线 l 与 C 相切于点 P，连接 PF 并延长交

5、C 于点 M，过 P 点作 l 的垂线交 C 于另一点 N，求PMN 面积 S 的最小值 解 (2)设 P(x0，y0)(y00)，M y2 1 8 ，y1，N y2 2 8 ，y2，切线 l 的方程为 xx0 t(yy0)， 则有FM y2 1 8 2，y1，FP y2 0 8 2，y0， 由 M，F，P 三点共线，可知FM FP ， 即 y2 1 8 2 y0 y2 0 8 2 y10， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 因为 y0y1，化简可得 y0y116. 由 xx0t（yy0）， y28x， 可得 y28ty8ty08x00

6、， 因为直线 l 与抛物线相切，故 64t232ty04y2 00，故 ty 0 4 . 所以直线 PN 的方程为 yy0y0 4 (xx0)，即 y0 x4y4y0y 3 0 8 0， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 点 M 到直线 PN 的距离为 d y2 1y0 8 4y14y0y 3 0 8 y2 016 ， 将 y116 y0 代入可得， d 32 y0 4y0y 3 0 8 y2 016 （y2 016） 2 8|y0| y2 016. 联立 y 0 x4y4y0y 3 0 8 0， y28x， 消去 x 可得， 核心知识

7、回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 y0y232yy3 032y00， 所以 y0y232 y0 ，y232 y0 y0. |PN|116 y2 0 |y0y2|116 y2 0 2y032 y0 2（y 2 016） y2 016 y2 0 ， 故 S1 2d|PN| 1 2 （y2 016） 2 8|y0|y2 016 2（y2 016） y2 016 y2 0 1 8 y2 016 y0 31 8 y016 y0 31 8 2y016 y0 364， 当且仅当 y 04 时， “”成立， 此时， PMN 面积 S 的最小值为 64. 核心知

8、识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法 几何法是根据已知 的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛 物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建 立求解目标关于某个(或两个)变量的函数， 通过求解函数的最值(利用普通方 法、基本不等式法或导数法等)解决的 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2020 山东省日照市高三 6 月校际联合联考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y22px(p

9、0)的焦点为 F，A 为抛物线上异于原点的任意 一点，以 AO 为直径作圆 ，当直线 OA 的斜率为 1 时，|OA|4 2. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (1)求抛物线 C 的标准方程； 解 (1)当 kOA1 时，可得 A(2p，2p)， |OA|4 2 4p24p22 2p，p2， 抛物线 C 的标准方程为 y24x. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)过焦点 F 作 OA 的垂线 l 与圆 的一个交点为 M，l 交抛物线于 P， Q 两点(点 M 在 P，Q

10、之间)，记OAM 的面积为 S，求 S23 2|PQ|的最小值 解 (2)设 A(x1，y1)，M(x0，y0)，P(x2，y2)，Q(x3，y3)， 根据题意有 OA FM 0 x1x0y1y0 x10， OM AM 0 x2 0 x1x0y 2 0y1y00， 即 x2 0y 2 0 x1， 又|AM|2|OA|2|OM|2x2 1y 2 1(x 2 0y 2 0)x 2 1y 2 1x1x 2 13x1， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 S1 2|AM| |OM| 1 2 x2 13x1 x2 0y 2 0 S21 4x1(x

11、2 13x1)， 由题意可知，直线 PQ 的斜率一定存在且不为 0， 设 lPQ：xny1， xny1， y24x y24ny40， y2y34n，y2y34， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 |PQ|1n2|y2y3| 1n2 （y2y3）24y2y34(1n2)， PQOA，kPQy1 x11n y1 x1|PQ|4(1n 2)4 1 4 x1 ， S23 2|PQ| 1 4x1(x 2 13x1)6 1 4 x1 ， 令 f(x)1 4x(x 23x)6 14 x f(x)3 4 x42x332 x2 ， 令 g(x)x42x3

12、32，则 g(x)在 x0 时单调递增， 又 g(2)0，当 x(0，2)时，g(x)0， 即当 x(0，2)时，f(x)单调递减， 当 x(2，)时，f(x)单调递增 当 x2 时，f(x)min23. 即 S23 2|PQ|的最小值为 23. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 角度 2 范围问题 例 2 (2020 河北省衡水中学第九次调研考试)如图，椭圆 C1：x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3 2 ，过抛物线 C2：x24by 的焦点 F 的直线交抛物线于 M， N 两点， 当|M

13、F|7 4时， M 点在 x 轴上的射影为 F1.连接 NO，MO 并延长分别 交 C1于 A，B 两点，连接 AB，OMN 与OAB 的面 积分别记为 SOMN和 SOAB，设 S OMN SOAB . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (1)求椭圆 C1和抛物线 C2的方程； 解 (1)由抛物线定义可得 M c，7 4b ， 点 M 在抛物线 x24by 上， c24b 7 4b ，即 c 27b4b2， 又由c a 3 2 ，得 c23b2，将上式代入， 得 7b27b，解得 b1，c 3，a2， 椭圆 C1的方程为x 2 4 y

14、21，抛物线 C2的方程为 x24y. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)求 的取值范围 解 (2)设直线 MN 的方程为 ykx1， 由 ykx1， x24y， 消去 y 整理，得 x24kx40， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x24， 设 kONm，kOMm， 则 mmy2 x2 y1 x1 1 16x1x2 1 4， m 1 4m， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 设直线 ON 的方程为 ymx(m0)， 由 ymx， x24y，解得 x24m，

15、 |ON|1m2|x2|4m 1m2， 由可知，用 1 4m代替 m，可得 x1 1 m， |OM| 1 1 4m 2|x 1| 1 m 1 1 16m2. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，由 ymx， x2 4 y21， 解得 xA 2 4m21， 所以|OA|1m2|xA|2 1m 2 4m21， 用 1 4m代替 m，可得 xB 2 1 4m21 ， |OB|1 1 16m2|xB| 21 1 16m2 1 4m21 ， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题

16、押题 专题作业专题作业 S OMN SOAB 1 2|ON| |OM|sin MON 1 2|OA|OB|sin AOB |ON| |OM| |OA| |OB| 4m 1m2 1 m 1 1 16m2 2 1m2 4m21 21 1 16m2 1 4m21 4m21 1 4m21 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 4m22 1 4m22m 1 2m2， 当且仅当 m1 2时等号成立 的取值范围为2，). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 (

17、1)数形结合法： 利用待求量的几何意义， 确定出临界位置后数形结合求 解 (2)构建不等式法： 利用已知或隐含的不等关系， 构建以待求量为元的不 等式求解 (3)构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其值 域 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2020 山东省潍坊市三模)设抛物线 E：x22py(p0)的焦点为 F，点 A 是 E 上一点，且线段 AF 的中点坐标为(1，1). (1)求抛物线 E 的标准方程； 解 (1)依题意，得 F 0，p 2 ，设 A(x0，y0)， 由 AF 的中点坐标为(1，1)， 得 1

18、x0 2 ， 1 y0p 2 2 ， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 即 x02，y02p 2， 所以 42p 2p 2 ，得 p24p40，即 p2， 所以抛物线 E 的标准方程为 x24y. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)若 B，C 为抛物线 E 上的两个动点(异于点 A)，且 BABC，求点 C 的横坐标的取值范围 解 (2)由题意知 A(2，1)，设 B x1，x 2 1 4 ，C x，x 2 4 ， 则 kBA x2 1 4 1 x12 1 4(x12)，

19、因为 x12，所以 kBC 4 x12， 故 BC 所在直线方程为 yx 2 1 4 4 x12(xx1). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 联立 yx 2 1 4 4 x12（xx1）， x24y， 因为 xx1，得(xx1)(x12)160， 即 x2 1(x2)x12x160， 因为 (x2)24(2x16)0， 即 x24x600， 故 x10 或 x6. 经检验，当 x6 时，不满足题意 所以点 C 的横坐标的取值范围是 x10 或 xb0)， 四 点 P1(1，1)，P2(0，1)，P3 1， 3 2 ，P4 1， 3 2

20、 中恰有三点在椭圆 C 上 (1)求 C 的方程； 解 (1)由于 P3，P4两点关于 y 轴对称， 故由题意知 C 经过 P3，P4两点 又由 1 a2 1 b2 1 a2 3 4b2知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 因此 1 b21， 1 a2 3 4b21， 解得 a24， b21. 故 C 的方程为x 2 4 y21. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线

21、P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点 解 (2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，如果 l 与 x 轴垂直，设 l：xt，由题意知 t0，且|t|0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2 8km 4k21，x1x2 4m24 4k21 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 而 k1k2y 11 x1 y 21 x2 kx 1m1 x1 kx 2m1 x2 2kx 1x2（m1）（x1x2） x1x2 . 由题意 k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.

22、 即(2k1) 4m24 4k21 (m1) 8km 4k210. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解得 km1 2 . 当且仅当 m1 时，0， 故 l：ym1 2 xm，即 y1m1 2 (x2)， 所以 l 过定点(2，1). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法： 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量， 再 研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点 (2)特殊到一般法： 根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定

23、 点与变量无关 提醒：(1)直线过定点，常令参数的系数等于 0 即可如直线 ykxb， 若 b 为常量，则直线恒过点(0，b)；若b k为常量，则直线恒过点 b k，0 . (2)一般曲线过定点，把曲线方程变为 f1(x，y)f2(x，y)0( 为参数). 解方程组 f1（x，y）0， f2（x，y）0，即得定点坐标 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2020 河北省保定市二模)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2， 且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为 2 3. (1)求椭圆 C

24、的方程； 解 (1)由题意得 c a 1 2， 1 22ab2 3， a2b2c2， 解得 a2，b 3. 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)经过定点 Q(m，0)(m2)的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 M，N，点 M 关于 x 轴的对称点为 M，试证明：直线 MN 与 x 轴的交点 S 为一个定点， 且|OQ| |OS|4(O 为原点). 解 (2)证明：由题意知直线 l 的斜率一定存在，设为 k， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 M(x1，y1)，设 S(n

25、，0)， 联立 yk（xm）， x2 4 y 2 3 1， 消去 y 得 (34k2)x28k2mx4k2m2120， 由 0 得(4m2)k230，即 k2b0)的左顶点 和下顶点分别为 A，B，|AB|2 5，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为 2. (1)求椭圆 C 的方程； 解 (1)由题意可知 a2b220， 2b2 a 2， 解得 a4， b2， 所以椭圆 C 的方程为 x2 16 y2 4 1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)已知 M 为椭圆 C 上一动点(M 不与 A，B 重合)，直线 AM 与 y 轴交于 点

26、P，直线 BM 与 x 轴交于点 Q，证明：|AQ| |BP|为定值 解 (2)证明：A(4，0)，B(0，2)，设 M(x0，y0)，P(0，yP)，Q(xQ，0)， 因为 M(x0，y0)在椭圆 C 上，所以 x2 04y 2 016， 由 A，P，M 三点共线得yP 4 y0 x04，即 yP 4y0 x04， 同理可得 xQ 2x0 y02. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 所以|AQ| |BP|xQ4| |yP2| 2x04y08 y02 2x04y08 x04 4（x2 04y 2 0164x0y08x016y0） （x0

27、4）（y02） 16. 所以|AQ| |BP|为定值 16. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 圆锥曲线中定值问题的两种解法 (1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题 转化为证明待证式与参数(某些变量)无关 (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示， 再利用其满足的约束条件 使其绝对值相等的正负项相抵消或分子、分母约分得定值 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，点 A(2， 2)在

28、椭圆上， O 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的方程； 解 (1)由题有 c a 2 2 ， 4 a2 2 b21， c2b2a2， a28，b24， 椭圆 C 的方程为x 2 8 y 2 4 1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)已知点 P，M，N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边 形，证明四边形 OPMN 的面积 S 为定值，并求出该定值 解 (2)当直线 PN 的斜率 k 不存在时，直线 PN 的方程为 x 2或 x 2， 从而有|PN|2 3， 所以四边形 OPMN 的面积 S1 2|PN| |OM|

29、1 22 32 22 6. 当直线 PN 的斜率 k 存在时， 设直线 PN 的方程为 ykxm(m0)， P(x1， y1)，N(x2，y2)， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 将直线 PN 的方程代入椭圆 C 的方程， 整理得(12k2)x24kmx2m280， 当 64k28m2320 时， 有 x1x2 4km 12k2，x1x2 2m28 12k2 ，y1y2k(x1x2)2m 2m 12k2， 由OM OP ON ，得 M 4km 12k2， 2m 12k2 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题

30、VS押题押题 专题作业专题作业 将 M 点的坐标代入椭圆 C 的方程得 m212k2， 该关系式满足 0， 又点 O 到直线 PN 的距离为 d |m| 1k2， |PN|（x1x2）2（y1y2）21k2|x1x2|， 四边形 OPMN 的面积 Sd |PN| |m| |x1x2| 12k2（x1x2）24x1x2 48k224 2k21 2 6. 综上，平行四边形 OPMN 的面积 S 为定值 2 6. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 考向 3 探索性问题 例 5 (2020 湖北省黄冈市模拟)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b

31、21(ab0)的左、 右焦点分别为点 F1，F2，左、右顶点分别为 A，B，长轴长为 4，椭圆上任 意一点 P(不与 A，B 重合)与 A，B 连线的斜率乘积均为3 4. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (1)求椭圆 C 的标准方程； 解 (1)由题意，知 a2，则 A(2，0)，B(2，0)， 设 P(x0，y0)(x2 04)，则点 P 与点 A 连线的斜率为 kAP y0 x02，点 P 与点 B 连线的斜率为 kBP y0 x02，故 y2 0 x2 04 3 4， 又因为点 P 在椭圆 C 上，故有x 2 0 4 y 2 0

32、 b21， 联立，解得 b23，则椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)如图，过点 F1的直线 l1与椭圆 C 交于 M，N 两点，过点 F2的直线 l2 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 l1l2，试问：四边形 MNPQ 可否为菱形？并 请说明理由 解 (2)由于点 F1，F2关于原点对称且 l1l2，故 l1，l2关于原点对称，又 椭圆关于原点对称，所以四边形 MNPQ 为平行四边形 由(1)，知 F1(1，0)，易知直线 MN 不能平行于 x 轴所以令直线 MN 的方程为 xmy

33、1，设 M(x1，y1)，N(x2，y2). 联立方程 3x24y2120， xmy1， 得(3m24)y26my90，显然 0， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 所以 y1y2 6m 3m24，y1y2 9 3m24. 若四边形 MNPQ 是菱形，则 OMON， 即OM ON 0， 于是有 x1x2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)10， 整理得12m 25 3m24 0，即 12m250， 上述关于 m 的方程显然没有实数解，故四边形 MNPQ 不可能是菱形 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押

34、题押题 专题作业专题作业 解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型， 解决这类问题通常采用“肯定顺推法”， 将不确定性问题明确化 其步骤为： 假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列 出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或 参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2020 广东省韶关市二模)在直角坐标系 xOy 中， 已知点 A(2， 2)， B(2， 2)，直线 AD，BD 交于 D，且它们的斜率满足 kADk

35、BD2. (1)求点 D 的轨迹 C 的方程； 解 (1)设 D(x，y)，由 A(2，2)，B(2，2)，得 kADy2 x2(x2)，kBD y2 x2(x2)， kADkBD2，y2 x2 y2 x22， 整理得 x22y(x 2). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)设过点(0，2)的直线 l 交曲线 C 于 P，Q 两点，直线 OP 与 OQ 分别 交直线 y1 于点 M，N，是否存在常数 ，使 SOPQSOMN？若存在， 求出 的值；若不存在，说明理由 解 (2)存在常数 4，使 SOPQSOMN. 证明如下： 由题意

36、，知直线 l 的斜率存在，设直线 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2， y2). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 联立 ykx2， x22y， 得 x22kx40，显然 0， 则 x1x22k，x1x24. |x1x2| （x1x2）24x1x2 4k2162k24， 则 SOPQ1 2 2 |x1x2|2 k 24. 直线 OP：yy1 x1x，取 y1，得 xM x1 y1， 直线 OQ：yy2 x2x，取 y1，得 xN x2 y2. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作

37、业 |xMxN| x2 y2 x1 y1 x2y1x1y2 y1y2 |x 2（kx12）x1（kx22）| |（kx12）（kx22）| |2（x2x1）| |k2x1x22k（x1x2）4| 4k24 4 k24. SOMN1 2 1 |xMxN| k24 2 . SOPQ4SOMN. 故存在常数 4，使 SOPQSOMN. 3 真题真题VSVS押题押题 PART THREE 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 真题检验 1(2020 全国卷)已知 A，B 分别为椭圆 E：x 2 a2y 21(a1)的左、右 顶点，G 为 E 的上顶

38、点，AG GB 8，P 为直线 x6 上的动点，PA 与 E 的 另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D. (1)求 E 的方程； 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解 (1)依据题意作出如下图象： 由椭圆方程 E：x 2 a2y 21(a1)可得 A(a，0)，B(a，0)，G(0，1)， AG (a，1)，GB (a，1). AG GB a218，a29. 椭圆 E 的方程为x 2 9 y21. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)证明：直线 CD 过定点 解 (

39、2)证明：由(1)得 A(3，0)，B(3，0)，设 P(6，y0)， 则直线 AP 的方程为 y y00 6（3）(x3)， 即 yy0 9 (x3)， 直线 BP 的方程为 yy 00 63 (x3)，即 yy0 3 (x3). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 联立直线 AP 的方程与椭圆的方程可得 x2 9 y21， yy0 9 （x3）， 整理得(y2 09)x 26y2 0 x9y 2 0810， 解得 x3 或 x3y 2 027 y2 09 . 将 x3y 2 027 y2 09 代入 yy0 9 (x3)可得 y 6y

40、0 y2 09， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 点 C 的坐标为 3y2 027 y2 09 ， 6y0 y2 09 . 同理可得，点 D 的坐标为 3y2 03 y2 01 ，2y 0 y2 01 . 直线 CD 的方程为 y 2y0 y2 01 6y0 y2 09 2y0 y2 01 3y2 027 y2 09 3y 2 03 y2 01 x3y 2 03 y2 01 ， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 整理可得 y 2y0 y2 01 4y0 3（3y2 0） x3y

41、 2 03 y2 01 ， y 4y0 3（3y2 0） x3y 2 03 y2 01 2y0 y2 01 4y0 3（3y2 0） x3 2 . 故直线 CD 过定点 3 2，0 . 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 2(2020 新高考卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 M(2，3)，点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为1 2. (1)求 C 的方程； 解 (1)由题意可知直线 AM 的方程为 y31 2(x2)，即 x2y4. 当 y0 时，解得 x4，所以 a4， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究

42、热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 由椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 M(2，3)， 可得 4 16 9 b21，解得 b 212. 所以 C 的方程为 x2 16 y2 121. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)点 N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值. 解 (2)设与直线 AM 平行的直线方程为 x2ym， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切 点为 N，此时AMN 的面积取得最大值. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题V

43、S押题押题 专题作业专题作业 联立直线方程 x2ym 与椭圆方程 x2 16 y2 121， 可得 3(m2y)24y248， 化简可得 16y212my3m2480， 所以 144m2416(3m248)0， 即 m264，解得 m 8， 与 AM 距离比较远的直线方程为 x2y8， 直线 AM 的方程为 x2y4， 点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 利用两平行线之间的距离公式可得点 N 到直线 AM 的距离 d 84 14 12 5 5 ， 由两点之间的距离公式可得|AM| （24

44、）2323 5. 所以AMN 的面积的最大值为1 23 5 12 5 5 18. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 3(2020 新高考卷)已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，且 过点 A(2，1). (1)求 C 的方程； 解 (1)由题意可得 c a 2 2 ， 4 a2 1 b21， a2b2c2， 解得 a26，b2c23， 故椭圆 C 的方程为x 2 6 y 2 3 1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)点 M，N 在 C 上

45、，且 AMAN，ADMN，D 为垂足证明：存在定 点 Q，使得|DQ|为定值 解 (2)证明：设点 M(x1，y1)，N(x2，y2). 因为 AMAN，所以AM AN 0， 即(x12)(x22)(y11)(y21)0. 当直线 MN 的斜率存在时， 设其方程为 ykxm，如图 1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 代入椭圆方程消去 y 并整理，得(12k2)x24kmx2m260， x1x2 4km 12k2，x1x2 2m26 12k2 ， 根据 y1kx1m，y2kx2m，代入整理，可得 (k21)x1x2(kmk2)(x1x

46、2)(m1)240， 将代入上式，得(k21)2m 26 12k2 (kmk2) 4km 12k2 (m1)24 0， 整理化简得(2k3m1)(2km1)0， 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 因为 A(2，1)不在直线 MN 上，所以 2km10， 所以 2k3m10，k1， 于是 MN 的方程为 yk x2 3 1 3， 所以直线过定点 E 2 3， 1 3 . 当直线 MN 的斜率不存在时，可得 N(x1，y1)，如图 2. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 代入(x12)(x22)(y11)(y21)0 得(x12)21y2 10，