1、考点十 三角恒等变换与解三角形 1 A卷 PART ONE 一、选择题 1(2020 全国卷)若 为第四象限角，则( ) Acos20 Bcos20 Dsin20 解析 当 3时， cos2cos 2 3 0， A错误； 当 6时， cos2 cos 3 0，B 错误；由 在第四象限可得 sin0，cos0，则 sin2 2sincos0，C 错误，D 正确故选 D. 答案答案 解析解析 2(2020 山东聊城一模)已知 cos 6 3 5，则 sin 3 ( ) A.3 5 B3 5 C4 5 D4 5 解析 因为 cos 6 3 5，由三角函数诱导公式可得，cos 6 3 5，因 为 si
2、n 3 sin 2 6 cos 6 ，所以 sin 3 cos 6 3 5.故选 A. 答案答案 解析解析 3(2020 全国卷)已知 2tantan 4 7，则 tan( ) A2 B1 C1 D2 解析 2tantan 4 7，2tantan1 1tan7.令 ttan，t1， 则 2t1t 1t7，整理得 t 24t40，解得 t2，即 tan2.故选 D. 答案答案 解析解析 4已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若 2cosBa c，则该三角形一定是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 解析 由 2cosBa c得 2 a2
3、c2b2 2ac a c，即 c 2b2，bc，ABC 为等腰三角形，故选 A. 答案答案 解析解析 5(2020 海南二模)已知 为第二象限角，且 sin2cos2，则sin2 cos2 ( ) A 2 2 B 2 2 C 2 D 2 解析 由 sin2cos2cos2sin2，得 tan21 2， 为第二象限角， tan 2 2 ，sin2 cos2 2sincos cos2 2tan 2. 答案答案 解析解析 6(2020 吉林第四次调研测试)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别 为 a，b，c，A 4，B 12，c3 3，则 a( ) A. 2 B2 2 C3 2 D4 2 解析
4、 因为 A 4，B 12，所以 CAB 2 3 ，所以 acsinA sinC 3 3 2 2 3 2 3 2.故选 C. 答案答案 解析解析 7 (2020 全国卷)已知 (0， )， 且 3cos28cos5， 则 sin( ) A. 5 3 B2 3 C1 3 D 5 9 解析 由 3cos28cos5，得 6cos28cos80，解得 cos2 3 或 cos2(舍去)(0，)，sin1cos2 5 3 .故选 A. 答案答案 解析解析 8(多选)在ABC 中，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ) A若 AB，则 sinAsinB B若 sinAsinB，则 AB，则 1 sin2
5、A 1 sin2B D若 Acos2B 答案答案 解析 由大角对大边知， 若 AB， 则 ab， 由正弦定理得 2RsinA2RsinB， 所以 sinAsinB，故 A 正确；同理 B 正确；当 A120 ，B30 时， 1 sin2A0，故 C 错误；若 AB，则 sinAsinB，sin 2Asin2B，即 1cos2Acos2B，故 D 正确故选 ABD. 解析解析 答案 1 9 二、填空题 9(2020 全国卷)若 sinx2 3，则 cos2x_. 解析 cos2x12sin2x12 2 3 218 9 1 9. 答案答案 解析解析 答案 7 8 10(2020 福建厦门高三毕业班
6、 5 月质量检查)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a22bc 且 sinA2sinC，则 cosC_. 解析 sinA2sinC，a2c，又 a22bc，b2c，cosC a2b2c2 2ab 7c2 24c2 7 8. 答案答案 解析解析 答案 3 11(2020 山东潍坊二模)已知 0， 2 ，sin 4 5 5 ，则 tan _. 解析 sin 4 5 5 ，且 0， 2 ， 4 4， 4 ，cos 4 1sin2 4 2 5 5 ，sinsin 4 4 2 2 sin 4 cos 4 2 2 3 5 5 3 10 10 ， 0， 2 ，cos1sin2 10 10
7、 ，tan sin cos 3. 答案答案 解析解析 答案 10 6 12(2020 山东潍坊高密一模)在ABC 中，设角 A，B，C 对应的边分 别为 a，b，c，记ABC 的面积为 S，且 4a2b22c2，则 S a2的最大值为 _ 答案答案 解析 由题知 4a2b22c2b24a22c2a2c22accosB， 整理得 2accosB3a23c2cosB3c 2a2 2ac ，因为 S a2 2 1 2acsinB a2 2 csinB 2a 2 c21cos2B 4a2 ， 代 入 cosB 3c2a2 2ac ， 整 理 得 S a2 2 1 16 9c 4 a422 c2 a29
8、 ，令 t c2 a2，有 S a2 2 1 16(9t 222t9) 1 16 3t11 3 210 36， 所以 S a2 210 36 S a2 10 6 ， 当且仅当 t11 9 时等号成立， 所以 S a2的最大值为 10 6 . 解析解析 解 (1)sin2Asin2Bsin2CsinBsinC， 由正弦定理可得 BC2AC2AB2AC AB， AC2AB2BC2AC AB， cosAAC 2AB2BC2 2AC AB 1 2.A(0，)， A2 3 . 解解 三、解答题 13(2020 全国卷)ABC 中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC. (1)求 A； (2)若
9、 BC3，求ABC 周长的最大值 (2)解法一：由余弦定理得 BC2AC2AB22AC ABcosAAC2AB2 AC AB9，即(ACAB)2AC AB9. AC AB ACAB 2 2(当且仅当 ACAB 时取等号)， 9(ACAB)2AC AB(ACAB)2 ACAB 2 23 4(ACAB) 2， ACAB2 3(当且仅当 ACAB 时取等号)， ABC 的周长 LACABBC32 3， ABC 周长的最大值为 32 3. 解解 解法二：由正弦定理得 AB sinC AC sinB BC sinA 3 sin2 3 2 3， AB2 3sinC，AC2 3sinB. A2 3 ，C 3
10、B. ABAC2 3sin 3B 2 3sinB2 3 3 2 cosB 1 2sinB 2 3sinB 3cosB 3sinB2 3 sin B 3 . 当 B 6时，ABAC 取得最大值 2 3， ABC 周长的最大值为 32 3. 解解 14.(2020 山东滨州三模)如图，半圆 O 的直径 AB2，点 C 在 AB 的延 长线上，BC1，点 P 为半圆上异于 A，B 两点的一个动点，以点 P 为直角 顶点作等腰直角三角形 PCD， 且点 D 与圆心 O 分布在 PC 的两侧， 设PAC . (1)把线段 PC 的长表示为 的函数； (2)求四边形 ACDP 面积的最大值 解 (1)依题
11、设易知APB 是以APB 为直角的直角三角形， 又 AB2，PAB，所以 PA2cos. 在PAC 中，AC3，PAC，由余弦定理得， PC2PA2AC22PA ACcos4cos2912cos298cos2. 所以 PC98cos2，定义域为 |0 2 . 解解 (2)设四边形 ACDP 的面积为 S， 则 SSAPCSPCD1 2AP AC sin 1 2PC 21 2 2cos 3sin 1 2 (98cos 2) 3 2 sin2 1 2 (54cos2) 3 2sin22cos2 5 2 9 44sin(2) 5 2 5 2 sin(2)5 2， 其中 cos3 5，sin 4 5，
12、 为锐角 因为 sin4 5 3 2 ，所以 0 3. 解解 又因为 0 2，所以 32b， B0.因为A 2，所以 AB 5k23k24k.又因为 AD 2CD，所以 AD2k，CDk，BD4k22k22 5k.因为 cosC3 5， 0C0)， 则 c2a2b22abcosC3m2m22 3mm 3 2 m2，即 cm. 选择条件： 据此可得 ac 3mm 3m2 3，m1，此时 cm1. 选择条件： cosAb 2c2a2 2bc m 2m23m2 2m2 1 2， 则 sinA 1 1 2 2 3 2 ，此时 csinAm 3 2 3， 则 cm2 3. 解解 选择条件： 可得 c b
13、 m m1，cb， 与条件 c 3b 矛盾，则问题中的三角形不存在 解法二：sinA 3sinB，C 6，B(AC)， sinA 3sin(AC) 3sin A 6 ， 即 sinA 3sinA 3 2 3cosA 1 2， sinA 3cosA，tanA 3，A2 3 ， BC 6. 解解 若选，ac 3，a 3b 3c， 3c2 3，c1. 若选，csinA3，则 3c 2 3，c2 3. 若选，bc 与条件 c 3b 矛盾，则问题中的三角形不存在 解析解析 14(2020 吉林长春质量监测三)在ABC 中， 角 A，B，C 所对的边 分别为 a，b，c，且 a4ccosB. (1)求证：
14、sinBcosC3sinCcosB; (2)求 BC 的最大值 解 (1)证明：在ABC 中，由 a4ccosB 及正弦定理，得 sinA4sinCcosBsin(BC)4sinCcosB， 则 sinBcosCcosBsinC4sinCcosBsinBcosC3sinCcosB. (2)由(1)知 sinBcosC3sinCcosBtanB3tanC， tan(BC) tanBtanC 1tanBtanC 2tanC 13tan2C 2 1 tanC3tanC . 又因为 tanB3tanC，故可得 tanC0， 由基本不等式可得 2 1 tanC3tanC 3 3 ， 解解 当且仅当 tanC 3 3 时等号成立 因此 tan(BC) 2 1 tanC3tanC 3 3 ， 即 BC 的最大值为 6. 解解 本课结束