1、题组层级快练题组层级快练(十八十八) (第二次作业) 1若定义在闭区间a，b上的连续函数 yf(x)有唯一的极值点 xx0，且 f(x0)为极小值，则下列说法 正确的是( ) A函数 f(x)有最小值 f(x0) B函数 f(x)有最小值，但不一定是 f(x0) C函数 f(x)有最大值也可能是 f(x0) D函数 f(x)不一定有最小值 答案 A 解析 闭区间上的唯一的极值点就是最值点 2函数 f(x) x ex，x0,4的最大值是( ) A0 B.1 e C.4 e4 D.2 e2 答案 B 3若函数 f(x)x33axa 在(0,1)内有最小值，则实数 a 的取值范围为( ) A0a1
2、B0a1 C1a1 D0a1 2 答案 B 4(2015 云南昆明一模)已知函数 f(x)lnx 1 lnx，则下列结论中正确的是( ) A若 x1，x2(x1x2)是 f(x)的极值点，则 f(x)在区间(x1，x2)上是增函数 B若 x1，x2(x10，且 x1，f(x)2 Dx00，f(x)在(x0，)上是增函数 答案 D 解析 由已知 f(x)1 x 1 xln2x ln2x1 xln2x (x0，且 x1)，令 f(x)0，得 xe 或 x1 e.当 x(0， 1 e)时， f(x)0；当 x(1 e，1)(1，e)时，f(x)0.故 x 1 e和 xe 分别是函数 f(x) 的极大
3、值点和极小值点， 故函数 f(x)在(1 e， 1)和(1， e)上单调递减， 所以 A， B 错； 当 0x1 时， lnx0， f(x)0， 故 C 错；若 x0e，f(x)在(x0，)上是增函数，D 正确 5(2015 四川内江一模)已知函数 f(x)1 3x 31 2x 2cxd 有极值，则实数 c 的取值范围为( ) Ac1 4 答案 A 解析 由题意可知 f(x)x2xc0 有两个不同的实根，所以 14c0c0， 得 x0， 令 f(x)0， 得 x0， 则函数 f(x)在( 1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f(1)e 11，f(1)e1，f(1)f(1)1 e2e 1
4、 22ef(1)故选 D. 7若函数 f(x)x 2a x1 在 x1 处取极值，则 a_. 答案 3 解析 f(x)x 22xa x12 ，由 f(x)在 x1 处取得极值知 f(1)0，a3. 8(2015 黑龙江哈尔滨一模)函数 yx2cosx 在区间0， 2上的最大值是_ 答案 6 3 解析 y12sinx，令 y0，且 x0， 2，得 x 6.则 x0， 6)时，y0；x( 6， 2时，y0 的解集是x|0x0，则 0x0 成立； 存在 a(，0)，使得函数 f(x)有两个零点 其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号) 答案 解析 由 f(x)exalnx，可得 f(x)ex
5、a x，若 a0，则 f(x)0，得函数 f(x)是 D 上的增函数，存在 x(0,1)，使得 f(x)0 即得命题不正确；若 a0，设 exa x0 的根为 m，则在(0，m)上 f(x)0，所以函数 f(x)存在最小值 f(m)，即命题正确；若 f(m)2 2 解析 (1)f(x)2xa1 x， f(x)在(0，1 2)上为减函数， x(0，1 2)时2xa 1 x0 恒成立，即 a2x 1 x恒成立 设 g(x)2x1 x，则 g(x)2 1 x2. x(0，1 2)时 1 x24，g(x)g( 1 2)3，a3. (2)若 f(x)既有极大值又有极小值，则 f(x)0 必须有两个不等的
6、正实数根 x1，x2，即 2x2ax10 有两个不等的正实数根 故 a 应满足 0， a 20 a280， a0 a2 2. 当 a2 2时，f(x)0 有两个不等的实数根 不妨设 x1x2， 由 f(x)1 x(2x 2ax1)2 x(xx1)(xx2)知，0xx1 时 f(x)0，x1x0，xx2时 f(x)2 2时 f(x)既有极大值 f(x2)又有极小值 f(x1) 13(2015 衡水调研卷)已知函数 f(x)1 2x 2alnx. (1)若 a1，求函数 f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若 a1，求函数 f(x)在1，e上的最大值和最小值； (3)若 a1，求证：
7、在区间1，)上函数 f(x)的图像在函数 g(x)2 3x 3的图像的下方 答案 (1)极小值为1 2 (2)f(x)min1 2，f(x)max 1 2e 21 (3)略 解析 (1)由于函数 f(x)的定义域为(0，)， 当 a1 时，f(x)x1 x x1x1 x ， 令 f(x)0，得 x1 或 x1(舍去) 当 x(0,1)时，函数 f(x)单调递减， 当 x(1，)时，函数 f(x)单调递增， 所以 f(x)在 x1 处取得极小值，极小值为1 2. (2)当 a1 时，易知函数 f(x)在1，e上为增函数， 所以 f(x)minf(1)1 2，f(x)maxf(e) 1 2e 21
8、. (3)证明：设 F(x)f(x)g(x)1 2x 2lnx2 3x 3， 则 F(x)x1 x2x 21x1x2x 2 x ， 当 x1 时，F(x)0，故 F(x)在区间(1，)上是减函数又因为 F(1)1 60，所以在区间1，) 上 F(x)0 恒成立，即 f(x)g(x)恒成立因此，当 a1 时，在区间1，)上函数 f(x)的图像在函数 g(x) 图像的下方 14(2014 江西文)已知函数 f(x)(4x24axa2) x，其中 a0，得 x 0，2 5 或 x (2，) 故函数 f(x)的单调递增区间为 0，2 5 和(2，) (2)f(x)10 xa2xa 2 x ，a0， 由
9、 f(x)0，得 x a 10或 x a 2. 当 x 0， a 10 时，f(x)单调递增； 当 x a 10， a 2 时，f(x)单调递减； 当 x a 2， 时，f(x)单调递增 易知 f(x)(2xa)2x0，且 f a 2 0. 当a 21，即2a0 时，f(x)在1,4上的最小值为 f(1)，由 f(1)44aa 28，得 a 2 22， 均不符合题意 当 1a 24，即8a4，即 a8 时，f(x)在1,4上的最小值可能在 x1 或 x4 处取得，而 f(1)8，由 f(4)2(64 16aa2)8，得 a10 或 a6(舍去)当 a10 时，f(x)在(1,4)上单调递减，f
10、(x)在1,4上的最小 值为 f(4)8，符合题意 综上有 a10. 15 (2014 重庆理)已知函数 f(x)ae2xbe 2xcx(a， b， cR)的导函数 f(x)为偶函数， 且曲线 yf(x) 在点(0，f(0)处的切线的斜率为 4c. (1)确定 a，b 的值； (2)若 c3，判断 f(x)的单调性； (3)若 f(x)有极值，求实数 c 的取值范围 答案 (1)a1，b1 (2)f(x)在 R 上为增函数 (3)(4，) 思路 对于(1)，先根据相关的求导法则，正确求得相应函数的导数；再结合偶函数的定义及导数的几 何意义确定相关的待定系数， 对于(2)， 结合函数的导函数与基
11、本不等式， 由此判定相应函数的导数的符号， 进而确定其单调性；对于(3)，结合函数的导数与极值的意义，通过判断相关函数的零点情况，确定待定系 数的取值范围 解析 (1)对 f(x)求导得 f(x)2ae2x2be 2xc， 由 f(x)为偶函数， 知 f(x)f(x)， 即 2(ab)(e2x e 2x)0，所以 ab. 又 f(0)2a2bc4c，故 a1，b1. (2)当 c3 时，f(x)e2xe 2x3x，那么 f(x)2e2x2e 2x32 2e2x 2e2x310， 故 f(x)在 R 上为增函数 (3)由(1)知 f(x)2e2x2e 2xc， 而 2e2x2e 2x2 2e2x 2e2x4， 当 x0 时等号成立 下面分三种情况进行讨论 当 c4 时，对任意 xR，f(x)2e2x2e 2xc0，此时 f(x)无极值； 当 c4 时，对任意 x0，f(x)2e2x2e 2x40，此时 f(x)无极值； 当 c4 时，令 e2xt，注意到方程 2t2 tc0 有两根 t1,2 c c216 4 0， 即 f(x)0 有两个根 x11 2lnt1，或 x2 1 2lnt2. 当 x1xx2时，f(x)0；又当 xx2时，f(x)0，从而 f(x)在 xx2处取得极小值 综上，若 f(x)有极值，则 c 的取值范围为(4，)