1、2021 年江苏省南通市通州区高考数学第三次调研试卷年江苏省南通市通州区高考数学第三次调研试卷 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题）小题）. 1设集合 Ax|x|2，xN，Bx|x2+x20，则 AB（ ） A1 B0，1 C2，1，0，1 D2，1 2已知复数，则 的虚部为（ ） A B C D 3 的二项展开式中有理项有（ ） A3 项 B4 项 C5 项 D6 项 4我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图是在“赵 爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形 ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全 等的直角三角形和一个小
2、正方形组成的我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数 学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为（ ） A B C D 5若非零实数 a，b 满足 ab，则下列结论正确的是（ ） Aa+b2 B（a+b） C |a+b| D 6雷达是利用电磁波探测目标的电子设备电磁波在大气中大致沿直线传播受地球表面曲率的影响，雷 达所能发现目标的最大直视距离 L+（如 图），其中 h1为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R 为地球半径考虑到电磁波的弯曲、折射等 因素，R 等效取 8490km，故 R 远大于 h1，h2.假设某探测目标高度为 25m，为保护航母的安全，须
3、在直视 距离 390km 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）（参考数据： A6400m B7200m C8100m D10000m 7已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 P 是抛物线 C 上位于第一象限内的一点，M 为线段 PF 的中点， MQ 垂直 y 轴于点 Q， 若直线 QF 的倾斜角为 ， 则直线 PF 的倾斜角为 （ ） A B2 C D2 8已知点 A，B，C 是函数的图象和函数图 象的连续三个交点，若ABC 是锐角三角形，则 的取值范围为（ ） A（，+） B（，+） C（0，） D（0，） 二、多项选择题（共二、多项选择题（共 4 小
4、题）小题）. 9下列命题中正确的是（ ） AA，B，M，N 是空间中的四点，若不能构成空间基底，则 A，B，M，N 共面 B已知为空间的一个基底，若 ，则也是空间的基底 C若直线 l 的方向向量为，平面 的法向量为，则直线 l D若直线 l 的方向向量为，平面 的法向量为，则直线 l 与平面 所成 角的正弦值为 10近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大 棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布 N（，302） 和 N（280，402），则下列选项正确的是（ ） 附：若随机变量 X 服从正态分布 N（，2），
5、则 P（X+）0.6826 A若红玫瑰日销售量范围在（30，280）的概率是 0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为 250 B红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 C白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中 D白玫瑰日销售量范围在（280，320）的概率约为 0.3413 11已知椭圆 C：+1 上有一点 P，F1、F2分别为左、右焦点，F1PF2，PF1F2的面积为 S， 则下列选项正确的是（ ） A若 60，则 S3 B若 S9，则 90 C若PF1F2为钝角三角形，则 S（0，） D椭圆 C 内接矩形的周长范围是（12，20 12设函数 f（x）e2x8ex+6x，若曲线 yf（x）在
6、点 P（x0，f（x0）处的切线与该曲线恰有一个公共点 P，则选项中满足条件的 x0有（ ） Aln2 Bln2 Cln4 Dln5 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13双曲线 2x2y28 的两条准线间的距离为 14为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在 6 天时间内检测 3 盒 A 类药，2 盒 B 类药，1 盒 C 类药若每 天只能检测1盒药品， 且3盒A类药中只有2盒在相邻两天被检测， 则不同的检测方案的个数是 15无穷数列an满足：只要 apaq（p
7、，qN*），必有 ap+1aq+1，则称an为“和谐递进数列”若an 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，a1a51，a22，则 S2021 16正方体 ABCDA1B1G1D1的棱长为 1，E，F 分别为 BC，CC1的中点则平面 AEF 截正方体所得的截 面面积为 ；以点 E 为球心，以为半径的球面与对角面 ACC1A1的交线长为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 17海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的
8、现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况 下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间 与水深关系表： 时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.2
9、50 时刻 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 （1）这个港口的水深与时间的关系可用函数 yAsin（x+）+b（A0，0）近似描述，试求出这 个函数解析式； （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 5 米，安全条例规定至少要有 1.25 米的安全间隙（船 底与洋底的距离） ， 利用 （1） 中的函数计算， 该船这一天中何时能进入港口？每次在港口最多能呆多久？ 18已知数列an满足：，anan+10（n1），数列bn满足：bnan+12 an2（n1） （）求数列an，bn
10、的通项公式 （）证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列 19某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得 10 分， 回答错误得 0 分； 第二个问题回答正确得 10 分， 回答错误得10 分； 第三个问题回答正确得 10 分， 回答错误得10 分规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于 20 分就算闯关成功若每位参 赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率都是，且各题回答正确与否相互 之间没有影响 （1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率； （2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分 的分布列、期望和闯关成功的概率 20如图，在
11、四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是等腰梯形，ABDC，BCCD2，AB4M，N 分 别是 AB，AD 的中点，且 PDNC，平面 PAD平面 ABCD （1）证明：PD平面 ABCD； （2）已知三棱锥 DPAB 的体积为，求二面角 CPNM 的大小 21已知函数 f（x）a+lnx（aR） （1）求 f（x）的单调区间； （2）试求 f（x）的零点个数，并证明你的结论 22设椭圆 C：（ab0）的离心率，过椭圆 C 上一点 P（2，3）作两条不重合且倾斜角 互补的直线 PA、PB 分别与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 AB 中点为 M （）求椭圆 C 方程 （）椭圆 C 上是否存
12、在不同于 P 的定点 N，使得MNP 的面积为定值，如果存在，求定点 N 的坐标； 如果不存在，说明理由 参考答案参考答案 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1设集合 Ax|x|2，xN，Bx|x2+x20，则 AB（ ） A1 B0，1 C2，1，0，1 D2，1 解：Ax|2x2，xN0，1，2，Bx|2x1， AB0，1 故选：B 2已知复数
13、，则 的虚部为（ ） A B C D 解：复数i， 则 +i，所以 的虚部为 故选：A 3 的二项展开式中有理项有（ ） A3 项 B4 项 C5 项 D6 项 解：的二项展开式的通项公式为 Tr+1（1）r， 令 10 为整数，可得 r0，3，6，9，故展开式中有理项有 4 项， 故选：B 4我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图是在“赵 爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形 ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全 等的直角三角形和一个小正方形组成的我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数 学风车”的八个顶点中任取
14、两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为（ ） A B C D 解：从该“数学风车”的八个顶点中任取两点的基本事件有28 种，其中两点取自同一片“风叶” 的 412 种，故所求概率为： 故选：A 5若非零实数 a，b 满足 ab，则下列结论正确的是（ ） Aa+b2 B（a+b） C |a+b| D 解：对于 A、不等式使用的前提条件为：a 和 b 都为正数，故 A 错误； 对于 B：不等式使用的前提条件为 a 和 b 为同号，故 B 错误； 对于 C：利用平方法，该不等式成立，故 C 正确； 对于 D、不等式使用的前提条件为 a 和 b 为同号，故 D 错误； 故选：C 6雷达是利用电磁波探
15、测目标的电子设备电磁波在大气中大致沿直线传播受地球表面曲率的影响，雷 达所能发现目标的最大直视距离 L+（如 图），其中 h1为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R 为地球半径考虑到电磁波的弯曲、折射等 因素，R 等效取 8490km，故 R 远大于 h1，h2.假设某探测目标高度为 25m，为保护航母的安全，须在直视 距离 390km 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）（参考数据： A6400m B7200m C8100m D10000m 解：根据题意可知，L390km，R8490km，h20.025km， 因为 L+， 所以， 解得 h18.1km8100m
16、 故选：C 7已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 P 是抛物线 C 上位于第一象限内的一点，M 为线段 PF 的中点， MQ 垂直 y 轴于点 Q， 若直线 QF 的倾斜角为 ， 则直线 PF 的倾斜角为 （ ） A B2 C D2 解：设点 P 的坐标为（，y），F（，0）， 则由中点坐标公式可得点 M 的坐标为（，）， 所以点 Q 的坐标为（0，），则直线 QF 的斜率为 kQF，直线 PF 的斜率为 k ， 设直线 QF 的倾斜角为 ，直线 PF 的倾斜角为 ， 则 tantan2， 所以 2+k，kZ，由于 2（，2），0，）， 故 2， 故选：D 8已知点 A，B，C
17、 是函数的图象和函数图 象的连续三个交点，若ABC 是锐角三角形，则 的取值范围为（ ） A（，+） B（，+） C（0，） D（0，） 解：作出两个函数的图象如图，则根据对称性知 ABBC，即ABC 为等腰三角形， 三角函数的周期 T， 且 ACT，取 AC 的中点 M， 连接 BM，则 BMAC， 要使ABC 是锐角三角形， 只需要ABM45即可， 即 tanABM1 即可，即 AMBM 由sin（x+）sin（x）， 得 sin（x+）sin（x）， 得 x+（x ）x， 得 2x，得 x， 则 ysin（x+）sin（+）sin1， 即 A 点纵坐标为 1，则 BM2， 由 AMBM
18、得ACBM，即T2， 则 T4，即4，得 ， 即 的取值范围为（，+）， 故选：A 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是 符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9下列命题中正确的是（ ） AA，B，M，N 是空间中的四点，若不能构成空间基底，则 A，B，M，N 共面 B已知为空间的一个基底，若 ，则也是空间的基底 C若直线 l 的方向向量为，平面 的法向量为，则直线 l D若直线 l
19、的方向向量为，平面 的法向量为，则直线 l 与平面 所成 角的正弦值为 【解答】对于 A，不能构成空间的一个基底，共面，则 A，B，M，N 共面，故 A 正确； 对于 B，为空间的一个基底， ， ， 不共面， ， ， ， 不共面，则也是空间的一个基底，故 B 正确； 对于 C，因为，则，若 l，则 l，但选项中没有条件 l， 有可能会出现 l，故 C 错； 直线 l 的方向向量为，平面 的法向量为， 则直线l与平面所成角的正弦值为|cos|， 故D正确 故选：ABD 10近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大 棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰若这个大
20、棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布 N（，302） 和 N（280，402），则下列选项正确的是（ ） 附：若随机变量 X 服从正态分布 N（，2），则 P（X+）0.6826 A若红玫瑰日销售量范围在（30，280）的概率是 0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为 250 B红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 C白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中 D白玫瑰日销售量范围在（280，320）的概率约为 0.3413 解：若红玫瑰日销售量范围在（30，280）的概率是 0.6826，则 +30280，即 250 红玫瑰日销售量的平均数约为 250，故 A 正确； 红玫瑰日销售量的方
21、差1900，白玫瑰日销售量的方差21600， 红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故 B 正确，C 错误； 白玫瑰日销售量范围在（280，320）的概率 P（X+）P（X+）0.3413， 故 D 正确 故选：ABD 11已知椭圆 C：+1 上有一点 P，F1、F2分别为左、右焦点，F1PF2，PF1F2的面积为 S， 则下列选项正确的是（ ） A若 60，则 S3 B若 S9，则 90 C若PF1F2为钝角三角形，则 S（0，） D椭圆 C 内接矩形的周长范围是（12，20 解：由已知可得 a4，b3，所以 c， 选项 A：因为 Sb9 ，故
22、 A 正确； 选项 B：因为 S，所以 hb3，所以三角形 PF1F2不存在，故 B 错误； 选项 C：因为三角形 PF1F2为钝角三角形，所以三角形 PF1F2中有一个角大于 90， 当PF2F190时，S 最大，设 PF1m，PF2n，则有 m2n2+4c2，又 m+n2a， 所以 mn，则 n，所以三角形 PF1F2的面积为 S， 所以三角形的面积 S，故 C 正确； 选项 D：设矩形边长为 2x，2y，其中 xacos4cos，ybsin3sin，0，2）， 所以周长为 C4x+4y12sin+16cos20（）20sin（+），（tan）， 当 sin（+）1 时，Cmax20，Cm
23、in4b12，故周长的范围为（12，20，故 D 正确， 故选：ACD 12设函数 f（x）e2x8ex+6x，若曲线 yf（x）在点 P（x0，f（x0）处的切线与该曲线恰有一个公共点 P，则选项中满足条件的 x0有（ ） Aln2 Bln2 Cln4 Dln5 解：根据题意，f（x）e2x8ex+6x， 则 f（x）2e2x8ex+6，f（x）4e2x8ex4ex（ex2）， 若 f（x）0，即 4ex（ex2）0，解可得 xln2， 在区间（，ln2）上，f（x）0，f（x）为减函数， 在区间（ln2，+）上，f（x）0，f（x）为增函数， 若 f（x）2e2x8ex+60，变形可得（e
24、x1）（ex3）0，解可得 x0 或 xln3， 在区间（，0）上，f（x）0，f（x）为增函数， 在区间（0，ln3）上，f（x）0，f（x）为减函数， 在区间（ln3，+）上，f（x）0，f（x）为增函数， 若曲线 yf（x）在点 P（x0，f（x0）处的切线与该曲线恰有一个公共点 P，则 x0ln3， 分析选项可得：CD 符合 x0ln3， 故选：BCD 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13双曲线 2x2y28 的两条准线间的距离为 解：双曲线 2x2
25、y28 的标准方程为： ， 所以准线方程为：x， 所以双曲线 2x2y28 的两条准线间的距离为： 故答案为： 14为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在 6 天时间内检测 3 盒 A 类药，2 盒 B 类药，1 盒 C 类药若每 天只能检测1盒药品， 且3盒A类药中只有2盒在相邻两天被检测， 则不同的检测方案的个数是 432 解：根据题意，分 3 步分析： 先将 2 盒 B 类药，1 盒 C 类药全排列，有 A33种情况，排好后有 4 个空位可选， 再从 3 盒 A 类药中任选 2 盒，安排在相邻 2 天检测，有 C32A22种情况， 最后和另外 1 盒 A 类药，安排 2 盒 B 类药，1
26、盒 C 类药的 4 个空位中，有 A42种情况， 则有 A33C32A22A42432 种检测方案， 故答案为：432 15无穷数列an满足：只要 apaq（p，qN*），必有 ap+1aq+1，则称an为“和谐递进数列”若an 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，a1a51，a22，则 S2021 7576 解：an前四项成等比数列，a11，a22， 公比 q2，a3224，a4238， 又an为“和谐递进数列”，a1a51， a2a62，a3a74，a4a88， ， anan+4 S2021a1+（a2+a3+a4+a5）5051+（2+4+8+1）5057576 故答案为：7576
27、16正方体 ABCDA1B1G1D1的棱长为 1，E，F 分别为 BC，CC1的中点则平面 AEF 截正方体所得的截 面面积为 ；以点 E 为球心，以为半径的球面与对角面 ACC1A1的交线长为 解：如图， 连接 AD1，则 EFAD1，可得等腰梯形 AEFD1为平面 AEF 截正方体所得的截面图形， 由正方体 ABCDA1B1G1D1的棱长为 1，得，EF ， AE，则 E 到 AD1的距离为 ， ； 平面 AA1C1C平面 ABCD，且平面 AA1C1C平面 ABCDAC， 过 E 作 EHAC，则 EH平面 AA1C1C， E 为 BC 的中点，EHAC， 又以 E 为球心，以为半径的球
28、面与对角面 ACC1A1相交， 球面被对角面 ACC1A1所截圆的半径为 ， 由 CH，HN，可得NHC， 球面与对角面 ACC1A1的交线为以 H 为圆心，以为半径的圆的一段劣弧 ， 其长度为 故答案为：； 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 17海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况 下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每
29、天的时间 与水深关系表： 时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深 5.000 3.754 2.835 2.5
30、00 2.835 3.754 （1）这个港口的水深与时间的关系可用函数 yAsin（x+）+b（A0，0）近似描述，试求出这 个函数解析式； （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 5 米，安全条例规定至少要有 1.25 米的安全间隙（船 底与洋底的距离） ， 利用 （1） 中的函数计算， 该船这一天中何时能进入港口？每次在港口最多能呆多久？ 解：（1）由表中的数据可得：A2.5，b5， 观察可知 3：00 和 15：00 时刻水深相同，故 T12， 因为 0，所以 ， 因为 x3 时 y 取到最大值，所以 3， 解得 2k，kZ， 所以函数的解析式为 y2.5sinx+5（1x23）
31、； （2）因为货船的吃水深度为 5 米，安全间隙至少要有 1.25 米， 所以 2.5sinx+56.25，即 sin ， 所以， 解得 1+12mx5+12m，mN， 取 m0 或 1，得 1x5 或 13x17， 故该船 1：00 至 5：00 和 13：00 至 17：00 期间可以进港，在港口最多能呆 4 个小时 18已知数列an满足：，anan+10（n1），数列bn满足：bnan+12 an2（n1） （）求数列an，bn的通项公式 （）证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列 解：（）由题意可知， 令 cn1an2，则 又，则数列cn是首项为，公比为的等比数列，即， 故， 又，
32、anan+10 故 因为， 故 （）假设数列bn存在三项 br，bs，bt（rst）按某种顺序成等差数列， 由于数列bn是首项为，公比为 的等比数列， 于是有 2bsbr+bt成立，则只有可能有 2bsbr+bt成立， 化简整理后可得，2（）r s+（ ）t s， 由于 rst，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾 故数列bn中任意三项不可能成等差数列 19某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得 10 分， 回答错误得 0 分； 第二个问题回答正确得 10 分， 回答错误得10 分； 第三个问题回答正确得 10 分， 回答错误得10 分规定，每位
33、参赛者回答这三个问题的总得分不低于 20 分就算闯关成功若每位参 赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率都是，且各题回答正确与否相互 之间没有影响 （1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率； （2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分 的分布列、期望和闯关成功的概率 解：（1）设事件 Ai为参赛者甲回答正确第 i 个问题（i1，2，3）， 所以 PP（A1A2）+P（A1A3）+P（A2A3） + （2）由题意， 所有可能取值为20，10，0，10，20，30， P（20）P（）， P（10）P（A1）， P（0）P（A3）+P（A2） +， P（10）P（A1A2）+P（A1
34、A3）+， P（20）P（A2A3）， P（30）P（A1A2A3）， 所以 的分布列为： 20 10 0 10 20 30 P E（）（20）+（10）+0+10+20 +3010 由分布列可知参赛者甲闯关成功的概率为 P（20）+P（30） 20如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是等腰梯形，ABDC，BCCD2，AB4M，N 分 别是 AB，AD 的中点，且 PDNC，平面 PAD平面 ABCD （1）证明：PD平面 ABCD； （2）已知三棱锥 DPAB 的体积为，求二面角 CPNM 的大小 【解答】（1）证明：连结 DM，则 DCBM 且 DCBM， 所以四边形 BCD
35、M 为平行四边形，所以 DMBC 且 DMBC， 所以AMD 是正三角形，所以 MNAD， 因为平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD， 所以 MN平面 PAD，因为 PD平面 PAD， 所以 PDMN，又因为 PDNC，且 MNNCN，MN，NC平面 ABCD， 所以 PD平面 ABCD； （2）解：连结 BD，则 BDMN，所以 BDAD，BDPD， 在 RtDAB 中，DA2+DB2AB2， 又 AD2，AB4，所以 DB， 故DAB 的面积为， 由等体积法可得， 所以， 建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面 PNC 的一个法向量为， 则有，即， 令
36、x1，则， 所以， 设平面 PNM 的一个法向量为， 则有，即， 令 a1，则，所以， 所以， 所以， 由图形可得，二面角 CPNM 为锐角， 所以二面角 CPNM 的大小为 30 21已知函数 f（x）a+lnx（aR） （1）求 f（x）的单调区间； （2）试求 f（x）的零点个数，并证明你的结论 解：（1）由函数 f（x）a+lnx（aR），得 f（x）（lnx+2） 另 f（x）0，得 xe2列表如下： x （0，e2） e2 （e2，+） f（x） 0 + f（x） 极小值 因此，函数 f（x）的单调递增区间为（e2，+），单调减区间为（0，e2） （2）由（1）可知，fmin（x）
37、f（e2）a2e1 （i）当 a2e1时，由 f（x）f（e2）a2e10，得函数 f（x）的零点个数为 0 （ii）当 a2e1时，因 f（x）在（e2，+）上是单调增，在（0，e2）上单调减， 故 x（0，e2）（e2，+）时，f（x）f（e2）0 此时，函数 f（x）的零点个数为 1 （iii）当 a2e1时，fmin（x）a2e10 a0 时，因为当 x（0，e2时，f（xa+lnxx0， 所以，函数 f（x）在区间（0，e2上无零点； 另一方面，因为 f（x）在e2，+）单调递增，且 f（e2）a2e10， 由 e2a（e2，+），且 f（e2a）a（12ea）0， 此时，函数 f（
38、x）在（e2，+）上有且只有一个零点 所以，当 a0 时，函数 f（x）零点个数为 1 0a2e1时，因为 f（x）在e2，+）上单调递增，且 f（1）a0，f（e2）a2e10， 所以函数 f（x）在区间（e2，+）上有且只有一个零点； 另一方面，因为 f（x）在（0，e2上是单调递减，且 f（e2）a2e10 又（0，e 2），且 f（ ）aa0，（当 x0 时，exx2成立） 此时，函数 f（x）在（0，e2）上有且只有一个零点 所以，当 0a2e1，函数 f（x）的零点个数为 2 综上所述，当 a2e1时，f（x）的零点个数为 0； 当 a2e1时，或 a0 时，f（x）的零点个数为
39、1； 当 0a2e1时，f（x）的零点个数为 2 22设椭圆 C：（ab0）的离心率，过椭圆 C 上一点 P（2，3）作两条不重合且倾斜角 互补的直线 PA、PB 分别与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 AB 中点为 M （）求椭圆 C 方程 （）椭圆 C 上是否存在不同于 P 的定点 N，使得MNP 的面积为定值，如果存在，求定点 N 的坐标； 如果不存在，说明理由 解：（）依题意得， 解得 a4，c2， 所以椭圆 C： （）解法一：因为直线 PA、PB 的倾斜角互补， 所以设直线 PA、PB 的方程为 y3k（x2），y3k（x2）， 所以 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程消
40、元得：（3+4k2）x28k（2k3）x+4（4k212k3）0， 所以，所以， 所以， 同理得， 设 M（x，y），则， 所以，所以点 M 在直线上， 所以当 PNOM 时，MNP 的面积为定值 此时 PN 的直线方程为，即， 因为消元得：x26x+80，解得 x4 或 x2（舍去） 所以椭圆 C 上存在不同于 P 的定点 N（4，0），使得MNP 的面积为定值 （）解法二： 设直线 PA、PB 的斜率为 k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为直线 PA、PB 的倾斜角互补，所以 k1+k20， 设直线 AB 的方程为 ykx+b， 联立方程消元得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2480， 所以， 所以， 所以 2kx1x2+（b2k3）（x1+x2）4（b3）0， 所以， 所以 4k28k+3+2kbb0，所以（2k1）（2k3）+b（2k1）0， 所以（2k1）（2k3+b）0 所以或 2k3b（舍去） 直线 OM 的斜率所以点 M 在直线上， 所以当 PNOM 时，MNP 的面积为定值 此时 PN 的直线方程为，即， 因为消元得：x26x+80，解得 x4 或 x2（舍去） 所以椭圆 C 上存在不同于 P 的定点 N（4，0），使得MNP 的面积为定值