1、2021 年新疆高考数学第一次诊断性自测试卷（文科）年新疆高考数学第一次诊断性自测试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 A1，0，1，Bx|x21，则 AB（ ） A1，1 B1，0，1 Cx|1x1 Dx|x1 2如图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ） A B8 C9 D10 3已知椭圆1（ab0）的一个焦点是圆 x 2+y26x+80 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左 顶点为（ ） A（3，0） B（4，0） C（10，0） D（5，0） 4若 a0，b0，则“ab1”是“a+b2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必
2、要条件 D既不充分也不必要条件 5我国的 5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严 格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率 C 的公式 CWlog2（1+）”，其 中 W 是信道带宽 （赫兹） ， S 是信道内所传信号的平均功率 （瓦） ， N 是信道内部的高斯嗓声功率 （瓦） ， 其中叫做信噪比根据此公式，在不改变 W 的前提下，将信噪比从 99 提升至 ，使得 C 大约增加了 60%，则 的值大约为（ ）（参考数据：100.21.58） A1559 B1579 C3160 D2512 6已知 cos（），则 sin
3、（ ） A B C D 7在ABC 中，已知BAC90，AB6，若 D 点在斜边 BC 上，CD2DB，则的值为（ ） A48 B24 C12 D6 8设 f（x）为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ax+13（a 为常数），则 f（1）的值为（ ） A6 B3 C2 D6 9如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，将ADE，EBF，FCD 分别 沿 DE，EF，FD 折起，使得 A、B、C 三点重合于点 A，若四面体 AEFD 的四个顶点在同一个球面 上，则该球的表面积为（ ） A8 B6 C11 D5 10在ABC 中，a，b，c 为A
4、，B，C 的对边，a3，b2，B2A，则 c 的值为（ ） A3 或 5 B3 或 6 C3 D5 11已知点 F 为双曲线（a0，b0）的左焦点直线 l：yx 与双曲线的左支交于点 P，且 |OP|PF|（O 为坐标原点），则此双曲线的离心率为（ ） A B C D 12已知函数 f（x）ax3+x2（a0）若存在实数 x0（1，0），且 x0，使得 f（x0）f（ ）， 则实数 a 的取值范围为（ ） A（，5） B（，3）（3，5） C（，6） D（，4）（4，6） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13复数 z的共轭复数 为 14在所有首位不为 0 的七位数电话号码中，
5、任取一个电话号码，则头两位数码不相同的概率为 15已知函数 f（x）Acos（x+）的图象如图所示，f（），则 f（0） 16在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是棱 BC 的中点，点 Q 是底面 A1B1C1D1上的动点，且 APD1Q，则下列说法正确的是 DP 与 D1Q 所成角的大小为 ； 四面体 ABPQ 的体积为定值； AA1Q 的面积有最小值 ； 平面 D1PQ 截正方体所得截面面积为定值 三、解答题：第三、解答题：第 17-21 题毎题题毎题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过
6、程或演算步骤 17已知数列an满足 Sn2an1，nN+，Sn为其前 n 项和 （1）求an的通项公式； （2）求 S1+S4+S7+S3n2 18如图，四棱锥 SABCD 的侧面 SAD 是正三角形，ABCD，且 ABAD，AB2CD4，E 是 BS 的中 点 （1）求证：CE平面 SAD； （2）若平面 SAD平面 ABCD，且 BS4，求三棱锥 BEAC 的体积 19某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪 50 元，快递骑手 每完成一单业务提成 3 元；方案（2）规定每日底薪 150 元，快递业务的前 44 单没有提成，从第 45 单开 始，每完成一单
7、提成 5 元该快递公司记录了每天骑手的人均业务量现随机抽取 100 天的数据，将样 本数据分为25，35），35，45），45，55），55，65），65，75），75，85），85，95七组，整 理得到如图所示的频率分布直方图 （1）求直方图中 a 的值； （2）以样本数据的平均业务量为标准，该快递骑手应选择哪个方案？（同组中的每个数据用该组区间的 中点值代替） 20已知抛物线 C：y22px（0p3），其焦点为 F，点 Q（m，2）在抛物线 C 上，且|QF|4 （1）求抛物线 C 的方程； （2） O 为坐标原点， A， B 为抛物线上不同的两点， 且 OAOB， 求AFO 与ABO 面
8、积之和的最小值 21已知函数 f（x）lnxax+x2 （1）当 a时，求 f（x）的单调区间； （2）已知 a，x1，x2（x1x2）为函数 f（x）的两个极值点，求 yln的最大值 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，并将所选的题号下的“”涂黑如果多做，则按所做的第一题记题中任选一题作答，并将所选的题号下的“”涂黑如果多做，则按所做的第一题记 分，满分分，满分 10 分分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“心形曲线”，又名 RC 心形 线如果以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴
9、，建立极坐标系，其 RC 心形线的极坐标方程为 1 （1）求 RC 心形线的直角坐标方程； （2）已知直线 l 过点 P（0，2），且倾斜角为 120，若直线 l 与 RC 心形线交于 M，N 两点求|PM|PN| 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|2x1|+mx+2，mR （）若 m1，解不等式 f（x）6； （）若 f（x）有最小值，且关于 x 的方程 f（x）x2+x+1 有两个不等实根，求实数 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 A1，0，1，Bx|x21，则 AB（ ） A1，1 B1，
10、0，1 Cx|1x1 Dx|x1 解：集合 A1，0，1，Bx|x21x|1x1， 则 ABx|1x1 故选：C 2如图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ） A B8 C9 D10 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为圆锥， 如图所示： 所以圆锥的母线长为， 圆锥展开图的弧长为 212， 所以圆锥的侧面积为 故选：A 3已知椭圆1（ab0）的一个焦点是圆 x 2+y26x+80 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左 顶点为（ ） A（3，0） B（4，0） C（10，0） D（5，0） 解：圆 x2+y26x+80 的圆心为（3，0）， 椭圆的一个焦点为 F（3，0），得
11、c3 又短轴长为 2b8，得 b4 a5，可得椭圆的左顶点为（5，0） 故选：D 4若 a0，b0，则“ab1”是“a+b2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：a0，b0，a+b2， 若 ab1，则 a+b2 反之不成立，例如取 a5，b “ab1”是“a+b2”的充分不必要条件 故选：A 5我国的 5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严 格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率 C 的公式 CWlog2（1+）”，其 中 W 是信道带宽 （赫兹） ， S 是信道
12、内所传信号的平均功率 （瓦） ， N 是信道内部的高斯嗓声功率 （瓦） ， 其中叫做信噪比根据此公式，在不改变 W 的前提下，将信噪比从 99 提升至 ，使得 C 大约增加了 60%，则 的值大约为（ ）（参考数据：100.21.58） A1559 B1579 C3160 D2512 解：由题意可知，信噪比从 99 提升至 ，使得 C 大约增加了 60%， 所以， 则 log2（1+）1.6log2100， 由换底公式可得，即 lg（1+）1.6lg1001.623.2， 所以 1+103.2103100.210001.581580， 所以 的值大约为 1579 故选：B 6已知 cos（），
13、则 sin（ ） A B C D 解：cos（），cos（）21sin， 即 sin， 故选：C 7在ABC 中，已知BAC90，AB6，若 D 点在斜边 BC 上，CD2DB，则的值为（ ） A48 B24 C12 D6 解：CD2DB， BDBC，即， +， （+）+， BAC90， ABAC，即0， 6224 故选：B 8设 f（x）为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ax+13（a 为常数），则 f（1）的值为（ ） A6 B3 C2 D6 解：f（x）为定义在 R 上的奇函数， 则有 f（x）f（x），f（0）0， 当 x0 时，f（x）ax+13（a 为常数）， 则 f
14、（0）a30，解得，a3， 即有 f（x）3x+13， 即 f（1）936， 则 f（1）f（1）6 故选：A 9如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，将ADE，EBF，FCD 分别 沿 DE，EF，FD 折起，使得 A、B、C 三点重合于点 A，若四面体 AEFD 的四个顶点在同一个球面 上，则该球的表面积为（ ） A8 B6 C11 D5 解：由题意可知AEF 是等腰直角三角形，且 AD平面 AEF 三棱锥的底面 AEF 扩展为边长为 1 的正方形， 然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 正四棱柱的对角线的长度就是外接
15、球的直径，直径为： 球的半径为， 球的表面积为6 故选：B 10在ABC 中，a，b，c 为A，B，C 的对边，a3，b2，B2A，则 c 的值为（ ） A3 或 5 B3 或 6 C3 D5 解：由正弦定理知， ， cosA， 由余弦定理知，a2b2+c22bccosA，即 924+c222 c， 化简得 c28c+150， 解得 c3 或 5， 当 c3 时，有 AC， A+B+C，且 B2A， AC，即ABC 为等腰直角三角形，此时 bc，不符合题意，舍去， c5 故选：D 11已知点 F 为双曲线（a0，b0）的左焦点直线 l：yx 与双曲线的左支交于点 P，且 |OP|PF|（O 为
16、坐标原点），则此双曲线的离心率为（ ） A B C D 解：点 F 为双曲线（a0， b0） 的左焦点 直线 l：yx 与双曲线的左支交于点 P， 且|OP| |PF|（O 为坐标原点），可得 P（，）， 代入双曲线方程可得：，可得 e24，即 e46e2+40，e1， 解得 e23+，所以 e 故选：A 12已知函数 f（x）ax3+x2（a0）若存在实数 x0（1，0），且 x0，使得 f（x0）f（ ）， 则实数 a 的取值范围为（ ） A（，5） B（，3）（3，5） C（，6） D（，4）（4，6） 解：f（x）ax2+2x，令 f（x）0，得 x0 或 x ， 当 x 时，f（x）
17、0，函数递增，当 x时，f（x）0，函数递减，当 x （0，+）时，f（x）0，函数递增， 若存在数 x0（1，0），且 x0 ，使得 f（x0）f（）， 则或， 于是可得 a（4，6） 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13复数 z的共轭复数 为 1+i 解：z， 故答案为：1+i 14在所有首位不为 0 的七位数电话号码中，任取一个电话号码，则头两位数码不相同的概率为 解：在所有首位不为 0 的七位数电话号码中，任取一个电话号码， 基本事件总数 n9106， 其中头两位数码不相同包含的基本事件个数 m99105， 则头两位数码不相同
18、的概率为 P 故答案为： 15已知函数 f（x）Acos（x+）的图象如图所示，f（），则 f（0） 解：由图象可得最小正周期为所以 f（0）f（），注意到与关于对称， 故 f（）f（） 故答案为： 16在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是棱 BC 的中点，点 Q 是底面 A1B1C1D1上的动点，且 APD1Q，则下列说法正确的是 DP 与 D1Q 所成角的大小为 ； 四面体 ABPQ 的体积为定值； AA1Q 的面积有最小值 ； 平面 D1PQ 截正方体所得截面面积为定值 解：棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是棱 BC 的中点，点 Q 是
19、底面 A1B1C1D1上的动点，且 APD1Q， 如图所示： 则 A1（0，0，0），D（0，2，2），D1（0，2，0），A（0，0，2），B（2，0，2），C（2，2，2）， 点 P 为 BC 的中点，所以 P（2，1，2）， 设 Q（x0，y0，0），则 ， 由， 即 2x0+y020， 对于：， 可得：，故错误； 对于：四面体 ABPQ 的体积为定值，故正确； 对于：由于 AA1A1Q，且， 所以， 由于 x0，2，所以，故正确； 对于：由于点 Q 满足 2x0+y020，即点在直线 2x0+y020 上运动，取 A1B1的中点 E，即点 Q 在 D1E 上，则平面 D1PQ 截正方体
20、的所得的截面为 2D1PE， 由于点 P 到 D1E 的距离为 2， 则截面的面积为 2D1PE2为定值，故正确 故选： 三、解答题：第三、解答题：第 17-21 题毎题题毎题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤 17已知数列an满足 Sn2an1，nN+，Sn为其前 n 项和 （1）求an的通项公式； （2）求 S1+S4+S7+S3n2 解：（1）Sn2an1， 当 n2 时，有 Sn12an11， 两式相减得：an2an2an1，即 an2an1， 当 n1 时，有 S12a11，解得：a11，
21、数列an是首项为 1，公比为 2 的等比数列， an2n1； （2）由（1）可得：Sn2an12n1， S3n223n21， S1+S4+S7+S3n2（2+24+27+23n2）n nn 18如图，四棱锥 SABCD 的侧面 SAD 是正三角形，ABCD，且 ABAD，AB2CD4，E 是 BS 的中 点 （1）求证：CE平面 SAD； （2）若平面 SAD平面 ABCD，且 BS4，求三棱锥 BEAC 的体积 【解答】证明：（1）取 SA 的中点 F，连接 EF， E 是 SB 中点，EFAB，且 AB2EF， 又ABCD，AB2CD， EFDC，EFDC，则四边形 EFDC 是平行四边形
22、， ECFD， 又EC平面 SAD，FD平面 SAD， CE平面 SAD； 解：（2）取 AD 中点 G，连接 SG， SAD 是正三角形，SGAD， 平面 SAD平面 ABCD，且交线为 AD， SG平面 ABCD， ABAD，AB平面 SAD，则 ABSA， 故 SA4，SG2， E 是 SB 中点，点 E 到平面 ABCD 的距离等于SG， 三棱锥 BEAC 的体积为：VBEACVEBAC 19某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪 50 元，快递骑手 每完成一单业务提成 3 元；方案（2）规定每日底薪 150 元，快递业务的前 44 单没有提成，从第
23、 45 单开 始，每完成一单提成 5 元该快递公司记录了每天骑手的人均业务量现随机抽取 100 天的数据，将样 本数据分为25，35），35，45），45，55），55，65），65，75），75，85），85，95七组，整 理得到如图所示的频率分布直方图 （1）求直方图中 a 的值； （2）以样本数据的平均业务量为标准，该快递骑手应选择哪个方案？（同组中的每个数据用该组区间的 中点值代替） 解：（1）由频率分布直方图知，（0.0053+2a+0.03+0.015）101， a0.02 （2）平均业务量为（300.005+400.005+500.02+600.03+700.02+800.015
24、+900.005）10 62， 方案（1）的日工资：50+623236 元， 方案（2）的日工资：150+（6244）5240 元， 236240， 故该快递骑手应选择方案（2） 20已知抛物线 C：y22px（0p3），其焦点为 F，点 Q（m，2）在抛物线 C 上，且|QF|4 （1）求抛物线 C 的方程； （2） O 为坐标原点， A， B 为抛物线上不同的两点， 且 OAOB， 求AFO 与ABO 面积之和的最小值 解：（1）抛物线 C：y22px（0p3），其焦点为 F（，0），准线方程为 x ， 可得|QF|m+4，且 2pm12， 解得 p2（6 舍去），m3， 则抛物线的方程为
25、 y24x； （2）设 AB 的方程为 xsy+t，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，可得 y24sy4t0， 则 16s2+16t0，又 y1y24t， x1x2t2， 由 OAOB，可得 x1x2+y1y2t24t0， 解得 t4（0 舍去）， 所以直线 AB 恒过定点 N（4，0）， 可设 y10，y20， 则AFO 与ABO 面积之和 S|y1|OF|+|y1y2|ON| y1+2（y2y1）2y2y1228， 当且仅当 y1，y22 时，上式取得等号 则AFO 与ABO 面积之和的最小值为 8 21已知函数 f（x）lnxax+x2 （1）当 a时，求 f（x）的单调区间；
26、 （2）已知 a，x1，x2（x1x2）为函数 f（x）的两个极值点，求 yln的最大值 解：（1）当 a时，f（x）lnxx+x2，x0， f（x）+x， 令 f（x）0，可得 0 x或 x2，令 f（x）0，可得x2， 所以 f（x）在（0，），（2，+）上单调递增，在（，1）上单调递减 （2）f（x）a+x， 因为 x1，x2（x1x2）为函数 f（x）的两个极值点， 所以 x1，x2是方程 x2ax+10 的两个根， 所以 x1 ，x2 ，可得， 因为 a，所以 ya2为增函数，ya 为增函数且大于 0，y为增函数且大于 0， 所以 y为增函数，所以3， 令 t（t3），则 ylnln
27、t， 令 g（t）lnt2lnt， g（t）0，所以 g（t）在3，+）上单调递减， 所以 g（t）的最大值为 g（3）1ln3 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，并将所选的题号下的“”涂黑如果多做，则按所做的第一题记题中任选一题作答，并将所选的题号下的“”涂黑如果多做，则按所做的第一题记 分，满分分，满分 10 分分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“心形曲线”，又名 RC 心形 线如果以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其 RC 心形线的极坐标方程为 1 （1
28、）求 RC 心形线的直角坐标方程； （2）已知直线 l 过点 P（0，2），且倾斜角为 120，若直线 l 与 RC 心形线交于 M，N 两点求|PM|PN| 的值 解：（1）RC 心形线的极坐标方程为1，根据，整理得 2 |cos|sin|1，转换为直角坐标方程为 x2+y2|x|y1 （2）直线 l 过点 P（0，2），且倾斜角为 120，转换为参数方程为（t 为参数），由于直 线只能与 y 轴的右侧的部分相交， 故把直线 l 的参数方程为（t 为参数），代入 x2+y2xy1， 整理得， 所以|PM|PN| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|2x1|+mx+
29、2，mR （）若 m1，解不等式 f（x）6； （）若 f（x）有最小值，且关于 x 的方程 f（x）x2+x+1 有两个不等实根，求实数 m 的取值范围 解：（）若 m1，f（x）|2x1|+x+2， 当 x时，f（x）3x， 由 f（x）6 解得：x3，综合得3x， 当 x时，f（x）3x+1， 由 f（x）6 解得：x，综合得x， 故 f（x）6 的解集是（3，）； （）当 x时，f（x）（2+m）x+1， 当 x时，f（x）（m2）x+3， 要使函数 f（x）有最小值， 则，解得：2m2， 故 f（x）在 x时取最小值m+2， yx2+x+1 在 x时取最大值， 方程 f（x）x2+x+1 有两个不等实根， m+2，解得：m， 综上，m 的范围是2，）