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新疆维吾尔自治区2021届高三诊断性自测(第一次)文科数学试题(含答案解析)

1、2021 年新疆高考数学第一次诊断性自测试卷(文科)年新疆高考数学第一次诊断性自测试卷(文科) 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1已知集合 A1,0,1,Bx|x21,则 AB( ) A1,1 B1,0,1 Cx|1x1 Dx|x1 2如图为某旋转体的三视图,则该几何体的侧面积为( ) A B8 C9 D10 3已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆 x 2+y26x+80 的圆心,且短轴长为 8,则椭圆的左 顶点为( ) A(3,0) B(4,0) C(10,0) D(5,0) 4若 a0,b0,则“ab1”是“a+b2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必

2、要条件 D既不充分也不必要条件 5我国的 5G 通信技术领先世界,5G 技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式,香农提出并严 格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中,计算最大信息传送速率 C 的公式 CWlog2(1+)”,其 中 W 是信道带宽 (赫兹) , S 是信道内所传信号的平均功率 (瓦) , N 是信道内部的高斯嗓声功率 (瓦) , 其中叫做信噪比根据此公式,在不改变 W 的前提下,将信噪比从 99 提升至 ,使得 C 大约增加了 60%,则 的值大约为( )(参考数据:100.21.58) A1559 B1579 C3160 D2512 6已知 cos(),则 sin

3、( ) A B C D 7在ABC 中,已知BAC90,AB6,若 D 点在斜边 BC 上,CD2DB,则的值为( ) A48 B24 C12 D6 8设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)ax+13(a 为常数),则 f(1)的值为( ) A6 B3 C2 D6 9如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、BC 的中点,将ADE,EBF,FCD 分别 沿 DE,EF,FD 折起,使得 A、B、C 三点重合于点 A,若四面体 AEFD 的四个顶点在同一个球面 上,则该球的表面积为( ) A8 B6 C11 D5 10在ABC 中,a,b,c 为A

4、,B,C 的对边,a3,b2,B2A,则 c 的值为( ) A3 或 5 B3 或 6 C3 D5 11已知点 F 为双曲线(a0,b0)的左焦点直线 l:yx 与双曲线的左支交于点 P,且 |OP|PF|(O 为坐标原点),则此双曲线的离心率为( ) A B C D 12已知函数 f(x)ax3+x2(a0)若存在实数 x0(1,0),且 x0,使得 f(x0)f( ), 则实数 a 的取值范围为( ) A(,5) B(,3)(3,5) C(,6) D(,4)(4,6) 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题)小题). 13复数 z的共轭复数 为 14在所有首位不为 0 的七位数电话号码中,

5、任取一个电话号码,则头两位数码不相同的概率为 15已知函数 f(x)Acos(x+)的图象如图所示,f(),则 f(0) 16在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 P 是棱 BC 的中点,点 Q 是底面 A1B1C1D1上的动点,且 APD1Q,则下列说法正确的是 DP 与 D1Q 所成角的大小为 ; 四面体 ABPQ 的体积为定值; AA1Q 的面积有最小值 ; 平面 D1PQ 截正方体所得截面面积为定值 三、解答题:第三、解答题:第 17-21 题毎题题毎题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,说明过程或演算步骤分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,说明过

6、程或演算步骤 17已知数列an满足 Sn2an1,nN+,Sn为其前 n 项和 (1)求an的通项公式; (2)求 S1+S4+S7+S3n2 18如图,四棱锥 SABCD 的侧面 SAD 是正三角形,ABCD,且 ABAD,AB2CD4,E 是 BS 的中 点 (1)求证:CE平面 SAD; (2)若平面 SAD平面 ABCD,且 BS4,求三棱锥 BEAC 的体积 19某快递公司招聘快递骑手,该公司提供了两种日工资方案:方案(1)规定每日底薪 50 元,快递骑手 每完成一单业务提成 3 元;方案(2)规定每日底薪 150 元,快递业务的前 44 单没有提成,从第 45 单开 始,每完成一单

7、提成 5 元该快递公司记录了每天骑手的人均业务量现随机抽取 100 天的数据,将样 本数据分为25,35),35,45),45,55),55,65),65,75),75,85),85,95七组,整 理得到如图所示的频率分布直方图 (1)求直方图中 a 的值; (2)以样本数据的平均业务量为标准,该快递骑手应选择哪个方案?(同组中的每个数据用该组区间的 中点值代替) 20已知抛物线 C:y22px(0p3),其焦点为 F,点 Q(m,2)在抛物线 C 上,且|QF|4 (1)求抛物线 C 的方程; (2) O 为坐标原点, A, B 为抛物线上不同的两点, 且 OAOB, 求AFO 与ABO 面

8、积之和的最小值 21已知函数 f(x)lnxax+x2 (1)当 a时,求 f(x)的单调区间; (2)已知 a,x1,x2(x1x2)为函数 f(x)的两个极值点,求 yln的最大值 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答,并将所选的题号下的“”涂黑如果多做,则按所做的第一题记题中任选一题作答,并将所选的题号下的“”涂黑如果多做,则按所做的第一题记 分,满分分,满分 10 分分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,如图就是在平面直角坐标系的“心形曲线”,又名 RC 心形 线如果以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴

9、,建立极坐标系,其 RC 心形线的极坐标方程为 1 (1)求 RC 心形线的直角坐标方程; (2)已知直线 l 过点 P(0,2),且倾斜角为 120,若直线 l 与 RC 心形线交于 M,N 两点求|PM|PN| 的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23设函数 f(x)|2x1|+mx+2,mR ()若 m1,解不等式 f(x)6; ()若 f(x)有最小值,且关于 x 的方程 f(x)x2+x+1 有两个不等实根,求实数 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1已知集合 A1,0,1,Bx|x21,则 AB( ) A1,1 B1,

10、0,1 Cx|1x1 Dx|x1 解:集合 A1,0,1,Bx|x21x|1x1, 则 ABx|1x1 故选:C 2如图为某旋转体的三视图,则该几何体的侧面积为( ) A B8 C9 D10 解:根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体为圆锥, 如图所示: 所以圆锥的母线长为, 圆锥展开图的弧长为 212, 所以圆锥的侧面积为 故选:A 3已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆 x 2+y26x+80 的圆心,且短轴长为 8,则椭圆的左 顶点为( ) A(3,0) B(4,0) C(10,0) D(5,0) 解:圆 x2+y26x+80 的圆心为(3,0), 椭圆的一个焦点为 F(3,0),得

11、c3 又短轴长为 2b8,得 b4 a5,可得椭圆的左顶点为(5,0) 故选:D 4若 a0,b0,则“ab1”是“a+b2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解:a0,b0,a+b2, 若 ab1,则 a+b2 反之不成立,例如取 a5,b “ab1”是“a+b2”的充分不必要条件 故选:A 5我国的 5G 通信技术领先世界,5G 技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式,香农提出并严 格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中,计算最大信息传送速率 C 的公式 CWlog2(1+)”,其 中 W 是信道带宽 (赫兹) , S 是信道

12、内所传信号的平均功率 (瓦) , N 是信道内部的高斯嗓声功率 (瓦) , 其中叫做信噪比根据此公式,在不改变 W 的前提下,将信噪比从 99 提升至 ,使得 C 大约增加了 60%,则 的值大约为( )(参考数据:100.21.58) A1559 B1579 C3160 D2512 解:由题意可知,信噪比从 99 提升至 ,使得 C 大约增加了 60%, 所以, 则 log2(1+)1.6log2100, 由换底公式可得,即 lg(1+)1.6lg1001.623.2, 所以 1+103.2103100.210001.581580, 所以 的值大约为 1579 故选:B 6已知 cos(),

13、则 sin( ) A B C D 解:cos(),cos()21sin, 即 sin, 故选:C 7在ABC 中,已知BAC90,AB6,若 D 点在斜边 BC 上,CD2DB,则的值为( ) A48 B24 C12 D6 解:CD2DB, BDBC,即, +, (+)+, BAC90, ABAC,即0, 6224 故选:B 8设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)ax+13(a 为常数),则 f(1)的值为( ) A6 B3 C2 D6 解:f(x)为定义在 R 上的奇函数, 则有 f(x)f(x),f(0)0, 当 x0 时,f(x)ax+13(a 为常数), 则 f

14、(0)a30,解得,a3, 即有 f(x)3x+13, 即 f(1)936, 则 f(1)f(1)6 故选:A 9如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、BC 的中点,将ADE,EBF,FCD 分别 沿 DE,EF,FD 折起,使得 A、B、C 三点重合于点 A,若四面体 AEFD 的四个顶点在同一个球面 上,则该球的表面积为( ) A8 B6 C11 D5 解:由题意可知AEF 是等腰直角三角形,且 AD平面 AEF 三棱锥的底面 AEF 扩展为边长为 1 的正方形, 然后扩展为正四棱柱,三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球, 正四棱柱的对角线的长度就是外接

15、球的直径,直径为: 球的半径为, 球的表面积为6 故选:B 10在ABC 中,a,b,c 为A,B,C 的对边,a3,b2,B2A,则 c 的值为( ) A3 或 5 B3 或 6 C3 D5 解:由正弦定理知, , cosA, 由余弦定理知,a2b2+c22bccosA,即 924+c222 c, 化简得 c28c+150, 解得 c3 或 5, 当 c3 时,有 AC, A+B+C,且 B2A, AC,即ABC 为等腰直角三角形,此时 bc,不符合题意,舍去, c5 故选:D 11已知点 F 为双曲线(a0,b0)的左焦点直线 l:yx 与双曲线的左支交于点 P,且 |OP|PF|(O 为

16、坐标原点),则此双曲线的离心率为( ) A B C D 解:点 F 为双曲线(a0, b0) 的左焦点 直线 l:yx 与双曲线的左支交于点 P, 且|OP| |PF|(O 为坐标原点),可得 P(,), 代入双曲线方程可得:,可得 e24,即 e46e2+40,e1, 解得 e23+,所以 e 故选:A 12已知函数 f(x)ax3+x2(a0)若存在实数 x0(1,0),且 x0,使得 f(x0)f( ), 则实数 a 的取值范围为( ) A(,5) B(,3)(3,5) C(,6) D(,4)(4,6) 解:f(x)ax2+2x,令 f(x)0,得 x0 或 x , 当 x 时,f(x)

17、0,函数递增,当 x时,f(x)0,函数递减,当 x (0,+)时,f(x)0,函数递增, 若存在数 x0(1,0),且 x0 ,使得 f(x0)f(), 则或, 于是可得 a(4,6) 故选:D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分分 13复数 z的共轭复数 为 1+i 解:z, 故答案为:1+i 14在所有首位不为 0 的七位数电话号码中,任取一个电话号码,则头两位数码不相同的概率为 解:在所有首位不为 0 的七位数电话号码中,任取一个电话号码, 基本事件总数 n9106, 其中头两位数码不相同包含的基本事件个数 m99105, 则头两位数码不相同

18、的概率为 P 故答案为: 15已知函数 f(x)Acos(x+)的图象如图所示,f(),则 f(0) 解:由图象可得最小正周期为所以 f(0)f(),注意到与关于对称, 故 f()f() 故答案为: 16在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 P 是棱 BC 的中点,点 Q 是底面 A1B1C1D1上的动点,且 APD1Q,则下列说法正确的是 DP 与 D1Q 所成角的大小为 ; 四面体 ABPQ 的体积为定值; AA1Q 的面积有最小值 ; 平面 D1PQ 截正方体所得截面面积为定值 解:棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 P 是棱 BC 的中点,点 Q 是

19、底面 A1B1C1D1上的动点,且 APD1Q, 如图所示: 则 A1(0,0,0),D(0,2,2),D1(0,2,0),A(0,0,2),B(2,0,2),C(2,2,2), 点 P 为 BC 的中点,所以 P(2,1,2), 设 Q(x0,y0,0),则 , 由, 即 2x0+y020, 对于:, 可得:,故错误; 对于:四面体 ABPQ 的体积为定值,故正确; 对于:由于 AA1A1Q,且, 所以, 由于 x0,2,所以,故正确; 对于:由于点 Q 满足 2x0+y020,即点在直线 2x0+y020 上运动,取 A1B1的中点 E,即点 Q 在 D1E 上,则平面 D1PQ 截正方体

20、的所得的截面为 2D1PE, 由于点 P 到 D1E 的距离为 2, 则截面的面积为 2D1PE2为定值,故正确 故选: 三、解答题:第三、解答题:第 17-21 题毎题题毎题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,说明过程或演算步骤分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,说明过程或演算步骤 17已知数列an满足 Sn2an1,nN+,Sn为其前 n 项和 (1)求an的通项公式; (2)求 S1+S4+S7+S3n2 解:(1)Sn2an1, 当 n2 时,有 Sn12an11, 两式相减得:an2an2an1,即 an2an1, 当 n1 时,有 S12a11,解得:a11,

21、数列an是首项为 1,公比为 2 的等比数列, an2n1; (2)由(1)可得:Sn2an12n1, S3n223n21, S1+S4+S7+S3n2(2+24+27+23n2)n nn 18如图,四棱锥 SABCD 的侧面 SAD 是正三角形,ABCD,且 ABAD,AB2CD4,E 是 BS 的中 点 (1)求证:CE平面 SAD; (2)若平面 SAD平面 ABCD,且 BS4,求三棱锥 BEAC 的体积 【解答】证明:(1)取 SA 的中点 F,连接 EF, E 是 SB 中点,EFAB,且 AB2EF, 又ABCD,AB2CD, EFDC,EFDC,则四边形 EFDC 是平行四边形

22、, ECFD, 又EC平面 SAD,FD平面 SAD, CE平面 SAD; 解:(2)取 AD 中点 G,连接 SG, SAD 是正三角形,SGAD, 平面 SAD平面 ABCD,且交线为 AD, SG平面 ABCD, ABAD,AB平面 SAD,则 ABSA, 故 SA4,SG2, E 是 SB 中点,点 E 到平面 ABCD 的距离等于SG, 三棱锥 BEAC 的体积为:VBEACVEBAC 19某快递公司招聘快递骑手,该公司提供了两种日工资方案:方案(1)规定每日底薪 50 元,快递骑手 每完成一单业务提成 3 元;方案(2)规定每日底薪 150 元,快递业务的前 44 单没有提成,从第

23、 45 单开 始,每完成一单提成 5 元该快递公司记录了每天骑手的人均业务量现随机抽取 100 天的数据,将样 本数据分为25,35),35,45),45,55),55,65),65,75),75,85),85,95七组,整 理得到如图所示的频率分布直方图 (1)求直方图中 a 的值; (2)以样本数据的平均业务量为标准,该快递骑手应选择哪个方案?(同组中的每个数据用该组区间的 中点值代替) 解:(1)由频率分布直方图知,(0.0053+2a+0.03+0.015)101, a0.02 (2)平均业务量为(300.005+400.005+500.02+600.03+700.02+800.015

24、+900.005)10 62, 方案(1)的日工资:50+623236 元, 方案(2)的日工资:150+(6244)5240 元, 236240, 故该快递骑手应选择方案(2) 20已知抛物线 C:y22px(0p3),其焦点为 F,点 Q(m,2)在抛物线 C 上,且|QF|4 (1)求抛物线 C 的方程; (2) O 为坐标原点, A, B 为抛物线上不同的两点, 且 OAOB, 求AFO 与ABO 面积之和的最小值 解:(1)抛物线 C:y22px(0p3),其焦点为 F(,0),准线方程为 x , 可得|QF|m+4,且 2pm12, 解得 p2(6 舍去),m3, 则抛物线的方程为

25、 y24x; (2)设 AB 的方程为 xsy+t,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立,可得 y24sy4t0, 则 16s2+16t0,又 y1y24t, x1x2t2, 由 OAOB,可得 x1x2+y1y2t24t0, 解得 t4(0 舍去), 所以直线 AB 恒过定点 N(4,0), 可设 y10,y20, 则AFO 与ABO 面积之和 S|y1|OF|+|y1y2|ON| y1+2(y2y1)2y2y1228, 当且仅当 y1,y22 时,上式取得等号 则AFO 与ABO 面积之和的最小值为 8 21已知函数 f(x)lnxax+x2 (1)当 a时,求 f(x)的单调区间;

26、 (2)已知 a,x1,x2(x1x2)为函数 f(x)的两个极值点,求 yln的最大值 解:(1)当 a时,f(x)lnxx+x2,x0, f(x)+x, 令 f(x)0,可得 0 x或 x2,令 f(x)0,可得x2, 所以 f(x)在(0,),(2,+)上单调递增,在(,1)上单调递减 (2)f(x)a+x, 因为 x1,x2(x1x2)为函数 f(x)的两个极值点, 所以 x1,x2是方程 x2ax+10 的两个根, 所以 x1 ,x2 ,可得, 因为 a,所以 ya2为增函数,ya 为增函数且大于 0,y为增函数且大于 0, 所以 y为增函数,所以3, 令 t(t3),则 ylnln

27、t, 令 g(t)lnt2lnt, g(t)0,所以 g(t)在3,+)上单调递减, 所以 g(t)的最大值为 g(3)1ln3 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答,并将所选的题号下的“”涂黑如果多做,则按所做的第一题记题中任选一题作答,并将所选的题号下的“”涂黑如果多做,则按所做的第一题记 分,满分分,满分 10 分分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,如图就是在平面直角坐标系的“心形曲线”,又名 RC 心形 线如果以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,其 RC 心形线的极坐标方程为 1 (1

28、)求 RC 心形线的直角坐标方程; (2)已知直线 l 过点 P(0,2),且倾斜角为 120,若直线 l 与 RC 心形线交于 M,N 两点求|PM|PN| 的值 解:(1)RC 心形线的极坐标方程为1,根据,整理得 2 |cos|sin|1,转换为直角坐标方程为 x2+y2|x|y1 (2)直线 l 过点 P(0,2),且倾斜角为 120,转换为参数方程为(t 为参数),由于直 线只能与 y 轴的右侧的部分相交, 故把直线 l 的参数方程为(t 为参数),代入 x2+y2xy1, 整理得, 所以|PM|PN| 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23设函数 f(x)|2x1|+mx+

29、2,mR ()若 m1,解不等式 f(x)6; ()若 f(x)有最小值,且关于 x 的方程 f(x)x2+x+1 有两个不等实根,求实数 m 的取值范围 解:()若 m1,f(x)|2x1|+x+2, 当 x时,f(x)3x, 由 f(x)6 解得:x3,综合得3x, 当 x时,f(x)3x+1, 由 f(x)6 解得:x,综合得x, 故 f(x)6 的解集是(3,); ()当 x时,f(x)(2+m)x+1, 当 x时,f(x)(m2)x+3, 要使函数 f(x)有最小值, 则,解得:2m2, 故 f(x)在 x时取最小值m+2, yx2+x+1 在 x时取最大值, 方程 f(x)x2+x+1 有两个不等实根, m+2,解得:m, 综上,m 的范围是2,)