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2020-2021学年北京市平谷区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年北京市平谷区九年级(上)期末数学试卷学年北京市平谷区九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 24 分,每小题分,每小题 3 分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 1已知 2x3y(x0) ,则下列比例式成立的是( ) A B C D 2抛物线 y(x1)2+2 的顶点坐标为( ) A (1,2) B (1,2) C (1,2) D (2,1) 3如图所示的正方形网格中有,则 tan 的值为( ) A B C D2 4如图,DABCAE,请你再添加一个条件,使得ADEABC则下列选项

2、不成立的是( ) ADB BEC C D 5如图,是某供水管道的截面图,里面尚有一些水,若液面宽度 AB8cm,半径 OCAB 于 D,液面深度 CD2cm,则该管道的半径长为( ) A6cm B5.5cm C5cm D4cm 6如图,函数 y1x+1 与函数 y2的图象相交于点 M(1,m) ,N(2,n) 若 y1y2,则 x 的取值范 围是( ) Ax2 或 0 x1 Bx2 或 x1 C2x0 或 0 x1 D2x0 或 x1 7如图,在 RtABC 中,C90,B30,AC1,以 A 为圆心 AC 为半径画圆,交 AB 于点 D, 则阴影部分面积是( ) A B C D 8某种摩托车

3、的油箱最多可以储油 10 升,李师傅记录了他的摩托车加满油后,油箱中的剩余油量 y(升) 与摩托车行驶路程 x(千米)的关系,则当 0 x500 时,y 与 x 的函数关系是( ) x(千米) 0 100 150 300 450 500 y(升) 10 8 7 4 1 0 A正比例函数关系 B一次函数关系 C二次函数关系 D反比例函数关系 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 24 分,每小题分,每小题 3 分)分) 9将二次函数 yx2+4x1 化为 y(xh)2+k 的形式,结果为 y 10如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D 是网格线交点,AC 与 BD 相交于点 O,则ABO 的

4、面积 与CDO 的面积的比为 11如图,已知点 A、B、C 是O 上三点,若AOB80,则ACB 12如图,若点 A 与点 B 是反比例函数的图象上的两点,过点 A 作 AMx 轴于点 M,ANy 轴于点 N,过点 B 作 BGx 轴于点 G,BHy 轴于点 H,设矩形 OMAN 的面积为 S1,矩形 BHOG 的面 积为 S2,则 S1与 S2的大小关系为:S1 S2(填“” , “”或“” ) 13如图,抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为 x1,点 P,点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点,若点 P 的坐标 为(4,0) ,则点 Q 的坐标为 14如图,小东用长 2 米的竹竿 CD 做

5、测量工具,测量学校旗杆的高度 AB,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端 的影子恰好落在地面的同一点 O此时,OD3 米,DB6 米,则旗杆 AB 的高为 米 15如图,AB,BC,CD 分别与O 相切于点 E、F、G 三点,且 ABCD,BO6,CO8,则 BE+GC 的 长为 16学习完函数的有关知识之后,强强对函数产生了浓厚的兴趣,他利用绘图软件画出函数 yx2+的图 象并对该函数的性质进行了探究 下面有 4 个推断: 该函数自变量 x 的取值范围为 x0; 该函数与 x 轴只有一个交点(1,0) ; 若(x1,y1) , (x2,y2)是该函数上两点,当 x1x20 时一定有 y1y2; 该函数

6、有最小值 2 其中合理的是 (写序号) 三、解答题(本题共三、解答题(本题共 52 分,第分,第 1721 题,每小题题,每小题 5 分,第分,第 22 题题 6 分,第分,第 2325 题,每小题题,每小题 5 分)解答分)解答 应写出文字说明、演算步骤或证明过程应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17 (5 分)计算: 18 (5 分)已知:如图,直线 l,和直线外一点 P 求作:过点 P 作直线 PC,使得 PCl, 作法:在直线 l 上取点 O,以点 O 为圆心,OP 长为半径画圆,交直线 l 于 A,B 两点; 连接 AP,以点 B 为圆心,AP 长为半径画弧,交半圆于点 C; 作

7、直线 PC 直线 PC 即为所求作 (1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹) ; (2)完成下面的证明: 证明:连接 BP BCAP, ABPBPC( ) (填推理依据) 直线 PC直线 l 19 (5 分)已知抛物线 yax2+bx+c(a0)图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表: x 2 1 0 1 2 3 y 5 0 3 4 3 0 (1)求此抛物线的解析式; ( 2 ) 画 出 函 数 图 象 , 结 合 图 象 直 接 写 出 当0 x 4时 , y的 范 围 20 (5 分)如图,热气球探测器显示,从热气球 M 处看一座电视塔尖 A 处的仰角为 20,

8、看这座电视塔 底部 B 处的俯角为 45, 热气球与塔的水平距离 MC 为 200 米, 试求这座电视塔 AB 的高度(参考数据: sin200.34,cos200.94,tan200.36) 21 (5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y经过点 A(2,3) (1)求双曲线 y的表达式; (2)已知点 P(n,n) ,过点 P 作 x 轴的平行线交双曲线 y于点 B,过点 P 作 y 轴的平行线 交双曲线 y于点 C,设线段 PB、PC 与双曲线上 BC 之间的部分围成的区域为图象 G(不包 含边界) ,横纵坐标均为整数的点称为整点 当 n4 时,直接写出图象 G 上的整数点

9、个数是 ; 当图象 G 内只有 1 个整数点时,直接写出 n 的取值范围 22 (6 分)如图,RtABC 中,B90,AD 平分BAC,E 是 AC 上一点,以 AE 为直径作O,若O 恰好经过点 D (1)求证:直线 BC 与O 相切; (2)若 BD3,求O 的半径的长 23 (7 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线:yax22ax+4(a0) (1)抛物线的对称轴为 x ;抛物线与 y 轴的交点坐标为 ; (2)若抛物线的顶点恰好在 x 轴上,写出抛物线的顶点坐标,并求它的解析式; (3)若 A(m1,y1) ,B(m,y2) ,C(m+2,y3)为抛物线上三点,且总有 y1

10、y3y2,结合图象,求 m 的取值范围 24 (7 分)如图,ABC 中,ABAC,ADBC 于 D,BEAC 于 E,交 AD 于点 F (1)求证:BADCBE; (2)过点 A 作 AB 的垂线交 BE 的延长线于点 G,连接 CG,依据题意补全图形;若AGC90,试 判断 BF、AG、CG 的数量关系,并证明 25 (7 分)在平面直角坐标系 xOy 中的图形 W 与图形 N,如果图形 W 与图形 N 有两个交点,我们则称图 形 W 与图形 N 互为“友好图形” (1)已知 A(1,1) ,B(2,1)则下列图形中与线段 AB 互为“友好图形”的是 ; 抛物线 yx2; 双曲线; 以

11、O 为圆心 1 为半径的圆 (2)已知:图形 W 为以 O 为圆心,1 为半径的圆,图形 N 为直线 yx+b,若图形 W 与图形 N 互为“友 好图形” ,求 b 的取值范围 (3)如图,已知 A(,2) ,B(,2) ,C(,2) ,图形 W 是以(t,0)为圆心,1 为 半径的圆,若图形 W 与ABC 互为“友好图形” ,直接写出 t 的取值范围 2020-2021 学年北京市平谷区九年级(上)期末数学试卷学年北京市平谷区九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 24 分,每小题分,每小题 3 分)下面各题均有四个选项,其中只有

12、一个是符合题意的分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 1已知 2x3y(x0) ,则下列比例式成立的是( ) A B C D 【分析】根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为 0 的数或字母等式仍成立即可解决 【解答】解:根据等式性质 2,可判断出只有 B 选项正确, 故选:B 2抛物线 y(x1)2+2 的顶点坐标为( ) A (1,2) B (1,2) C (1,2) D (2,1) 【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论 【解答】解:抛物线的解析式为:y(x1)2+2, 其顶点坐标为(1,2) 故选:B 3如图所示的正方形网格中有,则 tan 的值为( ) A B C

13、D2 【分析】利用网格特点,构建 RtACB,然后利用正切的定义求解 【解答】解:如图,在 RtACB 中,tan 故选:A 4如图,DABCAE,请你再添加一个条件,使得ADEABC则下列选项不成立的是( ) ADB BEC C D 【分析】根据DABCAE,可以得到DAEBAC,然后即可判断添加各个选项中的条件是否可 以使得ADEABC,本题得以解决 【解答】解:DABCAE, DAB+BAECAE+BAE, DAEBAC, 当添加条件DB 时,则ADEABC,故选项 A 不符合题意; 当添加条件EC 时,则ADEABC,故选项 B 不符合题意; 当添加条件时,则ADEABC,故选项 C

14、不符合题意; 当添加条件时,则ADE 和ABC 不一定相似,故选项 D 符合题意; 故选:D 5如图,是某供水管道的截面图,里面尚有一些水,若液面宽度 AB8cm,半径 OCAB 于 D,液面深度 CD2cm,则该管道的半径长为( ) A6cm B5.5cm C5cm D4cm 【分析】连接 AO,由 OC 垂直于 AB,利用垂径定理得到 D 为 AB 的中点,求出 AD 的长,设圆的半径 为 rcm,由 OCCD 表示出 OD,在直角三角形 AOD 中,利用勾股定理求出 r 的值即可 【解答】解:连接 AO, OCAB,D 为 AB 的中点, AD4cm, 设圆的半径为 rcm, 在 RtA

15、OD 中,ODOCCD(r2)cm, 根据勾股定理得:OA2AD2+OD2,即 r216+(r2)2, 解得:r5, 故选:C 6如图,函数 y1x+1 与函数 y2的图象相交于点 M(1,m) ,N(2,n) 若 y1y2,则 x 的取值范 围是( ) Ax2 或 0 x1 Bx2 或 x1 C2x0 或 0 x1 D2x0 或 x1 【分析】观察函数 y1x+1 与函数的图象,即可得出当 y1y2时,相应的自变量 x 的取值范围 【解答】解:由一次函数和反比例函数的图象可知,当一次函数图象在反比例函数图象之上时,所对应 的 x 的取值范围为2x0 或 x1, 故选:D 7如图,在 RtAB

16、C 中,C90,B30,AC1,以 A 为圆心 AC 为半径画圆,交 AB 于点 D, 则阴影部分面积是( ) A B C D 【分析】 本题中阴影部分的面积为 RtABC 和扇形 ACD 的面积差, 可在 RtACB 中, 根据B 的度数, 求出 BC 的长,即可得出扇形 ACD 的面积和 RtABC 的面积 【解答】解:ABC 中,C90,B30,AC1, 所以 BCAC,A60, S阴影SABCS扇形ACD 1 故选:B 8某种摩托车的油箱最多可以储油 10 升,李师傅记录了他的摩托车加满油后,油箱中的剩余油量 y(升) 与摩托车行驶路程 x(千米)的关系,则当 0 x500 时,y 与

17、 x 的函数关系是( ) x(千米) 0 100 150 300 450 500 y(升) 10 8 7 4 1 0 A正比例函数关系 B一次函数关系 C二次函数关系 D反比例函数关系 【分析】根据表格数据,描点、连线画出互相图象,根据图象即可判断 【解答】解:根据表格数据,描点、连线画出函数的图象如图: 故 y 与 x 的函数关系是一次函数, 故选:B 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 24 分,每小题分,每小题 3 分)分) 9将二次函数 yx2+4x1 化为 y(xh)2+k 的形式,结果为 y (x+2)25 【分析】利用配方法先提出二次项系数,在加上一次项系数的一半的平方来凑完全

18、平方式,把一般式转 化为顶点式 【解答】解:yx2+4x1x2+4x+441(x+2)25 故答案为:y(x+2)25 10如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D 是网格线交点,AC 与 BD 相交于点 O,则ABO 的面积 与CDO 的面积的比为 1:4 【分析】AOBCOD,只需求出其相似比,平方即得两三角形面积比 【解答】 解:如上图,设小方格的边长为 1, ABE、DCF 分别是边长为 1 和 2 的等腰直角三角形, ABECDF45,AB,CD2, BEDF, EBOFDO, ABOCDO, 又AOBCOD, ABOCDO, SABO:SCDO(AB:CD)2, SABO:SCD

19、O(:2)21:4, 故答案为:1:4 11如图,已知点 A、B、C 是O 上三点,若AOB80,则ACB 40 【分析】利用圆周角定理解决问题即可 【解答】解:ACBAOB,AOB80, ACB40, 故答案为:40 12如图,若点 A 与点 B 是反比例函数的图象上的两点,过点 A 作 AMx 轴于点 M,ANy 轴于点 N,过点 B 作 BGx 轴于点 G,BHy 轴于点 H,设矩形 OMAN 的面积为 S1,矩形 BHOG 的面 积为 S2,则 S1与 S2的大小关系为:S1 S2(填“” , “”或“” ) 【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义即可得出结论 【解答】解:点 A

20、与点 B 是反比例函数的图象上的两点,过点 A 作 AMx 轴于点 M, ANy 轴于点 N,过点 B 作 BGx 轴于点 G,BHy 轴于点 H, S1|k|,S2|k|, S1S2, 故答案为 13如图,抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为 x1,点 P,点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点,若点 P 的坐标 为(4,0) ,则点 Q 的坐标为 (2,0) 【分析】根据抛物线的对称轴结合点 P 的横坐标,即可求出点 Q 的横坐标,此题得解 【解答】解:抛物线的对称轴为直线 x1,点 P 的坐标为(4,0) , 点 Q 的横坐标为 1242, 点 Q 的坐标为(2,0) 故答案为: (2,

21、0) 14如图,小东用长 2 米的竹竿 CD 做测量工具,测量学校旗杆的高度 AB,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端 的影子恰好落在地面的同一点 O此时,OD3 米,DB6 米,则旗杆 AB 的高为 6 米 【分析】由平行线证明三角形相似,利用相似三角形对应边成比例解题即可 【解答】解:竹竿 CD 和旗杆 AB 均垂直于地面, CDAB, OCDOAB, ,即, AB6(米) 故答案为:6 15如图,AB,BC,CD 分别与O 相切于点 E、F、G 三点,且 ABCD,BO6,CO8,则 BE+GC 的 长为 10 【分析】先根据切线长定理得到BFBE,CFCG,BO 平分ABC,CO 平分BCD,

22、再证明BOC 90,然后利用勾股定理计算出 BC 即可 【解答】解:AB,BC,CD 分别与O 相切于点 E、F、G 三点, BFBE,CFCG,BO 平分ABC,CO 平分BCD, OBCABC,OCBBCD, OBC+OCB(ABC+BCD) , ABCD, ABC+BCD180, OBC+OCB18090, BOC90, 在 RtOBC 中,BO6,CO8, BC10, BE+CG10 故答案为 10 16学习完函数的有关知识之后,强强对函数产生了浓厚的兴趣,他利用绘图软件画出函数 yx2+的图 象并对该函数的性质进行了探究 下面有 4 个推断: 该函数自变量 x 的取值范围为 x0;

23、该函数与 x 轴只有一个交点(1,0) ; 若(x1,y1) , (x2,y2)是该函数上两点,当 x1x20 时一定有 y1y2; 该函数有最小值 2 其中合理的是 (写序号) 【分析】根据函数的图象几何函数的关系式综合进行判断即可 【解答】解:由函数 yx2+的图象可得,图象与 y 轴无交点,因此 x0,即函数自变量 x 的取值范围 为 x0,故正确; 根据函数的图象可直观看出该函数与 x 轴只有一个交点(1,0) ,也可以根据 x2+0,解得 x1, 因此与 x 轴的交点为(1,0) ,故正确; 由函数的图象可知,当 x0 时,y 随 x 的增大而减小,因此当 x1x20 时,有 y1y

24、2,故正确; 根据图象可知,函数值 y 可以 0 或负数,因此不正确; 因此正确的结论有:, 故答案为: 三、解答题(本题共三、解答题(本题共 52 分,第分,第 1721 题,每小题题,每小题 5 分,第分,第 22 题题 6 分,第分,第 2325 题,每小题题,每小题 5 分)解答分)解答 应写出文字说明、演算步骤或证明过程应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17 (5 分)计算: 【分析】首先利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂的性质进行计算,再 算加减即可 【解答】解:原式1+22+31+22+3 18 (5 分)已知:如图,直线 l,和直线外一点 P 求作

25、:过点 P 作直线 PC,使得 PCl, 作法:在直线 l 上取点 O,以点 O 为圆心,OP 长为半径画圆,交直线 l 于 A,B 两点; 连接 AP,以点 B 为圆心,AP 长为半径画弧,交半圆于点 C; 作直线 PC 直线 PC 即为所求作 (1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹) ; (2)完成下面的证明: 证明:连接 BP BCAP, ABPBPC( 同弧或等弧所对的圆周角相等 ) (填推理依据) 直线 PC直线 l 【分析】 (1)根据要求画出图形即可 (2)连接 PB,只要证明ABPCPB 即可 【解答】解: (1)如图,直线 PC 即为所求作 (2)证明:连接 PB

26、 BCAP, ., ABPBPC(同弧或等弧所对的圆周角相等) , 直线 PC直线 l 故答案为:,同弧或等弧所对的圆周角相等 19 (5 分)已知抛物线 yax2+bx+c(a0)图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表: x 2 1 0 1 2 3 y 5 0 3 4 3 0 (1)求此抛物线的解析式; ( 2 ) 画 出 函 数 图 象 , 结 合 图 象 直 接 写 出 当0 x 4时 , y的 范 围 【分析】 (1)设交点式 ya(x+1) (x3) ,然后把(0,3)代入求出 a 的值,从而得到抛物线解析 式; (2)先利用描点法画出函数图象,然后根据二次函数的性质

27、,结合函数图象写出当 0 x4 时对应的 y 的范围 【解答】解: (1)设抛物线解析式为 ya(x+1) (x3) , 把(0,3)代入得3a3,解得 a1, 抛物线解析式为 y(x+1) (x3) , 即 yx22x3; (2)如图, 当 0 x4 时,y 的范围为4y5 20 (5 分)如图,热气球探测器显示,从热气球 M 处看一座电视塔尖 A 处的仰角为 20,看这座电视塔 底部 B 处的俯角为 45, 热气球与塔的水平距离 MC 为 200 米, 试求这座电视塔 AB 的高度(参考数据: sin200.34,cos200.94,tan200.36) 【分析】根据仰角俯角定义,利用锐角

28、三角函数即可求出结果 【解答】解:根据题意可知: ACMBCM90,AMC20,BMC45,MC200 米, 在 RtAMC 中, tanAMC, AC72(米) , 在 RtBMC 中, BCM90,BMC45, BCMC200(米) , ABAC+BC72+200272(米) 答:这座电视塔 AB 的高度为 272 米 21 (5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y经过点 A(2,3) (1)求双曲线 y的表达式; (2)已知点 P(n,n) ,过点 P 作 x 轴的平行线交双曲线 y于点 B,过点 P 作 y 轴的平行线 交双曲线 y于点 C,设线段 PB、PC 与双曲线

29、上 BC 之间的部分围成的区域为图象 G(不包 含边界) ,横纵坐标均为整数的点称为整点 当 n4 时,直接写出图象 G 上的整数点个数是 1 ; 当图象 G 内只有 1 个整数点时,直接写出 n 的取值范围 【分析】 (1)将点 A 的坐标代入函数表达式,即可求解; (2)当 n4 时,图象 G 内只有一个点 M(3,3) ;当图象 G 内只有 1 个整数点时,除了点 M 外 还有点 N,即可求解 【解答】解: (1)将点 A 的坐标代入函数表达式得:3,解得 k6, 故双曲线的表达式为 y(x0) ; (2)当 n4 时,图象 G 为 PB、PB 和曲线 BC 之间的部分,此时,图象 G

30、内只有一个点 M(3,3) , 故答案为 1; 当图象 G 内只有 1 个整数点时,除了点 M 外还有点 N(如上图) , 故 n 的取值范围为:3n4 或 1n2 22 (6 分)如图,RtABC 中,B90,AD 平分BAC,E 是 AC 上一点,以 AE 为直径作O,若O 恰好经过点 D (1)求证:直线 BC 与O 相切; (2)若 BD3,求O 的半径的长 【分析】 (1)连接 OD根据已知条件证明 ODAB进而可得 BC 是O 的切线; (2)连接 DE,根据三角函数可得 AD5,AB4,根据 AE 是O 的直径,可得ADE90,证明 ABDADE,对应边成比例即可得O 的半径的长

31、 【解答】 (1)解:连接 OD AD 平分BAC, 12 又OAOD, 23 13 ODAB B90, ODC90 BC 是O 的切线; (2)连接 DE, 在 RtABC 中,B90, BD3, AD5,AB4, AE 是O 的直径, ADE90, 12,BADE90, ABDADE, , O 的半径为 23 (7 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线:yax22ax+4(a0) (1)抛物线的对称轴为 x 1 ;抛物线与 y 轴的交点坐标为 (0,4) ; (2)若抛物线的顶点恰好在 x 轴上,写出抛物线的顶点坐标,并求它的解析式; (3)若 A(m1,y1) ,B(m,y2)

32、,C(m+2,y3)为抛物线上三点,且总有 y1y3y2,结合图象,求 m 的取值范围 【分析】 (1)根据对称轴是直线 x求出对称轴即可;把 x0 代入函数解析式求出 y 即可; (2)把点(1,0)代入 yax22ax+4,再求出 a 即可; (3)先求出 A、B 关于直线 x1 的对称点坐标,再根据二次函数的性质和已知条件得出 3mm+22 m,再求出答案即可 【解答】解: (1)x1, 当 x0 时,yax22ax+44, 所以抛物线的对称轴是直线 x1,抛物线与 y 轴的交点坐标是(0,4) , 故答案为:1, (0,4) ; (2)抛物线的顶点恰好在 x 轴上; 抛物线的顶点坐标为

33、(1,0) , 把(1,0)代入 yax22ax+4 得:0a122a1+4, 解得:a4, 抛物线的解析式为 y4x28x+4; (3)A(m1,y1)关于对称轴 x1 的对称点为 A(3m,y1) , B(m,y2)关于对称轴 x1 的对称点为 B(2m,y2) , 若要 y1y3y2,则 3mm+22m, 解得: 24 (7 分)如图,ABC 中,ABAC,ADBC 于 D,BEAC 于 E,交 AD 于点 F (1)求证:BADCBE; (2)过点 A 作 AB 的垂线交 BE 的延长线于点 G,连接 CG,依据题意补全图形;若AGC90,试 判断 BF、AG、CG 的数量关系,并证明

34、 【分析】 (1)根据等腰三角形的性质得到ABDC,然后利用等角的余角相等得到结论; (2) 连接 CF, 如图, 先证明ACFABGGAC 则可判断 AGFC, 所以FCGAGC90, 再证明GAFGFA 得到 AGFG,然后利用勾股定理得到 CF2+CG2FG2,所以 BF2+CG2AG2 【解答】 (1)证明:ADBC, BAD+ABD90, BEAC, CBE+C90 ABAC, ABDC, BADCBE; (2)解:如图, 结论:BF2+CG2AG2 证明:连接 CF,如图, ABAC,ADBC, AD 垂直平分 BC, BFFC, FBCFCB, BAG90, GAE+BAC90,

35、 ABG+BAC90, ACFABGGAC AGFC, FCGAGC90, GAF+BAD90, GFA+DAC90, GAFGFA, AGFG, 在 RtFCG 中,CF2+CG2FG2, BF2+CG2AG2 25 (7 分)在平面直角坐标系 xOy 中的图形 W 与图形 N,如果图形 W 与图形 N 有两个交点,我们则称图 形 W 与图形 N 互为“友好图形” (1)已知 A(1,1) ,B(2,1)则下列图形中与线段 AB 互为“友好图形”的是 ; 抛物线 yx2; 双曲线; 以 O 为圆心 1 为半径的圆 (2)已知:图形 W 为以 O 为圆心,1 为半径的圆,图形 N 为直线 yx

36、+b,若图形 W 与图形 N 互为“友 好图形” ,求 b 的取值范围 (3)如图,已知 A(,2) ,B(,2) ,C(,2) ,图形 W 是以(t,0)为圆心,1 为 半径的圆,若图形 W 与ABC 互为“友好图形” ,直接写出 t 的取值范围 【分析】 (1)根据题意画出图形,根据互为“友好图形”分别计算两个图形有几个交点即可判断; (2)如图 4 中,作 OQKL 于 Q,O 于 Q,根据等腰直角三角形的性质可得 b 的值即可判断; (3)分四种情形求出图形 W 与ABC 有 1 个交点时,t 的值,即边界点,可得 t 的取值范围 【解答】解: (1)如图 1,当 y1 时,x21,

37、x1, 抛物线 yx2与线段 AB 有两个交点为(1,1)和(1,1) , 抛物线 yx2与线段 AB 互为“友好图形” ; 如图 2,当 y1 时,1, x1, 双曲线与线段 AB 有 1 个交点为(1,1) , 抛物线 y与线段 AB 不是互为“友好图形” ; 如图 3,以 O 为圆心 1 为半径的圆与线段 AB 有 1 个交点为(0,1) , 以 O 为圆心 1 为半径的圆与线段 AB 不是互为“友好图形” ; 故答案为:; (2)如图 4,作O 的两条切线,过点 O 作 OQKL, OQ1,OQK 是等腰直角三角形, OK, b 的取值范围是b; (3)如图 5,过点 E 作 EQAC

38、 于 Q, 当图形 W 是D 时,D 与 AB 相切,此时 t1, 当图形 W 是E 时,E 与 AB 相切,此时 t+1, A(,2) ,B(,2) ,C(,2) , BAy 轴,BCx 轴, ABC90, AB4,BC4, AC8, C30, AFDC30, FL2, EF21, EQEF1, E 与 AC 相离, 图形 W 与ABC 有两个交点时,t 的取值是1t+1, 如图 6,当E与 AC 相切时,设切点为 G,连接 EG, 同理得 OEEFOF2, t2, 当D与 AC 相切时,设切点为 H,连接 DH, 同理得 ODOF+FD+2, t+2, 图形 W 与ABC 有两个交点时,t 的取值是2t+2; 综上, 若图形 W 与ABC 互为 “友好图形” , t 的取值范围是1t+1 或2t+2