1、数数 学学 人教七年级（下册） 8.1 8.1 二元一次方程组二元一次方程组 8 8 二元一次方程组二元一次方程组 课 时 目 标课 时 目 标 1 1了解二元一次方程，二元一次方程组及其解的概念，了解二元一次方程，二元一次方程组及其解的概念， 会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元 一次方程组的解。一次方程组的解。 2.2.通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组都是反映通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组都是反映 数量关系的重要数学模型，能设两个未知数并列方程组表数量关系的重要数学模型，能设两个未知数并列方程组表 示实际问题
2、中的两种相关的等量关系。示实际问题中的两种相关的等量关系。 探 究 新 知探 究 新 知 篮球篮球联赛中联赛中, ,每场比赛都要分出胜负每场比赛都要分出胜负, ,每队胜每队胜1 1场得场得2 2分分, ,负负1 1场得场得1 1分。分。 某队某队1010场比赛中得到场比赛中得到1616分分, ,那么这个队胜负场数应分别是多少？那么这个队胜负场数应分别是多少？ 探 究 新 知探 究 新 知 解: 设胜x场,则负(10-x)场,根据题意得方程 2x+(10-x)=16 解得 x=6 10-6=4 答:这个队胜6场,只负4场. 篮球篮球联赛中联赛中, ,每场比赛都要分出胜每场比赛都要分出胜 负负,
3、,每队胜每队胜1 1场得场得2 2分分, ,负负1 1场得场得1 1分。分。 某队某队1010场比赛中得到场比赛中得到1616分分, ,那么这那么这 个队胜负场数应分别是多少？个队胜负场数应分别是多少？ 探 究 新 知探 究 新 知 积分积分 场数场数 合计合计 负负 胜胜 xy 10 2x y 16 等 量 关 系 有 哪 些 ？ 那么，能设两个未知数吗？比如那么，能设两个未知数吗？比如 设胜设胜x x场，负场，负y y场；你能根据题意场；你能根据题意 列出方程吗？列出方程吗？ 探 究 新 知探 究 新 知 胜的场数负的场数总场数 胜的场数的分数负的场数的分数总分数 设篮球队胜了x 场，负了
4、y 场 得分 10 场数 合计 负 胜 x y 2x y 16 2xy=16 xy=10 探 究 新 知探 究 新 知 思考一思考一: :上述方程有什么共同特点上述方程有什么共同特点? ? 思考二思考二: :它与你学过的一元一次方程比较有什么区别它与你学过的一元一次方程比较有什么区别? ? 思考三思考三: :你能给它起个名字吗你能给它起个名字吗? ? xy=10 2xy=16 探 究 新 知探 究 新 知 含有两个两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1 的方程叫作二元一次方程二元一次方程. . 注意： （1）“一次”是指含未知数的项的次数是1，而丌是未知数的次数； （2）方程的左右两边都是
5、整式. 探 究 新 知探 究 新 知 (8)4xy+5=0 (1)x+y=11 (3)x2+y=5 (2)m+1=2 (4)3x=11 (5) 5x=4y+2 (6)7+a=2b+11c (7)7x+ =13 y 2 判断下列方程是不是二元一次方程？ 是 是 不是 不是 不是 不是 不是 不是 探 究 新 知探 究 新 知 判断一个方程是否为二元一次方程的方法： 看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数； 看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0， 且含未知数的项的次数都是1. 探 究 新 知探 究 新 知 (1)已知已知: 5x3m+7-2y2n-1=4 是二元一次方程是二元一次方
6、程,则则m= ，n= 。 (2)若若mxy+9x+3yn-1=7是关于是关于x,y的二元一次方程的二元一次方程,则则m = ，n = 。 -2 1 0 2 探 究 新 知探 究 新 知 例1 已知 |m1|x |m|y2n13 是二元一次方程， 则 mn_ 解析：根据题意得|m|1且|m1|0，2n11，解得m1， n1，所以mn0. 0 由由方程是方程是二元一次方程可知：二元一次方程可知： ( (1)1)未知数的系数不为未知数的系数不为0 0；(2)(2)未知数的次数都是未知数的次数都是1.1. 探 究 新 知探 究 新 知 若 x x2m 2m- -1 1+5y +5y3n 3n- -2m
7、 2m = =7 7 是是二元一次方程，则二元一次方程，则m=_m=_，n=_.n=_. 2m-1=1 1 3n-2m=1 1 巩 固 练 习巩 固 练 习 方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并 且一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. xy=10 2xy=16 叫作方程组 下列方程组是二元一次方程组的是（ ） 探 究 新 知探 究 新 知 A. B. C. 1 , 1 yx xy 1 , 1 yx zx 1 , 1 22 yx yx 1 1 , 1 y x yx B D. 探 究 新 知探 究 新 知 二元一次方程组的解 【探究】满足课堂开始篮球联赛问题中的方
8、程 ， 且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中. 10 yx 思考1 如果丌考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？ 这些值是有限的吗？ x,y还可取到小数,如x=0.5,y=9.5; 有无数组这样的值. x y x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 探 究 新 知探 究 新 知 适合适合一个二元一次方程的一组未知数的值一个二元一次方程的一组未知数的值, , 叫做叫做这个这个二元一次方程的一个解二元一次方程的一个解. . 探 究 新 知探 究 新 知 思考2 上表中哪对 x，y 的值还满足方程 2x+y=16 ？ x=6，x
9、=4还满足还满足方程方程 也就是说也就是说, , 它是方它是方 程程x+y=10 与与方程方程 的的公共解公共解，记作，记作 6 4 x y ， 二二元一次方程组中各个方程的公共解元一次方程组中各个方程的公共解, ,叫做这个叫做这个二元一次方程组的解二元一次方程组的解. . 巩 固 练 习巩 固 练 习 1. 下列各组数是丌是方程 2a=3b+20 的解? a=4 b=3 a=100 b=60 左边右边 右=33+20 右边=360+20 左边=2100 左边=右边 左边=24 探 究 新 知探 究 新 知 一般一般地，二元一次方程有无数组解，而二元一次方程组只有一组地，二元一次方程有无数组解
10、，而二元一次方程组只有一组解。解。 2.二元一次方程组 的解是( ) x+2y=10, y=2x A. C. D. B. x=4, y=3 x=3, y=6 x=2, y=4 x=4, y=2 C 探 究 新 知探 究 新 知 x=-2, y=3 例2 若 是方程x-ky=1的解,则k的值为 . 解析：将 代入原方程得 -2-3k=1，解得k1. x=-2, y=3 -1 探 究 新 知探 究 新 知 例3 加工某种产品须经两道工序，第一道 工序每人每天可完成900件，第二道工序每 人每天可完成1200件.现有7位工人参加这 两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第 一、二道工序所完成的件数相等
11、？请列出符 合题意的二元一次方程组. 巩 固 练 习巩 固 练 习 解：设安排第一道工序为x人，第二道工序为y人. 根据题意得 7, 9001200 xy xy 巩 固 练 习巩 固 练 习 “一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题 都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以 转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一 切问题将迎刃而解切问题将迎刃而解!”!” 法国数学家法国数学家 笛卡儿笛卡儿 Descartes, 1596Descartes, 1596-
12、 -16501650 巩 固 练 习巩 固 练 习 x+ =1， y+x=2 1.下列丌是二元一次方程组的是( ) A. x+y=3， x-y=1 B. C. D. 6x+4y=9， y=3x+4 1 y B x=1， y=1 巩 固 练 习巩 固 练 习 2.二元一次方程组 的解是( ) A. B. C. D. C x=1， y=3 2x+y=5， 3x-2y=4 x=1， y=2 x=2， y=1 x=2， y=-1 巩 固 练 习巩 固 练 习 3.关于x、y的方程ax2+bx+2y=3是一个二元一 次方程，则a、b的值分别为（ ） A .a=0且 b=0 B.a=0或 b=0 C. a
13、=0且 b0 D.a0且 b0 C 4. 小刘同学用10元钱购买了两种丌同的贺卡共8张，单价分别是1元不2 元设他购买了1元的贺卡x张，2元的贺卡y 张，那么可列方程组( ) 巩 固 练 习巩 固 练 习 8 ,10 2 yx y x 102 , 8 102 yx yx 82 ,10 yx yx 8 ,102 yx yx D A. B. C. D. 6.若方程2x2m+3+3y3n-7=0 是关于x、y 的二元一次方程，则 m=_，n=_； 巩 固 练 习巩 固 练 习 5.已知 是方程2x-4y+2a=3的一组解，则a=_. x=3， y=1 1 2 -1 8 3 巩 固 练 习巩 固 练
14、习 7.写出方程 x+2y=5 在自然数范围内的所有解. x=1， y=2 x=3， y=1 x=5， y=0 巩 固 练 习巩 固 练 习 8. 把一根长13m的 钢管截成2m长或 3m长两种规格的 钢管，怎样截丌造 成浪费？你有几种 丌同的截法？ 解：设截成2m长的钢管x根，3m长的钢管y根, 则2x+3y=13, x,y均为非负整数， 或 有2种不同的截法. 3m长1根、2m长5根以及3m长3根、2m长2根. x=5， y=1 x=2， y=3 探 究 新 知探 究 新 知 认识二元一次方程组 二元一次方程及二元一次方程组的定义二元一次方程及二元一次方程组的定义 二元一次方程及二元一次方
15、程及二元一次方程二元一次方程组的解组的解 根据实际问题列二元一次方程组根据实际问题列二元一次方程组 1.1.二元一次方程的概念：每个方程都含有两个未知数（二元一次方程的概念：每个方程都含有两个未知数（x x和和y y），并），并 且含有未知数的项的次数都是且含有未知数的项的次数都是1 1，像这样的方程叫做二元一次方程。，像这样的方程叫做二元一次方程。 2.2.二元一次方程组的概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程二元一次方程组的概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程 合在一起，就组成了一个二元一次方程组。合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 3.3.二元一次方程的解的概念：一般地，使二元一次方程两边的值相二元一次方程的解的概念：一般地，使二元一次方程两边的值相 等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 4.4.二元一次方程组的解的概念：一般地，二元一次方程组的两个方二元一次方程组的解的概念：一般地，二元一次方程组的两个方 程的公共解，叫做二元一次方程组的解。程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 课 堂 小 结课 堂 小 结 谢谢谢谢观看观看