1、第十七章勾股定理章末复习 复习导入 本章我们学习了什么内容？本章我们学习了什么内容？ 那么大家掌握得如何呢？这节课我们一那么大家掌握得如何呢？这节课我们一 起来作一个回顾总结，检阅学习成果起来作一个回顾总结，检阅学习成果. 想一想 勾股定理及勾股定理的逆定理勾股定理及勾股定理的逆定理. . 复习目标 1.复习与回顾本章的重要知识点和知识结构复习与回顾本章的重要知识点和知识结构. 2.总结本章的重要思想方法及其应用总结本章的重要思想方法及其应用. 分层复习 回忆本章学习的内容，试着画出知识结构图回忆本章学习的内容，试着画出知识结构图. 勾股定理勾股定理 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 互逆定理
2、互逆定理 直角三角形边直角三角形边 长的数量关系长的数量关系 直角三角形的判定直角三角形的判定 如果直角三角形两直角边长分别为如果直角三角形两直角边长分别为a a，b b， 斜边长为斜边长为c c，那么，那么a a2 2+ +b b2 2= =c c2 2 直角三角形三边的长有什么特殊的关系？直角三角形三边的长有什么特殊的关系？ 问题 1 赵爽是如何证明勾股定理的？他用了什赵爽是如何证明勾股定理的？他用了什 么方法？么方法？ 问题 2 割补法割补法 已知一个三角形的三边长，怎样判断它已知一个三角形的三边长，怎样判断它 是不是直角三角形？你判断的依据是什么？是不是直角三角形？你判断的依据是什么？
3、 问题 3 如果三角形如果三角形ABC的三边长的三边长a，b，c满足满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；，那么这个三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理. 勾股定理的逆定理是怎么证明的？ 问题 4 A1 B1 C1 ？ 三角形全等三角形全等 C是直角是直角 ABC是直角三角形是直角三角形 A B C a b c b a 问题 5 一个命题成立，它的逆命题一定成立吗？一个命题成立，它的逆命题一定成立吗？ 请举例说明请举例说明. 不一定；如不一定；如“如果两个角是直角，那么它如果两个角是直角，那么它 们相等们相等”，其逆命题为，其逆命题为“如果两个角相等，那如果两个
4、角相等，那 么这两个角是直角么这两个角是直角”，是假命题，是假命题. . 典例解析 例例1 下列各组数中，下列各组数中，不是不是勾股数的是勾股数的是( ) A.4,3,5 B.5,12,13 C.10,15,18 D.8,15,17 解析解析 能构成为能构成为直角三角形直角三角形三条边长的三三条边长的三 个个正整数正整数称为勾股数称为勾股数. . C 例例2 如图直角三角形中，边长如图直角三角形中，边长x等于等于5的三的三 角形有角形有( ) A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个 解析解析 用勾股定理算出未知边长度即可用勾股定理算出未知边长度即可. . B 例例3 一束光线从一束光线
5、从y轴上点轴上点A(0, 1) 出发，经过出发，经过x轴上点轴上点C反射后经反射后经 过点过点B(3, 3)，则光线从，则光线从A点到点到B 点经过的路线长是点经过的路线长是 . 解析解析 作辅助线，利用入射角等于反射角可构作辅助线，利用入射角等于反射角可构 建相似三角形，再进行计算建相似三角形，再进行计算. . 5 例例4 我国古代数学家赵爽的“赵爽弦图”是由四个全我国古代数学家赵爽的“赵爽弦图”是由四个全 等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大 正方形正方形(如图所示如图所示).如果大正方形的面积是如果大正方形的面积是13，小正方，小正
6、方 形的面积是形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，直角三角形的两直角边分别为a、b， 那么那么(a+b)2的值是的值是 . 解析解析 大正方形的面积大正方形的面积=c2，小，小正正 方形的面积方形的面积=(a-b)2. 25 例例5 如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，ABCD，A= 90， AB=2，BC=3，CD=1，E是是AD中点中点.求求 证：证：CEBE. 解析解析 如图，作辅助线，求出各如图，作辅助线，求出各 边长度，借助勾股定理的逆定边长度，借助勾股定理的逆定 理给出证明理给出证明. . 证明证明 CFAB，ABCD，A=90， 四边形四边形ADCF为矩形为矩形. FB
7、=AB-AF=2-1=1. 2222 312 2.CFBCBFAD 1 2. 2 EDAEAD 2222 36.CECDDEBEABAE， 222 369.CEBEBCQCEBE. 例例6 如图，一个圆柱形油罐，要从如图，一个圆柱形油罐，要从A点环绕油点环绕油 罐建梯子，正好到罐建梯子，正好到A点的正上方点的正上方B点，请你算点，请你算 一算梯子最短需多少米？一算梯子最短需多少米？(已知油罐的底面周已知油罐的底面周 长是长是12米，高是米，高是5米米) 解析解析 将油罐沿将油罐沿AB切开铺平，对角切开铺平，对角 线为最短路线线为最短路线. 解：如图，将油罐侧面展开，解：如图，将油罐侧面展开，
8、22 12513AB此此时时（米米） 随堂演练 基础巩固 1.如图，为求出湖两岸的如图，为求出湖两岸的A、B两点之间的距离，两点之间的距离， 一个观测者在点一个观测者在点C设桩，使设桩，使ABC恰好为直角三恰好为直角三 角形，且角形，且B=90，再测得，再测得AC长长160米，米，BC长长 128米，则米，则A、B之间的距离为之间的距离为( ) A.96米米 B.100米米 C.86米米 D.90米米 A 2.下列命题中，逆命题仍然成立的是下列命题中，逆命题仍然成立的是( ) A.全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等 B.到角两边距离相等的点在这个角的平分线上到角两边距离相等的点在这个角的
9、平分线上 C.同一个角的余角相等同一个角的余角相等 D.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形 B 综合应用 7. 如图所示，一只蚂蚁在如图所示，一只蚂蚁在A处往东爬处往东爬8 格后，又向北爬格后，又向北爬2格，遇到干扰后又向格，遇到干扰后又向 西爬西爬3格，再折向北爬格，再折向北爬6格，这时发现格，这时发现B 处有食物，于是便又向东爬处有食物，于是便又向东爬1格到格到B处处 找到食物，如果图中每一个方格都是找到食物，如果图中每一个方格都是 边长为边长为1cm的正方形，问此时蚂蚁爬行的正方形，问此时蚂蚁爬行 的路程是多少？如果蚂蚁从的路程是多少？如果蚂蚁从A处沿直线处沿直线 AB到达到达
10、B处，则可少爬多远的路程？处，则可少爬多远的路程？ 解：此时蚂蚁爬行的路程是：解：此时蚂蚁爬行的路程是： 8+2+3+6+1=20(cm)， 若蚂蚁从若蚂蚁从A处沿直线处沿直线AB到达到达B处处;设由设由A向向 东东6格处的点为格处的点为C(如图所示如图所示)， 易知易知ABC为直角三角形，为直角三角形， ABACBC 2222 =6810(cm)则则 20-10=10(cm). 则可少爬则可少爬10cm. 拓展延伸 如图，已知如图，已知B、C两个乡镇相距两个乡镇相距25千米，千米， 有一个自然保护区有一个自然保护区A与与B相距相距15千米，千米，A 与与C相距相距20千米，以点千米，以点A为
11、圆心，为圆心，10千千 米为半径是自然保护区的范围，现在要米为半径是自然保护区的范围，现在要 在在B、C两个乡镇之间修一条笔直的公两个乡镇之间修一条笔直的公 路，请问：这条公路是否会穿过自然保路，请问：这条公路是否会穿过自然保 护区？试通过计算加以说明护区？试通过计算加以说明. 解：如图，过点解：如图，过点A作作ADBC交交BC于点于点D. 在在ABC中，中， AB2+AC2=152+202=252=BC2. ABC为直角三角形，为直角三角形，BAC=90. 又又ABAC=ADBC. AD 15 20 =12(km)10km 25 这条公路不会穿过自然保护区这条公路不会穿过自然保护区. 1.从
12、课后习题中选取；从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 课后作业 复习题17 1.两人从同一地点同时出发，一人以两人从同一地点同时出发，一人以20m/min 的速度向北直行，一人以的速度向北直行，一人以30 m/min的速度向的速度向 东直行东直行.10 min后他们相距多远后他们相距多远(结果取整数结果取整数)？ 复习巩固复习巩固 BC=1030=300（米），（米）， 连连AB，在，在RtABC中，由勾股定理中，由勾股定理 所以所以10分钟后他们相距约为分钟后他们相距约为361米米. 22 130000361()ABACBC米米 解：如图，设两人从解：如图
13、，设两人从C点出发，点出发，10分分 钟后分别到达钟后分别到达A、B两点，依据题意有：两点，依据题意有： C=90，AC=1020=200（米），（米）， 2.如图，过圆锥的顶点如图，过圆锥的顶点S和底面和底面 圆的圆心圆的圆心O的平面截圆锥得截的平面截圆锥得截 面面SAB，其中，其中SA=SB，AB是是 圆锥底面圆圆锥底面圆O的直径的直径.已知已知SA=7 cm，AB=4 cm，求截面，求截面SAB 的面积的面积. 解：由勾股定理得解：由勾股定理得 2 22 2 AB SASO ， 则则 2 22 4 73 5cm 2 SOSO ， 则则 2 11 4 3 5=6 5cm 22 SAB SA
14、B SO V gg. . 3.如图，车床齿轮箱壳要钻两个如图，车床齿轮箱壳要钻两个 圆孔，两孔中心的距离是圆孔，两孔中心的距离是134 mm， 两孔中心的水平距离是两孔中心的水平距离是77 mm.计计 算两孔中心的垂直距离（结果保算两孔中心的垂直距离（结果保 留小数点后一位）留小数点后一位）. 解：在解：在RtABC中，中，AB=134mm，BC=77mm， 由勾股定理得，由勾股定理得， 22 22 1347712027109 7(mm) ACABBC . ， 所以两孔中心的垂直距离约为所以两孔中心的垂直距离约为109.7mm. 4.如图，要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角如图，要修一个育苗
15、棚，棚的横截面是直角三角 形，棚宽形，棚宽a=3 m，高，高b=1.5 m，长，长d=10 m.求覆盖在求覆盖在 顶上的塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后顶上的塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后 一位）一位）. 解：由勾股定理得，棚顶的宽为：解：由勾股定理得，棚顶的宽为： 则棚顶的面积为则棚顶的面积为3.3510=33.5（m2） 所以覆盖在顶上塑料薄膜需所以覆盖在顶上塑料薄膜需33.5平方米平方米. 2222 = 31 5 = 11 253 35 mab.（ ）， 5.一个三角形三边的比为一个三角形三边的比为1 2，这个三角形是，这个三角形是 直角三角形吗？直角三角形吗？ 3 解：这
16、个三角形是直角三角形解：这个三角形是直角三角形. 理由：因为这个三角形三边的比为理由：因为这个三角形三边的比为1 2，因，因 此不妨设这个三角形的三边为此不妨设这个三角形的三边为k, k,2k（其中（其中k 0），因为），因为k2+（ k）2=（2k）2，由勾股定理的逆，由勾股定理的逆 定理知，这个三角形是直角三角形定理知，这个三角形是直角三角形. 3 3 3 6.下列各命题都成立，写出它们的逆命题下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题这些逆命题 成立吗？成立吗？ （1）两条直线平行，同位角相等；）两条直线平行，同位角相等； （2）如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；）如果两个实
17、数都是正数，那么它们的积是正数； （3）等边三角形是锐角三角形；）等边三角形是锐角三角形； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等距离相等. 解：（解：（1）逆命题：同位角相等，两直线平行；成）逆命题：同位角相等，两直线平行；成 立立. （2）逆命题：如果两个实数的积是正数，那么这）逆命题：如果两个实数的积是正数，那么这 两个实数都是正数；不成立两个实数都是正数；不成立. （3）逆命题：锐角三角形是等边三角形；不成立）逆命题：锐角三角形是等边三角形；不成立. （4）逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这）逆命题：到线段两个端点距离相等
18、的点在这 条线段的垂直平分线上；成立条线段的垂直平分线上；成立. 7.已知直角三角形的两条直角边的长分别为已知直角三角形的两条直角边的长分别为2 +1和和 2 -1，求斜边，求斜边c的长的长. 3 3 解：根据勾股定理：解：根据勾股定理： 222 (2 3+1) +(2 31)26c, 26c. 8.如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC=BC，高，高AD=h.求求AB. 综合应用综合应用 解：设解：设AB长为长为x. 1 2 AB=AC=BC，ADBC，BAD=30， BD=DC= x， 2 1 2 x 2 3 3 由勾股定理得：由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，即，即 x2= +h2
19、，x= h. 9.如图，每个小正方形的边长都为如图，每个小正方形的边长都为1. （1）求四边形）求四边形ABCD的面积与周长；的面积与周长； （2）BCD是直角吗？是直角吗？ 解：（解：（1） 22 42204 472BC.， 22 1252 236CD.， 22 14174 123AD.， 22 51265 099AB.， 所以四边形所以四边形ABCD周长为周长为AB+BC+CD+AD=15.93. 1111 252 41 51 413114 5 2222 S. . （） （2）BCD是直角是直角. 因为由勾股定理得因为由勾股定理得BD=5，由（，由（1）知）知CD= BC = ，因此在，因
20、此在BCD中，中，BD2=25，CD2+BC2=25， 即即BD2=CD2+BC2，所以，所以BCD是直角三角形，且是直角三角形，且 BCD为直角为直角. 5 20 10.一根竹子高一根竹子高1丈，折断后竹子顶丈，折断后竹子顶 端落在离竹子底端端落在离竹子底端3尺处尺处.折断处离折断处离 地面的高度是多少？（这是我国古地面的高度是多少？（这是我国古 代数学著作九章算术中的一个代数学著作九章算术中的一个 问题问题.其中的丈、尺是长度单位，其中的丈、尺是长度单位，1 丈丈=10尺尺.） 解：折断的竹子与地面上所在的线段构成直角三解：折断的竹子与地面上所在的线段构成直角三 角形，设折断处距地面的高度
21、为角形，设折断处距地面的高度为x尺，根据勾股定尺，根据勾股定 理可得方程：理可得方程： x2+32=（10-x）2， 解这个方程得解这个方程得x=4.55. 所以折断处离地面的高度为所以折断处离地面的高度为4.55尺尺. 11.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表表 示大于示大于1的整数，的整数，a=2m，b=m2-1，c=m2+1， 那么那么a,b,c为勾股数为勾股数.你认为对吗？如果对，你你认为对吗？如果对，你 能利用这个结论得出一些勾股数吗？能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 解：对；解：对； a2=(2m)2=4m2， b2=(m2-1)2=m4-2m2+
22、1， c2=(m2+1)2=m4+2m2+1， a2+b2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1=c2， a、b、c为勾股数为勾股数. 例：例：20，99，101；10，24，26. 拓广探索拓广探索 12.如图，圆柱的底面半径为如图，圆柱的底面半径为6 cm，高为，高为10 cm，蚂，蚂 蚁在圆柱表面爬行，从点蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点爬到点B的最短路程是的最短路程是 多少厘米（结果保留小数点后一位）？多少厘米（结果保留小数点后一位）？ 解：由两点之间，直线最短易知，蚂解：由两点之间，直线最短易知，蚂 蚁沿侧面展开后蚁沿侧面展开后AB的连线爬行，路程的连线爬行，路程 最短最短. 将
23、侧面展开成如图所示的矩形将侧面展开成如图所示的矩形ACDE，则，则B恰是恰是CD的的 中点，连中点，连AB，在，在RtACB中，中，AC=10（cm），）， 故蚂蚁爬行的最短路程约为故蚂蚁爬行的最短路程约为21.3cm. CB= 26=6（cm），）， 由勾股定理得：由勾股定理得： 1 2 2222 103621 3 cmABACBC.（）； 13.一根一根70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是的木棒，要放在长、宽、高分别是 50 cm，40 cm，30 cm的长方体木箱中，能放进的长方体木箱中，能放进 去吗？（提示：长方体的高垂直于底面的任何一去吗？（提示：长方体的高垂直于底面的任何一 条
24、直线条直线.） 解：如图所示，长方体木箱能放进解：如图所示，长方体木箱能放进 木棒的最大长度应为对角线木棒的最大长度应为对角线DC的长的长. 连连DC、AC则则ADAC，即，即DAC=90， 在在RtABC中，中，ABC=90，AB=50，BC=40. 由勾股定理得：由勾股定理得： 在在RtADC中，由勾股定理得：中，由勾股定理得： 所以能放进去所以能放进去. 22 5040410010 41AC ， 22 4100900500050 2 70 DCACAD ， 14.设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分 别为别为a,b及及h.求证：求证： . 222 111 abh 证明：设斜边长为证明：设斜边长为c，由直角三角形面积公式可知：，由直角三角形面积公式可知： 222 22222 111 22 abcab abchabchh cha ba b ，即即， 22 2222222 11111ab . aba babh Q又又，