1、 4.4 4.4 解直角三角形的应用解直角三角形的应用 第第4 4章章 锐角三角函数锐角三角函数 重点难点重点难点 重点：重点：善于将某些实际问题中的数量关系，善于将某些实际问题中的数量关系， 归结为直角三角形元素之间的关系，从而归结为直角三角形元素之间的关系，从而 利用所学知识把实际问题解决利用所学知识把实际问题解决 难点：难点：根据实际问题构造合适的直角三角形根据实际问题构造合适的直角三角形. . 新课引入新课引入 在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角 三角形有关的实际问题三角形有关的实际问题. .对于这些问题，我们可以对于这些问题，我们可以 用所学
2、的解直角三角形的知识来加以解决用所学的解直角三角形的知识来加以解决. . 某探险者某天到达如图所示的点某探险者某天到达如图所示的点A 处时，处时， 他准备估算出离他的目的地他准备估算出离他的目的地海拔为海拔为3 500 m 的山峰顶点的山峰顶点B处的水平距离处的水平距离. 他能想出一个可行他能想出一个可行 的办法吗？的办法吗？ 如右图所示，如右图所示，BD表示点表示点B的海拔，的海拔， AE 表示点表示点A 的海拔，的海拔，ACBD，垂足为，垂足为 点点C. 先测量出海拔先测量出海拔AE，再测出仰角，再测出仰角 BAC，然后用锐角三角函数的知识就，然后用锐角三角函数的知识就 可求出可求出A，B
3、两点之间的水平距离两点之间的水平距离AC 如图如图，如果测得点如果测得点A的海拔的海拔AE为为 1600m， 仰角仰角 求出求出A，B两点两点 之间的水平距离之间的水平距离AC（结果保留整数结果保留整数）. . 40 AC , , 在在RtABC中，中， tantan 即（) 0 BCBD - AE BAC =40 ACAC 3500 -1600 0.8391,AC2264 m AC BD = 3500 m， AE = 1600 m， ACBD， BAC = 40， 因此，因此， ，B两点之间的水平距离两点之间的水平距离AC约为约为2264 m. 解：解： 例题探究例题探究 例例1 如图所示，
4、如图所示， 在离上海东方明珠塔底部在离上海东方明珠塔底部1 000 m 的的 A 处，处， 用仪器测得塔顶的仰角用仪器测得塔顶的仰角BAC 为为25， 仪器仪器 距地面高距地面高AE 为为1.7 m 求上海东方明珠塔的高度求上海东方明珠塔的高度BD （结果精确到（结果精确到1 m）. 分析：在直角三角形中，分析：在直角三角形中， 已知一角和它的邻边，已知一角和它的邻边， 求对边利用该角的正切求对边利用该角的正切 即可即可. 解：解：如图，在如图，在RtABC中，中，BAC =25，AC =100m， 因此因此 .tan25 1000 BC BC = AC 答：答：上海东方明珠塔的高度上海东方明
5、珠塔的高度BD为为468 m. 从而从而 1000 tan25466.3BC（m）. 因此，上海东方明珠塔的高度因此，上海东方明珠塔的高度 466.3+1.7=468BD（m）. 如图，从山脚到山顶有两条路如图，从山脚到山顶有两条路AB与与BD，问，问 哪条路比较陡哪条路比较陡？ 右边的路右边的路BD陡些陡些 如何用数量来刻画哪条路陡呢如何用数量来刻画哪条路陡呢？ 如上图所示，从山坡脚下点如上图所示，从山坡脚下点 A 上坡走到点上坡走到点B时，时， 升高的高度升高的高度h（即线段（即线段BC的长度）与水平前进的距的长度）与水平前进的距 离离l（即线段（即线段AC 的长度）的比叫作坡度，用字母的
6、长度）的比叫作坡度，用字母i表表 示，即示，即 h i = l （坡度通常写成（坡度通常写成1:m的形式）的形式） 坡度越大，山坡越陡坡度越大，山坡越陡 在上图中，在上图中，BAC 叫作坡角（即山坡与地平叫作坡角（即山坡与地平 面的夹角），记作面的夹角），记作 ，显然，坡度等于坡角的正切，显然，坡度等于坡角的正切， 即即 =tan h i =. l 例例2 2 如图，一山坡的坡度为如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚小刚从山脚A出发，出发， 沿山坡向上走了沿山坡向上走了240m到达点到达点C. .这座山坡的坡角是多这座山坡的坡角是多 少度少度？小刚上升了多少米小刚上升了多少米？（角度精确
7、到（角度精确到0.01，长，长 度精确到度精确到0.1m） i=1:2 如图，在如图，在RtABC中，中，B=90， A=26.57，AC=240m， 因此因此 sin 240 BCBC =. AC . . 1 tan =0 5 2 解：解： 用用 表示坡角的大小，由题意可得表示坡角的大小，由题意可得 因此因此 26.57. 答：答：这座山坡的坡角约为这座山坡的坡角约为26.57，小刚上升了约，小刚上升了约107.3 m 从而从而 （m） 240 sin26 5707 3BC. 如图如图，一艘船以一艘船以40km/h的速度向正东航行的速度向正东航行，在在A 处测得灯塔处测得灯塔C在北偏东在北偏
8、东60方向上方向上，继续航行继续航行1h到达到达 B处处，这时测得灯塔这时测得灯塔C在北偏东在北偏东30方向上方向上. 已知在灯已知在灯 塔塔C的四周的四周30km内有暗礁内有暗礁问这艘船继续向东航行是问这艘船继续向东航行是 否安全否安全？ 作作CDAB，交交AB延长线于点延长线于点D . 设设CD=xkm. 解：解： 这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯 塔塔C到到AB航线的距离是否大于航线的距离是否大于30km如果如果 大于大于30km， 则安全，否则不安全则安全，否则不安全 分析：分析： tan CD CAD, AD 在在RtACD中中， tantan
9、30 CDx AD. CAD 同理同理，在在RtBCD中中， tantan30 CDx AD. CAD ABADBD, 40 tan30tan60 xx . 因此因此，该船能继续安全地向东航行该船能继续安全地向东航行 解得解得 20 3x. 又又 20 334 6430., 课堂练习课堂练习 1.1.如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线射出的光线 AB，AC与地面与地面MN所形成的夹角所形成的夹角ABN， ACN分别为分别为 8和和15，大灯，大灯A与地面的距离为与地面的距离为1m，求该车大灯照亮，求该车大灯照亮 地面的宽度地面的宽度BC（不考虑
10、其他因素，结果精确到不考虑其他因素，结果精确到0.1m） 解：解： 作作ADMN于于D. 如图，在如图，在RtABD中，中，ABD =8，AD =1m， 所以所以 BC =BD- -CD3.4（m）. . 同理同理 CD3.73m. 因此因此 . 1 tan AD ABD= BDBD 从而从而 ( ). 11 7.12 m tantan8 BD ABD D D 2. 一种坡屋顶的设计图如图所示一种坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度已知屋顶的宽度l 为为10m，坡屋顶的高度，坡屋顶的高度h为为3.5m. 求斜面求斜面AB的长度的长度 和坡角和坡角 （长度精确到（长度精确到0.1m，角度精确
11、到，角度精确到1）. 解：解： 设设CB中点为中点为D ，则则由图可知由图可知 ADBC. D 在在RtABD中，中， 1 = 5m. 2 BDBC AD=h=3.5m， . . 3 5 tan0 7 5 ， AD BD 又又 由勾股定理得由勾股定理得 . 2222 3 556 1 mAB =AD + BD 所以所以 . 35 某次军事演习中某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：有三艘船在同一时刻向指挥所报告： A船说船说B船在它的正东方向船在它的正东方向，C船在它的北偏东船在它的北偏东55方向；方向； B船说船说C船在它的北偏西船在它的北偏西35方向；方向；C船说它到船说它到A船的
12、距离船的距离 比它到比它到B船的距离远船的距离远40km. 求求A，B两船的距离两船的距离（结果精结果精 确到确到0.1km）. . 2. 解：解：由图易知由图易知ACB =90， 即即ABC 为直角三角形为直角三角形. 在在RtABC中，中，CBA =55, CAB =35, sinsin35， CB CAB = AB . sinsin55 AC CBA= AB 所以所以 所以所以 CB= AB ， CA=AB . sin55 sin35 解得解得 AB162.9（km）. 又又 CA- - CB=40, sin55 sin35AB - - AB =40. 即即 能力提升能力提升 1如图如图
13、，在电线杆上的在电线杆上的C处引拉线处引拉线CE，CF固定电线杆固定电线杆，拉线拉线 CE和地面成和地面成60角角，在离电线杆在离电线杆6米的米的B处安置测角仪处安置测角仪，在在A处处 测得电线杆上测得电线杆上C处的仰角为处的仰角为30，已知测角仪已知测角仪AB高为高为1.5米米，求求 拉线拉线CE的长的长(结果保留根号结果保留根号) 解：过点 A 作 AHCD，垂足为 H. 由题意可知，四边形 ABDH 为矩形，CAH30， ABDH1.5，BDAH6. 在 RtACH 中，tanCAHCH AH ， CHAHtanCAH6tan 306 3 3 2 3(米) DH1.5，CD2 31.5.
14、 在 RtCDE 中，CED60， 故 sinCEDCD CE ，CE CD sin60(4 3)(米) 故拉线 CE 的长为(4 3)米 H 2如图如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长广安市防洪指挥部发现渠江边一处长 400 米米，高高 8 米米，背水背水 坡的坡角为坡的坡角为 45的防洪大堤的防洪大堤(横截面为梯形横截面为梯形 ABCD)急需加固经调查急需加固经调查 论证论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加 固固，并使上底加宽并使上底加宽 2 米米，加固后加固后，背水坡背水坡 EF 的坡度的坡度 i12. (1
15、)求加固后坝底增加的宽度求加固后坝底增加的宽度 AF 的长；的长； (2)求完成这项工程需要土石多少立方米？求完成这项工程需要土石多少立方米？ 解：(1)分别过点 E，D 作 EGAB，DHAB 交 AB 于点 G，H. 四边形 ABCD 是梯形，且 ABCD，DH 平行且等于 EG， 故四边形 EGHD 是矩形，EDGH. 在 RtADH 中，AHDHtanDAH8(米) 在 RtFGE 中，i12EG FG ，FG2EG16(米)， AFFGGHAH162810(米) (2)加宽部分体积 VS 梯形AFED坝长1 2(210)840019200(立 方米)故完成这项工程需要土石 19200
16、 立方米 G H 1. 在直角三角形中，任一锐角的三角函数只与角在直角三角形中，任一锐角的三角函数只与角 的大小有关，而与直角三角形的大小无关的大小有关，而与直角三角形的大小无关. 2. 在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知 两条边，就可以求出其他的边和角两条边，就可以求出其他的边和角. 有些关于图形的实际问题，我们可以结和已知条件，有些关于图形的实际问题，我们可以结和已知条件， 恰当地构造出直角三角形，画出图形，将实际问题恰当地构造出直角三角形，画出图形，将实际问题 转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题. 3. 通过本小节，你有通过本小节，你有什么什么收获？收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。