1、 4.2 4.2 正切正切 第第4 4章章 锐角三角函数锐角三角函数 教学目标教学目标 1、理解并掌握正切的含义，能够用、理解并掌握正切的含义，能够用tan表示直角表示直角 三角形中两边的比值。三角形中两边的比值。 2、掌握特殊角的正切值。、掌握特殊角的正切值。 3、能够用正切进行简单的计算。、能够用正切进行简单的计算。 重点：重点： 正切定义的理解以及如何求锐角的正切值正切定义的理解以及如何求锐角的正切值 难点：难点： 正切定义的理解正切定义的理解, ,探索并认识正切探索并认识正切. . 新课引入新课引入 我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的
2、大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个 锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一 个常数）个常数）. . 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也 是一个常数呢？是一个常数呢？ 如图，如图，ABC和和DEF 都是直角三角形，都是直角三角形， 其中其中A=D = ，C =F =90， 则则 成立吗成立吗？为什么为什么？ BCEF ACDF RtABCRtDEF. BCAC . EFDF 即即 BC DF = AC EF ， BCEF . ACDF A=D =
3、，C =F = 90， 由此可得，在有一个锐角等于由此可得，在有一个锐角等于 的所有直的所有直 角三角形中，角角三角形中，角 的对边与邻边的比值是一个的对边与邻边的比值是一个 常数，与直角三角形的大小无关常数，与直角三角形的大小无关 角角 的对边的对边 tan= . 角角 的邻边的邻边 如下图，在直角三角形中，我们把锐角如下图，在直角三角形中，我们把锐角 的对边与邻边的比叫作角的对边与邻边的比叫作角 的的正切正切，记作，记作 ， 即即 tan 如何求如何求 tan 30 ， ，tan60 的值呢 的值呢？ 从而从而 AC2=AB2- -BC2=( (2BC) )2- -BC2=3BC2. 解：
4、解： 如图，构造一个如图，构造一个RtABC，使，使C=90 ， ，A=30 ， ， 于是于是 BC = AB ， B=60 . 1 2 由此得出由此得出 AC = BC. 3 因此因此 3 tan 30 3 3 BCBC = . AC BC 因此因此 3 tan603 ACBC = = . BCBC 求求tan 45 的值 的值 现在我们把现在我们把30 ， ，45 ， ，60 的正弦、 的正弦、 余弦、正切值列表归纳如下：余弦、正切值列表归纳如下： 30 45 60 sin cos tan 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 3 31 例如求例如求25角的正切值，可以在计算
5、器上依角的正切值，可以在计算器上依 次按键次按键 ，显示结果为，显示结果为0.6427 如果已知正切值，我们也可以利用计算如果已知正切值，我们也可以利用计算 器求出它的对应锐角器求出它的对应锐角. . 例如，已知例如，已知tan=0.8391，依次按键，依次按键 ，显示结果为，显示结果为40.000，表示，表示 角角约等于约等于40. 对于一般锐角对于一般锐角（30 ， ，45 ， ，60 除外） 除外） 的正切值，我们也可用计算器来求的正切值，我们也可用计算器来求. . 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定 一个锐角一个锐角 ，都有唯一确定的比值，都有
6、唯一确定的比值sin ( (或或cos ， tan ) )与它对应，与它对应，并且我们还知道，当锐角并且我们还知道，当锐角变化变化 时，它的比值时，它的比值sin( (或或cos，tan) )也随之变化也随之变化. 因因 此我们把锐角的正弦、余弦和正切统称为此我们把锐角的正弦、余弦和正切统称为角角的的锐锐 角三角函数角三角函数. 例题探究例题探究 解：解： = + 2 2 3 3 3 1 = + 1 3 3 1 = . 2 例例 求求 60tan30tan45tan 22 60tan30tan45tan 22 课堂练习课堂练习 1. 在在RtABC中，中，C=90 ， ，AC=7， BC=5，
7、求，求 tan A，tan B 的值的值 答案：答案： 5 tan 7 7 tan 5 A = B = , , . . （1）1+ +tan260 ； 计算：计算： 2. 2tan30 cos 30 33 32 1 . 2 （ ） （2）tan30cos 30. 解：解： （1）1+ +tan260 2 2 1tan 60 13 13 4. 能力提升能力提升 1要求要求 tan 30的值的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算在可构造如图所示的直角三角形进行计算在 Rt ABC，使使C90，斜边斜边 AB2，直角边直角边 AC1，那么那么 BC 3，ABC 30，tan 30AC BC 1 3
8、 3 3 .试在此图的基础上试在此图的基础上，通过添加适当的通过添加适当的 辅助线辅助线，求出求出 tan 15的值的值 解：解：延长延长 CB 到到 D，使使 ABBD.ABC30， D15.设设 ACx，则则 AB2x，BC 3x， DB2x，CD(2 3) )x，tan 15 DC AC x （2 3）x 1 2 3 2 3. D 2如图如图，在矩形在矩形ABCD中中，E是是BC边上的点边上的点，AE BC，DFAE，垂足为点垂足为点F，连接连接DE. (1)求证：求证：ABDF； (2)若若AD10，AB6，求求tanEDF的值的值 解：(1)易证ABEDFA，ABDF ( 2 )在在
9、 RtADF 中，中，AD10，DFAB6， AF AD2DF28，AEAD10， EFAEAF2，tanEDFEF DF 2 6 1 3 观察特殊角的三角函数表，发现规律：观察特殊角的三角函数表，发现规律： (1)(1)当当 时时, ,的正弦值随着角度的增大而增大，的正弦值随着角度的增大而增大， 随着角度的减小而减小随着角度的减小而减小; 090 090 (2)当当 时时, 的余弦值随着角度的增大而减小，的余弦值随着角度的增大而减小， 随着角度的减小而增大随着角度的减小而增大; 090 (3)(3)当当 时时, ,的正切值随着角度的增大而增大，的正切值随着角度的增大而增大， 随着角度的减小而减小随着角度的减小而减小; 通过本小节，你有通过本小节，你有什么什么收获？收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。