1、 4.1 4.1 正弦和余弦正弦和余弦 第第4 4章章 锐角三角函数锐角三角函数 教学目标教学目标 1.1.了解当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、了解当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、 对边与邻边的比值也都固定这一事实。对边与邻边的比值也都固定这一事实。 2.2.使学生初步了解正弦的概念；能够正确地用使学生初步了解正弦的概念；能够正确地用sinAsinA表表 示直角三角形中两边的比。示直角三角形中两边的比。 重点：重点： 理解余弦、正弦的概念理解余弦、正弦的概念 难点：难点： 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算 新课引入新课引入 做一做
2、 画一个直角三角形，其中一个锐角为画一个直角三角形，其中一个锐角为65，量出，量出 65角的对边长度和斜边长度，计算角的对边长度和斜边长度，计算 与同桌和邻桌的同学交流，与同桌和邻桌的同学交流， 看看计算出的比值看看计算出的比值 是否相等（精确到是否相等（精确到0.01）. 斜边 角的对边 65 = = 如下图所示，如下图所示，（1）和（和（2）分别是小明、小亮）分别是小明、小亮 画的直角三角形，其中画的直角三角形，其中A=A= 65， C=C = 90. （1） （2） 小明量出小明量出A的对边的对边BC=3cm，斜边，斜边AB=3.3cm， 算出：算出： 小亮量出小亮量出A的对边的对边BC
3、=2cm， 斜边斜边AB=2.2cm， 算出：算出： 210 . 2.211 A 的的对对边边 斜斜边边 310 . 3.311 A 的的对对边边 斜斜边边 这个猜测是真的吗这个猜测是真的吗？ 若把若把65角换成任意角换成任意 一个锐角一个锐角 ，则这个角的对边与斜边的比值是，则这个角的对边与斜边的比值是 否也是一个常数呢否也是一个常数呢？ 由此猜测：在有一个锐角为由此猜测：在有一个锐角为65的所有直的所有直 角三角形中，角三角形中，65角的对边与斜边的比值是一角的对边与斜边的比值是一 个常数，它等于个常数，它等于 10 . 11 如图，如图，ABC和和DEF都是直角三角形，都是直角三角形，
4、其中其中A=D= . C=F=90，则，则 成立吗成立吗？为什么为什么？ BCEF ABDE 新知探究新知探究 A=D = ， C=F= 90 ， DEF. Rt ABC Rt .BC DEAB EF 即即 . BCAB EFDE . BCEF ABDE 这说明，在有一个锐角等于这说明，在有一个锐角等于 的所有直角三的所有直角三 角形中，角角形中，角 的对边与斜边的比值是一个常数，的对边与斜边的比值是一个常数， 与直角三角形的大小无关与直角三角形的大小无关. . 如图，在直角三角形中，我们把锐角 的对 边与斜边的比叫作角 的正弦，记作sin ，即 sin 角 的角 的对对边边 斜斜边边 根据
5、“在直角三角形中， 30角所对的直角边 等于斜边的一半”， 容易得到 sin 30 = 1 . 2 例题探究例题探究 例例1 如图所示，在直角三角形如图所示，在直角三角形ABC中，中，C=90 ， ， BC=3，AB=5. （1）求）求sinA的值的值； （2）求）求sinB的值的值. 解：解：A的对边的对边BC=3，斜边，斜边AB=5. 于是于是 3 sin 5 BC A = = AB . . B的对边是的对边是AC，根据勾股定理，根据勾股定理， 得得 AC2 = AB2- -BC2 = 52- -32 = 16. 于是于是 AC = 4. 因此因此 4 sin 5 AC B = = AB
6、. . 如何求如何求sin 45的值的值？ 如图所示，构造一个RtABC，使C=90,A=45. 于是 B=45. 从而 AC=BC 根据勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2. 于是 AB= BC. 2 因此 12 sin45 2 22 BCBC = =. AB BC 如何求如何求sin 60的值的值？ 如图所示，构造一个RtABC ，使B=60， 则A=30，从而 . 1 2 BCAB 根据勾股定理得 AC2=AB2-BC2=AB2- 22 13 24 AB =AB . 3 2 AC=AB. 于是 因此 3 sin60 2 AC =. AB 例如求例如求50角的正弦
7、值，可以在计算器上依次按角的正弦值，可以在计算器上依次按 键键 ，显示结果为，显示结果为0.7660 至此，我们已经知道了三个特殊角至此，我们已经知道了三个特殊角（30，45， 60）的正弦值，而对于一般锐角的正弦值，而对于一般锐角 的正弦值，我们的正弦值，我们 可以利用计算器来求可以利用计算器来求. . 如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出 它的对应锐角它的对应锐角. . 例如，已知例如，已知 =0.7071，依次按键，依次按键 ，显示结果为，显示结果为44.999， 表示角表示角 约等于约等于45. . sin 例例2 2 计算：计算： sin2
8、30- - sin45+sin260 2 2 2 123 2 222 13 1 44 解：解：sin230- - sin45+sin260 2 0 . . 如下图所示如下图所示， ABC和和DEF都是直角三角都是直角三角 形形， 其中其中A=D=，C=F=90，则则 成立吗成立吗？为什么为什么？ ACDF ABDE 深入探究深入探究 A=D= ，C=F=90， B=E. sinsin,BE 从而从而 因此因此 . ACDF ABDE 由此可得，在有一个锐角等于由此可得，在有一个锐角等于 的所有的所有 直角三角形中，角直角三角形中，角 的邻边与斜边的比值是的邻边与斜边的比值是 一个常数，与直角三
9、角形的大小无关一个常数，与直角三角形的大小无关 如下图所示如下图所示，在直角三角形中在直角三角形中，我们把我们把 锐锐 角的邻边与斜边的比叫作角角的邻边与斜边的比叫作角 的余弦的余弦，记记 作作 ，即即 cos 斜边斜边 cos 角角 的邻边的邻边 从上述探究和证明过程看出从上述探究和证明过程看出，对于任意锐对于任意锐 角角 ，有有 从而有从而有 cos= sin. ()() - - sin= cos. ()() - - 例例3 求求cos30 ， ，cos60 ， ，cos45 的值 的值 解：解： 3 cos30sin 9030sin60 2 = - - (),(), 1 cos60sin
10、 9060sin30 2 = - - (),(), 2 cos45sin 9045sin45 2 = - - ().(). 对于一般锐角对于一般锐角 （30，45，60除外）除外） 的余弦值，我们可用计算器来求的余弦值，我们可用计算器来求. . 例如求例如求50角的余弦值，可在计算器上依次角的余弦值，可在计算器上依次 按键按键 ，显示结果为，显示结果为0.6427 如果已知余弦值如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求我们也可以利用计算器求 出它的对应锐角出它的对应锐角. . 例如，已知例如，已知 =0.8661，依次按键，依次按键， 显示结果为显示结果为29.9914， 表示角表示角 约等于约
11、等于30. . cos 课堂练习课堂练习 1. 如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABC中，中，C=90 ， ， BC=5，AB=13. （1）求）求sinA的值；的值； （2）求）求sinB的值的值 答案：答案： 5 13 . . 答案：答案： 12 13 . . 2.2.如图，在平面直角坐标系内有一点如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4）， 连接连接OP，求，求OP与与x轴正方向所夹锐角轴正方向所夹锐角 的正弦值的正弦值. . 解：解： 如图，设点如图，设点A（3，0）， 连接连接P A . . A 在在APO中中，由勾股定理得，由勾股定理得 4 sin 5 AP = OP= .=
12、. 因此因此 2222 345.OPOAAP 3. 计算：（计算：（1） sin260+sin245； 解：解： （1） sin260+sin245 22 32 22 5 4 . （2） 1- -2sin30sin60 13 12 22 3 1 2 23 2 . （2） 1- -2sin30sin60. 4. 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90 ， ， AC=5，AB=7. 求求 cos A，cos B 的值的值 答：答： 52 6 coscos 77 A= B= , ., . 能力提升能力提升 1如图如图，网格中的每个小正方形的边长都网格中的每个小正方形的边长都 是是1，ABC每个顶
13、点都在网格的交点处每个顶点都在网格的交点处，求求 sin A的值的值 解：解：过点过点 A，作作 ADBC 于点于点 D，过点过点 C 作作 CE AB 于于 E.由勾股定理得由勾股定理得 ABAC2 5，BC2 2， AD3 2，ABC 是等腰三角形由面积相等可是等腰三角形由面积相等可 得得， 1 2BC AD1 2AB CE， 则则 CE2 2 3 2 2 5 6 5 5 ， sin ACE AC 3 5. D E 2如图如图，在在ABC中中，点点D在在AC上上，DEBC，垂垂 足为点足为点E，已知已知AD2DC，AB4DE，求求sin B和和cos B的值的值 解：过点 A 作 AFBC
14、，垂足为 F，则 DEAF， CDECAF，CD CA DE AF . 又 AD2DC，AF3DE. 在 RtABF 中，sin BAF AB 3DE 4DE 3 4. 设 AF3k，则 AB4k， BF AB2AF2 7k， cos B 7 4 . F 1.1.锐角的余弦的概念锐角的余弦的概念. . 2.2.熟记：熟记：3030,45,45,60,60这些特殊角的正弦余弦值这些特殊角的正弦余弦值 . . 3.3.理解：理解：0 09090间正弦值、余弦值的变化规律：间正弦值、余弦值的变化规律： （1 1）0 0sin sin 1;01;0cos cos 1 1； （2 2）正弦值随角度的增加而增大，余弦值随角度）正弦值随角度的增加而增大，余弦值随角度 的增加反而减小的增加反而减小. . 通过本小节，你有通过本小节，你有什么什么收获？收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。