1、 4.3 4.3 解直角三角形解直角三角形 第第4 4章章 锐角三角函数锐角三角函数 教学目标教学目标 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余 及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析 问题、解决问题的能力问题、解决问题的能力 重点：重点：理解解直角三角形的概念；学会解直角三角形理解解直角三角形的概念；学会解直角三角形 难点：难点：三角函数在解直角三角形中的应用三角函数在解直角三角形中的应用 新课引入新课引入 在图形的研究中，直角三角形是常见的三角在图形的研究中，直角三角形是常见的三角 形之一
2、，因而人们经常会遇到求直角三角形的边形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边 长或角度等问题长或角度等问题. . 对于这类问题，我们一般利用对于这类问题，我们一般利用 前面已学的锐角三角函数的有关知识来解决前面已学的锐角三角函数的有关知识来解决. . 1.直角三角形的三边之间有什么关系直角三角形的三边之间有什么关系？ 2.直角三角形的锐角之间有什么关系直角三角形的锐角之间有什么关系？ 3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABC中，中，C=90 ， ， A，B，C的对边分别记作的对边分别记作a，b，c . a2+b2=
3、c2( (勾股定理勾股定理) ) sin Aa A= c . 的的对对边边 斜斜边边 cos Ab c A= . 的的邻邻边边 斜斜边边 tan Aa A= b . 的的对对边边 邻邻边边 A+B=90 . 在一个直角三角形中，除直角外有在一个直角三角形中，除直角外有5 5个元个元 素（素（3 3条边、条边、2 2个锐角），要知道其中的个锐角），要知道其中的 几个素就可以求出其余的元素？几个素就可以求出其余的元素？ 如果知道的如果知道的2 2个元素都是角，个元素都是角，不能求解不能求解. . 因为此时的直角三角形有无数多个因为此时的直角三角形有无数多个. .已知已知 2 2个元素，且至少有一条
4、边就可以求出其个元素，且至少有一条边就可以求出其 它元素了它元素了. . 在直角三角形中，除直角外有在直角三角形中，除直角外有5个元素（即个元素（即3条边、条边、2 个锐角），只要知道其中的个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有个元素（至少有1个是边），个是边）， 就可以求出其余的就可以求出其余的3个未知元素个未知元素. . 解直角三角形解直角三角形:在直角三角形中，由已知在直角三角形中，由已知 元素求未知元素的过程元素求未知元素的过程 例例1 在在RtABC中，中， a=5，求，求B，b，c. 9030 , , ,CA 解解: : 90 9030 60 . .BA 又又 tan= b B
5、a , , 3 = tan = 5 tan 60 = 5 ba B . . sin= a A c , , 10 sinsin 55 = = = = 130 2 A a c . . 例例2 如图，在如图，在RtABC 中，中，C=90，cosA = ， BC = 5， 试求试求AB的长的长. 1 3 分析：在直角三角形中，分析：在直角三角形中， 已知一边和另两边的关系，已知一边和另两边的关系， 常用勾股定理方程思想解决常用勾股定理方程思想解决. . 1 = 3 AC AB 设设 AB=x，则，则 AC= x. 1 3 222 = +，ABACBC 又又 . 2 221 =+5 3 xx 解：解：
6、 1 cos= 3 A C = 90 ， ， ， AB的长为的长为 . 15 2 4 解得解得 1 15 2 4 x, , 2 15 2 4 x （舍去舍去）. 课堂练习课堂练习 1. 在在RtABC中，中， b=3cm， 求求a，c 的长度的长度. . 9045 , , ,CB cm. 答案：答案： c = a = 3 cm， 3 2 2. 在在RtABC中，中， c=16cm， 求求a，b的长度的长度. . 30A , ,90C , , 答案：答案： a=8 cm, b=8 cm. 3 能力提升能力提升 1如图如图，在在ABC 中中，A30，B45，AC 2 3，求求 AB 的长的长 解：
7、过点 C 作 CDAB 于点 D.在 RtACD 中， A30 ，CD1 2AC 3， 由勾股定理得 AD （2 3）2（ 3）2 93， 在 RtBCD 中，tan45 CD BD，BDCD 3. ABADBD3 3 D 2如图如图，在在ABC 中中，CDAB，垂足为垂足为 D. 若若 AB12，CD6，tan A3 2， ， 求求 sin Bcos B 的值的值 解：在 RtACD 中，ADC90 ，tan ACD AD 6 AD 3 2， AD4，BDABAD1248. 在 RtBCD 中，BDC90 ，BD8，CD6， BC BD2CD210，sin BCD BC 3 5，cos B
8、BD BC 4 5， sin Bcos B3 5 4 5 7 5 3如图如图，在在 RtABC 中中，ACB90，D 是边是边 AB 的中点的中点， BECD，垂足为垂足为 E.已知已知 BC20，sin A4 5. (1)求线段求线段 CD 的长；的长； (2)求求 cosBDE 的值的值 解：(1)在 RtABC 中，ACB90，sin ABC AB 20 AB 4 5， AB25.D 是边 AB 的中点，CD1 2AB 25 2 ； (2)在 RtABC 中，cosABCBC AB 4 5.CD 是 AB 的中线， CDBD，DCBABC， cosDCBcosABC4 5，即 CE BC 4 5，CE16. 又CD25 2 ，DE7 2，cosBDE DE BD 7 25. 解直角三角形的依据解直角三角形的依据 (1)三边之间的关系三边之间的关系: a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）； (2)锐角之间的关系锐角之间的关系: A B 90 ； ； (3)边角之间的关系边角之间的关系: tanA a b sinA a c cosA b c 面积公式：面积公式： 11 22 ABC Sa bc h 通过本小节，你有通过本小节，你有什么什么收获？收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。