1、3.2 3.2 平行线分线段成比例平行线分线段成比例 第第3 3章章 图形的相似图形的相似 教学目标教学目标 1.1. 掌握基本事实：平行线分线段成比例掌握基本事实：平行线分线段成比例. . 2.2. 了解“两条直线被一组平行线所截，如果在其中一了解“两条直线被一组平行线所截，如果在其中一 条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截 得的线段也相等”，“平行于三角形一边的直线截得的线段也相等”，“平行于三角形一边的直线截 其他两边，所得的对应线段成比例”其他两边，所得的对应线段成比例”. . 重点：重点： 掌握平行线分线段成比例的基本事实以及推掌握
2、平行线分线段成比例的基本事实以及推 论的应用论的应用. . 难点：难点：基本事实的理解以及推论的应用基本事实的理解以及推论的应用. . 下图是一架梯子的示意图下图是一架梯子的示意图, ,由生活常识由生活常识 可以知道可以知道: :AA1,BB1,CC1,DD1互相平行互相平行，且若且若 AB=BC,你能猜你能猜想出什么结果想出什么结果呢呢？ 新课引入新课引入 如图如图, ,已知直线已知直线 abc直线直线 l1，l2被直被直 线线 a,b,c 截得的线段分别为截得的线段分别为 AB, BC 和和 A1B1， B1C1，且且 AB=BC， l1 l2 A B C A1 B1 C1 a b c 过
3、点过点 B 作直线作直线 l3/l2， 分别与直线分别与直线 a,c 相相 交于点交于点 A2，C2，由于由于 a/b/c，l3/l2，因此由因此由 “夹在两平行线间的夹在两平行线间的 平行线段相等平行线段相等”可知可知 A2B=A1B1， BC2=B1C1. l1 l2 A B C A1 B1 C1 a b c A2 C2 l3 在在BAA2和和BCC2中中： ABA2=CBC2， BA=BC， BAA2=BCC2， 因此因此BAA2BCC2. 从而从而 BA2=BC2, 所以所以 A1B1=B1C1. 两条直线被一组平行线所截两条直线被一组平行线所截，如如 果在其中一条直线上截得的线段相等
4、果在其中一条直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相那么在另一条直线上截得的线段也相 等等. 由此可以得到：由此可以得到： 如图，任意两条直线如图，任意两条直线 l1，l2 ，再画三条与，再画三条与 l1，l2 相相 交的直线交的直线 a，b，c . .分别度量分别度量 l1，l2 被直线被直线 a，b，c 截得的截得的 线段线段 AB，BC ，A1B1，B1C1 的长度的长度. . 与与 相等吗？相等吗？ 任意平移直线任意平移直线 c，再度量，再度量 AB，BC ，A1B1，B1C1 的长的长 度，度， 与与 也相等吗？也相等吗？ AB BC 11 11 AB BC AB B
5、C 11 11 AB BC 证明： 假设 3 2 BC AB ， 则把线段 AB 二等分，分点 D. 过点 D 作直线 da，交 l2于点 D1 如图：把线段 BC 三等分 三等分点为 E，F，分别过 点 E，F 作直线 ea，fa， 分别交 l2于点 E1,F1. e l1 l2 A B C A1 B1 C1 a b c f d D E F D1 E1 F1 由已知由已知 2 3 AB BC ,得得 11 23 ABBC. 由于由于 AD=DB= 2 1 AB，BE=EF=FC= 3 1 BC， 因此因此 AD=DB=BE=EF=FC. 由于由于 a / d/ b/ / e/ f/ c， 因
6、此因此 A1O1=D1B1=B1E1=E1F1=F1C1. 从而从而 1111 1111 22 = 33 ABAD BCB E . 类似地类似地, ,可以可以证明证明, ,若若 k BC AB ( (其中其中 k 为无理为无理 数数),), k CB BA 11 11 , ,从而从而 BC AB = = 11 11 CB BA . . 我们还可以得到我们还可以得到 11 11 BA CB AB BC , , 11 11 CA BA AC AB , , 11 11 CA CB AC BC . . 由此得到以下基本事实由此得到以下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所两条直线被一组平行线所截，所
7、 得的对应线段成比例得的对应线段成比例. . 我们把以上基本事实简称为我们把以上基本事实简称为平行平行 线分线段成比例线分线段成比例. . 例题探究例题探究 如图，在如图，在ABC 中，已知中，已知 DEBC ，则，则 和和 成立吗？为什么？成立吗？为什么？ ADAE DBEC ADAE ABAC 如上图，过点如上图，过点 A 作直线作直线 MN，使，使 MNDE ， DEBC ，MNDEBC. . ADAE ADAE DBECABAC ， . DBEC DBEC ADAEABAC ， 同时还可以得到同时还可以得到 因此因此 AB，AC 被一组平行线被一组平行线 MN，DE，BC 所截，则由平
8、行线分线段成比例可知，所截，则由平行线分线段成比例可知， 由此得到以下结论由此得到以下结论：平行于三角平行于三角 形一边的直线截其他两边，所得的对形一边的直线截其他两边，所得的对 应线段应线段成比例成比例. . 如图，已知如图，已知 AA1BB1CC1 ，AB=2， BC=3，A1B1=1.5，求求 B1C1 的长的长. . 11 1111 21.5 3 ABAB BCBCBC ，即， 解解 ： 由平行线分线段成由平行线分线段成 比例可知，比例可知， 11 3 1.5 =2.25 2 BC 因此，. 课堂练习课堂练习 1如图如图，AC，BD相交于点相交于点O，直线直线MN过过 点点O，且且BA
9、/MN/CD，已知已知OA=3,OB=1, OD=2,求求OC的长的长. 解：解： BA/MN/CD, O AO B = O CO D , OA=3=3，OB=1=1，OD=2,=2, 2 13 OC , OC=6.=6. 2.2.如图如图, ,点点D，E分别在分别在ABC的边的边AB，AC 上，且上，且DEBC，若，若AB=3，AD=2，EC=1.8, , 求求AC的长的长. . 解：解： DE/BC， MN/DE/BC， EC AE DB AD ， AB=3,AD=2, DB=1，AEAE=3.6=3.6 ACAC= = AE AE+ +ECEC=5.4=5.4 能力提升能力提升 1如图如
10、图，平行四边形平行四边形ABCD中，点中，点E是是BA边延长线上一点边延长线上一点， CE交对角线交对角线DB于点于点G，交，交AD边于点边于点F.求证：求证：CG2GF GE. 解：证明：四边形 ABCD 是平行四边形， DCAB，ADBC， DCAB，CG GE DG GB， ADBC.CG FG BG DG， CG FG GE CG， 故 CG2GF GE. 2已知：如图已知：如图，在在ABC 中中，DEBC，EFAB， 试判断试判断 AD DB BF FC成立吗？并说明理由 成立吗？并说明理由 解：解：AD DB BF FC成立理由如下： 成立理由如下：DEBC， AD DB AE E
11、C. EFAB，BF FC AE EC. AD DB BF FC 1、两条直线被一组平行线所截，如果在其中、两条直线被一组平行线所截，如果在其中 一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直 线上截得的线段也相等；线上截得的线段也相等； 2、两条直线被一组平行线所截，所得的对应两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例；线段成比例； 3、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的对应线段成比例。截得的对应线段成比例。 通过本小节，你有通过本小节，你有什么什么收获？收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。