1、2.4 2.4 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程 教学目标教学目标 a b xx 21 a c xx 21 了解一元二次方程了解一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 ，那么：，那么： )0(0 2 acbxax 1 x 2 x 这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理. . 新课引入新课引入 的系数有何关系？ 的值与方程你能看出 的值试求出为 的两根设方程 2121 212121 2 , ., )0(0 xxxx xxxxxx acbxax 的两个根为的两个根为x1，x2
2、， 则：则： ax2+bx+c 又又 ax2+bx+c= 于是于是 . 所以所以 即：即： 这表明，当这表明，当 时，一元二次方程根与系数时，一元二次方程根与系数 之间具有如下关系：之间具有如下关系： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的 相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比. . 例例1 1 根据一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系， 求下列方程的两根求下列方程的两根 x1，x2的和与积：的和与积： ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 题目探究题目探究 （1） （2）整理得：）整
3、理得： （3）整理得：）整理得： 例例2 2 已知关于已知关于x的方程的方程 的一的一 个根为个根为- -3 3，求它的另一个根及，求它的另一个根及q的值的值. . 解：设的另一个根为解：设的另一个根为x2 ，则，则 解得解得 由根与系数之间的关系得由根与系数之间的关系得 因此，方程的另一个根是因此，方程的另一个根是0， q的值为的值为0. 1 1根据一元二次方程根与系数的关系，求根据一元二次方程根与系数的关系，求 下列方程的两根下列方程的两根x x1 1，x x2 2的和与积的和与积 (1)2x(1)2x2 24x4x3 30 0； (2)x(2)x2 24x4x3 37 7； (3)5x(
4、3)5x2 23 310 x10 x4.4. 课堂练习课堂练习 答案：（答案：（1 1） （2 2） （3 3） x1x22，x1x23 2 x1x24，x1x24 x1x22， x1x27 5 2.2.已知方程已知方程 的一根为的一根为1 1，求它，求它 的另一个根及的另一个根及 m m 的值的值. . 解：解：设的另一个根为设的另一个根为x2 ，则，则 解得解得 有根与系数之间的关系得有根与系数之间的关系得 因此，方程的另一个根是因此，方程的另一个根是 ，m的值是的值是16. 3已知已知x1，x2是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程x2 2(m1)xm250的两实数根的两实数根 (1
5、)若若(x11)(x21)28，求求m的值；的值； (2)已知等腰已知等腰ABC的一边长为的一边长为7，若若x1，x2恰恰 好是好是ABC另外两边的边长另外两边的边长，求这个三角形求这个三角形 的周长的周长 解：解：(1)x1，x2是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程 x22(m1)xm250， x1x22(m1)，x1 x2m25， (x11)(x21)x1 x2(x1x2)1 m252(m1)128， 解得：解得：m4或或m6. m4时原方程无解，时原方程无解，m6； (2)当当7为底边时，此时方程为底边时，此时方程x22(m1)xm250有两有两 个相等的实数根，个相等的实数根，
6、4(m1)24(m25)0，解得：，解得：m2. 方程变为方程变为x26x90，解得，解得x1x23. 337，不能构成三角形；不能构成三角形； 当当7为腰时，设为腰时，设x17， 代入方程得：代入方程得：4914(m1)m250，解得：，解得：m10或或4. 当当m10时，方程变为时，方程变为x222x1050，解得：，解得：x7或或15. 7715，不能组成三角形；，不能组成三角形； 当当m4时方程变为时方程变为x210 x210，解得：，解得：x3或或7，此时，此时 三角形的周长为三角形的周长为77317. 2.2.应用一元二次方程的根与系数关系时，应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式首先要把已知方程化成一般形式. . 3.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初要特别注意，方程有实根的条件，即在初 中代数里，当且仅当中代数里，当且仅当 时，才能应用根与系数的关系时，才能应用根与系数的关系. . 1.1.一元二次方程根与系数的关系是什么一元二次方程根与系数的关系是什么? ? 04 2 acb 通过本小节，你有通过本小节，你有什么什么收获？收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。